feat: 創造情報 2022-08-1

exercises/utokyo-ist/README.md

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 | ---- | -------- | -------- | -------------- | ---------------------- | -------------------------- | ---------------------------- |
 | CI   | 2024     | 2023-08  | 創造情報学     | [1](./ci/2023-08-1.md) | 機械学習                   | 最尤推定法, EMアルゴリズム   |
 | CI   | 2024     | 2023-08  | 創造情報学     | [2](./ci/2023-08-2.md) | アルゴリズム, 論理回路     | 簡潔データ構造, 全加算器     |
-| CI   | 2023     | 2022-08  | 創造情報学     | 1                      | 形式言語                   | DFA, PDA                     |
+| CI   | 2023     | 2022-08  | 創造情報学     | [1](./ci/2022-08-1.md) | 形式言語                   | DFA                          |
 | CI   | 2023     | 2022-08  | 創造情報学     | [2](./ci/2022-08-2.md) | ネットワーク               | サブネット分割               |
 | CI   | 2022     | 2021-08  | 創造情報学     | 1                      | アルゴリズム               | 個数制限なしナップザック問題 |
 | CI   | 2022     | 2021-08  | 創造情報学     | [2](./ci/2021-08-2.md) | ネットワーク, 確率統計     | 幾何分布, TCPウインドウ制御  |

exercises/utokyo-ist/ci/2022-08-1.md

@@ -0,0 +1,199 @@
+# 創造情報 第1問
+
+## (1)
+
+### (1-1)
+
+q1
+
+### (1-2)
+
+010111011
+
+### (1-3)
+
+受理状態として指定された状態は`()`で示した。
+
+```mermaid
+stateDiagram-v2
+    direction LR
+    [*] --> (q1)
+    (q1) --> q2 : 0,1
+    q2 --> (q1) : 0,1
+
+```
+
+## (2)
+
+任意の非負整数 $a$, $b$ について、次の定理（剰余の定理）が成り立つ。
+
+$a \bmod c = r_a$, $b \bmod c = r_b$ のとき、 $(a+b) \bmod c = (r_a+r_b) \bmod c$
+
+剰余の定理について、次の通り証明する。
+
+$a = q_ac+r_a$, $b = q_bc+r_b$ と表せる。$q_a$, $q_b$ は非負整数である。
+
+$$
+\begin{align}
+& (a+b) \bmod c \\
+=& (q_ac+r_a + q_bc+r_b) \bmod c
+\end{align}
+$$
+
+ここで、任意の非負整数$q$, $r < c$に対して$(qc+r)\bmod c = r$は自明である。したがって、次の通り式を展開する。
+
+$$
+\begin{align}
+& (q_ac+r_a + q_bc+r_b) \bmod c \\
+=& (r_a + r_b) \bmod c
+\end{align}
+$$
+
+よって剰余の定理は示された。
+
+続いて命題を示す。命題は次の通り。
+
+$$
+\begin{align}
+\nu(x_{2n-1},x_{2n-2},...,x_0) \equiv (2\sum_{i=0}^{n-1}x_{2i+1}+\sum_{i=0}^{n-1}x_{2i}) \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+問題文の前提より、桁数は偶数である。よって、与えられた式の右辺を次の通り展開できる。
+
+$$
+\begin{align}
+& \nu(x_{2n-1},x_{2n-2},...,x_0) \\
+=& \nu(x_{2n-1},0,x_{2n-3},...,0,x_1,0) + \nu(0,x_{2n-2},0,...,0,x_0) \\
+=& \sum_{i=0}^{n-1}2^{2i+1}x_{2i+1} + \sum_{i=0}^{n-1}2^{2i}x^{2i}
+\end{align}
+$$
+
+続いて、展開した式の左辺について、次の式（2進数の偶数桁目の総和と、偶数桁目の1のビット数の2倍は、3を法として合同）を証明する。
+
+$$
+\begin{align}
+\sum_{i=0}^{n-1}2^{2i+1}x_{2i+1} \equiv 2\sum_{i=0}^{n-1}x_{2i+1} \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+両辺が共に総和であるため、次の式を示すことで前式が示せる。
+
+$$
+\begin{align}
+2^{2i+1}x_{2i+1} \equiv 2x_{2i+1} \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+$x_{2i+1} = 0$ のとき自明である。
+
+$i=0$ のとき、$2^{2i+1} 1 \bmod 3 = 2$  で自明である。$x_{2i+1} = 1$ かつ $i\ge1$ のときを考える。
+
+$i\ge1$ のとき、$i-1$ について $2^{2(i-1)+1} \bmod 3 = 2$ なら $i$ についても同様である。次の通り示す。$q$ は整数である。
+
+$$
+\begin{align}
+2^{2(i-1)+1} \bmod 3 &= 2 \\
+2^{2(i-1)+1} &= 3q + 2 \\
+2^{2i+1} &= 12q + 8 \\
+2^{2i+1} &= 3(4q + 2) + 2 \\
+\end{align}
+$$
+
+よって帰納法により、2進数の偶数桁目の総和と、偶数桁目の1のビット数の2倍は、3を法として合同である。
+
+続いて、展開した式の右辺についても、同様に次の式（2進数の奇数桁目の総和と、奇数桁目の1のビット数は、3を法として合同）を証明する。
+
+$$
+\begin{align}
+\sum_{i=0}^{n-1}2^{2i}x_{2i} \equiv \sum_{i=0}^{n-1}2^{2i}x^{2i} \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+両辺が共に総和であるため、次の式を示すことで前式が示せる。
+
+$$
+\begin{align}
+2^{2i}x_{2i} \equiv x_{2i} \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+$x_{2i} = 0$ のとき自明である。
+
+$i=0$ のとき、$2^{2i} 1 \bmod 3 = 1$  で自明である。$x_{2i} = 1$ かつ $i\ge1$ のときを考える。
+
+$i\ge1$ のとき、$i-1$ について $2^{2(i-1)} \bmod 3 = 1$ なら $i$ についても同様である。次の通り示す。
+
+$$
+\begin{align}
+2^{2(i-1)} \bmod 3 &= 1 \\
+2^{2(i-1)} &= 3q + 1 \\
+2^{2i} &= 12q + 4 \\
+2^{2i} &= 3(4q + 1) + 1 \\
+\end{align}
+$$
+
+よって帰納法により、2進数の奇数桁目の総和と、奇数桁目の1のビット数は、3を法として合同
+
+したがって、次の通り題意は示された。
+
+$$
+\begin{align}
+& \nu(x_{2n-1},x_{2n-2},...,x_0) \\
+=& \sum_{i=0}^{n-1}2^{2i+1}x_{2i+1} + \sum_{i=0}^{n-1}2^{2i}x^{2i} \\
+\equiv& (2\sum_{i=0}^{n-1}x_{2i+1}+\sum_{i=0}^{n-1}x_{2i}) \pmod 3
+\end{align}
+$$
+
+## (3)
+
+読み取った数値の3を法とした和の余りの状態と、現在の桁数の情報を持てば良さそうだ。これは与えられた条件である「状態数は6とする」合致する。
+
+```mermaid
+stateDiagram-v2
+    direction LR
+    [*] --> (e0)
+    (e0) --> o0: 0
+    (e0) --> o1: 1
+    e1 --> o1: 0
+    e1 --> o2: 1
+    e2 --> o2: 0
+    e2 --> o0: 1
+    o0 --> (e0): 0
+    o0 --> e1: 1
+    o1 --> e1: 0
+    o1 --> e2: 1
+    o2 --> e2: 0
+    o2 --> (e0): 1
+```
+
+## (4)
+
+```mermaid
+stateDiagram-v2
+    direction LR
+    [*] --> (e0o0)
+    (e0o0) --> (e0o0): 0
+    (e0o0) --> e2o1: 1
+    e2o1 --> e1o2: 0
+    e2o1 --> (e0o0): 1
+    e1o2 --> e2o1 : 0
+    e1o2 --> e1o2 : 1
+```
+
+## (5)
+
+```mermaid
+stateDiagram-v2
+    direction LR
+    [*] --> (e0o0)
+    (e0o0) --> (e0o0): (0,0)
+    (e0o0) --> e2o1: (0,1), (1,0)
+    (e0o0) --> e1o2: (1,1)
+    e2o1 --> e1o2: (0,0)
+    e2o1 --> (e0o0): (0,1), (1,0)
+    e2o1 --> e2o1: (1,1)
+    e1o2 --> e2o1 : (0,0)
+    e1o2 --> e1o2 : (0,1), (1,0)
+    e1o2 --> (e0o0): (1,1)
+```