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@@ -120,7 +120,7 @@
 
 \DeclareMathOperator{\diag}{diag}
 
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@@ -154,7 +154,7 @@
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         unicode,

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@@ -32,3 +32,9 @@
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@@ -24,3 +24,6 @@ clean:
 ifdef CPNAME
 	rm -f $(CPNAME).pdf $(CPNAME).tex
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+# for i in *.tex; do latexindent -m --GCString -l ../latexindent.yaml -g /dev/null -wd $i; done

讲义/专题/10 商与对偶.tex

@@ -193,14 +193,14 @@ \section{对偶空间与对偶映射}
     \item 两条线一定交于一点（这需要由给平行直线补上无穷远处的交点来实现）.
 \end{enumerate}
 在如上两条陈述中，点和线就构成了一组对偶的对象：我们把两点翻译成两条线，一条直线翻译成一点，确定翻译成交于——这与诗词中的对偶手法似乎也有些类似. 再考虑三维情形，三个点确定一个平面，三个平面确定一个点（同样补上无穷远处的点），这就构成了点与平面的对偶. 以此类推，一个点作为一个零维的对象总是与一个比总空间维数少 $1$（我们一般直接将其称作“余一维”）的对象对偶，这个对象被我们称作\term{超平面}. 在 $\R^n$ 中，它被如下的方程所唯一确定：
-\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n = 1\]
+\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1\]
 最后的值是 $1$ 是因为，如果这个等式的结果为 $b$，那我们（在它非零时，等于零的情况我们将来会发现十分特殊）总是可以把它除到左边去，通过改变系数的手法让它能够化为这样的一个方程. 这也已经暗示了这是一个 $n - 1$ 维的对象，因为我们通过一个 $n$ 个未知量的方程降低了一个``自由度''. 那么，接下来我们要考虑的是对于线性空间来说又会如何.
 
 \subsection{对偶空间}
 
 很直观地，我们发现，上面所给的方程无非是一个从 $\R^n$ 到 $\R$ 的线性映射
-\[f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n\]
-在取值$1$下的完全原像$\{x: f(x) = 1\}$（记$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$）. 因此，我们类似地考虑从 $V$ 到基域 $\R$的线性映射，并给它一个新名字：
+\[f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n\]
+在取值$1$下的完全原像$\{x: f(x) = 1\}$（记$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$）. 因此，我们类似地考虑从 $V$ 到基域 $\R$的线性映射，并给它一个新名字：
 
 \begin{definition}{}{}
     称 $\mathcal{L}(V, \R)$ 上的元素为 $V$ 上的一个\term{线性泛函}.
@@ -253,14 +253,14 @@ \subsection{对偶空间}
         \end{cases}$，这个条件可以写成
     \[f_i(e_j) = \delta_{ij}, \forall i, j = 1, 2, \ldots, n\]
     这就是对前面所谓的超平面方程中的系数的形式化. 接下来，我们先验证这确实是 $V^*$ 的一组基，考虑固定 $f \in V^*$，任取 $V$ 的一个向量 $v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + \ldots v_n e_n$，我们就有
-    \[f(v) = f(v_1 e_1) + f(v_2 e_2) + \ldots + f(v_n e_n)\]
+    \[f(v) = f(v_1 e_1) + f(v_2 e_2) + \cdots + f(v_n e_n)\]
     注意到
-    \[f_i(v) = f_i (v_1 e_1 + v_2 e_2 + \ldots + v_n e_n) = v_i\]
+    \[f_i(v) = f_i (v_1 e_1 + v_2 e_2 + \cdots + v_n e_n) = v_i\]
     我们就可以将上式写成
     \begin{align*}
-        f(v) & = f(f_1(v) e_1) + f(f_2(v) e_2) + \ldots + f(f_n(v) e_n) \\
-             & = f_1(v) f(e_1) + f_2(v) f(e_2) + \ldots + f_n(v) f(e_n) \\
-             & = (f(e_1) f_1 + f(e_2) f_2 + \ldots + f(e_n) f_n)(v)
+        f(v) & = f(f_1(v) e_1) + f(f_2(v) e_2) + \cdots + f(f_n(v) e_n) \\
+             & = f_1(v) f(e_1) + f_2(v) f(e_2) + \cdots + f_n(v) f(e_n) \\
+             & = (f(e_1) f_1 + f(e_2) f_2 + \cdots + f(e_n) f_n)(v)
     \end{align*}
     因此可以将 $f$ 表出成 $f_i$ 的线性组合. 然后我们知道$\mathcal{L}(V, \R)$的维数等于$V$的维数，所以这组向量的长度也是合理的，因此构成一组基（当然读者也可以直接证明线性无关来说明这一点）. 然后，$e_i \mapsto f_i$ 自然地生成了一个线性映射
     \begin{equation*}
@@ -340,7 +340,7 @@ \subsection{对偶空间}
     \]
 \end{proof}
 
-我想读者读到这里心里会有一个自然的疑问，便是为什么我们定义的映射是$V\to W$的，但对偶映射却是$W^*\to V^*$的？事实上，我们肯定是能够构造出$V^*\to W^*$的映射的，因为我们有$V\to V^*$的同构，它们的元素之间是一一对应的，同理$W$和$W^*$也是如此. 然后我们可以仿照$f$的定义来定义$f^*$，如果我们设$\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$为$V$的一组基，$\beta_i(i=1,2,\cdots,m)$为$W$的一组基，且
+我想读者读到这里心里会有一个自然的疑问，便是为什么我们定义的映射是$V\to W$的，但对偶映射却是$W^*\to V^*$的？事实上，我们肯定是能够构造出$V^*\to W^*$的映射的，因为我们有$V\to V^*$的同构，它们的元素之间是一一对应的，同理$W$和$W^*$也是如此. 然后我们可以仿照$f$的定义来定义$f^*$，如果我们设$\alpha_i(i=1,2,\ldots,n)$为$V$的一组基，$\beta_i(i=1,2,\ldots,m)$为$W$的一组基，且
 \[f(\alpha_i)=c_{i1}\beta_1+c_{i2}\beta_2+\cdots+c_{im}\beta_m,\]
 那么我们可以定义$f^*(\alpha_i^*)=\sum\limits_{i=1}^m c_{ij}\beta_i^*$，这样的定义是非常直接的继承. 但是，根据我们之前的讨论，这样的定义是不自然的，因为它依赖于基的选取. 但我们看\autoref{def:对偶映射} 的定义则不依赖于基的选取. 当然，一定有读者还保有一丝希望，希望我们能够找到一个$V^*\to W^*$的自然映射，但我们前面已经分析过，我们在定义时只有一个已知的 $f$ 是 $V\to W$ 中的映射，如果我们接收一个$V\to \R$的函数，这两个映射是无法直接复合的，更不用说得到一个$W\to \R$的函数了.
 
@@ -427,7 +427,7 @@ \subsection{对偶映射的矩阵表示}
 这个结果看起来很平凡，对吧？但是让我们暂停一下，重新反思一下前面的几何直观. 如果我们有超平面方程
 
 \[
-    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n = 1
+    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1
 \]
 
 我们记$a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^\mathrm{T},x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}$，于是上面的方程可以简化为$a^T x = 1$. 事实上，对于给定的一个超平面$a^T x = 1$，我们知道一定有某个点与之对应，事实上它就是$\tilde{x} = a$，即就是超平面方程的系数.
@@ -525,7 +525,7 @@ \subsection{零化子}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    我们只证明第一条. 考虑 $\phi \in U$，则 $N(U)$ 中的所有元素一定包含于 $\ker \phi$ 中，因此，$\phi$ 一定把其中的所有元素映到 $0$，即 $\phi \in N(U)^0, U \subset N(U)^0$. 然后，我们需要考虑维数问题. 考虑 $U$ 中的一组基 $e_1, e_2, \cdots, e_m$，其对偶基 $e_1^*, e_2^*, ..., e_m^*$ 可以扩张成 $V$ 的一组基 $e_1^*, e_2^*, \cdots e_m^*, e_{m + 1}, \cdots, e_n$，则根据基的线性无关性，不难得出 $N(U)$ 的基就是 $e_{m + 1}, \cdots, e_n$. 也就是说，$\dim N(U) = \dim V - \dim U$，于是 $\dim U = \dim N(U)^0$，我们得到 $U = N(U)^0$.
+    我们只证明第一条. 考虑 $\phi \in U$，则 $N(U)$ 中的所有元素一定包含于 $\ker \phi$ 中，因此，$\phi$ 一定把其中的所有元素映到 $0$，即 $\phi \in N(U)^0, U \subset N(U)^0$. 然后，我们需要考虑维数问题. 考虑 $U$ 中的一组基 $e_1, e_2,\ldots, e_m$，其对偶基 $e_1^*, e_2^*, ..., e_m^*$ 可以扩张成 $V$ 的一组基 $e_1^*, e_2^*, \cdots e_m^*, e_{m + 1},\ldots, e_n$，则根据基的线性无关性，不难得出 $N(U)$ 的基就是 $e_{m + 1},\ldots, e_n$. 也就是说，$\dim N(U) = \dim V - \dim U$，于是 $\dim U = \dim N(U)^0$，我们得到 $U = N(U)^0$.
 \end{proof}
 
 于是，我们有了一个更加舒适的视角来理解零化子：它无非就是对偶空间中的零点集. 因此，我们应当很容易理解对于单个线性映射，以下性质无非是这条结论的推论：
@@ -652,7 +652,7 @@ \section{再论商空间}
 
 % 这样的构造也被称为余纤维积. 更深入地探讨这样的构造不是我们在这里会去做的事情，但是我们会把更多关于推出的问题留在习题中，以供有兴趣的同学参考.
 
-最后的一个反思是，对偶空间的意义到底在哪？在最开始，我们已经提到过，线性泛函就是超平面，超平面与点具备对偶关系. 而这样的对偶关系延伸开去，就是两种对线性方程组的视角，其中，超平面的交的视角我们将在线性方程组一般理论的讨论中展开，这里我们给出点的视角. 如果将 $(a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in})$ 视作一个点，那么我们的求解任务就是找一个超平面过 $m$ 个点. 而我们在中学阶段就已经知道，要证明一组点共面是一个比较麻烦的事情，但是求一组面是否有交点往往来说是比较轻松的. 因此，我们通过对偶空间进行了一个翻译工作，将求一组点所共的那些面转化成了一些面所交的那些点，进而对问题完成了简化.
+最后的一个反思是，对偶空间的意义到底在哪？在最开始，我们已经提到过，线性泛函就是超平面，超平面与点具备对偶关系. 而这样的对偶关系延伸开去，就是两种对线性方程组的视角，其中，超平面的交的视角我们将在线性方程组一般理论的讨论中展开，这里我们给出点的视角. 如果将 $(a_{i1}, a_{i2},\ldots, a_{in})$ 视作一个点，那么我们的求解任务就是找一个超平面过 $m$ 个点. 而我们在中学阶段就已经知道，要证明一组点共面是一个比较麻烦的事情，但是求一组面是否有交点往往来说是比较轻松的. 因此，我们通过对偶空间进行了一个翻译工作，将求一组点所共的那些面转化成了一些面所交的那些点，进而对问题完成了简化.
 
 \begin{theorem}{}{}
     设$U$是有限维线性空间$V$的子空间，则
@@ -743,7 +743,7 @@ \section{再论商空间}
     \item 设$U$和$W$是线性空间$V$的子空间. 构造同构映射证明：若$V=U\oplus W$，则$U$和$V/W$同构.
     \item 实际上，零化子有一个更广泛的版本，考虑 $S$ 为 $V$ 的一个子集，也能如上构造 $S^0$，尝试证明，这样的构造满足以下性质：
           \begin{enumerate}
-              \item $S^{00} = \mathop{\text{span}}S$
+              \item $S^{00} = \spa S$
               \item $S \subset T \iff T^0 \subset S^0$
               \item 若 $U_1, U_2$ 为 $V$ 的两个子空间，证明 \begin{enumerate}
                         \item $(U_1 + U_2)^0 = U_1^0 \cap U_2^0$

讲义/专题/12 朝花夕拾.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ \subsection{线性方程组解的一般理论}
         \item 如果$A$的秩小于$n$，则方程组有无穷多个解.
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
-实际上，当系数矩阵为方阵时，这一定理就是\nameref{thm:Cramer}结论的一部分，我们不再赘述其证明. 实际上，通过上面两个定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.
+实际上，当系数矩阵为方阵时，这一定理就是 \nameref{thm:Cramer}结论的一部分，我们不再赘述其证明. 实际上，通过上面两个定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.
 \begin{example}{}{}
     设$n$阶矩阵$A$的行列式$|A|\neq 0$，记$A$的前$n-1$列形成的矩阵为$A_1$，$A$的第$n$列为$\vec{b}$，问：线性方程组$A_1X=\vec{b}$是否有解？
 \end{example}
@@ -57,7 +57,7 @@ \subsection{齐次线性方程组解的一般理论}
     由\autoref{thm:齐次维数}，$r(A)=n-\dim N(A)$，$r(B)=n-\dim N(B)$，由于$AX=\vec{0}$的解都是$BX=\vec{0}$的解，即$N(A) \subset N(B)$，因此$\dim N(A) \leqslant \dim N(B)$，故$r(B) \leqslant r(A)$.
 \end{proof}
 
-实际上在前面的讨论中，无论是\autoref{thm:有解条件} 的结论，都与列向量组成的线性空间有关，仿佛从未出现过行向量有关的定理. 事实上，我们将在未来讨论了内积空间正交性后展开对行向量空间的讨论，现在囿于概念上的缺乏无法叙述相关定理.
+实际上在前面的讨论中，无论是\nameref{thm:有解条件}的结论，都与列向量组成的线性空间有关，仿佛从未出现过行向量有关的定理. 事实上，我们将在未来讨论了内积空间正交性后展开对行向量空间的讨论，现在囿于概念上的缺乏无法叙述相关定理.
 
 \subsection{非齐次线性方程组解的一般理论}
 
@@ -198,11 +198,11 @@ \section{理论应用}
                                         \end{pmatrix}.
               \end{align*}
               事实上第一次变换是第二行乘以$-E$加到第一行，第二次变换是第一列加到第二列，第三次变换是第二列乘以$-A$加到第一列，第四次变换是第一行乘以$E-A$加到第二行，注意每一步都是分块矩阵初等变换，因此不改变矩阵的秩，因此有
-              \[r(\begin{pmatrix}
+              \[r\begin{pmatrix}
                       A & O \\ O & A-E
-                  \end{pmatrix})=r(\begin{pmatrix}
+                  \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}
                       O & E \\ -A(A-E) & O
-                  \end{pmatrix}).\]
+                  \end{pmatrix}.\]
               即$r(A)+r(A-E)=n+r(-A(A-E))$，故$r(A)+r(A-E)=n$等价于$r(-A(A-E))=0$，即$-A(A-E)=O$，即$A^2=A$，得证.
 
               事实上，如果我们只需要证明$A^2=A \implies r(A)+r(E-A)=n$，我们可以用如下方法：由$A^2=A$可知$A(A-E)=O$，由本例第二问知$r(A)+r(A-E)\leqslant n$，又根据秩不等式$r(A)+r(B)\geqslant r(A+B)$，因此$r(A)+r(E-A)\geqslant r(A+(E-A))=r(E)=n$. 综上可知，$r(A)+r(E-A)=n$.
@@ -235,9 +235,9 @@ \section{线性方程组拓展题型}
 
 \subsection{含参数的线性方程组问题}
 
-此类问题一般考察对于含参数的线性方程组，参数取值如何时有解/无解/有唯一解等. 本质而言，\autoref{thm:有解条件} 完全可以解决这一问题.
+此类问题一般考察对于含参数的线性方程组，参数取值如何时有解/无解/有唯一解等. 本质而言，\nameref{thm:有解条件}完全可以解决这一问题.
 
-事实上，利用\autoref{thm:方程组解} 在有解情况下只需计算行列式判断非常方便，但判断无解需要利用\autoref{thm:有解条件}，其中线性相关性的判断通常仍然需要我们对系数矩阵进行高斯消元法. 我们来看一个简单的例子：
+事实上，利用\autoref{thm:方程组解} 在有解情况下只需计算行列式判断非常方便，但判断无解需要利用\nameref{thm:有解条件}，其中线性相关性的判断通常仍然需要我们对系数矩阵进行高斯消元法. 我们来看一个简单的例子：
 \begin{example}{}{}
     当$k$取何值时，方程组：
     \[\begin{cases}
@@ -265,7 +265,7 @@ \subsection{含参数的线性方程组问题}
               \[(\dfrac{k^2+2k}{k+1},\dfrac{k^2+2k+4}{k+1},-\dfrac{2k}{k+1})^{\mathrm{T}}.\]
     \end{enumerate}
 
-    事实上，本题方程个数与未知数个数相等，因此可以运用\nameref{thm:Cramer}解决. 首先求解系数矩阵$A$的行列式为
+    事实上，本题方程个数与未知数个数相等，因此可以运用 \nameref{thm:Cramer}解决. 首先求解系数矩阵$A$的行列式为
     \[|A|=\begin{vmatrix}
             1  & 1  & k \\
             -1 & k  & 1 \\
@@ -491,7 +491,7 @@ \subsection{线性方程组公共解问题}
                       A \\ B
                   \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}
                       \vec{b} \\ \vec{d}
-                  \end{pmatrix}$有解（根据\autoref{thm:有解条件}），记为$X_0$，则
+                  \end{pmatrix}$有解（根据\nameref{thm:有解条件}），记为$X_0$，则
               \[\begin{pmatrix}
                       A \\ B
                   \end{pmatrix}X_0=\begin{pmatrix}