docs: 完善补全第一、四讲证明部分 (yhwu-is#94)

讲义/专题/1 预备知识.tex

@@ -120,8 +120,44 @@ \section{基本代数结构}
 
 \begin{proof}
 \begin{enumerate}
-    \item
-    \item
+    \item 从充分性和必要性两个角度证明：
+    \begin{enumerate}
+        \item 充分性：只需证明 $\langle F\colon+\rangle$，$\langle F\setminus\{0\}\colon\circ\rangle$ 是交换群，并且乘法对加法满足左、右分配律.
+        \begin{enumerate}
+            \item $\langle F\colon+\rangle$ 是交换群：
+            \begin{enumerate}
+                \item 对任意 $a, b \in F$，$a + b \in F$；
+                \item $F$ 包含加法单位元 $0$，即对于任意 $a \in F$，有 $a + 0 = a$；
+                \item 对于每个 $a \in F$，存在加法逆元 $-a \in F$，使得 $a + (-a) = 0$；
+                \item 加法满足交换律：对任意 $a, b \in F$，有 $a + b = b + a$；
+                \item 加法满足结合律：对任意 $a, b, c \in F$，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$；
+            \end{enumerate}
+            因此，$F$ 在加法下构成一个交换群.
+            \item $\langle F\setminus\{0\}\colon\circ\rangle$ 是交换群：
+            \begin{enumerate}
+                \item 对任意 $a, b \in F$，$a \times b \in F$；
+                \item $F$ 包含乘法单位元 $1 \neq 0$，即对任意 $a \in F$，有 $a \times 1 = a$；
+                \item 对于每个 $a \in F$ 且 $a \neq 0$，存在乘法逆元 $a^{-1} \in F$，使得 $a \times a^{-1} = 1$；
+                \item 乘法满足交换律：对任意 $a, b \in F$，有 $a \times b = b \times a$；
+                \item 乘法满足结合律：对任意 $a, b, c \in F$，有 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$；
+            \end{enumerate}
+            因此，$F$ 中的非零元素在乘法下构成一个交换群.
+            \item 乘法对加法满足左、右分配律，显然.
+        \end{enumerate}
+        因此，$F$ 对数的加法和乘法构成数域.
+
+        \item 必要性：因为 $F$ 对加法构成数域，所以 $F$ 对数的加减封闭，且包含单位元 $0$；因为 $F$ 对乘法构成数域，所以 $F$ 对数的乘除封闭，且包含单位元 $1$.
+    \end{enumerate}
+
+    \item 设 $\mathbf{F}$ 是一个数域，我们将证明 $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{F}$.
+    \begin{enumerate}
+        \item 由于 $\mathbf{F}$ 是一个数域，它至少包含乘法单位元 $1 \neq 0$.通过交换律和结合律，我们可以反复使用加法构造正整数：
+        \[
+        1, \ 1 + 1 = 2, \ 1 + 1 + 1 = 3, \dots
+        \]
+        因此，所有正整数都属于 $\mathbf{F}$.对于负整数，由于加法逆元的存在性，对于每个正整数 $n$，$-n \in \mathbf{F}$，即负整数也在数域 $\mathbf{F}$ 中.因此，所有整数 $\mathbf{Z}$ 都在 $\mathbf{F}$ 中.
+        \item 由于 $\mathbf{F}$ 是一个数域，所以它对乘法和除法封闭，故 $\forall p,q \in \mathbf{Z}, p,q \in \mathbf{F}, \dfrac{p}{q} \in \mathbf{F}$，故 $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{F}$.
+    \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -159,9 +195,45 @@ \section{基本代数结构}
 
 \begin{proof}
 \begin{enumerate}
-    \item
-    \item
-    \item
+    \item 首先证明整数集 $\mathbf{Z}$ 对整数的加法和乘法构成一个交换环：
+    \begin{enumerate}
+        \item 加法封闭性：对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$，有
+        $a + b \in \mathbf{Z}$；
+
+        \item 加法结合律：对任意 $a, b, c \in \mathbf{Z}$，有$a + (b + c) = (a + b) + c$；
+
+        \item 加法单位元：存在加法的单位元 $0 \in \mathbf{Z}$，使得对任意 $a \in \mathbf{Z}$，有$a + 0 = a$；
+
+        \item 加法逆元：对任意 $a \in \mathbf{Z}$，存在加法逆元 $-a \in \mathbf{Z}$，使得$ a + (-a) = 0$；
+
+        \item 加法交换律：对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$，有$a + b = b + a$.
+
+        \item 乘法封闭性：对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$，有$a \cdot b \in \mathbf{Z}$；
+
+        \item 乘法结合律：对任意 $a, b, c \in \mathbf{Z}$，有$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$；
+
+        \item 乘法单位元：存在乘法的单位元 $1 \in \mathbf{Z}$，使得对任意 $a \in \mathbf{Z}$，有$a \cdot 1 = a$；
+
+        \item 分配律：对任意 $a, b, c \in \mathbf{Z}$，有$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$；
+        因此，整数集 $\mathbf{Z}$ 对整数的加法和乘法构成一个交换环.
+    \end{enumerate}
+    但是 $\mathbf{Z}$ 不是域，因为 $\mathbf{Z}$ 中的非零元素没有乘法逆元. 例如 $2$ 的逆元 $\dfrac{1}{2} \notin \mathbf{Z}$.
+    \item 此题关于环的证明和上题类似，留给读者自行证明.
+    \item 我们要证明 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$，即证明它对加法和乘法封闭，在加法和乘法下分别满足交换律、结合律、分配律，具有加法、乘法单位元，每个元素都有加法逆元，每个非零元素都有乘法逆元.
+    \begin{enumerate}
+        \item 加法封闭性：对任意 $x, y \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，有$x + y = (a + b\sqrt{2}) + (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，故加法封闭；
+        \item 乘法封闭性：对任意 $x, y \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，有$x \cdot y = (a + b\sqrt{2}) \cdot (c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，故乘法封闭；
+        \item 交换律和结合律：$\mathbf{Q}$ 中的加法和乘法本身满足交换律和结合律，而 $\sqrt{2}$ 是无理数，与有理数的运算也满足这些律. 因此，在 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 中，加法和乘法同样满足交换律和结合律；
+        \item 加法单位元：$0 + 0\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，且 $\forall x \in \mathbf{Q}(\sqrt{2}), x + (0 + 0\sqrt{2}) = x$；
+        \item 乘法单位元：$1 + 0\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，且 $\forall x \in \mathbf{Q}(\sqrt{2}), x \cdot (1 + 0\sqrt{2}) = x$；
+        \item 加法逆元，对于任意 $x = a + b\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，它的加法逆元是 $-a - b\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$；
+        \item 乘法逆元，对于任意 $x = a + b\sqrt{2} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，它的乘法逆元是 $y = \frac{1}{a + b\sqrt{2}} \in \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，我们将 $y$ 继续化简：
+        $$
+        y = \frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{(a + b\sqrt{2})(a - b\sqrt{2})} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}
+        $$
+        $a,b \in Q$，故 $a^2 - 2b^2 \neq 0$，分母是有理数.
+        因此，$\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 是一个数域.
+    \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -285,7 +357,10 @@ \section{等价关系}
 这一引理说明 $a$ 和 $b$ 等价当且仅当它们所在的等价类相同，或者说在同一个等价类中，相信根据等价类的定义这是很显然的结论.
 
 \begin{proof}
-
+\begin{enumerate}
+    \item 充分性：$\overline{a}=\{ x \in A \mid a \,R\, x \}$，$\overline{b}=\{ x \in A \mid b \,R\, x \}$，因为 $\overline{a} = \overline{b}$，所以 $a \in \overline{b}$，故 $a \,R\, b$.
+    \item 必要性：若 $a \,R\, b$，则由等价关系的传递性，$\overline{a} = \{ x \in A \mid a \,R\, x \} = \{ x \in A \mid b \,R\, x \} = \overline{b}$.
+\end{enumerate}
 \end{proof}
 
 根据这一引理，我们可以迅速得到一个重要的推论，即等价类要么相等要么不相交：
@@ -299,13 +374,28 @@ \section{等价关系}
 \end{corollary}
 
 \begin{proof}
-
+$\forall a,b \in A$，$a \,R\, b$、$a,b$ 不等价必成立其一.
+\begin{enumerate}
+    \item 若 $a$ 和 $b$ 并不等价，则若存在 $x \in \overline{a}$ 且 $x \in \overline{b}$，则由传递性可得 $a \,R\, b$，矛盾，故 $\overline{a}\cap\overline{b}=\varnothing$.
+    \item 若 $a \,R\, b$，则由上一引理可得 $\overline{a}=\overline{b}$.
+\end{enumerate}
+综上，$\overline{a}\cap\overline{b}=\varnothing$ 和 $\overline{a}=\overline{b}$ 必成立其一.
 \end{proof}
 
 由这一结论我们便可以很容易地完成\autoref{thm:等价类的性质}的证明：
 
 \begin{proof}
+\begin{enumerate}
+    \item 要证明所有不同的等价类构成的子集族是 $A$ 的一个分划，只需证每个元素 $a$ 都至少属于一个子集，且任意两个不同的子集交为空集. 前者显然，后者由上一推论易得.
+    \item 设 $ \mathcal{P} $ 是集合 $ A $ 的一个分划，我们可以构造等价关系 $ R $：对于任意 $ a, b \in A $，定义 $ a \,R\, b $ 当且仅当存在一个子集 $ C \in \mathcal{P} $ 使得 $ a \in C $ 且 $ b \in C $.
 
+    接下来验证 $R$ 是等价关系：
+    \begin{enumerate}
+        \item 自反性：对于任意 $ a \in A $，$ a $ 属于某个子集 $ C \in \mathcal{P} $，因此 $ a \,R\, a $.
+        \item 对称性：如果 $ a \,R\, b $，则存在 $ C \in \mathcal{P} $ 使得 $ a, b \in C $. 因此，$ b \,R\, a $.
+        \item 传递性：如果 $ a \,R\, b $ 且 $ b \,R\, c $，则存在 $ C_1, C_2 \in \mathcal{P} $ 使得 $ a, b \in C_1 $ 且 $ b, c \in C_2 $. 由于 $ \mathcal{P} $ 是分划，$ C_1 $ 和 $ C_2 $ 要么相等，要么没有交集. 由于 $ b \in C_1 \cap C_2 $，必须 $ C_1 = C_2 $，因此 $ a, c \in C_1 $，即 $ a \,R\, c $.
+    \end{enumerate}
+\end{enumerate}
 \end{proof}
 
 进一步此我们可以定义商集的概念：
@@ -617,28 +707,28 @@ \subsection{高斯-若当消元法}
     \begin{exgroup}
         \item 完善\autoref{thm:复数乘法构造} 中的证明，即证明$\mathbf{R}^2$在平面向量加法和如\autoref*{thm:复数乘法构造} 定义的乘法下构成一个域.
 
-        \item 下列集合中的关系 \( R \) 是否是等价关系？如果是，说明等价类的意义，并写出集合关于 \( R \) 的商集.
+        \item 下列集合中的关系 $ R $ 是否是等价关系？如果是，说明等价类的意义，并写出集合关于 $ R $ 的商集.
         \begin{enumerate}
-            \item 实数集上定义关系：\( xRy \iff x - y \) 为无理数或 0;
-            \item 集合 \( S = \{ (x, y) | |x| \leq 1, |y| \leq 1 \} \) 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1 = x_2; \]
-            \item 集合 \( S = \{ (x, y) | x| < +\infty, |y| < +\infty \} \) 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2; \]
-            \item 平面上所有直线组成的集合 \( L \) 上分别定义关系 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 为：\[ l_1 R_1 l_2 \iff l_1 \perp l_2; \quad l_1 R_2 l_2 \iff l_1 \text{与 $l_2$ 相交};\]
-            \item 集合 \( S = \{ (x, y) | 0 < |x| < +\infty, 0 < |y| < +\infty \} \) 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1 x_2 > 0 \ \text{且} \ y_1 y_2 > 0; \]
-            \item 集合 \( C^* = \{ a + bi | a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} \) 上定义关系：\[ (a_1 + b_1 i) R (a_2 + b_2 i) \iff a_1 a_2 > 0; \]
-            \item 在集合 \( A = (a_1, a_2, a_3, a_4) \) 的幂集 \( P(A) \) 上定义关系：\[ A_1 R A_2 \iff |A_1| = |A_2| \]
-            \item 在集合 \( \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \) 上定义关系：\[ (m_1, n_1) R (m_2, n_2) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1.\]
+            \item 实数集上定义关系：$ xRy \iff x - y $ 为无理数或 0;
+            \item 集合 $ S = \{ (x, y) | |x| \leq 1, |y| \leq 1 \} $ 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1 = x_2; \]
+            \item 集合 $ S = \{ (x, y) | x| < +\infty, |y| < +\infty \} $ 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2; \]
+            \item 平面上所有直线组成的集合 $ L $ 上分别定义关系 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 为：\[ l_1 R_1 l_2 \iff l_1 \perp l_2; \quad l_1 R_2 l_2 \iff l_1 \text{与 $l_2$ 相交};\]
+            \item 集合 $ S = \{ (x, y) | 0 < |x| < +\infty, 0 < |y| < +\infty \} $ 上定义关系：\[ (x_1, y_1) R (x_2, y_2) \iff x_1 x_2 > 0 \ \text{且} \ y_1 y_2 > 0; \]
+            \item 集合 $ C^* = \{ a + bi | a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} $ 上定义关系：\[ (a_1 + b_1 i) R (a_2 + b_2 i) \iff a_1 a_2 > 0; \]
+            \item 在集合 $ A = (a_1, a_2, a_3, a_4) $ 的幂集 $ P(A) $ 上定义关系：\[ A_1 R A_2 \iff |A_1| = |A_2| \]
+            \item 在集合 $ \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* $ 上定义关系：\[ (m_1, n_1) R (m_2, n_2) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1.\]
         \end{enumerate}
 
         \begin{answer}
             \begin{enumerate}
                 \item 不是;
-                \item 是, 矩形内平行于 \(y\) 轴的直线段, \(S/R = \{ \text{线段} \ x = c (|y| \leq 1) : |c| \leq 1 \} \);
-                \item 是, 以原点为心的同心圆, \(S/R = \{ x^2 + y^2 = r^2 | r \geq 0 \} \);
+                \item 是, 矩形内平行于 $y$ 轴的直线段, $S/R = \{ \text{线段} \ x = c (|y| \leq 1) : |c| \leq 1 \} $;
+                \item 是, 以原点为心的同心圆, $S/R = \{ x^2 + y^2 = r^2 | r \geq 0 \} $;
                 \item 均不是;
-                \item 是, \(S/R = \{ \text{不含坐标轴的四个象限} \} \);
-                \item 是, \(S/R = \{ \text{复平面的左半平面和右半平面} \} \);
-                \item 是, \(S/R = \{ S_i | i = 0, 1, 2, 3, 4 \}, S_i \) 是含 \(i\) 个元素的子集组成的集合, \(S_0 = \{ \emptyset \}\);
-                \item 是, \(S/R = \{ (m,n) \mid \frac{m}{n} = c | c \in \mathbb{Q} \}\).
+                \item 是, $S/R = \{ \text{不含坐标轴的四个象限} \} $;
+                \item 是, $S/R = \{ \text{复平面的左半平面和右半平面} \} $;
+                \item 是, $S/R = \{ S_i | i = 0, 1, 2, 3, 4 \}, S_i $ 是含 $i$ 个元素的子集组成的集合, $S_0 = \{ \emptyset \}$;
+                \item 是, $S/R = \{ (m,n) \mid \frac{m}{n} = c | c \in \mathbb{Q} \}$.
             \end{enumerate}
         \end{answer}
 

讲义/专题/4 线性空间的运算.tex

@@ -408,9 +408,28 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
     证明：$V$的非空子集$A$是$V$的仿射子集当且仅当对所有的$v,w\in A$和$\lambda\in\mathbf{F}$均有$\lambda v+(1-\lambda)w\in A$.
 \end{example}
 
-\begin{solution}
-
-\end{solution}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item 若已知 $A$ 是 $V$ 的仿射子集,则 $A=\alpha+U$,其中 $\alpha\in V$ 且 $U$ 是 $V$ 的子空间.因此,对任意 $\lambda \in \mathbf{F}$,
+        和任意的 $v=\alpha+u_1,w=\alpha+u_2 \in A$,有
+        \[
+            \lambda v+(1-\lambda)w=\lambda(\alpha+u_1)+(1-\lambda)(\alpha+u_2)=\alpha+\lambda u_1+(1-\lambda)u_2 \in A
+        \]
+        因此对于仿射子集中的元素$v,w$具有上述性质.
+        \item 若已知$\lambda v+(1-\lambda)w \in A$,令$\alpha \in A$,则
+        \[
+            A-\alpha=\{v-\alpha|v\in A\}
+        \]
+        我们的目标是证明这是一个子空间；此时我们有$\lambda x + (1 - \lambda) \alpha \in A$,这是因为我们的假设是$\lambda v + (1 - \lambda) w \in A$;
+        即$\lambda (x-\alpha) \in A- \alpha $，这样就证明了数乘封闭；对于$x-\alpha,y-\alpha \in A-\alpha$,
+
+        \[
+           x-\alpha+y-\alpha=(x+y)-2\alpha=2(\dfrac{x+y}{2}-\alpha) \in A-\alpha
+        \]
+
+        这里运用了数乘封闭来证明加法封闭性；因此$A-\alpha$是一个子空间.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
 
 事实上，结合我们之前所说的仿射子集几何意义，这一结论在平面上来看正是我们高中学习的平面向量中学习的三点共线的等价条件的同义表达：
 \begin{theorem}{}{}
@@ -486,7 +505,15 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
 \end{example}
 
 \begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 首先求 $AX=0$ 的解，得到其基础解系为$k(1,3,1)^{\mathrm{T}},k \in \mathbf{R}$,故其解空间的一组基为$\{(1,3,1)^{\mathrm{T}}\}$.
+        \item 先将其扩张为$\mathbf{R^3}$的一组基，如$\{(1,3,1)^{\mathrm{T}},(1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1,0)^{\mathrm{T}}\}$,即可，然后将基中加上$W$,即可得到商空间的一组基.为
+        \[
+            \{(1,0,0)^{\mathrm{T}}+W,(0,1,0)^{\mathrm{T}}+W\}
+        \]
+        维数为2;这可以从基的数量得到，也可以从$R^3$ 的维数减去$W$的维数得到.
 
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
 \begin{summary}