docs: 1-16 章框架基本重构完成

LALUbook.cls

@@ -63,6 +63,7 @@
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讲义/专题/10 对偶空间.tex

@@ -513,9 +513,7 @@ \section{再论商空间}
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 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
-事实上，这一讲是本讲义第一次接触技巧性较强的内容，我们的重点从之前对于定理的证明以及用例子巩固定理的应用转变为了对于一些技巧性的处理. 我们首先介绍了三类初等变换（请务必注意正文中强调的几个定义的细节），证明了任意可逆矩阵都可以被表示成若干初等矩阵的乘积，也基于此引出了第二种求解逆矩阵的方法——初等变换法，这也是我们未来最常用的方法. 除此之外，我们也联系了线性映射矩阵表示和初等变换，研究了高斯消元法背后的合理性.
 
-接下来我们介绍了分块矩阵的基本运算性质，比较了分块矩阵和一般矩阵运算的异同（特别是乘法和转置），介绍了两种分块矩阵求逆的方法：其一直接设出逆矩阵，其二利用所谓打洞法（分块矩阵初等变换），其中打洞法是一个很重要的技巧，虽然教材列为小字部分，考试中一般不考察，但拥有这一技巧对我们未来证明很多结论都有很大的帮助. 最后我们介绍了矩阵方程的求解方法，本质而言介绍了几种基于初等变换的求解方法，读者理解其内涵即可.
 
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 习题}

讲义/专题/4 线性空间的运算.tex

@@ -437,7 +437,9 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
-本讲我们介绍了线性空间之间的三种运算——交、并、和. 和的概念初次见到可能有些许抽象，但经过一些例子之后我们应当能理解为什么线性空间不同于普通集合，更常用``和''这一运算. 关于并我们给出了一些构成线性空间的条件以及一个重要的覆盖定理，读者了解即可. 关于交与和我们给出了一个维数公式，它不仅结论非常重要，``设小扩大''的证明思想也是在未来非常常用的. 进一步地，我们讨论了直和的概念以及它的等价条件，以及证明直和的两种思路. 我们必须要重视直和这一概念，因为它在未来关于线性变换矩阵约化表示的讨论中起到重要的桥梁作用.
+本讲我们首先介绍了线性空间之间的三种运算——交、并、和. 和的概念初次见到可能有些许抽象，但经过一些例子之后我们应当能理解为什么线性空间不同于普通集合，更常用``和''这一运算. 关于并我们给出了一些构成线性空间的条件以及一个重要的覆盖定理，读者了解即可. 关于交与和我们给出了一个维数公式，它不仅结论非常重要，``设小扩大''的证明思想也是在未来非常常用的. 进一步地，我们讨论了直和的概念以及它的等价条件，以及证明直和的两种思路. 我们必须要重视直和这一概念，因为它在未来关于线性变换矩阵约化表示的讨论中起到重要的桥梁作用.
+
+商运算是代数学中的一种重要的运算，我们从``如何在线性空间中定义相容的等价类上的运算''出发，得到了线性空间上等价关系的定义方式，从而进一步定义了仿射子集和商空间的概念：我相信只要读者理解了等价类的相关内容，商空间也应当是不会太抽象的. 然后我们讨论了商空间的维数公式，这与线性空间交与和的维数公式证明有异曲同工之妙. 当然这一公式的证明有非常多的方式，我们将在线性映射、对偶空间的讨论中再次回顾这一公式.
 
 除此之外，线性空间之间还有一种基于笛卡尔积的运算，我们将在后续讨论同构的时候作为一个应用讨论，将直和与笛卡尔积联系起来.
 

讲义/专题/5 线性映射.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \chapter{线性映射}
 
-在前几讲的学习中，我们从开始的 8 条运算性质出发，利用这些线性运算的特点导出线性扩张与子空间的关联，然后经过线性相关性的讨论最终得到线性空间的本质结构实际上就是可以由基经过一系列线性运算扩张而来，因此我们对线性空间的研究很多时候只需要研究其基和维数即可，由此我们对线性空间的研究和描述就可以转为研究基和维数——这是线性空间的基本结构属性. 当然我们最后也讨论了线性空间之间的运算. 从本讲开始我们将研究不同线性空间之间的关联，我们的手段是定义两个线性空间之间的线性映射，由此发掘出比较不同线性空间之间最本质的差别是什么，使我们的抽象更深一层，然后在抽象的制高点将抽象转化为具象，讨论矩阵这一对线性映射的``有形''描述和线性映射本身的联系，为后文详细讨论矩阵作铺垫.
+在前几讲的学习中，我们从开始的 8 条运算性质出发，利用这些线性运算的特点导出线性扩张与子空间的关联，然后经过线性相关性的讨论最终得到线性空间的本质结构实际上就是可以由基经过一系列线性运算扩张而来，因此我们对线性空间的研究很多时候只需要研究其基和维数即可，由此我们对线性空间的研究和描述就可以转为研究基和维数——这是线性空间的基本结构属性. 当然我们最后也讨论了线性空间之间的运算. 从本讲开始我们将研究不同线性空间之间的关联，我们的手段是定义两个线性空间之间的线性映射，引出线性映射基本定理以及至今为止最重要的概念——同构，从而发掘出比较不同线性空间之间最本质的差别是什么，使我们的抽象更深一层，从而为之后我们在抽象的制高点将抽象转化为具象，讨论矩阵这一对线性映射的``有形''描述和线性映射本身的联系做准备.
 
 \section{线性映射的定义}
 
@@ -804,7 +804,11 @@ \subsection{自然同构} \label{subsec:自然同构}
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
-本讲我们开始讨论两个线性空间之间的关联，引入了线性映射这一概念. 我们讨论了``线性性''这一基本的性质，它将经常出现在我们数学学习过程中，并且我们也讨论了基于线性性这一要求能得到映射具有怎样的性质——如将0元映射到0元，将线性相关的向量组映射到线性相关的向量组（反之不一定）. 接下来我们进一步构造了线性映射的加法和数乘，从而使得$V_1$到$V_2$的全体线性映射构成一个线性空间，这一空间记作$\mathcal{L}(V_1,V_2)$. 我们还讨论了线性映射的像和核，它们分别是到达空间和出发空间的子空间，我们还详细讨论了如何计算它们. 最后我们讨论了线性映射的确定，即线性映射在一组基下的像唯一确定，这一定理的思想是非常重要的，它表明关于线性映射的研究完全可以限制在在一组基下的研究，也讨论了一个基本的问题：即是否存在满足特定要求的线性映射. 事实上，以上所有的讨论都基于``线性''这一性质，因此掌握本节中的各种证明有助于读者深入体会基于``线性''能通过怎样的一般证明手段得到怎样的结果.
+本讲我们开始讨论两个线性空间之间的关联，引入了线性映射这一概念. 我们讨论了``线性性''这一基本的性质，它将经常出现在我们数学学习过程中，并且我们也讨论了基于线性性这一要求能得到映射具有怎样的性质——如将 $0$ 元映射到 $0$ 元，将线性相关的向量组映射到线性相关的向量组（反之不一定）. 接下来我们进一步构造了线性映射的加法和数乘，从而使得 $V_1$ 到 $V_2$ 的全体线性映射构成一个线性空间，这一空间记作 $\mathcal{L}(V_1,V_2)$. 我们还讨论了线性映射的像和核，它们分别是到达空间和出发空间的子空间，我们还详细讨论了如何计算它们. 我们也讨论了线性映射的确定，即线性映射在一组基下的像唯一确定，这一定理的思想是非常重要的，它表明关于线性映射的研究完全可以限制在在一组基下的研究，也讨论了一个基本的问题：即是否存在满足特定要求的线性映射. 事实上，以上所有的讨论都基于``线性''这一性质，因此掌握本节中的各种证明有助于读者深入体会基于``线性''能通过怎样的一般证明手段得到怎样的结果.
+
+接下来我们重点讨论了线性映射像空间和核空间之间的关联，核心定理就是线性映射基本定理，一方面其证明使用的``设小扩大''的思想十分常见，另一方面它的结论也是相当重要的，它将线性映射的核空间和像空间的维数联系起来，是将来讨论线性方程组一般理论的重要工具，也可以由此导出出发空间、到达空间维数相同时，单射、满射、双射的关联，我们也基于此给出了商空间维数公式的第二种证明. 除此之外，我们也基于像空间、核空间本身的性质讨论了它们更为复杂的关联，在这些结论的证明中我们能掌握很多基本技巧，如基于像空间、核空间定义的直和的证明、包含关系的证明等，并且综合利用了线性空间维数公式以及本讲介绍的线性映射基本定理，因此很适合作为加深对概念、方法理解运用的例子.
+
+最后我们讨论了线性空间同构的概念，同构映射保持线性相关性的特点，以及通过维数判定有限维线性空间同构的简便方法. 同构是线性空间之间的等价关系，它将线性空间按维数划分为不同的等价类，从而将任意 $n$ 维线性空间的研究转化为对向量空间 $\mathbf{R}^n$ 的研究——事实上本节最后一个例子中构造同构映射的方法就已经体现了这一点的优越性. 同时这也表明线性空间结构的最关键因素就是维数，线性空间之间最本质的差别就是维数不同——一组基中的元素是向量还是多项式还是函数并不重要，重要的是只要它们维数相同，我们就可以遮蔽掉元素的差别——因为它们都可以通过坐标映射同构于 $\mathbf{R}^n$，因此一切线性空间在坐标作用下都变成了向量空间，变成了最直观的可以用一个一个数字写出来的向量. 在下一讲中我们的目标便是基于此将所有无论多么抽象的线性映射也表示成能用一个一个数字写出来的东西——这就是矩阵. 最后的最后，我们讨论了重要的积空间的例子，证明了其与直和的同构性，然后我们通过比较这一同构与坐标同构的区别，从直观的角度讨论了自然同构的概念——当然这一概念不需要读者在现在就理解，在最后的未竟专题我们会给出严格的定义.
 
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 习题}

讲义/专题/6 线性映射矩阵表示.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \chapter{线性映射矩阵表示}
 
-在上一讲的讨论中我们定义了线性映射的基本概念，讨论了由其定义直接引出的性质. 本节我们将深入讨论线性映射像空间与核空间之间的关联，从而引出我们目前为止最核心的概念——同构，因为同构使得我们研究的抽象层次更上一层，最后我们将在这抽象的制高点获得最具象的表达形式——矩阵，介绍线性映射矩阵表示的定义，以及这一定义下线性映射与矩阵的一一对应关系，从而使得我们后续的研究都可以基于具象的矩阵. 除此之外，本节在讨论了同构之后将引入线性空间的直积作为应用，完整地展示从线性空间的定义到性质研究到利用线性映射研究进一步的性质的思路.
+在上一讲的讨论中我们定义了线性映射的基本概念与性质，以及线性映射像空间与核空间之间的关联，引出了我们目前为止最核心的概念——同构. 同构使得我们研究的抽象层次更上一层，而本讲将在这抽象的制高点获得最具象的表达形式——矩阵，介绍线性映射矩阵表示的定义，以及这一定义下线性映射与矩阵的一一对应关系，从而使得我们后续的研究都可以基于具象的矩阵.
 
 \section{线性映射矩阵表示}
 
@@ -230,12 +230,14 @@ \subsection{同构的说明}
     \end{pmatrix},\]
 事实上，我们很容易验证这样的常用基的确是线性空间$\mathbf{F}^{m\times n}$的一组基，因为它们显然是线性无关的，且张成整个空间（请读者自行验证），然后我们也知道这样的常用基中矩阵有$m\times n$个，由此我们也得到了$\dim\mathcal{L}(V_1,V_2)=mn$. 当然我们还可以有另一种理解方式，如果读者已经学习过编程中二维数组的概念，事实上二维数组在计算机中的存储形式是一行存完接着马上存下一行，因此事实上我们可以将二维数组看作是一个长为$m\times n$的一维数组（方法就是第一行写完后在同一行马上接着写第二行元素，写完后在同一行接着写第三行元素，依此类推），因此我们也可以理解为$\mathbf{F}^{m\times n}$和$\mathbf{F}^{mn}$是没有区别的（容易验证是同构的），因此$\dim\mathbf{F}^{m\times n}=mn$.
 
+\section{线性映射与矩阵的进一步讨论}
+
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 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
-本节我们重点讨论了线性映射像空间和核空间之间的关联，核心定理就是线性映射基本定理，一方面其证明使用的``设小扩大''的思想十分常见，另一方面它的结论也是相当重要的，它将线性映射的核空间和像空间的维数联系起来，是将来讨论线性方程组一般理论的重要工具，也可以由此导出出发空间、到达空间维数相同时，单射、满射、双射的关联. 除此之外，我们也基于像空间、核空间本身的性质讨论了它们更为复杂的关联，在这些结论的证明中我们能掌握很多基本技巧，如基于像空间、核空间定义的直和的证明、包含关系的证明等，并且综合利用了线性空间维数公式以及本讲介绍的线性映射基本定理，因此很适合作为加深对概念、方法理解运用的例子.
+在上一讲同构中我们已经知道，两个线性空间中的元素是向量还是多项式还是函数并不是核心差别，只要它们维数相同，我们就可以遮蔽掉元素的差别——因为它们都可以通过坐标映射同构于 $\mathbf{R}^n$，因此一切线性空间在坐标作用下都变成了向量空间，变成了最直观的可以用一个一个数字写出来的向量，而本讲我们正基于此将所有无论多么抽象的线性映射也表示成能用一个一个数字写出来的东西，即所谓的矩阵. 我们利用坐标映射将之前抽象的线性空间和线性映射转化为具象的数字表达，使得我们之后的研究更加具体.
 
-最后我们讨论了线性空间同构的概念，同构映射保持线性相关性的特点，以及通过维数判定有限维线性空间同构的简便方法. 同构是线性空间之间的等价关系，它将线性空间按维数划分为不同的等价类，从而将任意$n$维线性空间的研究转化为对向量空间$\mathbf{R}^n$的研究——事实上本节最后一个例子中构造同构映射的方法就已经体现了这一点的优越性. 同时这也表明线性空间结构的最关键因素就是维数，线性空间之间最本质的差别就是维数不同——这便回应了上一讲开头引言部分的问题. 一组基中的元素是向量还是多项式还是函数并不重要，重要的是只要它们维数相同，我们就可以遮蔽掉元素的差别——因为它们都可以通过坐标映射同构于$\mathbf{R}^n$，因此一切线性空间在坐标作用下都变成了向量空间，变成了最直观的可以用一个一个数字写出来的向量，我们便可以基于此将所有无论多么抽象的线性映射也表示成能用一个一个数字写出来的东西——这就是矩阵. 在有了线性映射的矩阵表示后，我们便可以将抽象的研究都转化为具象的矩阵运算，这一思想我们将在介绍完需要的工具——矩阵运算以及行列式之后深入讨论，届时我们将分别以抽象的线性映射理论和矩阵理论叙述大量的结论，探寻利用二者研究线性代数问题的过程的关联与差异.
+在理解了线性映射矩阵表示的概念之后，我们给出了一个重要的例子，同时从反面给出了错误解法，希望读者务必厘清这其中涉及的各种概念和方法. 接下来我们证明了线性映射构成的线性空间与矩阵构成的线性空间同构，同时引入了矩阵的加法和数乘——这与线性映射的加法和数乘是完全对应的. 总而言之，在有了线性映射的矩阵表示后，我们便可以将抽象的研究都转化为具象的矩阵运算，这一思想我们将在介绍完需要的工具——矩阵运算以及行列式之后深入运用，届时我们将分别以抽象的线性映射理论和矩阵理论叙述大量的结论，探寻利用二者研究线性代数问题的过程的关联与差异.
 
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 习题}