Exercices conçus ou rassemblés par Dan Meller (X2019) pour des khôlles de mathématiques en MPSI au lycée privé Sainte-Geneviève.

Le recueil

Les exercices peuvent être téléchargés ici en pdf

Le code

Certains exercices sont accompagnés de code python permettant de réaliser quelques simulations :

• (13.1) Optique matricielle code
• (14.1) Groupe de Heisenberg discret code

Table des matières

Introduction (Page 4)

Nombres complexes (Page 4)

• 2.1 ∆ Somme de racines de l’unité
• 2.2 Cône complexe

Ensembles et applications (Page 5)

• 3.1 Pseudo-inverse
• 3.2 Entropie discrète et lemme de Gibbs
• 3.3 Parité et involution

Groupes, anneaux et corps (Page 6)

• 4.1 Technologie RAID 5 et RAID 6
• 4.2 Rubik’s Cube
• 4.3 ∆ Ordre dans un groupe commutatif fini

Arithmétique (Page 8)

• 5.1 ∆ Théorème chinois
• 5.2 ∆ Indicatrice d’Euler
• 5.3 Tests de primalité : Exact, Fermat, Miller-Rabin
• 5.4 Un lemme usuel
• 5.5 ∆ Théorème de Liouville (1844)

Suites (Page 10)

• 6.1 Méthode de Héron
• 6.2 ∆ Approximation rationnelle
• 6.3 ∆ Suites de Cauchy

Espaces vectoriels (Page 11)

• 7.1 ∆ Une famille libre
• 7.2 ∆ Famille libre adaptée à une application nilpotente
• 7.3 Dimension de R vu comme un Q-ev
• 7.4 Idéaux bilatères de L(E)
• 7.5 ∆ Premier lemme de factorisation
• 7.6 ∆ Union finie de sev stricts
• 7.7 ∆ Commutant d’une application nilpotente d’ordre n

Analyse et dérivabilité (Page 13)

• 8.1 ∆ Théorème de Darboux et trois applications
• 8.2 ∆ Majoration des fonctions uniformément continue
• 8.3 Pseudo-dérivation
• 8.4 Commutant des observables impulsion et position
• 8.5 Des suites jumelles

Systèmes linéaires et matrices (Page 15)

• 9.1 Détermination théorique de la pente des dunes
• 9.2 Majoration de la dimension du commutant
• 9.3 Promenade autour de la légère nuance entre algèbre et sous-algèbre
• 9.4 ∆ Caractérisation de l’antisymétrie
• 9.5 Un regard matriciel sur le produit vectoriel

Polynômes (Page 19)

• 10.1 Contenu d’un polynôme et Lemme de Gauss sur les coefficients polynomiaux (Disquisitiones arithmeticae 1801)
• 10.2 ∆ Interpolation optimale et Polynômes de Tchebychev
• 10.3 ∆ Stabilisation du cercle unité
• 10.4 ∆ Sommes de Newton nulles
• 10.5 Polynôme irréductible sur Z[X]
• 10.6 Inverse d’une matrice de Vandermonde et théorème d’inversion de Fourier discret
• 10.7 FFT - Fast Fourier Transform
• 10.8 Matrices circulantes et Transformée de Fourier Discrète
• 10.9 Fractions rationnelles et simplifications de somme

Développements limités (Page 25)

• 11.1 ∆ Racine carrée matricielle via un DL
• 11.2 Équations différentielles discrètes
• 11.3 ∆ Loi de Poisson
• 11.4 Complexité minimale du tri

Intégration (Page 26)

• 12.1 ∆ Norme p et norme infinie
• 12.2 Principe de moindre action et approximation polynomiale

Déterminant et Espaces Euclidiens (Page 27)

• 13.1 Optique Matricielle
• 13.2 Factorisation de SL2(R)
• 13.3 Quaternions
• 13.4 ∆ Degré et rang
• 13.5 Plongement du groupe symétrique dans Mn(R)

Dénombrements (Page 31)

• 14.1 Groupe de Heisenberg discret
• 14.2 Formule de Burnside et trous d’eau dans un réacteur nucléaire
• 14.3 Lemme de Poincaré
• 14.4 Solides de Platon

Probabilités (Page 36)

• 15.1 Polynômes de Bernstein et Courbes de Bézier
• 15.2 Borne entropique sur la compression de données
• 15.3 Estimateur non biaisé de la variance
• 15.4 Graphe aléatoire et Diffusion d’un secret
• 15.5 Aire aléatoire entière
• 15.6 Application à la cuisine
• 15.7 Mécanique quantique, bosons, fermions, principe de Pauli

Séries (Page 40)

• 16.1 Convergence de l’exponentielle matricielle
• 16.2 Exponentielle matricielle et groupe de Lie
• 16.3 Exponentielle matricielle et formule de Taylor

Équations différentielles (Page 42)

• 17.1 Caustique aquatique

Supplément : Théorie spectrale des graphes

Vous pourrez trouver ici en pdf le support d'une conférence d'introduction à la théorie spectrale des graphes. Après avoir introduit le laplacien discret par analogie avec son homologue continu, diverses applications de celui-ci sont présentées, notamment : la transformée de Fourier discrète, le clustering spectral avec diffusion et les GCN (Graph Convolutional Networks).