Formatting

fejezetek/01_tetel.tex

@@ -1,66 +1,80 @@
 \section{1. tétel}
 
-\begin{tetel}{
-TÉRVEKTOR TULAJDONSÁGOK Tétel}: Legyenek \underline{u} = ($u_1, u_2, u_3$) $\in$ \Rn{3} és \underline{v} = ($v_1, v_2, v_3$) $\in$ \Rn{3} térvektorok és $\lambda \in \R$. Ekkor\\
+\begin{tetel}{TÉRVEKTOR TULAJDONSÁGOK}
+Legyenek \underline{u} = ($u_1, u_2, u_3$) $\in$ \Rn{3} és \underline{v} = ($v_1, v_2, v_3$) $\in$ \Rn{3} térvektorok és $\lambda \in \R$. Ekkor\\
 $$\underline{u} + \underline{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$$
 $$\underline{u} - \underline{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)$$
 $$\lambda \underline{u} = (\lambda u_1,\lambda u_2, \lambda u_3)$$
 \end{tetel}
-\begin{definicio}{
-SKALÁRIS SZORZAT Definíció}: \underline{u} és \underline{v} skaláris szorzatán az alábbit értjük:
+
+\begin{definicio}{SKALÁRIS SZORZAT}
+\underline{u} és \underline{v} skaláris szorzatán az alábbit értjük:
 $$\underline{u}\cdot\underline{v} = |u|\cdot|v|\cdot\cos\phi$$
 Ha $\phi = k\cdot90^{\circ}\quad k\in\mathbb{Z}$, akkor a szorzatösszeg 0.
 \end{definicio}
-\begin{tetel}{
-SKALÁRIS SZORZAT Tétel}: Egy alternatív meghatározása a skaláris szorzatnak: \\Legyenek \underline{u} = $(u_1, u_2, u_3)\in$ \Rn{3} és \underline{v} = $(v_1, v_2, v_3)\in$ \Rn{3} térvektorok. Ekkor $$\underline{u}\cdot\underline{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$$
+
+\begin{tetel}{SKALÁRIS SZORZAT}
+Egy alternatív meghatározása a skaláris szorzatnak: \\Legyenek \underline{u} = $(u_1, u_2, u_3)\in$ \Rn{3} és \underline{v} = $(v_1, v_2, v_3)\in$ \Rn{3} térvektorok. Ekkor $$\underline{u}\cdot\underline{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$$
 \end{tetel}
-\begin{tetel}{
-EGYENES Az \textit{e} egyenes paraméteres egyenletrendszere (1}. tétel miatt):
+
+\begin{tetel}{EGYENES}
+Az \textit{e} egyenes paraméteres egyenletrendszere (1. tétel miatt)
 $$x = x_0 + \lambda \cdot a$$
 $$y = y_0 + \lambda \cdot b$$
 $$z = z_0 + \lambda \cdot c$$
 $$\lambda \in \R$$
 \end{tetel}
+
 Ahol $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ ponton átmegy a vonal és $\underline{v} = (\textit{a,b,c})  (\underline{v} \neq \underline{0})$ irányvektora.
 Nem paraméteres alakban ugyanez:
-\begin{tetel}{
-EGYENES Tétel}: Legyen az \textit{e} egyenesnek $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ pontja és $\underline{v} = (\textit{a,b,c})  (\underline{v} \neq \underline{0})$ irányvektora. Ekkor tetszőleges pontjának NEM paraméteres alakja:
+
+\begin{tetel}{EGYENES}
+Legyen az \textit{e} egyenesnek $P_0 (x_0,y_0,z_0)$ pontja és $\underline{v} = (\textit{a,b,c})  (\underline{v} \neq \underline{0})$ irányvektora. Ekkor tetszőleges pontjának NEM paraméteres alakja:
 $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}\quad a, b, c \neq 0$$
 $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} \:\acute{e}s\: z = z_0 \quad c = 0$$
 $$x = x_0\quad y = y_0\quad a,b = 0$$
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: P $\in$ \textit{e} akkor igaz, ha \textit{e} param.egy.rszr-ére $\lambda \in \R$ értékre P-t adja. Ha $a,b,c \neq 0$, akkor a három egyenletből egy közös $\lambda$-ra kell jutnunk. Ha $c=0$, akkor megfelelő $\lambda$ létezése azt jelenti, hogy $z=z_0$ és az első két egyenletből közös $\lambda$ értéket kell kapnunk. Végül ha csak $c\neq0$, akkor az első két egyenlet egyértelmű míg a harmadik egyenlet mindig kielégíthető a $\lambda = \frac{z-z_0}{c}$ választással.
-\end{leftbar}
-\begin{tetel}{
-SÍK Tétel}: Legyen adott az S síknak $P_0(x_0,y_0,z_0)$ és $\underline{n} = (a,b,c)\quad n\neq \underline{0}$ normálvektora. Ekkor \textit{P(x,y,z)}\\ P $\in$ S akkor igaz, ha
+
+\begin{bizonyitas}{}
+P $\in$ \textit{e} akkor igaz, ha \textit{e} param.egy.rszr-ére $\lambda \in \R$ értékre P-t adja. Ha $a,b,c \neq 0$, akkor a három egyenletből egy közös $\lambda$-ra kell jutnunk. Ha $c=0$, akkor megfelelő $\lambda$ létezése azt jelenti, hogy $z=z_0$ és az első két egyenletből közös $\lambda$ értéket kell kapnunk. Végül ha csak $c\neq0$, akkor az első két egyenlet egyértelmű míg a harmadik egyenlet mindig kielégíthető a $\lambda = \frac{z-z_0}{c}$ választással.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{tetel}{SÍK}
+Legyen adott az S síknak $P_0(x_0,y_0,z_0)$ és $\underline{n} = (a,b,c)\quad n\neq \underline{0}$ normálvektora. Ekkor \textit{P(x,y,z)}\\ P $\in$ S akkor igaz, ha
 $$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0$$
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: $P \in S$ akkor igaz, ha $\vec{P_0P}$ || S-sel, $\vec{P_0P}$ pedig akkor || S-sel, ha merőleges \underline{n}-nel, ez akkor igaz, ha (skaláris szorzat def!) skaláris szorzatuk 0. Az skal. szorzat alternatív formáját véve és átrendezve megkapjuk az egyenletet.
-\end{leftbar}
-\begin{definicio}{
-VEKTORIÁLIS SZORZAT Definíció}: Az \underline{u} és \underline{v} vektorok vektoriális szorzata az az \underline{u}×\underline{v}-vel jelölt
+
+\begin{bizonyitas}{}
+$P \in S$ akkor igaz, ha $\vec{P_0P}$ || S-sel, $\vec{P_0P}$ pedig akkor || S-sel, ha merőleges \underline{n}-nel, ez akkor igaz, ha (skaláris szorzat def!) skaláris szorzatuk 0. Az skal. szorzat alternatív formáját véve és átrendezve megkapjuk az egyenletet.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{definicio}{VEKTORIÁLIS SZORZAT}
+Az \underline{u} és \underline{v} vektorok vektoriális szorzata az az \underline{u}×\underline{v}-vel jelölt
 vektor, amelyre az alábbi feltételek fennállnak:
 $$\underline{u} \times \underline{v}\: hossza:\: |u \times v| = |u| \cdot |v| \cdot\sin\phi$$
 $$\underline{u} \times \underline{v}\ \: mer\ddot{o}leges\: \underline{u}\: \acute{e}s\: \underline{v}-re$$
 Ezek jobbsodrású rendszert alkotnak. Ha valamelyik vektor \underline{0}, akkor az eredmény is nulla.
 \end{definicio}
-\begin{tetel}{
-VEKTORIÁLIS SZORZAT Tétel}: Legyenek \underline{u} = $(u_1,u_2,u_3)$ és \underline{v} = $(v_1,v_2,v_3)$ vektorok, ekkor:
+
+\begin{tetel}{VEKTORIÁLIS SZORZAT}
+Legyenek \underline{u} = $(u_1,u_2,u_3)$ és \underline{v} = $(v_1,v_2,v_3)$ vektorok, ekkor:
 $$\underline{u}\times\underline{v} = \left( \begin{vmatrix}
 u_2&u_3\\v_2&v_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
 u_1&u_3\\v_1&v_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
 u_1&u_2\\v_1&v_2\end{vmatrix} \right)$$
 \end{tetel}
-\begin{definicio}{
-VEGYESSZORZAT Definíció}: Az \Und{u}, \Und{v}, \Und{w}  vektorok vegyesszorzata $(\Und{u}\times\Und{v})\cdot\Und{w}$.\\Jelölés: \Und{u} \Und{v} \Und{w}.
+
+\begin{definicio}{VEGYESSZORZAT}
+Az \Und{u}, \Und{v}, \Und{w}  vektorok vegyesszorzata $(\Und{u}\times\Und{v})\cdot\Und{w}$.\\Jelölés: \Und{u} \Und{v} \Und{w}.
 \end{definicio}
-\begin{tetel}{
-VEGYESSZORZAT Tétel}: A vegyesszorzat kapcsolata a térfogattal - az \Und{u}, \Und{v} és \Und{w} által kifeszített \textit{paralelepipedon} térfogata:
+
+\begin{tetel}{VEGYESSZORZAT}
+A vegyesszorzat kapcsolata a térfogattal - az \Und{u}, \Und{v} és \Und{w} által kifeszített \textit{paralelepipedon} térfogata:
 $$V = |\Und{u}\, \Und{v}\, \Und{v}|$$
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: A térfogatot a paralelogramma T területének és m magasságának a szorzatából kapjuk meg. T terület egyenlő az $|\Und{u}\times\Und{v}|$-vel, m magasságot pedig úgy kapjuk meg, hogy meghatározunk egy OMW háromszöget, melyben O az origó, M a W-ből az $\Und{u}\times\Und{v}$-re állított merőleges talppontja és W pedig \Und{w} végpontja. Pitagorasz -> $OM = m = |\Und{w}| \cdot \cos\phi$. Tehát összvissz
-\end{leftbar}
+
+\begin{bizonyitas}{}
+A térfogatot a paralelogramma T területének és m magasságának a szorzatából kapjuk meg. T terület egyenlő az $|\Und{u}\times\Und{v}|$-vel, m magasságot pedig úgy kapjuk meg, hogy meghatározunk egy OMW háromszöget, melyben O az origó, M a W-ből az $\Und{u}\times\Und{v}$-re állított merőleges talppontja és W pedig \Und{w} végpontja. Pitagorasz -> $OM = m = |\Und{w}| \cdot \cos\phi$. Tehát összvissz
+\end{bizonyitas}
+
 

fejezetek/02_tetel.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{2. tétel}
 
-\begin{definicio}{
-\Rn{n} Definíció}: $n \geq 1$ esetén az n db. valós számból álló számoszlopok halmazát \Rn{n} jelöli. Ezen értelmezett összeadás "+" és tetszőleges $\lambda \in \R$ "$\cdot$" skalárszorzást az alábbi alapján értelmezzük:
+\begin{definicio}{\Rn{n}}
+$n \geq 1$ esetén az n db. valós számból álló számoszlopok halmazát \Rn{n} jelöli. Ezen értelmezett összeadás "+" és tetszőleges $\lambda \in \R$ "$\cdot$" skalárszorzást az alábbi alapján értelmezzük:
 $$\begin{pmatrix}
 x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
@@ -15,57 +15,71 @@ \section{2. tétel}
 \end{pmatrix}
 $$
 \end{definicio}
-\begin{tetel}{
-\Rn{n} TULAJDONSÁGOK Tétel}: Legyen $\Und{u}, \Und{v}, \Und{w} \in$ \Rn{n} és $\lambda,\:\mu\in\R$, ekkor igazak az alábbiak:\\
+
+\begin{tetel}{\Rn{n} TULAJDONSÁGOK}
+Legyen $\Und{u}, \Und{v}, \Und{w} \in$ \Rn{n} és $\lambda,\:\mu\in\R$, ekkor igazak az alábbiak:\\
 Összeadás \textit{asszociatív, kommutatív}.\\
 Szorzás \textit{asszociatív, kommutatív} és \textit{disztributív}.
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: Triviális.
-\end{leftbar}
-\begin{definicio}{
-\Rn{n} ALTERE Definíció}: Legyen $V \subseteq$ \Rn{n} $\neq \varnothing$ az \Rn{n} tér egy nemüres részhalmaza. V-t az \Rn{n} alterének nevezzük, ha az alábbi két feltétel teljesül:\\
+
+\begin{bizonyitas}{}
+Triviális.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{definicio}{\Rn{n} ALTERE}
+Legyen $V \subseteq$ \Rn{n} $\neq \varnothing$ az \Rn{n} tér egy nemüres részhalmaza. V-t az \Rn{n} alterének nevezzük, ha az alábbi két feltétel teljesül:\\
 Bármely $\Und{u},\Und{v} \in V$ esetén $\Und{u}+\Und{v} \in V$ is igaz, és\\
 Bármely $\Und{u} \in V, \lambda \in \R$ esetén $\lambda\cdot\Und{u} \in V$ is igaz.\\
 Jelölés: V $\leq$ \Rn{n}.
 \end{definicio}
-\begin{definicio}{
-LINEÁRIS KOMBINÁCIÓ Definíció}: Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok és $\lambda_1,\ldots,\lambda_k \in \R$ skalárok. Ekkor $\lambda_1\Und{v}_1 + \ldots + \lambda_k\Und{v}_k$ vektort a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ skalárokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük.
+
+\begin{definicio}{LINEÁRIS KOMBINÁCIÓ}
+Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok és $\lambda_1,\ldots,\lambda_k \in \R$ skalárok. Ekkor $\lambda_1\Und{v}_1 + \ldots + \lambda_k\Und{v}_k$ vektort a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ skalárokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük.
 \end{definicio}
-\begin{definicio}{
-GENERÁLT ALTÉR Definíció}: Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok, ezekenek a lineáris kombinációval kifejezhető \Rn{n}-beli vektorok halmazát $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ generált alterének nevezzük.\\
+
+\begin{definicio}{GENERÁLT ALTÉR}
+Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok, ezekenek a lineáris kombinációval kifejezhető \Rn{n}-beli vektorok halmazát $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ generált alterének nevezzük.\\
 Jelölés: $\langle\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k\rangle$
 \end{definicio}
-\begin{definicio}{
-GENERÁTORRENDSZER Definíció}: Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok, ha W $=\langle\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k\rangle$, akkor a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorhalmazt a W altér generátorrendszerének nevezzük.
+
+\begin{definicio}{GENERÁTORRENDSZER}
+Legyenek $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorok, ha W $=\langle\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k\rangle$, akkor a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorhalmazt a W altér generátorrendszerének nevezzük.
 \end{definicio}
-\begin{definicio}{
-LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG Definíció}: A $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorrendszert akkor nevezzük lineárisan függetlennek, ha $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok közül semelyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként. Ha ez nem teljesül -- vagyis a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok között legalább egy olyan, ami kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, akkor a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorrendszert lineárisan összefüggőnek nevezzük.
+
+\begin{definicio}{LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG}
+A $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorrendszert akkor nevezzük lineárisan függetlennek, ha $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok közül semelyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként. Ha ez nem teljesül -- vagyis a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorok között legalább egy olyan, ami kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, akkor a $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ vektorrendszert lineárisan összefüggőnek nevezzük.
 \end{definicio}
-\begin{tetel}{
-LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG Tétel}: A $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha $\lambda_1\Und{v}_1,\ldots,\lambda_k\Und{v}_k = \Und{0}$ egyenlőség kizárólag abban az esetben teljesül, ha $\lambda_1 = \ldots = \lambda_k = 0$ -- ezt nevezzük a triviális lineáris kombinációnak.
+
+\begin{tetel}{LINEÁRIS FÜGGETLENSÉG}
+A $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k \in$ \Rn{n} vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha $\lambda_1\Und{v}_1,\ldots,\lambda_k\Und{v}_k = \Und{0}$ egyenlőség kizárólag abban az esetben teljesül, ha $\lambda_1 = \ldots = \lambda_k = 0$ -- ezt nevezzük a triviális lineáris kombinációnak.
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: "akkor":\\
+
+\begin{bizonyitas}{}
+"akkor":\\
 T.f.h. $\lambda_1\Und{v}_1,\ldots,\lambda_k\Und{v}_k = \Und{0}$ csak a triviális lin. kombináció esetén teljesül, belátjuk, hogy $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ lin.flen. INDIREKT bizonyítjuk: feltesszük, hogy ez mégsem lin.flen. Ha $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ nem lin. flen., akkor valamelyikük kifejezhető a többi lineáris kombinációjából: legyen ez pl. $\Und{v}_1$. Ekkor $$\Und{v}_1 = \alpha_2\Und{v}_2 + \ldots + \alpha_k\Und{v}_k\quad \alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \R$$
 Átrendezve: $$1\Und{v}_1-\alpha_2\Und{v}_2 - \ldots - \alpha_k\Und{v}_k = \Und{0}$$
 Ezzel ellentmondásra jutottunk: Az fentebbi egyenlet nemtriviális lin. kombináció esetén is teljesül \\($\lambda_1 = 1,\: \lambda_2 = -\alpha_2,\ldots, \lambda_k = -\alpha_k$), tehát ezt az állítást igazoltuk.\\\\
 A "csak akkor" állítás: feltesszük, hogy  $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ lin.flen. és megmutatjuk, hogy ekkor  $\lambda_1\Und{v}_1,\ldots,\lambda_k\Und{v}_k = \Und{0}$ csak a $\lambda_1 = \ldots = \lambda_k = 0$ esetben teljesül. INDIREKT bizonyítjuk: T.f.h. $\lambda_1\Und{v}_1,\ldots,\lambda_k\Und{v}_k = \Und{0}$ de a lambdák között van nemnulla, pl: $\lambda_1 \neq 0$. Ekkor átrendezés és $\lambda_1 \neq 0$-val való osztás után a következő alakot kapjuk:
 $$\Und{v}_1 = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Und{v}_2-\ldots-\frac{\lambda_k}{\lambda_1}\Und{v}_k$$
 Ezzel ellentmondásra jutottunk, $\Und{v}_1,\ldots,\Und{v}_k$ mégsem lin.flen., mert $\Und{v}_1$ kifejezhető a többiből lin. kombinációval.
-\end{leftbar}
-\begin{tetel}{
-ÚJONNAN ÉRKEZŐ VEKTOR LEMMÁJA Lemma}: T.f.h. az $f_1,\ldots,f_k$ rendszer lin.flen., de $f_1,\ldots,f_k,f_{k+1}$ lin.öf. Ekkor $f_{k+1} \in \langle f_1,\ldots,f_k \rangle$, tehát $f_{k+1}$ kifejezhető $f_1,\ldots,f_k$ lin. kombinációjaként.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{tetel}{ÚJONNAN ÉRKEZŐ VEKTOR LEMMÁJA}
+T.f.h. az $f_1,\ldots,f_k$ rendszer lin.flen., de $f_1,\ldots,f_k,f_{k+1}$ lin.öf. Ekkor $f_{k+1} \in \langle f_1,\ldots,f_k \rangle$, tehát $f_{k+1}$ kifejezhető $f_1,\ldots,f_k$ lin. kombinációjaként.
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: Mivel $f_1,\ldots,f_k,f_{k+1}$ lin.öf., ezért a lin.flen. tétele alapján létezik nemtriviális lin. kombináció, mely a nullvektort adja végeredményül. Ha a
+
+\begin{bizonyitas}{}
+Mivel $f_1,\ldots,f_k,f_{k+1}$ lin.öf., ezért a lin.flen. tétele alapján létezik nemtriviális lin. kombináció, mely a nullvektort adja végeredményül. Ha a
 $\lambda_1f_1+\ldots+\lambda_kf_k,\lambda_{k+1} = \Und{0}$  egyenletben $\lambda_{k+1} = 0$, az azt jelenti, hogy a maradék egyenlet így néz ki $\lambda_1f_1+\ldots+\lambda_kf_k = \Und{0}$ ÉS a $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ skalárok között van egy (vagy több) nemnulla tag. Ez az állítás viszont azt eredményezné, hogy az eredeti $f_1,\ldots,f_k$ rendszer lin.öf., ezzel ellentmondásra jutottunk. Ebből következtetve $\lambda_{k+1} \neq 0$, és az ezzel való osztás után kapott egyenletből az következik, hogy $f_{k+1}$ előállítható az $f_1,\ldots,f_k$ rendszer lineáris kombinációjaként, tehát $f_{k+1} \in \langle f_1,\ldots,f_k \rangle$.
-\end{leftbar}
-\begin{tetel}{
-F-G EGYENLŐTLENSÉG Tétel}: Legyen V $\leq$ \Rn{n} altér, $\Und{f}_1,\ldots,\Und{f}_k$ V-beli vektorokból álló lineárisan független rendszer, $\Und{g}_1,\ldots,\Und{g}_m$ pedig genenátorrendszer V-ben, ekkor $k \leq m$.
+\end{bizonyitas}
+
+\begin{tetel}{F-G EGYENLŐTLENSÉG}
+Legyen V $\leq$ \Rn{n} altér, $\Und{f}_1,\ldots,\Und{f}_k$ V-beli vektorokból álló lineárisan független rendszer, $\Und{g}_1,\ldots,\Und{g}_m$ pedig genenátorrendszer V-ben, ekkor $k \leq m$.
 \end{tetel}
-\begin{leftbar}
-Biz: TELJES INDUKCIÓVAL:\\
+
+\begin{bizonyitas}{}
+TELJES INDUKCIÓVAL:\\
 Ha k = 1, akkor V-ben van a nullvektortól különb vektor (mert $\Und{f}_{1} \neq 0$), így minden gen.rszr.-e legalább 1 elemű (üres halmaz \{\Und{0}\} alteret generálja csak). Tétel k = 1 esetén igaz. Továbbiakban t.f.h. $k \geq 2$ és a tétel ($k - 1$)-re már igaz, cél belátni, hogy k-ra is igaz a tétel.\\
 Mivel $\Und{g}_1,\ldots,\Und{g}_m$ gen.rszr. V-ben, ezért minden V-beli vektor, így $f_k$ is előáll ennek a lin. kombinációjaként: $f_k = \lambda_1\Und{g}_1 + \ldots + \lambda_m\Und{g}_m$. A lambdák között kell legyen nemnulla (mert $f_k \neq 0$). Legyen pl. $\lambda_m \neq 0$ és legyen $W = \langle \Und{g}_1, \ldots, \Und{g}_{m-1} \rangle$. Megmutatjuk, hogy minden $1 \leq j \leq k-1$ esetén az $\Und{f}_j$-hez található olyan $\alpha_j$ skalár, hogy $\Und{f}_j + \alpha_j\Und{f}_k \in W$. Ugyanis $\Und{f}_j$ felírható $\Und{g}_1,\ldots,\Und{g}_m$ lin. kombinációjaként: $\Und{f}_j = \beta_1\Und{g}_1+\ldots+\beta_m\Und{g}_m$. Ekkor $\alpha_j = -\frac{\beta_m}{\lambda_m}$ megfelel a célnak. A bizonyítás további része megtalálható a hivatalos, Szeszlér-féle BSz1 jegyzet 23. oldalán, mivel az író megunta ennek a nagyon unalmas bizonyításnak a leírását.
-\end{leftbar}
+\end{bizonyitas}
+