Appunti migliori di Carpi

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/.devcontainer/Dockerfile

@@ -0,0 +1,10 @@
+FROM qmcgaw/latexdevcontainer
+
+# update del package manager
+RUN tlmgr update --self
+
+# installo pacchetti necessari
+RUN tlmgr install listings caption xcolor float wrapfig footmisc emoji fontspec emptypage && texhash
+
+# installo font emoji
+RUN  apt install fonts-noto-color-emoji

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/.devcontainer/devcontainer.json

@@ -0,0 +1,51 @@
+{
+    "name": "project-dev",
+    "dockerComposeFile": [
+        "docker-compose.yml"
+    ],
+    "service": "vscode",
+    "runServices": [
+        "vscode"
+    ],
+    "shutdownAction": "stopCompose",
+    "workspaceFolder": "/workspace",
+    "postCreateCommand": "",
+    "extensions": [
+        "james-yu.latex-workshop",
+        // Git
+        "eamodio.gitlens",
+        // Other helpers
+        "shardulm94.trailing-spaces",
+        "stkb.rewrap", // rewrap comments after n characters on one line
+        // Other
+        "vscode-icons-team.vscode-icons",
+        // spell checker
+        "streetsidesoftware.code-spell-checker",
+        "streetsidesoftware.code-spell-checker-italian"
+    ],
+    "settings": {
+        // General settings
+        "files.eol": "\n",
+        // vscode
+        "editor.rulers": [
+            80,
+            120
+        ],
+        // Latex settings
+        "latex-workshop.chktex.enabled": true,
+        "latex-workshop.latex.recipe.default": "latexmk (lualatex)",
+        "latex-workshop.latex.clean.subfolder.enabled": true,
+        "latex-workshop.latex.autoClean.run": "onBuilt",
+        "editor.formatOnSave": true,
+        "files.associations": {
+            "*.tex": "latex"
+        },
+        "latex-workshop.latexindent.path": "latexindent",
+        "latex-workshop.latexindent.args": [
+            "-c",
+            "%DIR%/",
+            "%TMPFILE%",
+            "-y=defaultIndent: '%INDENT%'"
+        ]
+    }
+}

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/.devcontainer/docker-compose.yml

@@ -0,0 +1,23 @@
+version: "3.2"
+
+services:
+  vscode:
+    build: .
+    image: latexdevcontainer
+    volumes:
+      - ../:/workspace
+      # Docker socket to access Docker server
+      - /var/run/docker.sock:/var/run/docker.sock
+      # SSH directory
+      # - ~/.ssh:/root/.ssh
+      # For Windows without WSL, a copy will be made
+      # from /tmp/.ssh to ~/.ssh to fix permissions
+      # - ~/.ssh:/tmp/.ssh:ro
+      # Shell history persistence
+      # - ~/.zsh_history:/root/.zsh_history:z
+      # Git config
+      - ~/.gitconfig:/root/.gitconfig
+    environment:
+      - TZ=
+    entrypoint: ["zsh", "-c", "while sleep 1000; do :; done"]
+

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/.gitignore

@@ -0,0 +1,3 @@
+*.pdf
+*.synctex.gz
+.DS_Store

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/capitoli/classi_di_complessita_temporale/altri_problemi_np_completi.tex

@@ -0,0 +1,95 @@
+\section{Altri problemi NP-completi}
+
+Come già detto, $S A T$ è storicamente il primo esempio naturale di problema $N
+    P$ completo, ma non è certamente l'unico, anzi, in un certo senso, è il
+capostipite di una lunga progenie di esempi. Già nel 1972, dunque un anno dopo
+il teorema di Cook-Levin, Karp propose una lista di 21 problemi $N P$-completi
+$S$. La strategia usata per riconoscerli tali è meccanica e ripetitiva. Va
+infatti provato anzitutto che $S \in N P$, poi che $S$ è $N P$-arduo.
+Relativamente al secondo punto basta mostrare che $S A T \leq_p S$ (oppure che
+qualche altro problema di cui è nota la $N P$ completezza si riduce
+polinomialmente a $S$ ). Tramite $S A T$, o comunque tramite l'altro esempio di
+riferimento, si prova allora che tutto $N P$ si riduce in $\leq p$ a $S$;
+infatti $\leq_p$ gode della proprietà transitiva: se un dato $S$ soddisfa
+$S^{\prime} \leq_p S A T$ e inoltre $S A T \leq_p S$, allora $S^{\prime} \leq_p
+    S$. Dunque $S$ è $N P$-arduo (e $N P$-completo). In questo modo, Karp procedette
+per i suoi 21 problemi. Ma la costruzione dei problemi $N P$-completi non si
+esaurì certamente con la lista di Karp e col 1972. Negli anni successivi, nuovi
+esempi sono stati scoperti, distribuiti in svariati ambiti di studi e ricerca:
+in Informatica, in Matematica, in Biologia, in Chimica, in Enigmistica.\\
+
+Qui mostriamo che tutti gli esempi di problemi in $N P$ dati nel paragrafo $6.2$, cioè $3 S A T, 3 C O L, I S, V C$ (o CLIQUE), KNAPSACK, equazioni quadratiche a coefficienti interi, sono $N P$-completi. Nei casi che più ci interessano in futuro (come $3 S A T, 3 C O L, I S$ ), diamo una dimostrazione dettagliata di questa asserzione. Negli altri ci limitiamo a sintetizzare le informazioni essenziali e a fornire possibili riferimenti bibliografici per chi è interessato ad approfondire.
+
+\paragraph{Teorema 8.7.1} \textit{$3 S A T$ è $N P$-completo.}
+
+\begin{proof}
+    Sappiamo che $3 S A T \in N P$, ci basta mostrare che $3 S A T$ è $N P$
+    arduo, e anzi, come già spiegato, che $S A T \leq_p 3 S A T$. Cerchiamo dunque
+    un algoritmo deterministico che lavora in tempo al più polinomiale e traduce
+    ogni insieme finito $I$ di clausole in un insieme finito $I(3)$ di clausole
+    con 3 lettere tale che
+    $$
+        I(3) \in 3 S A T \text { se e solo se } I \in S A T \text {. }
+    $$
+    In dettaglio, ad ogni clausola $k$ di $I$ associamo un insieme $I_k$ di
+    clausole con 3 lettere (eventualmente nuove) nel modo che segue.\\
+    Se $k$ consta di un'unica lettera $p_0\left(\text{o } P_0\right)$, prendiamo
+    due nuove lettere minuscole $q_0, q_1$ e formiamo
+    $$
+        I_k=\left\{p_0 q_0 q_1, p_0 q_0 Q_1, p_0 Q_0 q_1, p_0 Q_0 Q_1\right\} .
+    $$
+    Notiamo che una valutazione $v$ soddisfa $I_k$ se e solo se $v$ soddisfa
+    $k$, cioè $p_0$ (infatti in nessun caso $v$ può soddisfare
+    contemporaneamente $q_0 q_1, q_0 Q_1, Q_0 q_1, Q_0 Q_1$ ). Se $k=p_0 p_1$
+    consta di due lettere, prendiamo una nuova lettera minuscola $q$ non usata
+    precedentemente e formiamo
+    $$
+        I_k=\left\{p_0 p_1 q, p_0, p_1 Q\right\}
+    $$
+    Di nuovo, è facile notare che una valutazione $v$ soddisfa $I_k$ se e solo
+    se $v$ soddisfa $k$, cioè $p_0$ o $p_1$.\\
+    Se $k$ ha 3 lettere, si pone $I_k=\{k\}$.\\
+    Finalmente assumiamo che $k$ consti di $h \geq 4$ lettere,
+    $$
+        k=p_0 p_1 \cdots p_{h-1}
+    $$
+    Prendiamo $h-3$ nuove lettere
+    $$
+        q_0, \ldots, q_{h-4}
+    $$
+    e formiamo
+    $$
+        I_k=\left\{p_0 p_1 q_0, p_2 Q_0 q_1, p_3 Q_1 q_2, \ldots, p_{h-3} Q_{h-5} q_{h-4}, p_{h-2} p_{h-1} Q_{h-4}\right\} .
+    $$
+    Supponiamo che $v$ sia una valutazione che soddisfa $I_k$ e mostriamo che
+    $v$ soddisfa anche $k$. Altrimenti
+    $v\left(p_0\right)=v\left(p_1\right)=\cdots=v\left(p_{h-1}\right)=0$. Da
+    $v\left(p_0\right)=v\left(p_1\right)=0$
+
+    deduciamo $v\left(q_0\right)=1$ perché $p_0 p_1 q_0 \in I_k ;$ così $v\left(Q_0\right)=0$ e deve essere $v\left(q_1\right)=$ 1 perché $p_2 Q_0 q_1 \in I_k$. Ripetendo il procedimento si deduce $v\left(q_{h-4}\right)=1$ e quindi $v\left(Q_{h-4}\right)=0$. Ma anche $v\left(p_{h-2}\right)=v\left(p_{h-1}\right)=0$, e questo è impossibile perché $p_{h-2} p_{h-1} Q_{h-4} \in I_k$.\\
+    Viceversa, sia $v$ una valutazione che soddisfa $k$, mostriamo che c'è qualche valutazione $v_k$ che estende $v$ e soddisfa $I_k$. Per ipotesi esiste $j<h$ tale che $v\left(p_j\right)=1$. Sia $j$ il minimo indice con questa proprietà. Se $j=0$ o $j=1$, l'estensione $v_k$ di $v$ per cui
+    $$
+        v_k\left(q_i\right)=0 \text { per ogni } i \leq h-4
+    $$
+    soddisfa $I_k$, infatti assegna il valore 1 a $p_0$ o a $p_1$ nella prima clausola e a $Q_i$ nelle clausole successive. Allo stesso modo, se $j=h-2$ o $j=h-1$,
+    $$
+        v_k\left(q_i\right)=1 \text { per ogni } i \leq h-4
+    $$
+    funziona. Altrimenti $2 \leq j<h-3$, e ci basta assumere
+    $$
+        v_k\left(q_i\right)=1 \text { se } i<j-2, v_k\left(q_i\right)=0 \text { altrimenti. }
+    $$
+    Notiamo che la traduzione $k \mapsto I_k$ è deterministica e polinomiale rispetto alla lunghezza di $k$.\\
+    Sia ora $I(3)=\bigcup_{k \in I} I_k$. La procedura che definisce $I(3)$ da $I$ è deterministica e polinomiale rispetto a $|I|$ e alla lunghezza delle clausole in $I$. Inoltre ogni clausola in $I(3)$ ha esattamente 3 lettere.\\
+    Sia $I(3) \in 3 S A T$ e sia $v$ una valutazione che soddisfa $I(3)$, dunque $I_k$ per ogni clausola $k$ di $I$. Allora $v$ soddisfa ogni $k$ e complessivamente $I$. Ne segue $I \in$ $S A T$.\\
+    Viceversa, sia $I \in S A T$ e sia $v$ una valutazione che soddisfa $I$, quindi ogni clausola $k$ in $I$. Così, per ogni $k$, c'è una valutazione $v_k$ che soddisfa $I_k$ ed estende $v$ sulle lettere di $k$. Per clausole di $\leq 3$ lettere, anzi, $v_k=v$. In ogni caso, la precedente costruzione mostra che le varie $v_k$ sono definite su lettere distinte (le nuove lettere $q_i$ e $Q_i$ coinvolte per la corrispondente $k$ ) e non interferiscono tra loro. Pertanto possiamo cucirle assieme per costruire una valutazione $v$ (definita sulle lettere di $I$ e poi sulle nuove variabili $q_i, Q_i$ al variare di $k$ ) tale che $v^{\prime}$ estende $v$ e soddisfa complessivamente $I(3)$. Dunque $I(3) \in S A T$.
+\end{proof}
+
+\paragraph*{Teorema 8.7.2} \textit{$IS$ è $NP$-completo.}
+\begin{proof}
+    Ci basta provare che $I S$ è $N P$-arduo, infatti già sappiamo che $I S \in N P$. Siccome $3 S A T$ è $N P$-completo, è poi sufficiente mostrare $3 S A T \leq_p$ IS. In particolare proponiamo un algoritmo deterministico che traduce insiemi finiti $I$ di $m_I$ clausole di 3 lettere in grafi finiti $G_I=\left(V_I, E_I\right)$ in modo tale che
+    $$
+        I \in 3 S A T \text { se e solo se }\left(G_I, m_I\right) \in I S
+    $$
+    l'algoritmo opera poi in tempo al più polinomiale nella lunghezza di $I$. In dettaglio $G_I$ è così definito:
+\end{proof}

magistrale/Anno 1/Carpi/appunti libro/latext/capitoli/classi_di_complessita_temporale/il_problema_p_eq_np.tex

@@ -0,0 +1,56 @@
+\section{Il problema \texorpdfstring{$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$}{P = NP}}
+
+Possiamo domandarci se vale addirittura
+$$
+    P=N P
+$$
+(dunque se $N P \subseteq P$ ). Commenti.
+\begin{enumerate}
+    \item $P$ è, come spesso ricordato, la classe dei problemi che ammettono
+          algoritmo rapido di decisione (dove "rapido" è da intendersi come "al più
+          polinomiale", ai sensi della tesi di Edmonds-Cook-Karp). Se ci rifacciamo
+          poi alla definizione originaria di $N P$, quest'ultima può interpretarsi
+          sinteticamente come la classe dei problemi $S$ che hanno algoritmo rapido di
+          verifica della decisione: dato un input $w$, il testimone $y$ può garantire
+          infatti in modo deterministico e rapido che $w \in S$ perché $(w, y) \in
+              S^{\prime}$.
+          La conclusione che $P \subseteq N P$ deriva allora dal fatto che tempi
+          rapidi di decisione implicano tempi (anche più) rapidi di verifica.\\
+          Affermare $P=N P$ significa in questa prospettiva che, per ogni
+          problema $S$, se c'è una procedura rapida di verifica per $S$, ce n'è
+          una (magari più lenta eppur ancora) rapida (perché al più polinomiale
+          nella lunghezza dell'input) di decisione per $S$.
+    \item Riferiamoci adesso alla caratterizzazione di $N P$ fornita nell'ultimo
+          paragrafo. $S \in N P$ se e solo se c'è una MdT non deterministica $M$ su
+          $A$ tale che, per ogni $w \in A^{\star}$,
+          \begin{itemize}
+              \item se $w \in S, M_S$ converge su $w$ almeno una volta con un
+                    numero di passi limitato in funzione di $l(w)$ da un polinomio a
+                    coefficienti interi $q_S$ che dipende solo da $S$ e non da $w$;
+              \item se $w \notin S, M_S$ diverge su $w$ in ogni caso.
+          \end{itemize}
+
+          Notiamo che, se consideriamo MdT deterministiche (capaci dunque di
+          un'unica computazione su ogni input $w$ ), la stessa caratterizzazione
+          definisce i problemi $S \in P$. La domanda $P=N P$ può dunque così
+          riformularsi. Supponiamo che $S$ ammetta una MdT non deterministica
+          $M_S$ come sopra. È possibile costruire una MdT deterministica che
+          accetta $S$ in tempo al più polinomiale, limitato da un opportuno
+          polinomio $q^{\prime}_S$, magari di grado maggiore di quello di $q_S$
+          ? Tra l'altro, sappiamo che la MdT non deterministica $M_S$ può essere
+          simulata nelle sue computazioni da una MdT deterministica $M^{\prime}_S$ (con
+          tempi di lavoro più lunghi). Ci domandiamo se $M_S^{\prime}$ può essere
+          scelta in modo da avere ancora complessità al più polinomiale.
+\end{enumerate}
+
+Ora, è evidente che, se si trova un problema che sta in $N P$, ma non può
+appartenere a $P$ (per esempio, se uno dei numcrosi esempi proposti in $N P$ nei
+precedenti paragrafi manifesta questa proprietà), allora $P \neq N P$.\\
+Mostrare, invece, l'uguaglianza $P=N P$ sembra richiedere, almeno a priori,
+argomenti tcorici generali che mostrino che ogni problema in $N P$ ha algoritmo
+rapido di decisione che lo colloca in $P$.\\
+Riferirsi ad un particolare esempio $S$ in $N P$ e pretendere che, se $S \in P$,
+allora $P$ e $N P$ coincidono sembra grossolano errore di logica elementare.
+Tuttavia esistono alcuni problemi $S$ in $N P$ che hanno questa capacità di
+rappresentare tutti gli altri, nel senso appena descritto: si chiamano problemi
+$N P$-completi, e si introducono nel modo che segue.