Update 2025-03-07-FFT의 알고리즘적 이해.md

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@@ -120,9 +120,12 @@ $$
 
 적당한 $x_0, ..., x_{n-1}$을 구하는것부터 시작하자. 지금은 조금 어색할 수 있지만, 우선 아래와 같이 $x_j$들을 정하자.
 
+> 문자 $i$는 복소수를 표기하는데 사용해야 하므로 인덱스를 $j$로 바꾸었다.
+{: .prompt-info}
+
 $$
 \begin{equation}
-  x_j = e^{ij\frac{2\pi}{n}}
+  x_j = e^{j\frac{2\pi i}{n}}
 \end{equation}
 $$
 
@@ -135,28 +138,31 @@ $$
 
 $$
 \begin{equation}
-  f_{even} = a_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}} + a_{n-4}x^{\frac{n-4}{2}} + ... + a_2x + a_0
+  f_{even}(x) = a_{n-2}x^{\frac{n-2}{2}} + a_{n-4}x^{\frac{n-4}{2}} + ... + a_2x + a_0
 \end{equation}
 $$
 $$
 \begin{equation}  
-  f_{odd} = a_{n-1}x^{\frac{n-1}{2}} + a_{n-3}x^{\frac{n-3}{2}} + ... + a_3x + a_1
+  f_{odd}(x) = a_{n-1}x^{\frac{n-1}{2}} + a_{n-3}x^{\frac{n-3}{2}} + ... + a_3x + a_1
 \end{equation}
 $$
 
 로 두면 아래를 얻는다.
 
 $$
 \begin{equation}
-  f(e^{ij\frac{2\pi}{n}}) = f_{even}(e^{ij\frac{4\pi}{n}}) + e^{e^{ij\frac{2\pi}{n}}}f_{odd}(e^{ij\frac{4\pi}{n}})
+  f(e^{\frac{2\pi i}{n}}) = f_{even}(e^{j\frac{4\pi i}{n}}) + e^{j\frac{2\pi i}{n}}f_{odd}(e^{j\frac{4\pi i}{n}})
 \end{equation}
 $$
 
-따라서, $\frac{n}{2}$차 식인 $f_{even}$과 $f_{odd}$에 대해 $e^{ij\frac{4\pi}{n}}, (j=0, ..., n-1)$의 함수값을 계산하면 원래 $f$의 함수값을 알아낼 수 있다. 여기서 처음 $x_i$를 위처럼 정의한 이유가 등장하는데, $e^{ij\frac{4\pi}{n}}$는 $j$가 $\frac{n}{2}$를 넘어가는 순간 같은값으로 겹치게 된다. 즉,
+> 어색하게 보일 수 있지만, 대표적으로 $2^2 = 4$인 예시로 살펴보자. $f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$와 같이 $f(x)$가 정의되어 있다면, 짝수차항인 $2x^2 + 4$와 홀수차항인 $x^3 + 3x$를 나누어서 $f(x) = 2x^2 + 4 + x(x^2 + 3)$으로 쓸 수 있다. 이때, $f_{even}(x) = x+4$, $f_{odd}(x) = x+3$으로 정의하면 위 식은 $f(x) = f_{even}(x^2) + xf_{odd}(x^2)$가 된다. 이와 동일하게 일반적으로 정의한 방식이 위 단락의 방식이다.
+{: .prompt-info}
+
+따라서, $\frac{n}{2}$차 식인 $f_{even}$과 $f_{odd}$에 대해 $e^{j\frac{2\pi i}{n}}, (j=0, ..., n-1)$의 함수값을 계산하면 원래 $f$의 함수값을 알아낼 수 있다. 여기서 처음 $x_i$를 위처럼 정의한 이유가 등장하는데, $e^{j\frac{2\pi i}{n}}$는 $j$가 $\frac{n}{2}$를 넘어가는 순간 같은값으로 겹치게 된다. 즉,
 
 $$
 \begin{equation}
-  e^{ij\frac{2\pi}{n}} = e^{i(j+n/2)\frac{2\pi}{n}} = e^{ij\frac{2\pi}{n}} e^{2\pi i} = e^{ij\frac{2\pi}{n}}
+  e^{j\frac{2\pi i}{n}} = e^{(j+n/2)\frac{2\pi i}{n}} = e^{j\frac{2\pi i}{n}} e^{2\pi i} = e^{j\frac{2\pi i}{n}}
 \end{equation}
 $$
 
@@ -186,10 +192,10 @@ $$
   A
   =
   \begin{bmatrix}
-    e^{(n-1)\cdot i\frac{2\pi}{n}n} & e^{(n-1)\cdot i\frac{2\pi}{n}(n-1)} & \cdots & 1 \\
-    e^{(n-2)\cdot i\frac{2\pi}{n}n} & e^{(n-2)\cdot i\frac{2\pi}{n}(n-1)} & \cdots & 1 \\
+    e^{(n-1)\cdot \frac{2\pi i}{n}n} & e^{(n-1)\cdot \frac{2\pi i}{n}(n-1)} & \cdots & 1 \\
+    e^{(n-2)\cdot \frac{2\pi i}{n}n} & e^{(n-2)\cdot \frac{2\pi i}{n}(n-1)} & \cdots & 1 \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-    e^{0\cdot i\frac{2\pi}{n}n} & e^{0\cdot i\frac{2\pi}{n}(n-1)} & \cdots & 1
+    e^{0\cdot \frac{2\pi i}{n}n} & e^{0\cdot \frac{2\pi i}{n}(n-1)} & \cdots & 1
   \end{bmatrix}
 \end{equation}
 $$
@@ -204,23 +210,23 @@ $$
 \end{equation}
 $$
 
-에 곱하는것과 마찬가지임은 위 증명과정에서도 등장했다. 이제 행렬 $A$를 거듭제곱한 $B = A^2$의 각 원소를 구해보면 아래와 같다. ($p, q$는 $1$부터 시작)
+에 곱하는것과 마찬가지임은 위 증명과정에서도 등장했다. 이제 행렬 $A$를 거듭제곱한 $B = A^2$의 각 원소를 구해보면 아래와 같다.
 
 $$
 \begin{equation}
-  B_{pq} = \sum_{k=0}^{n-1}{A_{pk}A_{kq}} = \sum_{k=0}^{n-1}{e^{(n-p)\cdot i\frac{2\pi}{n}(n-k)}e^{(n-k)\cdot i\frac{2\pi}{n}(n-q)}} = \sum_{k=0}^{n}e^{\frac{2\pi i k}{n}(p+q)}
+  B_{pq} = \sum_{k=0}^{n-1}{A_{pk}A_{kq}} = \sum_{k=0}^{n-1}{e^{(n-p)\cdot \frac{2\pi i}{n}(n-k)}e^{(n-k)\cdot \frac{2\pi i}{n}(n-q)}} = \sum_{k=0}^{n}e^{\frac{2\pi i}{n}k(p+q)}
 \end{equation}
 $$
 
-$p + q$가 $n$의 배수인 경우에 등비수열의 합을 잘 계산하면 ($\omega = e^{\frac{2\pi}{n}(p+q)}$)
+$p + q$가 $n$의 배수가 아닌 경우에 등비수열의 합을 잘 계산하면 ($\omega = e^{\frac{2\pi}{n}(p+q)}$)
 
 $$
 \begin{equation}
   B_{pq} = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0
 \end{equation}
 $$
 
-한편 $p + q$가 $n$의 배수가 아닌 경우에는
+한편 $p + q$가 $n$의 배수인 경우에는
 
 $$
 \begin{equation}
@@ -235,10 +241,11 @@ $$
   A^2
   =
   \begin{bmatrix}
-    0 & 0 & \cdots & n \\
-    0 & 0 & \cdots & 0 \\
+    0 & 0 & \cdots & 0 & n \\
+    0 & 0 & \cdots & n & 0 \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-    n & 0 & \cdots & 0
+    0 & n & \cdots & 0 & 0 \\
+    n & 0 & \cdots & 0 & 0
   \end{bmatrix}
 \end{equation}
 $$
@@ -263,7 +270,7 @@ $$
 \end{equation}
 $$
 
-를 얻으므로, 이로부터 계수를 완벽하게 복원해 낼 수 있다. 
+를 얻으므로, 이로부터 $h(x)$의 계수를 완벽하게 복원해 낼 수 있다. 
 
 $$
 \begin{equation}