- Предмет и задачи вычислительной математики. Исторические сведения и предметные области приложения. Классификация методов вычислительной математики.
- Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Схема вычислительного эксперимента.
- Погрешности вычислений. Классификация и источники погрешностей.
- Определение абсолютной и относительной погрешностей числовых величин. Предельные абсолютная и относительная погрешности вычислений.
- Понятие значащих, верных цифр в числе (в широком и узком смысле). Правило округления.
- Погрешности арифметических операций.
- Погрешности вычисления функции.
- Классификация нелинейных уравнений и методов их решения. Способы решения нелинейных уравнений средствами систем компьютерной математики (СКМ).
- Методы отделения корней нелинейного уравнения. Алгоритм локализации корней.
- Метод половинного деления уточнения корня нелинейного уравнения. Оценка числа итераций. Преимущества и недостатки метода.
- Метод хорд уточнения корня нелинейного уравнения.
- Одно- и двухшаговый метод секущих уточнения корня нелинейного уравнения
- Метод Ньютона (касательных) уточнения корня нелинейного уравнения.
- Метод простой итерации уточнения корня нелинейного уравнения. Условие сходимости метода.
- Сведение к нелинейным уравнениям задачи одномерной безусловной оптимизации. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- Постановка задачи решения линейной системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Обусловленность системы. Геометрическая интерпретация обусловленности СЛАУ.
- Классификация методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Понятия точных и итерационных численных методов решения СЛАУ и области их применения. Способы решения СЛАУ средствами систем КМ.
- Алгоритм Гаусса решения линейных систем алгебраических уравнений.
- Особенности алгоритмов Гаусса-Краута, Гаусса-Жордана решения систем линейных уравнений. Вычисление определителей, обращение матриц.
- Приведенная форма системы линейных алгебраических уравнений, используемая в итерационных методах. Условия сходимости итерационных методов.
- Метод простой итерации решения системы линейных уравнений.
- Итерационная формула метода Зейделя решения линейной системы алгебраических уравнений. Приведение системы к нормальному виду.
- Постановка задачи решения системы нелинейных уравнений (СНУ). Отделение корней системы. Решение систем нелинейных уравнений средствами систем КМ.
- Методы уточнения решений СНУ: итераций и Зейделя. Условия сходимости.
- Метод уточнения решений СНУ- метод Ньютона.
- Постановка задачи приближения (аппроксимации) функций. Встроенные функции СКМ (Mathcad) для реализации линейной и полиномиальной регрессии. Коэффициент и индекс корреляции. Аппроксимация линейной комбинацией линейно независимых функций. Нахождение некоторых приближающих функции с нелинейной зависимостью от параметров.
- Среднеквадратичное приближение функций. Метод наименьших квадратов (МНК). Нахождение аппроксимирующей функции, линейно зависящей от параметров.
- МНК для линейной и полиномиальной регрессии. Преобразование некоторых аппроксимирующих функций с нелинейной зависимостью от параметров к линейной зависимости.
- Постановка задачи интерполяции функций. Интерполяционный многочлен.
- Интерполяционный полином Лагранжа.
- Понятие сплайна. Интерполяция кубическими сплайнами. Встроенные функции сплайн – интерполяции в СКМ (Mathcad).
- Геометрическая интерпретация численного интегрирования. Возможности визуализации геометрических приложений определенного интеграла в СКМ (Mathcad).
- Квадратурные формулы прямоугольников (правых, левых и средних).
- Квадратурная формула трапеций.
- Квадратурные формулы Симпсона (2 варианта).