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--- a/.gitignore
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@@ -2,8 +2,14 @@
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--- a/LALUbook.cls
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@@ -120,7 +120,7 @@
 
 \DeclareMathOperator{\diag}{diag}
 
-\tcbset{commonstyle/.style={
+\tcbset{laluthmstyle/.style={
             breakable,
             colframe=#1!50!black,
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@@ -154,7 +154,7 @@
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 \NewTColorBox{tcblaluthmbox}{mmm}{
-    commonstyle={teal},
+    laluthmstyle={teal},
     colframe=teal!80!black,
     title=#1\IfBlankF{#2}{\quad#2},
     #3,
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 \NewDocumentEnvironment{proof}{O{}O{}}{\begin{tcblaluthmbox}{{\heiti 证明}}{#1}{#2}\fangsong}{\hspace*{\fill}$\square$\end{tcblaluthmbox}}
 \NewDocumentEnvironment{solution}{O{}O{}}{\begin{tcblaluthmbox}{{\heiti 解}}{#1}{#2}\fangsong}{\end{tcblaluthmbox}}
 
-\newcommand{\Ob}{\mathop\mathrm{Ob}}
+\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
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 \newcommand{\FVect}{\mathsf{FVect}}
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     \RequirePackage{bookmark}
     \RequirePackage{cleveref}
 
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{definition}{定义}{commonstyle={red}}{def}
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{example}{例}{commonstyle={blue}}{ex}
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{lemma}{引理}{commonstyle={orange}}{lem}
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{theorem}{定理}{commonstyle={violet}}{thm}
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{corollary}{推论}{commonstyle={green}}{cor}
-    \newtcbtheorem[number within=chapter]{axiom}{公理}{commonstyle={olive}}{axm}
+    \newtcbtheorem[number within=chapter]{definition}{定义}{laluthmstyle={red}}{def}
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     \hypersetup{
         unicode,
diff --git a/README.md b/README.md
index 8def1cf..c442230 100644
--- a/README.md
+++ b/README.md
@@ -32,3 +32,9 @@
 ## 手动编译
 
 在仓库目录下运行 `make` 编译讲义与习题参考答案，运行 `make main` 或 `make ans` 分别编译，或在对应文件夹下运行 `make`. 编译完成的 PDF 位于对应文件夹下.
+
+也可以使用 Docker 编译：
+
+```bash
+docker run -v "$PWD":/workdir -e TERM=xterm --rm texlive/texlive:latest make
+```
diff --git a/latexmk.mk b/latexmk.mk
index 78c5ab6..9e116b2 100644
--- a/latexmk.mk
+++ b/latexmk.mk
@@ -24,3 +24,6 @@ clean:
 ifdef CPNAME
 	rm -f $(CPNAME).pdf $(CPNAME).tex
 endif
+
+# indent
+# for i in *.tex; do latexindent -m --GCString -l ../latexindent.yaml -g /dev/null -wd $i; done
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/figs/18-1.png" "b/\350\256\262\344\271\211/figs/18-1.png"
deleted file mode 100644
index 95fbea0..0000000
Binary files "a/\350\256\262\344\271\211/figs/18-1.png" and /dev/null differ
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"
index f50c773..52b379d 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"	
@@ -193,14 +193,14 @@ \section{对偶空间与对偶映射}
     \item 两条线一定交于一点（这需要由给平行直线补上无穷远处的交点来实现）.
 \end{enumerate}
 在如上两条陈述中，点和线就构成了一组对偶的对象：我们把两点翻译成两条线，一条直线翻译成一点，确定翻译成交于——这与诗词中的对偶手法似乎也有些类似. 再考虑三维情形，三个点确定一个平面，三个平面确定一个点（同样补上无穷远处的点），这就构成了点与平面的对偶. 以此类推，一个点作为一个零维的对象总是与一个比总空间维数少 $1$（我们一般直接将其称作“余一维”）的对象对偶，这个对象被我们称作\term{超平面}. 在 $\R^n$ 中，它被如下的方程所唯一确定：
-\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n = 1\]
+\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1\]
 最后的值是 $1$ 是因为，如果这个等式的结果为 $b$，那我们（在它非零时，等于零的情况我们将来会发现十分特殊）总是可以把它除到左边去，通过改变系数的手法让它能够化为这样的一个方程. 这也已经暗示了这是一个 $n - 1$ 维的对象，因为我们通过一个 $n$ 个未知量的方程降低了一个``自由度''. 那么，接下来我们要考虑的是对于线性空间来说又会如何.
 
 \subsection{对偶空间}
 
 很直观地，我们发现，上面所给的方程无非是一个从 $\R^n$ 到 $\R$ 的线性映射
-\[f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n\]
-在取值$1$下的完全原像$\{x: f(x) = 1\}$（记$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$）. 因此，我们类似地考虑从 $V$ 到基域 $\R$的线性映射，并给它一个新名字：
+\[f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n\]
+在取值$1$下的完全原像$\{x: f(x) = 1\}$（记$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$）. 因此，我们类似地考虑从 $V$ 到基域 $\R$的线性映射，并给它一个新名字：
 
 \begin{definition}{}{}
     称 $\mathcal{L}(V, \R)$ 上的元素为 $V$ 上的一个\term{线性泛函}.
@@ -253,14 +253,14 @@ \subsection{对偶空间}
         \end{cases}$，这个条件可以写成
     \[f_i(e_j) = \delta_{ij}, \forall i, j = 1, 2, \ldots, n\]
     这就是对前面所谓的超平面方程中的系数的形式化. 接下来，我们先验证这确实是 $V^*$ 的一组基，考虑固定 $f \in V^*$，任取 $V$ 的一个向量 $v = v_1 e_1 + v_2 e_2 + \ldots v_n e_n$，我们就有
-    \[f(v) = f(v_1 e_1) + f(v_2 e_2) + \ldots + f(v_n e_n)\]
+    \[f(v) = f(v_1 e_1) + f(v_2 e_2) + \cdots + f(v_n e_n)\]
     注意到
-    \[f_i(v) = f_i (v_1 e_1 + v_2 e_2 + \ldots + v_n e_n) = v_i\]
+    \[f_i(v) = f_i (v_1 e_1 + v_2 e_2 + \cdots + v_n e_n) = v_i\]
     我们就可以将上式写成
     \begin{align*}
-        f(v) & = f(f_1(v) e_1) + f(f_2(v) e_2) + \ldots + f(f_n(v) e_n) \\
-             & = f_1(v) f(e_1) + f_2(v) f(e_2) + \ldots + f_n(v) f(e_n) \\
-             & = (f(e_1) f_1 + f(e_2) f_2 + \ldots + f(e_n) f_n)(v)
+        f(v) & = f(f_1(v) e_1) + f(f_2(v) e_2) + \cdots + f(f_n(v) e_n) \\
+             & = f_1(v) f(e_1) + f_2(v) f(e_2) + \cdots + f_n(v) f(e_n) \\
+             & = (f(e_1) f_1 + f(e_2) f_2 + \cdots + f(e_n) f_n)(v)
     \end{align*}
     因此可以将 $f$ 表出成 $f_i$ 的线性组合. 然后我们知道$\mathcal{L}(V, \R)$的维数等于$V$的维数，所以这组向量的长度也是合理的，因此构成一组基（当然读者也可以直接证明线性无关来说明这一点）. 然后，$e_i \mapsto f_i$ 自然地生成了一个线性映射
     \begin{equation*}
@@ -340,7 +340,7 @@ \subsection{对偶空间}
     \]
 \end{proof}
 
-我想读者读到这里心里会有一个自然的疑问，便是为什么我们定义的映射是$V\to W$的，但对偶映射却是$W^*\to V^*$的？事实上，我们肯定是能够构造出$V^*\to W^*$的映射的，因为我们有$V\to V^*$的同构，它们的元素之间是一一对应的，同理$W$和$W^*$也是如此. 然后我们可以仿照$f$的定义来定义$f^*$，如果我们设$\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$为$V$的一组基，$\beta_i(i=1,2,\cdots,m)$为$W$的一组基，且
+我想读者读到这里心里会有一个自然的疑问，便是为什么我们定义的映射是$V\to W$的，但对偶映射却是$W^*\to V^*$的？事实上，我们肯定是能够构造出$V^*\to W^*$的映射的，因为我们有$V\to V^*$的同构，它们的元素之间是一一对应的，同理$W$和$W^*$也是如此. 然后我们可以仿照$f$的定义来定义$f^*$，如果我们设$\alpha_i(i=1,2,\ldots,n)$为$V$的一组基，$\beta_i(i=1,2,\ldots,m)$为$W$的一组基，且
 \[f(\alpha_i)=c_{i1}\beta_1+c_{i2}\beta_2+\cdots+c_{im}\beta_m,\]
 那么我们可以定义$f^*(\alpha_i^*)=\sum\limits_{i=1}^m c_{ij}\beta_i^*$，这样的定义是非常直接的继承. 但是，根据我们之前的讨论，这样的定义是不自然的，因为它依赖于基的选取. 但我们看\autoref{def:对偶映射} 的定义则不依赖于基的选取. 当然，一定有读者还保有一丝希望，希望我们能够找到一个$V^*\to W^*$的自然映射，但我们前面已经分析过，我们在定义时只有一个已知的 $f$ 是 $V\to W$ 中的映射，如果我们接收一个$V\to \R$的函数，这两个映射是无法直接复合的，更不用说得到一个$W\to \R$的函数了.
 
@@ -427,7 +427,7 @@ \subsection{对偶映射的矩阵表示}
 这个结果看起来很平凡，对吧？但是让我们暂停一下，重新反思一下前面的几何直观. 如果我们有超平面方程
 
 \[
-    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ldots + a_n x_n = 1
+    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1
 \]
 
 我们记$a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^\mathrm{T},x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}$，于是上面的方程可以简化为$a^T x = 1$. 事实上，对于给定的一个超平面$a^T x = 1$，我们知道一定有某个点与之对应，事实上它就是$\tilde{x} = a$，即就是超平面方程的系数.
@@ -525,7 +525,7 @@ \subsection{零化子}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    我们只证明第一条. 考虑 $\phi \in U$，则 $N(U)$ 中的所有元素一定包含于 $\ker \phi$ 中，因此，$\phi$ 一定把其中的所有元素映到 $0$，即 $\phi \in N(U)^0, U \subset N(U)^0$. 然后，我们需要考虑维数问题. 考虑 $U$ 中的一组基 $e_1, e_2, \cdots, e_m$，其对偶基 $e_1^*, e_2^*, ..., e_m^*$ 可以扩张成 $V$ 的一组基 $e_1^*, e_2^*, \cdots e_m^*, e_{m + 1}, \cdots, e_n$，则根据基的线性无关性，不难得出 $N(U)$ 的基就是 $e_{m + 1}, \cdots, e_n$. 也就是说，$\dim N(U) = \dim V - \dim U$，于是 $\dim U = \dim N(U)^0$，我们得到 $U = N(U)^0$.
+    我们只证明第一条. 考虑 $\phi \in U$，则 $N(U)$ 中的所有元素一定包含于 $\ker \phi$ 中，因此，$\phi$ 一定把其中的所有元素映到 $0$，即 $\phi \in N(U)^0, U \subset N(U)^0$. 然后，我们需要考虑维数问题. 考虑 $U$ 中的一组基 $e_1, e_2,\ldots, e_m$，其对偶基 $e_1^*, e_2^*, ..., e_m^*$ 可以扩张成 $V$ 的一组基 $e_1^*, e_2^*, \cdots e_m^*, e_{m + 1},\ldots, e_n$，则根据基的线性无关性，不难得出 $N(U)$ 的基就是 $e_{m + 1},\ldots, e_n$. 也就是说，$\dim N(U) = \dim V - \dim U$，于是 $\dim U = \dim N(U)^0$，我们得到 $U = N(U)^0$.
 \end{proof}
 
 于是，我们有了一个更加舒适的视角来理解零化子：它无非就是对偶空间中的零点集. 因此，我们应当很容易理解对于单个线性映射，以下性质无非是这条结论的推论：
@@ -652,7 +652,7 @@ \section{再论商空间}
 
 % 这样的构造也被称为余纤维积. 更深入地探讨这样的构造不是我们在这里会去做的事情，但是我们会把更多关于推出的问题留在习题中，以供有兴趣的同学参考.
 
-最后的一个反思是，对偶空间的意义到底在哪？在最开始，我们已经提到过，线性泛函就是超平面，超平面与点具备对偶关系. 而这样的对偶关系延伸开去，就是两种对线性方程组的视角，其中，超平面的交的视角我们将在线性方程组一般理论的讨论中展开，这里我们给出点的视角. 如果将 $(a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in})$ 视作一个点，那么我们的求解任务就是找一个超平面过 $m$ 个点. 而我们在中学阶段就已经知道，要证明一组点共面是一个比较麻烦的事情，但是求一组面是否有交点往往来说是比较轻松的. 因此，我们通过对偶空间进行了一个翻译工作，将求一组点所共的那些面转化成了一些面所交的那些点，进而对问题完成了简化.
+最后的一个反思是，对偶空间的意义到底在哪？在最开始，我们已经提到过，线性泛函就是超平面，超平面与点具备对偶关系. 而这样的对偶关系延伸开去，就是两种对线性方程组的视角，其中，超平面的交的视角我们将在线性方程组一般理论的讨论中展开，这里我们给出点的视角. 如果将 $(a_{i1}, a_{i2},\ldots, a_{in})$ 视作一个点，那么我们的求解任务就是找一个超平面过 $m$ 个点. 而我们在中学阶段就已经知道，要证明一组点共面是一个比较麻烦的事情，但是求一组面是否有交点往往来说是比较轻松的. 因此，我们通过对偶空间进行了一个翻译工作，将求一组点所共的那些面转化成了一些面所交的那些点，进而对问题完成了简化.
 
 \begin{theorem}{}{}
     设$U$是有限维线性空间$V$的子空间，则
@@ -743,7 +743,7 @@ \section{再论商空间}
     \item 设$U$和$W$是线性空间$V$的子空间. 构造同构映射证明：若$V=U\oplus W$，则$U$和$V/W$同构.
     \item 实际上，零化子有一个更广泛的版本，考虑 $S$ 为 $V$ 的一个子集，也能如上构造 $S^0$，尝试证明，这样的构造满足以下性质：
           \begin{enumerate}
-              \item $S^{00} = \mathop{\text{span}}S$
+              \item $S^{00} = \spa S$
               \item $S \subset T \iff T^0 \subset S^0$
               \item 若 $U_1, U_2$ 为 $V$ 的两个子空间，证明 \begin{enumerate}
                         \item $(U_1 + U_2)^0 = U_1^0 \cap U_2^0$
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"
index 0c31a94..58cb795 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"	
@@ -21,7 +21,7 @@ \subsection{线性方程组解的一般理论}
         \item 如果$A$的秩小于$n$，则方程组有无穷多个解.
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
-实际上，当系数矩阵为方阵时，这一定理就是\nameref{thm:Cramer}结论的一部分，我们不再赘述其证明. 实际上，通过上面两个定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.
+实际上，当系数矩阵为方阵时，这一定理就是 \nameref{thm:Cramer}结论的一部分，我们不再赘述其证明. 实际上，通过上面两个定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.
 \begin{example}{}{}
     设$n$阶矩阵$A$的行列式$|A|\neq 0$，记$A$的前$n-1$列形成的矩阵为$A_1$，$A$的第$n$列为$\vec{b}$，问：线性方程组$A_1X=\vec{b}$是否有解？
 \end{example}
@@ -57,7 +57,7 @@ \subsection{齐次线性方程组解的一般理论}
     由\autoref{thm:齐次维数}，$r(A)=n-\dim N(A)$，$r(B)=n-\dim N(B)$，由于$AX=\vec{0}$的解都是$BX=\vec{0}$的解，即$N(A) \subset N(B)$，因此$\dim N(A) \leqslant \dim N(B)$，故$r(B) \leqslant r(A)$.
 \end{proof}
 
-实际上在前面的讨论中，无论是\autoref{thm:有解条件} 的结论，都与列向量组成的线性空间有关，仿佛从未出现过行向量有关的定理. 事实上，我们将在未来讨论了内积空间正交性后展开对行向量空间的讨论，现在囿于概念上的缺乏无法叙述相关定理.
+实际上在前面的讨论中，无论是\nameref{thm:有解条件}的结论，都与列向量组成的线性空间有关，仿佛从未出现过行向量有关的定理. 事实上，我们将在未来讨论了内积空间正交性后展开对行向量空间的讨论，现在囿于概念上的缺乏无法叙述相关定理.
 
 \subsection{非齐次线性方程组解的一般理论}
 
@@ -198,11 +198,11 @@ \section{理论应用}
                                         \end{pmatrix}.
               \end{align*}
               事实上第一次变换是第二行乘以$-E$加到第一行，第二次变换是第一列加到第二列，第三次变换是第二列乘以$-A$加到第一列，第四次变换是第一行乘以$E-A$加到第二行，注意每一步都是分块矩阵初等变换，因此不改变矩阵的秩，因此有
-              \[r(\begin{pmatrix}
+              \[r\begin{pmatrix}
                       A & O \\ O & A-E
-                  \end{pmatrix})=r(\begin{pmatrix}
+                  \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}
                       O & E \\ -A(A-E) & O
-                  \end{pmatrix}).\]
+                  \end{pmatrix}.\]
               即$r(A)+r(A-E)=n+r(-A(A-E))$，故$r(A)+r(A-E)=n$等价于$r(-A(A-E))=0$，即$-A(A-E)=O$，即$A^2=A$，得证.
 
               事实上，如果我们只需要证明$A^2=A \implies r(A)+r(E-A)=n$，我们可以用如下方法：由$A^2=A$可知$A(A-E)=O$，由本例第二问知$r(A)+r(A-E)\leqslant n$，又根据秩不等式$r(A)+r(B)\geqslant r(A+B)$，因此$r(A)+r(E-A)\geqslant r(A+(E-A))=r(E)=n$. 综上可知，$r(A)+r(E-A)=n$.
@@ -235,9 +235,9 @@ \section{线性方程组拓展题型}
 
 \subsection{含参数的线性方程组问题}
 
-此类问题一般考察对于含参数的线性方程组，参数取值如何时有解/无解/有唯一解等. 本质而言，\autoref{thm:有解条件} 完全可以解决这一问题.
+此类问题一般考察对于含参数的线性方程组，参数取值如何时有解/无解/有唯一解等. 本质而言，\nameref{thm:有解条件}完全可以解决这一问题.
 
-事实上，利用\autoref{thm:方程组解} 在有解情况下只需计算行列式判断非常方便，但判断无解需要利用\autoref{thm:有解条件}，其中线性相关性的判断通常仍然需要我们对系数矩阵进行高斯消元法. 我们来看一个简单的例子：
+事实上，利用\autoref{thm:方程组解} 在有解情况下只需计算行列式判断非常方便，但判断无解需要利用\nameref{thm:有解条件}，其中线性相关性的判断通常仍然需要我们对系数矩阵进行高斯消元法. 我们来看一个简单的例子：
 \begin{example}{}{}
     当$k$取何值时，方程组：
     \[\begin{cases}
@@ -265,7 +265,7 @@ \subsection{含参数的线性方程组问题}
               \[(\dfrac{k^2+2k}{k+1},\dfrac{k^2+2k+4}{k+1},-\dfrac{2k}{k+1})^{\mathrm{T}}.\]
     \end{enumerate}
 
-    事实上，本题方程个数与未知数个数相等，因此可以运用\nameref{thm:Cramer}解决. 首先求解系数矩阵$A$的行列式为
+    事实上，本题方程个数与未知数个数相等，因此可以运用 \nameref{thm:Cramer}解决. 首先求解系数矩阵$A$的行列式为
     \[|A|=\begin{vmatrix}
             1  & 1  & k \\
             -1 & k  & 1 \\
@@ -491,7 +491,7 @@ \subsection{线性方程组公共解问题}
                       A \\ B
                   \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}
                       \vec{b} \\ \vec{d}
-                  \end{pmatrix}$有解（根据\autoref{thm:有解条件}），记为$X_0$，则
+                  \end{pmatrix}$有解（根据\nameref{thm:有解条件}），记为$X_0$，则
               \[\begin{pmatrix}
                       A \\ B
                   \end{pmatrix}X_0=\begin{pmatrix}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/13 \345\217\262\346\265\267\346\213\276\351\201\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/13 \345\217\262\346\265\267\346\213\276\351\201\227.tex"
index 51ed0c4..01f4e55 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/13 \345\217\262\346\265\267\346\213\276\351\201\227.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/13 \345\217\262\346\265\267\346\213\276\351\201\227.tex"	
@@ -384,13 +384,13 @@ \subsection{正定性：从数到矩阵，以及本世纪的矩阵论}
 当然，我们需要澄清一些概念：
 
 \begin{definition}{}{}
-    一个 $n$ 元的矩阵单项式是一个形如 $am_1m_2 \cdots m_k$ 的连乘积，其中 $a \in \R$，$m_i$ 为矩阵变元 $x_j \enspace(j \leqslant n)$ 或其转置. 一个 $n$ 元的矩阵多项式是有限个 $n$ 元矩阵单项式的和.
+    一个 $n$ 元的矩阵单项式是一个形如 $am_1m_2 \cdots m_k$ 的连乘积，其中 $a \in \mathbf{R}$，$m_i$ 为矩阵变元 $x_j \enspace(j \leqslant n)$ 或其转置. 一个 $n$ 元的矩阵多项式是有限个 $n$ 元矩阵单项式的和.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}{}{}
     一个 $n$ 元的矩阵多项式 $Q$ 的值域 $\im Q$ 被定义为
 
-    \[ \bigcup_{m = 1}^\infty\left\{Q(A_1, A_2, \ldots, A_n) \mid A_i \in \mathbf{M}_m(\R)\right\} \]
+    \[ \bigcup_{m = 1}^\infty\left\{Q(A_1, A_2, \ldots, A_n) \mid A_i \in \mathbf{M}_m(\mathbf{R})\right\} \]
 
     即在代入任意 $n$ 个 $m$ 阶方阵之后所能得到的结果.
 \end{definition}
@@ -422,7 +422,7 @@ \subsection{正定性：从数到矩阵，以及本世纪的矩阵论}
 这个概念由 Karcher 在 1973 年先引入到任意度量空间中，这里呈现的是 Moakher 在 2005 年将其引入到矩阵中的版本. 在 2006 年，Bhatia 和 Holbrook 合作的论文呈现了它的一系列性质，并给出了一个猜想. 这个猜想是对下面这个简单事实的推广：
 
 \begin{lemma}{}{}
-    考虑 $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n \in \R$，且 $\forall i \leqslant n,\enspace x_i \leqslant y_i$. 记 $x, y$ 分别为使得
+    考虑 $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n \in \mathbf{R}$，且 $\forall i \leqslant n,\enspace x_i \leqslant y_i$. 记 $x, y$ 分别为使得
     \[ \sum_{i = 1}^n (x - x_i)^2, \quad \sum_{i = 1}^n (y - y_i)^2 \]
     取得极小值的 $x$ 和 $y$，则 $x \leqslant y$.
 \end{lemma}
@@ -707,7 +707,7 @@ \subsection{线性化：群表示的艺术}
     从群 $G$ 到线性空间 $V$ 上的表示（representation）意指一个从 $G$ 到 $\mathcal{L}(V)$ 的群同态.
 \end{definition}
 
-通常地，我们会研究实表示和复表示，也就是把 $V$ 取为 $\R^n(\R)$ 和 $\C^n(\C)$. 我们将表示空间的维数称为表示的维数. 对表示论的研究很大程度上是对特征标的研究：
+通常地，我们会研究实表示和复表示，也就是把 $V$ 取为 $\mathbf{R}^n(\mathbf{R})$ 和 $\mathbf{C}^n(\mathbf{C})$. 我们将表示空间的维数称为表示的维数. 对表示论的研究很大程度上是对特征标的研究：
 
 \begin{definition}{}{}
     考虑有限维表示 $\rho: G \to \mathcal{L}(V)$，$V$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的向量空间，表示 $\rho$ 的特征标被定义为：
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"
index 81059c7..9b45c33 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"	
@@ -143,13 +143,13 @@ \section{整除与互素}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
     设$\deg p=n,\deg s=m$. 若$n<m$，则取$q=0,r=p$即可. 若$n\geqslant m$，我们有如下向量组：
-    \[1,x,\cdots,x^{m-1},s(x),xs(x),\cdots,x^{n-m}s(x),\]
-    它们在$\mathbf{F}_{n+1}[x]$中是线性无关的，这一点很容易验证，因为每个多项式次数都不同. 并且向量组的长度为$n+1=\dim\mathbf{F}_{n+1}[x]$，因此构成$\mathbf{F}_{n+1}[x]$的一组基. 因此有$p(x)$在这一组基下的坐标表示，即存在唯一的$a_0,a_1,\cdots,a_{m-1},b_0,b_1,\cdots,b_{n-m}\in\mathbf{F}$使得
+    \[1,x,\ldots,x^{m-1},s(x),xs(x),\ldots,x^{n-m}s(x),\]
+    它们在$\mathbf{F}_{n+1}[x]$中是线性无关的，这一点很容易验证，因为每个多项式次数都不同. 并且向量组的长度为$n+1=\dim\mathbf{F}_{n+1}[x]$，因此构成$\mathbf{F}_{n+1}[x]$的一组基. 因此有$p(x)$在这一组基下的坐标表示，即存在唯一的$a_0,a_1,\ldots,a_{m-1},b_0,b_1,\ldots,b_{n-m}\in\mathbf{F}$使得
     \begin{align*}
         p(x) & =a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}+b_0s(x)+b_1xs(x)+\cdots+b_{n-m}x^{n-m}s(x) \\
              & =[a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}]+[s(x)(b_0+b_1x+\cdots+b_{n-m}x^{n-m})].
     \end{align*}
-    取$q(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-m}x^{n-m}$，$r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}$即可满足定理要求. 唯一性直接根据$a_0,a_1,\cdots,a_{m-1},b_0,b_1,\cdots,b_{n-m}$的唯一性就可以得到.
+    取$q(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-m}x^{n-m}$，$r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{m-1}x^{m-1}$即可满足定理要求. 唯一性直接根据$a_0,a_1,\ldots,a_{m-1},b_0,b_1,\ldots,b_{n-m}$的唯一性就可以得到.
 \end{proof}
 
 上述证明利用了线性空间的性质，事实上我们还有基于线性映射的证明思路，也有完全代数的证明角度，我们放在习题中供读者练习. 根据带余除法，我们知道的非零多项式$s(x)$整除$p(x)$当且仅当$s(x)$除$p(x)$后余数为$0$. 事实上这一定理的结论是非常重要的，我们解决很多问题都是基于这一定理，例如：
@@ -171,9 +171,9 @@ \section{整除与互素}
     类似地，若$p(x) \mid l(x)$且$q(x) \mid l(x)$，则称$l(x)$是$p(x)$和$q(x)$的一个公倍式. 若$p(x)$和$q(x)$的公倍式$l(x)$满足对$p(x)$和$q(x)$的任一公倍式$l'(x)$都有$l(x) \mid l'(x)$，则称$l(x)$是$p(x)$和$q(x)$的一个\term{最小公倍式（least common multiple, 简称lcm）}，通常记为$[p(x),q(x)]=l(x)$.
 \end{definition}
 故我们可以看出，当$p$和$q$不为0时，最大公因式即为次数最大的公因式. 相应的，最小公倍式即为次数最小的公倍式. 下面的问题是，我们如何求解最大公因式和最小公倍式呢？事实上类似于整数中的辗转相除法（或称欧几里得算法），对于多项式我们有如下结论：
-\begin{theorem}{}{欧几里得算法}
+\begin{theorem}{欧几里得算法}{欧几里得算法}
     设$p(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，则它们的最大公因式$d(x)$必存在，且存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得
-    \begin{equation} \label{eq:14:欧几里得算法}
+    \begin{equation}
         d(x)=u(x)p(x)+v(x)q(x).
     \end{equation}
 \end{theorem}
@@ -192,7 +192,7 @@ \section{整除与互素}
     \[r_{n-1}(x)=r_n(x)s_{n+1}(x).\]
     现在我们要证明$r_n(x)$就是$p(x)$和$q(x)$的最大公因式. 由上式知$r_n(x)\mid r_{n-1}(x)$，继续由$r_{n-2}(x)=r_{n-1}(x)s_n(x)+r_n(x)$可知$r_n(x)\mid r_{n-2}(x)$，不断回推可知$r_n(x)\mid q(x)$且$r_n(x)\mid p(x)$，即$r_n(x)$是$p(x)$和$q(x)$的一个公因式. 又设$r'(x)$也是$p(x)$和$q(x)$的一个公因式，由$p(x)=q(x)s_1(x)+r_1(x)$可知$r'(x)\mid p(x)$，由$q(x)=r_1(x)s_2(x)+r_2(x)$可知$r'(x)\mid q(x)$，因此$r'(x)\mid r_1(x)$，同理$r'(x)\mid r_2(x)$，不断下推可知$r'(x)\mid r_n(x)$，因此$r_n(x)$是$p(x)$和$q(x)$的最大公因式，因此最大公因式一定存在，并且我们也找到了算法进行求解.
 
-    进一步证明\autoref{eq:14:欧几里得算法} 成立，我们可以利用$r_{n-2}(x)=r_{n-1}(x)s_n(x)+r_n(x)$，得到
+    进一步证明\nameref{thm:欧几里得算法}成立，我们可以利用$r_{n-2}(x)=r_{n-1}(x)s_n(x)+r_n(x)$，得到
     \[r_n(x)=r_{n-2}(x)-r_{n-1}(x)s_n(x),\]
     进一步根据$r_{n-3}(x)=r_{n-2}(x)s_{n-1}(x)+r_{n-1}(x)$解出$r_{n-1}(x)$，代入上式得到
     \[r_n(x)=r_{n-2}(x)(1+s_{n-1}(x)s_n(x))-r_{n-3}(x)s_n(x),\]
@@ -225,32 +225,32 @@ \section{整除与互素}
 
 进一步地，我们可以类似定义多个多项式的最大公因式的概念，并且显然的一点是，多个多项式的最大公因式也是存在的，并且有如下结论：
 \begin{theorem}{}{}
-    设$p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x)\in\mathbf{F}[x]$，则它们的最大公因式$d(x)$必存在，且有：
+    设$p_1(x),p_2(x),\ldots,p_n(x)\in\mathbf{F}[x]$，则它们的最大公因式$d(x)$必存在，且有：
     \begin{enumerate}
-        \item $((p_1(x),p_2(x)),p_3(x),\cdots,p_n(x))=(p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x))$，并且最大公因式显然与多项式排列顺序无关，因此我们可以先求其中任意两个多项式的最大公因式，然后把问题转化为求解$n-1$个多项式的最大公因式的问题，不断重复这一过程直到求出所有多项式的最大公因式；
-        \item 存在$u_1(x),u_2(x),\cdots,u_n(x)\in\mathbf{F}[x]$使得
+        \item $((p_1(x),p_2(x)),p_3(x),\ldots,p_n(x))=(p_1(x),p_2(x),\ldots,p_n(x))$，并且最大公因式显然与多项式排列顺序无关，因此我们可以先求其中任意两个多项式的最大公因式，然后把问题转化为求解$n-1$个多项式的最大公因式的问题，不断重复这一过程直到求出所有多项式的最大公因式；
+        \item 存在$u_1(x),u_2(x),\ldots,u_n(x)\in\mathbf{F}[x]$使得
               \[d(x)=u_1(x)p_1(x)+u_2(x)p_2(x)+\cdots+u_n(x)p_n(x).\]
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
 接下来我们讨论最小公倍式的计算. 为了我们讨论的方便，我们需要先研究一个很常见的概念及其性质. 很多时候我们更重视$p(x),q(x)$最大公因式为$1$的情况，此时最小公倍式只能是两个多项式的乘积：
-\begin{definition}{}{}
+\begin{definition}{互素}{}
     设$p(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，若$(p(x),q(x))=1$，则称$p(x)$和$q(x)$\term{互素}\index{husu@互素 (coprime)}.
 \end{definition}
-根据\autoref{thm:欧几里得算法} 我们很自然地得到一个多项式互素的充要条件：
-\begin{theorem}{}{裴蜀定理}
+根据\nameref{thm:欧几里得算法}我们很自然地得到一个多项式互素的充要条件：
+\begin{theorem}{裴蜀定理}{裴蜀定理} \index{peishudingli@裴蜀定理 (Bézout's Lemma)}
     设$(x),q(x)\in\mathbf{F}[x]$，则$p(x)$和$q(x)$互素的充要条件是存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得\[u(x)p(x)+v(x)q(x)=1.\]
 \end{theorem}
-这一定理称之为\term{裴蜀定理}\index{peishudingli@裴蜀定理 (Bézout's Lemma)}，事实上在数论中也有相对应的结论，证明是非常自然的. 习题中我们会给出另一种基于线性映射的证明思路供读者练习，这里我们延续数论的思路给出证明：
+这一定理称之为\term{裴蜀定理}，事实上在数论中也有相对应的结论，证明是非常自然的. 习题中我们会给出另一种基于线性映射的证明思路供读者练习，这里我们延续数论的思路给出证明：
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
-        \item 必要性：若$(p(x),q(x))=1$，由\autoref{thm:欧几里得算法} 知存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$.
+        \item 必要性：若$(p(x),q(x))=1$，由\nameref{thm:欧几里得算法}知存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$.
         \item 充分性：若$u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$，设$d(x)=(p(x),q(x))$，则$d(x)\mid u(x)p(x)+v(x)q(x)$，即$d(x)\mid 1$，故$d(x)$是一个首一常数多项式，即$d(x)=1$，故$p(x)$和$q(x)$互素.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
 关于互素我们有如下基本性质，在将来的讨论中都可能用到，因此在此列举. 为了内容的严谨与完整性还是给出了证明，读者如果觉得结论很显然（比如通过类比整数）可以适当略过证明.
-\begin{theorem}{}{互素性质}
+\begin{theorem}{互素的基本性质}{互素性质}
     设$p(x),q(x),s(x),d(x)\in\mathbf{F}[x]$，则有
     \begin{enumerate}
         \item 若$p(x)\mid s(x)$，$q(x)\mid s(x)$且$(p(x),q(x))=1$，则$p(x)q(x)\mid s(x)$；
@@ -261,7 +261,7 @@ \section{整除与互素}
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-    需要说明的是，在证明过程中我们多次用到\autoref{eq:14:欧几里得算法} 以及裴蜀定理，这是很常见的技巧.
+    需要说明的是，在证明过程中我们多次用到\nameref{thm:欧几里得算法}以及裴蜀定理，这是很常见的技巧.
     \begin{enumerate}
         \item 由于$(p(x),q(x))=1$，故存在$u(x),v(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$，设$s(x)=p(x)s_1(x),s(x)=q(x)s_2(x)$，则
               \begin{align*}
@@ -291,11 +291,11 @@ \section{整除与互素}
     \end{equation}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-    设$(p(x),q(x))=d(x)$，$p(x)=p_1(x)d(x),q(x)=q_1(x)d(x)$，则由\autoref{thm:互素性质}（3）知$(p_1(x),q_1(x))=1$. 首先我们观察到$p_1(x)d(x)q_1(x)$一定是$p(x)q(x)$的公倍式，不妨设它的首项系数$c\neq 0$，接下来的目标是证明$p_1(x)d(x)q_1(x)/c$是$p(x)q(x)$的最小公倍式.
+    设$(p(x),q(x))=d(x)$，$p(x)=p_1(x)d(x),q(x)=q_1(x)d(x)$，则由\nameref{thm:互素性质}（3）知$(p_1(x),q_1(x))=1$. 首先我们观察到$p_1(x)d(x)q_1(x)$一定是$p(x)q(x)$的公倍式，不妨设它的首项系数$c\neq 0$，接下来的目标是证明$p_1(x)d(x)q_1(x)/c$是$p(x)q(x)$的最小公倍式.
 
     又设$l(x)$是$p(x)q(x)$的一个公倍式，不妨设$l(x)=p(x)u(x)=q(x)v(x)$，则$p_1(x)d(x)u(x)=q_1(x)d(x)v(x)$，消去$d(x)$有
     \[p_1(x)u(x)=q_1(x)v(x),\]
-    由于$(p_1(x),q_1(x))=1$，由\autoref{thm:互素性质}（2）知$p_1(x)\mid v(x)$，$q_1(x)\mid u(x)$，因此存在$u'(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)=u'(x)q_1(x)$，故
+    由于$(p_1(x),q_1(x))=1$，由\nameref{thm:互素性质}（2）知$p_1(x)\mid v(x)$，$q_1(x)\mid u(x)$，因此存在$u'(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$u(x)=u'(x)q_1(x)$，故
     \[l(x)=p(x)u(x)=p_1(x)d(x)u'(x)q_1(x),\]
     故$p_1(x)d(x)q_1(x)/c\mid l(x)$，并且是首一多项式，故是$p(x)q(x)$的最小公倍式.
 \end{proof}
@@ -309,7 +309,7 @@ \section{整除与互素}
 \end{quotation}
 即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数. 《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理. 这里将要介绍的版本是多项式版本，事实上回忆整数和多项式都构成环这一代数结构，读者一定能想到无论是整数还是多项式版本实际上都是环上中国剩余定理的特例. 中国剩余定理的多项式版本如下：
 \begin{theorem}{中国剩余定理}{中国剩余定理}
-    设$q_1(x),q_2(x),\cdots,q_n(x)\in\mathbf{F}[x]$两两互素，即$(q_i(x),q_j(x))=1,\enspace\forall i,j\in\{1,2,\cdots,n\}$，则对任意的$r_1(x),r_2(x),\cdots,r_n(x)\in\mathbf{F}[x]$，方程组
+    设$q_1(x),q_2(x),\ldots,q_n(x)\in\mathbf{F}[x]$两两互素，即$(q_i(x),q_j(x))=1,\enspace\forall i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$，则对任意的$r_1(x),r_2(x),\ldots,r_n(x)\in\mathbf{F}[x]$，方程组
     \begin{equation} \label{eq:14:中国剩余定理}
         \begin{cases}
             p(x)\equiv r_1(x)\pmod{q_1(x)}, \\
@@ -335,7 +335,7 @@ \section{整除与互素}
     显然$p_k(x)$符合要求，因此我们构造出了这组方程的解为$p(x)=\sum\limits_{k=1}^nr_k(x)p_k(x)$.
 
     最后我们说明解在模$Q(x)=\prod\limits_{i=1}^nq_k(x)$下的唯一性. 设$p_1(x),p_2(x)$都是\autoref{eq:14:中国剩余定理} 的解，于是
-    \[p_1(x)\equiv p_2(x)\pmod{q_k(x)},\enspace k=1,2,\cdots,n,\]
+    \[p_1(x)\equiv p_2(x)\pmod{q_k(x)},\enspace k=1,2,\ldots,n,\]
     即$p_1(x)-p_2(x)$必然是每个$q_k(x)$的倍式，又由于$q_k(x)$两两互素，故$p_1(x)-p_2(x)$是$Q(x)$的倍式，即$p_1(x)\equiv p_2(x)\pmod{Q(x)}$，故解唯一.
 \end{proof}
 
@@ -348,7 +348,7 @@ \section{多项式的因式分解}
 不难发现，在定义中我们始终强调多项式的可约和不可约是相对于域$\mathbf{F}$的，例如，$x^2+1$在实数域上是不可约的，但在复数域上是可约的，$x^2-2$在实数域上是可约的，但在有理数域上是不可约的. 此外，根据定义，一次多项式无论在哪个数域上都是不可约多项式，因为我们要求分解得到的多项式次数严格小于原先的多项式.
 
 不难发现，不可约多项式可以类比于整数中的素数. 素数我们定义为有不等于$\pm 1$和它自身（以及自身相反数）的整数，也就是说素数如果要分解成两数的乘积，必为整数环中的可逆元（$\pm 1$）与其相伴多项式（自身或相反数）的乘积，这与不可约多项式是一致的，因为不可约多项式不能分解为次数更低的多项式的乘积，因此只能分解为常数（多项式环中的可逆元）和相伴多项式的乘积. 关于不可约多项式与素数性质的相似性，还有下面一个常用的结论：
-\begin{theorem}{}{不可约多项式的性质}
+\begin{theorem}{不可约多项式的性质}{不可约多项式的性质}
     设$p(x)$是域$\mathbf{F}$上的不可约多项式，
     \begin{enumerate}
         \item 对于任意多项式$q(x)\in\mathbf{F}[x]$，或者$p(x)\mid q(x)$，或者$(p(x),q(x))=1$；
@@ -358,11 +358,11 @@ \section{多项式的因式分解}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
         \item 设$(p(x),q(x))=d(x)$，因为$p(x)$不可约，故$p(x)$的因式只能是非零常数多项式或相伴多项$cf(x)(c\neq 0)$，故$d(x)=1$或$d(x)=cf(x)$（首一多项式）.
-        \item 否定一边证另一边. 假设$p(x)\nmid q(x)$，由（1）可知$(p(x),q(x))=1$，故由\autoref{thm:互素性质}（2）知$p(x)\mid s(x)$.
+        \item 否定一边证另一边. 假设$p(x)\nmid q(x)$，由（1）可知$(p(x),q(x))=1$，故由\nameref{thm:互素性质}（2）知$p(x)\mid s(x)$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 第二个结论可以很轻松地推广到多个多项式相乘的情形，我们陈述定理而不再赘述证明：
-\begin{corollary}{}{不可约多项式的性质推广}
+\begin{corollary}{不可约多项式的性质推广}{不可约多项式的性质推广}
     设$p(x)$是域$\mathbf{F}$上的不可约多项式且$p(x)\mid q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$，则$p(x)$必可整除其中某个$q_i(x)$.
 \end{corollary}
 
@@ -375,18 +375,18 @@ \section{多项式的因式分解}
               \begin{equation} \label{eq:14:多项式的唯一分解}
                   p(x)=q_1(x)q_2(x)\cdots q_m(x)=s_1(x)s_2(x)\cdots s_n(x),
               \end{equation}
-              为$p(x)$的两个不可约分解，即所有的$q_i(x),s_j(x)$都是不可约多项式，则$m=n$，且经过适当调换顺序后有$q_i(x)\sim s_i(x),\enspace i=1,2,\cdots,n$.
+              为$p(x)$的两个不可约分解，即所有的$q_i(x),s_j(x)$都是不可约多项式，则$m=n$，且经过适当调换顺序后有$q_i(x)\sim s_i(x),\enspace i=1,2,\ldots,n$.
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 定理的第一条表明不可约分解是存在的，第二条表明分解在不计不可约多项式次序以及相伴的意义下唯一. 下面我们给出定理的证明：
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
         \item 对$p(x)$的次数进行归纳. 若$\deg p=1$，结论显然成立. 设次数小于$n$的多项式都有不可约分解，考虑$\deg p=n$的情况，首先若$p(x)$是不可约多项式，则结论自然成立. 若$p(x)$是可约多项式，则存在$q(x),s(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$p(x)=q(x)s(x)$，且$\deg q(x),\deg s(x)<\deg p(x)$，由归纳法知$q(x),s(x)$可以分解为不可约多项式的乘积，故$p(x)$也可以分解为不可约多项式的乘积.
-        \item 对\autoref{eq:14:多项式的唯一分解} 中不可约多项式的个数$n$进行归纳，若$n=1$，说明$p(x)$是不可约多项式，因此$q_1(x)=s_1(x)=p(x)$. 设不可约多项式的个数小于$n$的多项式都满足结论，由两个分解式知$s_1(x)\mid q_1(x)q_2(x)\cdots q_m(x)$，由\autoref{cor:不可约多项式的性质推广} 知$s_1(x)$必可整除其中某个$q_i(x)$，不妨设$s_1(x)\mid q_1(x)$. 但是$s_1(x)$和$q_1(x)$都是不可约多项式，故$s_1(x)\sim q_1(x)$，即有
+        \item 对\autoref{eq:14:多项式的唯一分解} 中不可约多项式的个数$n$进行归纳，若$n=1$，说明$p(x)$是不可约多项式，因此$q_1(x)=s_1(x)=p(x)$. 设不可约多项式的个数小于$n$的多项式都满足结论，由两个分解式知$s_1(x)\mid q_1(x)q_2(x)\cdots q_m(x)$，由\nameref{cor:不可约多项式的性质推广}知$s_1(x)$必可整除其中某个$q_i(x)$，不妨设$s_1(x)\mid q_1(x)$. 但是$s_1(x)$和$q_1(x)$都是不可约多项式，故$s_1(x)\sim q_1(x)$，即有
               \[s_1(x)=cq_1(x),\]
               其中$c$是非零常数. 将上式代入\autoref{eq:14:多项式的唯一分解} 并消去$p_1(x)$得
               \[q_2(x)\cdots q_m(x)=c_2s_2(x)\cdots s_n(x),\]
-              由归纳法知$m=n$且经过适当调换顺序后有$q_i(x)\sim s_i(x),\enspace i=2,\cdots,n$. 并且前面的证明也有$q_1(x)\sim s_1(x)$，故对于$n$个不可约多项式的情况定理成立.
+              由归纳法知$m=n$且经过适当调换顺序后有$q_i(x)\sim s_i(x),\enspace i=2,\ldots,n$. 并且前面的证明也有$q_1(x)\sim s_1(x)$，故对于$n$个不可约多项式的情况定理成立.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -425,7 +425,7 @@ \section{多项式的因式分解}
               故$p(x)$与$p'(x)$有$q(x)^{m-1}(m>1)$为公因式，故$(p(x),p'(x))\neq 1$.
         \item 必要性：若$f(x)$无重因式，不可约多项式$q(x)$是$p(x)$的任一单因式，设$p(x)=q(x)s(x)$，则$q(x)$不能整除$s(x)$，于是
               \[p'(x)=q'(x)s(x)+q(x)s'(x),\]
-              若$q(x)$是$p'(x)$的因式，则$q(x)\mid q'(x)s(x)$，由于$q(x)$是不可约多项式，且$q(x)$不能整除$s(x)$，由\autoref{thm:不可约多项式的性质}（2）可知$q(x)\mid q'(x)$，由于$q(x)$是不可约多项式，故$\deg q>0$，故$q'$不是零多项式，且$\deg q'<\deg q$，这显然违背整除关系，故$q(x)$不是$p'(x)$的因式，即$p(x)$的任一单因子都不是$p'(x)$的因式，由\autoref{thm:互素性质}（5）可知，$(p(x),p'(x))=(q_1(x)\cdots q_n(x),p'(x))=1$.
+              若$q(x)$是$p'(x)$的因式，则$q(x)\mid q'(x)s(x)$，由于$q(x)$是不可约多项式，且$q(x)$不能整除$s(x)$，由\nameref{thm:不可约多项式的性质}（2）可知$q(x)\mid q'(x)$，由于$q(x)$是不可约多项式，故$\deg q>0$，故$q'$不是零多项式，且$\deg q'<\deg q$，这显然违背整除关系，故$q(x)$不是$p'(x)$的因式，即$p(x)$的任一单因子都不是$p'(x)$的因式，由\nameref{thm:互素性质}（5）可知，$(p(x),p'(x))=(q_1(x)\cdots q_n(x),p'(x))=1$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -437,7 +437,7 @@ \section{多项式的因式分解}
 
 \section{复数域上的多项式函数}
 在证明了唯一分解定理之后，关于一般域上的多项式结构的讨论就基本结束了. 在后续章节中，我们通常假定线性空间定义在常见的数域上（如复数域、实数域、有理数域），因此接下来我们转向\autoref{def:多项式函数} 中定义的多项式函数，讨论在一般数域上多项式函数的分解. 实际上，求解方程$p(x)=0$在其中起到关键的作用，因此我们首先讨论多项式函数的零点：
-\begin{definition}{}{}
+\begin{definition}{零点}{}
     设$p(x)\in\mathbf{F}[x]$，则$p(x)$的\term{零点}\index{lingdian@零点}（或称为根）是指方程$p(x)=0$的解.
 \end{definition}
 
@@ -457,7 +457,7 @@ \section{复数域上的多项式函数}
                   \item 充分性：这一方向比较显然，若存在多项式$q\in\mathbf{F}[x]$使得$p(x)=(x-\lambda)q(x)$，将$\lambda$代入得$p(\lambda)=0$.
                   \item 必要性：使用带余除法，我们有$p(x)=(x-\lambda)q(x)+r$，其中$\deg r<\deg(x-\lambda)=1$，故$r$是常数多项式，代入$x=\lambda$得$r=0$，故$p(x)=(x-\lambda)q(x)$.
               \end{enumerate}
-        \item 反证法，假设$p(x)$有$m+1$个互不相等的零点$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{m+1}$，则由（1）知$p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_{m+1})q(x)$，但$\deg p=m$，但等式右侧多项式次数大于$m$，矛盾.
+        \item 反证法，假设$p(x)$有$m+1$个互不相等的零点$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{m+1}$，则由（1）知$p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_{m+1})q(x)$，但$\deg p=m$，但等式右侧多项式次数大于$m$，矛盾.
         \item 反证法，假设$p(x)$有零点$\lambda$，则由（1）知$p(x)=(x-\lambda)q(x)$，但$p(x)$是不可约多项式，不能分解为两个次数更低的多项式的乘积，矛盾.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
@@ -505,7 +505,7 @@ \section{复数域上的多项式函数}
 
 除此之外，我们也可以得到中学中我们熟知的韦达定理的一般版本，即多项式的根与系数之间的关系：
 \begin{theorem}{韦达定理}{韦达定理}
-    设$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbf{F}[x]$，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$p(x)$视为复数域上多项式的$n$个根，则
+    设$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbf{F}[x]$，$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$是$p(x)$视为复数域上多项式的$n$个根，则
     \begin{gather*}
         \sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\\
         \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}\lambda_i\lambda_j=\frac{a_{n-2}}{a_n},\\
@@ -575,7 +575,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
 
 接下来我们便可以讨论有理数域上的多项式的因式分解. 实际上有理系数多项式和整系数多项式的可约性是一致的. 为了证明这一漂亮的结果，我们首先引入本原项式的概念：
 \begin{definition}{}{}
-    设$p(x)\in\mathbf{Z}[x]$，若$(a_0,a_1,\cdots,a_n)=1$，则称$p(x)$是\term{本原多项式}\index{benyuanduoxishi@本原多项式}.
+    设$p(x)\in\mathbf{Z}[x]$，若$(a_0,a_1,\ldots,a_n)=1$，则称$p(x)$是\term{本原多项式}\index{benyuanduoxishi@本原多项式}.
 \end{definition}
 即本原多项式是整系数多项式且其系数的最大公因式为$1$的多项式. 有了本原多项式的概念，我们可以得到如下高斯引理：
 \begin{lemma}{高斯引理}{高斯引理}
@@ -584,7 +584,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
 \begin{proof}
     设$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$，$q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0$，则$p(x)q(x)$的系数为
     \[c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j,\]
-    反证法，假设$p(x)q(x)$不是本原多项式，则存在素数$p$使得$p\mid c_k$. 由于$p(x)$和$q(x)$是本原多项式，因此$p$不可能整除同时整除它们的系数，于是可设$p\mid a_0,p\mid a_1,\cdots,p\mid a_{i-1}$但$p\nmid a_i$，$p\mid b_0,p\mid b_1,\cdots,p\mid b_{j-1}$但$p\nmid b_j$. 注意到
+    反证法，假设$p(x)q(x)$不是本原多项式，则存在素数$p$使得$p\mid c_k$. 由于$p(x)$和$q(x)$是本原多项式，因此$p$不可能整除同时整除它们的系数，于是可设$p\mid a_0,p\mid a_1,\ldots,p\mid a_{i-1}$但$p\nmid a_i$，$p\mid b_0,p\mid b_1,\ldots,p\mid b_{j-1}$但$p\nmid b_j$. 注意到
     \[c_{i+j}=\cdots+a_{i-2}b{j+2}+a_{i-1}b_{j+1}+a_ib_j+a_{i+1}b_{j-1}+\cdots,\]
     我们发现，$p$可以整除右式除$a_ib_j$外的每一项，故$p$不可能整除$c_{i+j}$，与假设矛盾，因此$p(x)q(x)$一定是本原多项式.
 \end{proof}
@@ -607,7 +607,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
 \begin{theorem}{艾森斯坦判别法}{艾森斯坦判别法}
     设$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbf{Z}[x]$，$a_n\neq 0$且$n\geqslant 1$，若存在一个素数$p$，满足
     \begin{enumerate}
-        \item $p\mid a_0,p\mid a_1,\cdots,p\mid a_{n-1}$，
+        \item $p\mid a_0,p\mid a_1,\ldots,p\mid a_{n-1}$，
         \item $p\nmid a_n$，
         \item $p^2\nmid a_0$，
     \end{enumerate}
@@ -618,7 +618,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
     \[f(x)=(b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0)(c_tx^t+c_{t-1}x^{t-1}+\cdots+c_0),\]
     其中$m+t=n$. 显然$a_0=b_0c_0,a_n=b_mc_t$，由于$p\mid a_0$且$p$是素数，故$p\mid b_0$或$p\mid c_0$，又$p^2\nmid a_0$，故$p$不能同时整除$b_0$和$c_0$，不妨设$p\mid b_0$且$p\nmid c_0$. 又由假设$p\nmid a_n=b_mc_t$，故$p\nmid b_m$且$p\nmid c_t$.
 
-    因此，我们不妨设$p\mid b_0,p\mid b_1,\cdots,p\mid b_{j-1}$，其中$0<j\leqslant m<n$. 而
+    因此，我们不妨设$p\mid b_0,p\mid b_1,\ldots,p\mid b_{j-1}$，其中$0<j\leqslant m<n$. 而
     \[a_j=b_jc_0+b_{j-1}c_1+\cdots+b_0c_j,\]
     根据假设$p\mid a_j$，但我们发现$p$可以整除右式除$b_jc_0$外的每一项，故$p$不可能整除$a_j$，矛盾，因此$p(x)$在整数环上不可约.
 \end{proof}
@@ -660,13 +660,13 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
                         因此$f(x)+g(x)=p(x)q_1(x)+p(x)q_2(x)=p(x)(q_1(x)+q_2(x))\in(p(x))$；
                   \item 设$f(x)\in(p(x)),\lambda\in\mathbf{F}$，则存在$q(x)\in\mathbf{F}[x]$使得$f(x)=p(x)q(x)$，因此$\lambda f(x)=\lambda p(x)q(x)=p(x)(\lambda q(x))\in(p(x))$.
               \end{enumerate}
-        \item 令$n=\deg p$. 我们知道，$\mathbf{F}[x]/(p(x))$的元素都具有$a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0+(p(x))$的形式，其中$a_k,\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{F}$，并且当$k\geqslant n$时，由带余除法我们有
+        \item 令$n=\deg p$. 我们知道，$\mathbf{F}[x]/(p(x))$的元素都具有$a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0+(p(x))$的形式，其中$a_k,\ldots,a_1,a_0\in\mathbf{F}$，并且当$k\geqslant n$时，由带余除法我们有
               \[a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0=p(x)q(x)+r(x),\]
               其中$\deg r(x)<n$. 我们回忆商空间的定义，必然有
               \[a_kx^k+\cdots+a_1x+a_0+(p(x))=r(x)+(p(x)),\]
               因此$\mathbf{F}[x]/(p(x))$的元素可以表示为
               \[c_tx^t+\cdots+c_1x+c_0+(p(x))\]
-              的形式，其中$t<n$. 因此我们直接取向量组$\{1+(p(x)),x+(p(x)),\cdots,x^{n-1}+(p(x))\}$作为$\mathbf{F}[x]/(p(x))$的一组基即可，因为它们首先能张成$\mathbf{F}[x]/(p(x))$，其次它们是线性无关的，因为
+              的形式，其中$t<n$. 因此我们直接取向量组$\{1+(p(x)),x+(p(x)),\ldots,x^{n-1}+(p(x))\}$作为$\mathbf{F}[x]/(p(x))$的一组基即可，因为它们首先能张成$\mathbf{F}[x]/(p(x))$，其次它们是线性无关的，因为
               \[k_0(1+p(x))+k_1(x+p(x))+\cdots+k_{n-1}(x^{n-1}+p(x))=0+(p(x))\]
               等价于
               \[k_0+k_1x+\cdots+k_{n-1}x^{n-1}\in(p(x)),\]
@@ -710,7 +710,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
     \item 证明：$\mathbf{F}[x]$中两个次数大于0的多项式没有公共复根的充要条件是它们互素.
     \item 设$p\in\mathbf{F}[x]$且$q\neq 0$. 证明：$c$是$f(x)$的$k\enspace(k\geqslant 1)$重根的充要条件为
           \[f(c)=f'(c)=\cdots=f^{(k-1)}(c),\enspace f^{(k)}(c)\neq 0.\]
-    \item 设$p(x)$和$q(x)$是$\mathbf{F}[x]$中的两个次数不超过$n$的多项式，若存在$\mathbf{F}$上$n+1$个不同的数$\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_n$使得$p(\lambda_i)=q(\lambda_i),\enspace i=0,1,\cdots,n$，则$p(x)=q(x)$.
+    \item 设$p(x)$和$q(x)$是$\mathbf{F}[x]$中的两个次数不超过$n$的多项式，若存在$\mathbf{F}$上$n+1$个不同的数$\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n$使得$p(\lambda_i)=q(\lambda_i),\enspace i=0,1,\ldots,n$，则$p(x)=q(x)$.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex"
index 03dec2d..bcb8f22 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/15 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\212\250\346\234\272\344\270\216\345\237\272\347\241\200.tex"	
@@ -6,8 +6,8 @@ \chapter{相似标准形：动机与基础}
 
 \section{相似的定义与性质}
 
-为了讨论相似标准形，我们需要首先从相似这一概念谈起. 正如我们在相抵标准形中的讨论那样，我们会综合线性映射和矩阵两个观点来讨论这一问题. 从线性映射的角度出发，我们的想法是对一个$n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，找到一组基$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$，使得$T$在这组基下的矩阵``比较简单''，即我们有
-\[\sigma(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A,\]
+为了讨论相似标准形，我们需要首先从相似这一概念谈起. 正如我们在相抵标准形中的讨论那样，我们会综合线性映射和矩阵两个观点来讨论这一问题. 从线性映射的角度出发，我们的想法是对一个$n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，找到一组基$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$，使得$T$在这组基下的矩阵``比较简单''，即我们有
+\[\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A,\]
 我们希望$A$是``比较简单''的，就像相抵标准形那样，有尽可能多的$0$，非零元素的排列规律也尽可能简单.
 
 如果从矩阵的角度出发，很自然地，我们会希望与上面映射的目标建立联系，我们会想起任意矩阵$A$都是线性变换$\sigma(\alpha)=A\alpha$在自然基下的表示矩阵. 此时我们的目标可以与映射的目标产生联系，即我们希望找到另一组基，使得$\sigma$在这组基下的矩阵$B$比较简单. 此时$A$和$B$的关系是同一个线性变换$\sigma$在不同基下的表示矩阵，事实上这一关系我们其实并不陌生，早在相抵标准形一讲中我们就提到如下定理：
@@ -89,8 +89,8 @@ \section{相似的定义与性质}
 
 \section{不变子空间}
 
-在介绍完相似的概念后，我们将正式开始我们的主线任务. 原谅我啰嗦再次重复一遍，我们要考虑$n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，我们希望找到一组基$\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$，使得$T$在这组基下的矩阵``比较简单''，即我们有
-\[\sigma(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A,\]
+在介绍完相似的概念后，我们将正式开始我们的主线任务. 原谅我再次重复一遍，我们要考虑$n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，我们希望找到一组基$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$，使得$T$在这组基下的矩阵``比较简单''，即我们有
+\[\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A,\]
 我们希望$A$是``比较简单''的，就像相抵标准形那样，有尽可能多的$0$，非零元素的排列规律也尽可能简单. 自然地，我们会希望$A$可以是对角矩阵，或者退而求其次至少是分块对角矩阵.
 
 事实上，如果让我们直接思考如何获得这样的矩阵是非常容易使人迷茫的，但如果我们尝试从希望的矩阵的形式反推所取基需要的性质，应当能窥见一些端倪. 事实上，我们假设$A$为分块对角矩阵，即
@@ -100,7 +100,7 @@ \section{不变子空间}
             &     & \ddots &     \\
             &     &        & A_m
     \end{pmatrix},\]
-设$A_i\enspace(i=1,\cdots,m)$的阶数为$r_i$. 我们进一步展开$A$的形式：
+设$A_i\enspace(i=1,\ldots,m)$的阶数为$r_i$. 我们进一步展开$A$的形式：
 \[\begin{pmatrix}
         a_{11}   & \cdots & a_{1r_1}   &                   &        &                     &        &                     &        &               \\
         \vdots   & \ddots & \vdots     &                   &        &                     &        &                     &        &               \\
@@ -115,15 +115,15 @@ \section{不变子空间}
     \end{pmatrix}\]
 上图中空的部分全为$0$. 现在我们首先考虑第一个分块，根据线性映射矩阵表示的定义，我们有
 \begin{gather*}
-    \sigma(\alpha_1)=a_{11}\alpha_1+\cdots+a_{1r_1}\alpha_{r_1}\in \spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1}),\\
+    \sigma(\alpha_1)=a_{11}\alpha_1+\cdots+a_{1r_1}\alpha_{r_1}\in \spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1}),\\
     \cdots\\
-    \sigma(\alpha_{r_1})=a_{1r_1}\alpha_1+\cdots+a_{r_1r_1}\alpha_{r_1}\in \spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1}),
+    \sigma(\alpha_{r_1})=a_{1r_1}\alpha_1+\cdots+a_{r_1r_1}\alpha_{r_1}\in \spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1}),
 \end{gather*}
-有趣的事情出现了，我们发现$\sigma$作用于$\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1}$中每个向量都会落在$\spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1})$中. 进一步地，我们考虑任意的$\alpha\in\spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1})$，我们有
+有趣的事情出现了，我们发现$\sigma$作用于$\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1}$中每个向量都会落在$\spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1})$中. 进一步地，我们考虑任意的$\alpha\in\spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1})$，我们有
 \[\alpha=k_1\alpha_1+\cdots+k_{r_1}\alpha_{r_1},\]
 因此
-\[\sigma(\alpha)=k_1\sigma(\alpha_1)+\cdots+k_{r_1}\sigma(\alpha_{r_1})\in \spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1}),\]
-即$\sigma$作用于$\spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1})$中的任意向量仍然落在$\spa(\alpha_1,\cdots,\alpha_{r_1})$中. 同理，我们可以证明$\sigma$作用于$\spa(\alpha_{r_1+1},\cdots,\alpha_{r_1+r_2})$中的任意向量仍然落在$\spa(\alpha_{r_1+1},\cdots,\alpha_{r_1+r_2})$中，以此类推，每个分块对应的基的一部分的线性扩张都有这样类似的性质. 我们知道一组向量的线性扩张是包含这些向量的最小子空间，再结合该子空间在线性变换作用后仍然落在其中的性质，我们将其称为不变子空间：
+\[\sigma(\alpha)=k_1\sigma(\alpha_1)+\cdots+k_{r_1}\sigma(\alpha_{r_1})\in \spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1}),\]
+即$\sigma$作用于$\spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1})$中的任意向量仍然落在$\spa(\alpha_1,\ldots,\alpha_{r_1})$中. 同理，我们可以证明$\sigma$作用于$\spa(\alpha_{r_1+1},\ldots,\alpha_{r_1+r_2})$中的任意向量仍然落在$\spa(\alpha_{r_1+1},\ldots,\alpha_{r_1+r_2})$中，以此类推，每个分块对应的基的一部分的线性扩张都有这样类似的性质. 我们知道一组向量的线性扩张是包含这些向量的最小子空间，再结合该子空间在线性变换作用后仍然落在其中的性质，我们将其称为不变子空间：
 \begin{definition}{}{}
     设$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，若$V$的子空间$U$满足$\forall \alpha\in U,\enspace \sigma(\alpha)\in U$，则称$U$是$\sigma$的\term{不变子空间}\index{xianxingkongjian!zi!bubian@不变子空间 (invariant subspace)}，或称$U$在$\sigma$下不变，简称为$\sigma$-子空间.
 \end{definition}
@@ -138,14 +138,21 @@ \section{不变子空间}
 ``限制''一词十分形象（如下图所示），因为限制映射就是将原映射的定义域限制在更小的范围内，但原定义域上的映射值保持不变.
 \begin{figure}[H]
     \centering
-    \includegraphics[scale=0.7]{figs/18-1.png}
+    \begin{tikzpicture}[>=Stealth]
+        \draw[thick] (-2,0) ellipse (1 and 1.5) node[above=20] {$V$}
+        (2,0) ellipse (1 and 1.5) node[above=20] {$V$}
+        (-1.9,-0.5) circle (0.5) node {$U$}
+        (1.9,-0.5) ellipse (0.5 and 0.7) node {$\sigma(U)$}
+        (-1.8,0.5) edge[out=30,in=150,->] node[above] {$\sigma$} (1.8,0.5)
+        (-1.6,-0.6) edge[out=-30,in=190,->] node[below] {$\sigma\vert_U$} (1.75,-0.8);
+    \end{tikzpicture}
 \end{figure}
 
 因此，如果$U$是$\sigma$的不变子空间，根据不变子空间的定义可知，$\sigma\vert_U$就是一个线性变换（是$\mathcal{L}(U)$中的元素），我们称之为\term{限制变换}\index{xianxingyingshe!xianxingbianhuan!xianzhi@限制变换 (restriction operator)}.
 
 有了上面的概念，我们很容易可以将之前的推导转化为以下定理：
 \begin{theorem}{}{不变子空间与分块对角矩阵}
-    设有限维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$在某组基下的表示矩阵为分块对角矩阵$A=\diag(A_1,\cdots,A_m)$，当且仅当$V$可以分解为不变子空间$U_1,\cdots,U_m$的直和，即
+    设有限维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$在某组基下的表示矩阵为分块对角矩阵$A=\diag(A_1,\ldots,A_m)$，当且仅当$V$可以分解为不变子空间$U_1,\ldots,U_m$的直和，即
     \[V=U_1\oplus\cdots\oplus U_m,\]
     其中每个$U_i$都是$\sigma$的不变子空间，且$\sigma\vert_{U_i}$在$U_i$对应的基下的表示矩阵为$A_i$.
 \end{theorem}
@@ -207,23 +214,23 @@ \section{不变子空间}
 除此之外，还有一些更为困难的问题我们将在讨论完标准形理论之后反过来进行讨论. 为了接下来对标准形讨论的方便，我们需要介绍一个特别的不变子空间：
 \begin{definition}{}{循环子空间}
     设$T\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是一个非零向量. 我们称子空间
-    \[W=\spa(v,Tv,T^2v,\cdots,T^kv,\cdots)\]
+    \[W=\spa(v,Tv,T^2v,\ldots,T^kv,\cdots)\]
     为\term{由$v$生成的$T\text{-循环子空间}$}. 在不引起歧义的情况下，我们也称$W$为\term{$T\text{-循环子空间}$}或\term{循环子空间}.
 \end{definition}
 
-一个需要注意的地方是，当$V$是有限维线性空间时，循环子空间也一定是有限维的（子空间的维数至少要小于等于原空间）. 一个有趣的事实是，如果循环子空间的维数等于$m$，那么它的一组基就是$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$. 我们来书写这一定理并给出证明：
+一个需要注意的地方是，当$V$是有限维线性空间时，循环子空间也一定是有限维的（子空间的维数至少要小于等于原空间）. 一个有趣的事实是，如果循环子空间的维数等于$m$，那么它的一组基就是$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$. 我们来书写这一定理并给出证明：
 \begin{theorem}{}{循环子空间}
     设$V$是有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是一个非零向量，$W$是由$v$生成的$T-\text{循环子空间}$，则
     \begin{enumerate}
         \item $W$是$T$包含$v$的最小不变子空间；
-        \item 若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$（我们称其为一组循环基）.
+        \item 若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$（我们称其为一组循环基）.
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
         \item 首先我们证明是不变子空间. 由于$V$是有限维线性空间，故$W$一定也是有限维线性空间，故任意的$w\in W$都可以被表示为$W$中有限个元素的线性组合，假设为
               \[w=k_1T^{m_1}v+k_2T^{m_2}v+\cdots+k_sT^{m_s}v,\]
-              其中$m_1,m_2,\cdots,m_s\in\mathbf{N}$，$k_1,k_2,\cdots,k_s\in\mathbf{F}$. 我们有
+              其中$m_1,m_2,\ldots,m_s\in\mathbf{N}$，$k_1,k_2,\ldots,k_s\in\mathbf{F}$. 我们有
               \[\begin{aligned}
                       Tw & =T(k_1T^{m_1}v+k_2T^{m_2}v+\cdots+k_sT^{m_s}v)     \\
                          & =k_1T^{m_1+1}v+k_2T^{m_2+1}v+\cdots+k_sT^{m_s+1}v,
@@ -232,13 +239,13 @@ \section{不变子空间}
 
               接下来我们证明是最小不变子空间. 设$U$是$T$的不变子空间，且$v\in U$，我们需要证明$W\subset U$. 由不变子空间的定义以及$v\in U$，我们知道$Tv\in U$，于是进一步利用不变子空间的定义有$T^2v\in U$，以此类推，$T^kv\in U,\enspace\forall k\in\mathbf{N}$，因此$W\subset U$，即$W$是$T$包含$v$的最小不变子空间.
 
-        \item 由于$v$是非零向量，故设$j$是使得$v,Tv,\cdots,T^{j-1}v$线性无关的最大正整数，设$U=\spa(v,Tv,\cdots,T^{j-1}v)$，因此$v,Tv,\cdots,T^{j-1}v$是$U$的一组基. 并且根据我们的假设，$v,Tv,\cdots,T^{j-1}v,T^jv$线性相关，因此根据线性相关性质有
+        \item 由于$v$是非零向量，故设$j$是使得$v,Tv,\ldots,T^{j-1}v$线性无关的最大正整数，设$U=\spa(v,Tv,\ldots,T^{j-1}v)$，因此$v,Tv,\ldots,T^{j-1}v$是$U$的一组基. 并且根据我们的假设，$v,Tv,\ldots,T^{j-1}v,T^jv$线性相关，因此根据线性相关性质有
               \[T^jv=k_1v+k_2Tv+\cdots+k_{j-1}T^{j-1}v,\]
               即$T^jv\in U$，于是我们任取$u\in U$，有
               \[u=c_1v+c_2Tv+\cdots+c_{j-1}T^{j-1}v,\]
               因此
               \[Tu=c_1Tv+c_2T^2v+\cdots+c_{j-1}T^jv\in U,\]
-              故$U$是$T$的包含$v$的不变子空间. 由定理第一条可知，$W\subset U$，但根据$U$的定义又有$U\subset W$，因此$W=U$，即$W$的一组基为$\{v,Tv,\cdots,T^{j-1}v\}$，故事实上$j$就是$W$的维数. 因此若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$.
+              故$U$是$T$的包含$v$的不变子空间. 由定理第一条可知，$W\subset U$，但根据$U$的定义又有$U\subset W$，因此$W=U$，即$W$的一组基为$\{v,Tv,\ldots,T^{j-1}v\}$，故事实上$j$就是$W$的维数. 因此若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -762,7 +769,7 @@ \subsection{特征向量的基本性质}
 
 \section{实数域与复数域的讨论}
 
-在上一节中我们并没有明确区分特征值所在的数域（即线性空间$V$定义的数域）. 实际上上面的讨论都是与数域无关的，即无论是什么数域上面的定理都是成立的. 然而，从\autoref{ex:不变子空间} 中我们看到实数域和复数域可能有本质的不同，即特征值的存在性可能存在差别. 事实上，这是\autoref{thm:多项式的唯一分解定理} 的必然结果，因为复数域上$n$次多项式一定有$n$个根，但实数域上可能根会减少，因此$n$次特征多项式$f(\lambda)$在实数域上解的情况与复数域有差别.
+在上一节中我们并没有明确区分特征值所在的数域（即线性空间$V$定义的数域）. 实际上上面的讨论都是与数域无关的，即无论是什么数域上面的定理都是成立的. 然而，从\autoref{ex:不变子空间} 中我们看到实数域和复数域可能有本质的不同，即特征值的存在性可能存在差别. 事实上，这是\nameref{thm:多项式的唯一分解定理}的必然结果，因为复数域上$n$次多项式一定有$n$个根，但实数域上可能根会减少，因此$n$次特征多项式$f(\lambda)$在实数域上解的情况与复数域有差别.
 
 因此我们有必要分别讨论在复数域和实数域条件下特征值与特征向量的不同性质，事实上我们将在实空间上的线性变换一讲中单独深入讨论这一主题，但现在我们需要几个定理来引入这一话题并为接下来的讨论作准备：
 \begin{theorem}{}{复数域上的特征值}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/16 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/16 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex"
index 7110056..73ddfb2 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/16 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/16 \347\233\270\344\274\274\346\240\207\345\207\206\345\275\242\357\274\232\345\244\215\346\225\260\345\237\237\344\270\212\347\232\204\345\260\235\350\257\225\344\270\216\347\220\206\350\256\272.tex"	
@@ -4,18 +4,18 @@ \section{对角矩阵}
 % 可对角化和数域无关
 \subsection{可对角化的条件}
 
-在介绍完相似的概念和基本性质后，我们便可以讨论如何寻找一组基使得线性变换的矩阵表示是一个很简单的矩阵，即寻找合适的相似标准形. 我们从复数域开始，因为在上一讲\autoref{thm:复数域上的特征值} 我们提到了复数域上的线性变换或矩阵必有特征值，并且根据\autoref{thm:代数学基本定理} 可知特征值重数之和必定等于线性空间的维数（本讲在复数域下讨论，因此都承认这一点），而实数域则不一定，而特征值保证了一维不变子空间的存在，有很好的性质，因此我们可以先从复数域开始尝试. 并且我们就可以从一维不变子空间入手，因为\autoref{thm:不变子空间与分块对角矩阵} 告诉我们，如果线性空间$V$能分解为$\sigma\in\mathcal{L}(V)$的一维不变子空间的直和，那么每个分块都是大小为1的分块，那么矩阵将会是对角矩阵——这是我们能想到的最简单的矩阵之一了. 我们将这一定理严谨陈述如下：
+在介绍完相似的概念和基本性质后，我们便可以讨论如何寻找一组基使得线性变换的矩阵表示是一个很简单的矩阵，即寻找合适的相似标准形. 我们从复数域开始，因为在上一讲\autoref{thm:复数域上的特征值} 我们提到了复数域上的线性变换或矩阵必有特征值，并且根据\nameref{thm:代数学基本定理}可知特征值重数之和必定等于线性空间的维数（本讲在复数域下讨论，因此都承认这一点），而实数域则不一定，而特征值保证了一维不变子空间的存在，有很好的性质，因此我们可以先从复数域开始尝试. 并且我们就可以从一维不变子空间入手，因为\autoref{thm:不变子空间与分块对角矩阵} 告诉我们，如果线性空间$V$能分解为$\sigma\in\mathcal{L}(V)$的一维不变子空间的直和，那么每个分块都是大小为1的分块，那么矩阵将会是对角矩阵——这是我们能想到的最简单的矩阵之一了. 我们将这一定理严谨陈述如下：
 \begin{theorem}{}{对角矩阵等价一维不变子空间}
-    $n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$在基$B=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$下的表示矩阵为对角矩阵$\diag(d_1,\cdots,d_n)$，当且仅当$V$能分解为$\sigma$的一维不变子空间的直和，即$V=U_1\oplus\cdots\oplus U_n$，其中$U_i=\spa(\alpha_i),\enspace i=1,\cdots,n$是$\sigma$的一维不变子空间.
+    $n$维线性空间$V$上的线性变换$\sigma\in\mathcal{L}(V)$在基$B=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$下的表示矩阵为对角矩阵$\diag(d_1,\ldots,d_n)$，当且仅当$V$能分解为$\sigma$的一维不变子空间的直和，即$V=U_1\oplus\cdots\oplus U_n$，其中$U_i=\spa(\alpha_i),\enspace i=1,\ldots,n$是$\sigma$的一维不变子空间.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
     必要性我们直接写出线性映射矩阵表示的定义即可：
-    \[\sigma(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}
+    \[\sigma(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\begin{pmatrix}
             d_1 &        &     \\
                 & \ddots &     \\
                 &        & d_n
         \end{pmatrix},\]
-    展开可得$\sigma(\alpha_i)=d_i\alpha_i$，故$\alpha_i$是$\sigma$的特征向量，$U_i=\spa(\alpha_i)$是$\sigma$的一维不变子空间，并且由于$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$是一组基，因此$U_1\oplus\cdots\oplus U_n=V$. 反之直接将上述过程逆回即可写出对角化的矩阵表示.
+    展开可得$\sigma(\alpha_i)=d_i\alpha_i$，故$\alpha_i$是$\sigma$的特征向量，$U_i=\spa(\alpha_i)$是$\sigma$的一维不变子空间，并且由于$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$是一组基，因此$U_1\oplus\cdots\oplus U_n=V$. 反之直接将上述过程逆回即可写出对角化的矩阵表示.
 \end{proof}
 
 在上述定理中，线性变换在一组基下矩阵表示为对角矩阵，这样的线性变换我们称其为可对角化的，我们将这一定义严谨写下：
@@ -460,7 +460,7 @@ \subsection{广义特征子空间与分块对角矩阵}
               \[(\sigma-\lambda I)w=(\lambda_1-\lambda)w,\]
               归纳可知$(\sigma-\lambda I)^nw=(\lambda_1-\lambda)^nw$.
 
-              根据广义特征子空间的定义，$(\sigma-\lambda_i I)^nv_i=0,\enspace i=1,\cdots,m$，故我们对\autoref{eq:16:广义特征向量线性无关} 两边同时作用
+              根据广义特征子空间的定义，$(\sigma-\lambda_i I)^nv_i=0,\enspace i=1,\ldots,m$，故我们对\autoref{eq:16:广义特征向量线性无关} 两边同时作用
               \[(\sigma-\lambda_1 I)^k(\sigma-\lambda_2 I)^n\cdots(\sigma-\lambda_m I)^n\]
               可得
               \begin{align*}
@@ -480,7 +480,7 @@ \subsection{广义特征子空间与分块对角矩阵}
               \end{equation}
               其中$W=\im(\sigma-\lambda_1 I)^n$. 又根据\autoref{ex:多项式不变子空间} 可知$W$是$\sigma$的不变子空间，又根据\autoref{eq:16:广义特征子空间分解} 可知$\dim W<n$，因此我们可以考虑对$\sigma\vert_W$使用归纳假设，有
               \[W=G(\lambda_2,\sigma\vert_W)\oplus\cdots\oplus G(\lambda_m,\sigma\vert_W),\]
-              因此为了完成证明，我们只需证明$G(\lambda_i,\sigma)=G(\lambda_i,\sigma\vert_W),\enspace i=2,\cdots,m$，而根据广义特征子空间的定义，包含关系$G(\lambda_i,\sigma\vert_W)\subset G(\lambda_i,\sigma)$是显然的，因此我们只需证明另一半包含. 设$v\in G(\lambda_i,\sigma)\subset V$，由\autoref{eq:16:广义特征子空间分解} 可知$v=v_1+w$，其中$v_1\in G(\lambda_1,\sigma),w\in W$. 而由归纳假设，$w=v_2+\cdots+v_m$，其中$v_i\in G(\lambda_i,\sigma\vert_W)$，因此$v=v_1+v_2+\cdots+v_m$，改写一下得到
+              因此为了完成证明，我们只需证明$G(\lambda_i,\sigma)=G(\lambda_i,\sigma\vert_W),\enspace i=2,\ldots,m$，而根据广义特征子空间的定义，包含关系$G(\lambda_i,\sigma\vert_W)\subset G(\lambda_i,\sigma)$是显然的，因此我们只需证明另一半包含. 设$v\in G(\lambda_i,\sigma)\subset V$，由\autoref{eq:16:广义特征子空间分解} 可知$v=v_1+w$，其中$v_1\in G(\lambda_1,\sigma),w\in W$. 而由归纳假设，$w=v_2+\cdots+v_m$，其中$v_i\in G(\lambda_i,\sigma\vert_W)$，因此$v=v_1+v_2+\cdots+v_m$，改写一下得到
               \[v_1+\cdots+(v_i-v)+\cdots+v_m=0,\]
               而我们根据上一条证明知道对应于不同特征值的广义特征向量线性无关，而$v_i-v\in G(\lambda_i,\sigma)$，因此只能有$v_1=\cdots=v_{i-1}=v_{i+1}=\cdots=v_m=0$，且$v=v_i$. 特别地有$v_1=0$，因此$v=w=v_i\in G(\lambda_i,\sigma\vert_W)$，故包含得证.
 
@@ -550,11 +550,11 @@ \subsection{上三角标准形的存在性}
     设$V$是有限维复向量空间，对于任意的$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，则一定存在$V$的一组基使得$\sigma$关于该组基有上三角矩阵.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-    仍然是经典的数学归纳法，$n=1$时结论显然. 现假设小于$n$维的复向量空间上的线性变换都可以找到一组基使得其关于这组基有上三角矩阵，现在考虑$n$维复向量空间. 因为是复向量空间，故$\sigma$一定存在特征值. 设$\lambda_1$是$\sigma$的一个特征值，我们考虑$U=\im(\sigma-\lambda_1 I)$，且$U$是$\sigma$的比$V$维数更小的不变子空间，因此我们可以用归纳假设，$U$存在一组基$u_1,\cdots,u_m$使得$\sigma\vert_U$有上三角矩阵. 根据\autoref{thm:上三角矩阵等价条件}，我们知道对于每个$j$都有
+    仍然是经典的数学归纳法，$n=1$时结论显然. 现假设小于$n$维的复向量空间上的线性变换都可以找到一组基使得其关于这组基有上三角矩阵，现在考虑$n$维复向量空间. 因为是复向量空间，故$\sigma$一定存在特征值. 设$\lambda_1$是$\sigma$的一个特征值，我们考虑$U=\im(\sigma-\lambda_1 I)$，且$U$是$\sigma$的比$V$维数更小的不变子空间，因此我们可以用归纳假设，$U$存在一组基$u_1,\ldots,u_m$使得$\sigma\vert_U$有上三角矩阵. 根据\autoref{thm:上三角矩阵等价条件}，我们知道对于每个$j$都有
     \[\sigma(u_j)=\sigma\vert_U(u_j)\in\spa(u_1,\ldots,u_j),\]
     这里我们只得到一部分的基使得限制映射有上三角矩阵，接下来我们要扩张到全空间上实现定理证明. 将上面取到的基扩充为
-    \[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_k,\]
-    要使得$\sigma$关于这组基有上三角矩阵，根据\autoref{thm:上三角矩阵等价条件}，我们只需验证对每个$i$都有$\sigma(v_i)\in\spa(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_i)$. 这是显然的，因为$\sigma(v_i)=(\sigma-\lambda_1 I)(v_i)+\lambda_1 v_i$，而根据$U$的定义$\sigma-\lambda_1 I$的像在$U$中，因此$\sigma(v_i)\in\spa(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_i)$，因此我们可以得到一组基使得$\sigma$关于这组基有上三角矩阵.
+    \[u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_k,\]
+    要使得$\sigma$关于这组基有上三角矩阵，根据\autoref{thm:上三角矩阵等价条件}，我们只需验证对每个$i$都有$\sigma(v_i)\in\spa(u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_i)$. 这是显然的，因为$\sigma(v_i)=(\sigma-\lambda_1 I)(v_i)+\lambda_1 v_i$，而根据$U$的定义$\sigma-\lambda_1 I$的像在$U$中，因此$\sigma(v_i)\in\spa(u_1,\ldots,u_m,v_1,\ldots,v_i)$，因此我们可以得到一组基使得$\sigma$关于这组基有上三角矩阵.
 \end{proof}
 
 综合\autoref{thm:上三角矩阵等价条件} 的第3点和\autoref{thm:上三角矩阵存在}，我们可以观察到不变子空间的另一个有趣的性质：
@@ -563,7 +563,7 @@ \subsection{上三角标准形的存在性}
 \end{corollary}
 这是因为任意复向量空间上的线性变换都存在一组基使得矩阵表示为上三角矩阵，而存在上三角矩阵的其中一个充要条件是存在任意维数的不变子空间，因此任意复向量空间上的线性变换都存在任意维数的不变子空间. 如果我们更进一步地利用\autoref{thm:上三角矩阵等价条件} 的第三点，我们有如下推论：
 \begin{corollary}{}{}
-    设$V$是$n$维复向量空间. $\sigma\in \mathcal{L}(V)$，则存在$\sigma$的不变子空间$V_0,V_1,\cdots,V_n$使得$V_0\subseteq V_1\subseteq\cdots\subseteq V_n$，且$\dim V_i=i$.
+    设$V$是$n$维复向量空间. $\sigma\in \mathcal{L}(V)$，则存在$\sigma$的不变子空间$V_0,V_1,\ldots,V_n$使得$V_0\subseteq V_1\subseteq\cdots\subseteq V_n$，且$\dim V_i=i$.
 \end{corollary}
 
 事实上，根据\autoref{thm:上三角矩阵存在}，我们可以综合分块对角矩阵的存在性，将每个广义特征子空间的基取成上三角矩阵的基，然后将这些基拼在一起，就可以得到一个每个分块都是上三角矩阵的分块对角矩阵，显然比之前单纯的分块对角矩阵和上三角矩阵都要简单：
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/17 \350\213\245\345\275\223\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/17 \350\213\245\345\275\223\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"
index b354b4e..a00a4cd 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/17 \350\213\245\345\275\223\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/17 \350\213\245\345\275\223\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
@@ -29,8 +29,8 @@ \section{若当标准形的存在性}
     \end{pmatrix}\]
 则称其为一个$r$级若当块（1级显然就是1阶矩阵），记作$J_r(\lambda)$，其中$\lambda$是对角线上元素. 若一个线性变换$\sigma$在基$B$下的矩阵表示是对角块均为若当块的分块对角矩阵，则称这个分块对角矩阵是线性变换$\sigma$的\term{若当标准形}\index{ruodangxing@若当标准形 (Jordan canonical form)}，而这组基$B$称为$T$的\term{若当基}\index{ruodangji@若当基 (Jordan basis)}. 我们希望复数域上任意线性变换都能找到一组若当基使其矩阵表示为若当标准形，而这正是本节需要证明的目标.
 
-为了证明这一结果，我们需要首先观察若当块能在怎样的基下表示出. 为了发现这一规律，我们考虑一种最简单的情况，即一个线性变换$T$在某组基$B=\{v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n\}$下的矩阵表示就是一个若当块，即
-\[\sigma(v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n)=(v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n)\begin{pmatrix}
+为了证明这一结果，我们需要首先观察若当块能在怎样的基下表示出. 为了发现这一规律，我们考虑一种最简单的情况，即一个线性变换$T$在某组基$B=\{v_1,v_2,v_3,\ldots,v_n\}$下的矩阵表示就是一个若当块，即
+\[\sigma(v_1,v_2,v_3,\ldots,v_n)=(v_1,v_2,v_3,\ldots,v_n)\begin{pmatrix}
         \lambda & 1       &        &         \\
                 & \lambda & \ddots &         \\
                 &         & \ddots & 1       \\
@@ -57,18 +57,18 @@ \section{若当标准形的存在性}
 \end{equation}
 
 即我们需要的这组基实际上具有如下形式：
-\[B=\{(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v_n),(\sigma-\lambda I)^{n-2}(v_n),\cdots,(\sigma-\lambda I)(v_n),v_n\},\]
-并且有$(\sigma-\lambda I)^n=0$. 事实上观察上面这组等式，从第一个式子我们知道$v_1$实际上是$\sigma$关于特征值$\lambda$的特征向量，$v_2,\cdots,v_n$则是关于特征值$\lambda$的广义特征向量.
+\[B=\{(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v_n),(\sigma-\lambda I)^{n-2}(v_n),\ldots,(\sigma-\lambda I)(v_n),v_n\},\]
+并且有$(\sigma-\lambda I)^n=0$. 事实上观察上面这组等式，从第一个式子我们知道$v_1$实际上是$\sigma$关于特征值$\lambda$的特征向量，$v_2,\ldots,v_n$则是关于特征值$\lambda$的广义特征向量.
 
 再进一步观察这样的一组向量，我们发现这组向量似乎与\autoref{thm:循环子空间} 中提到的循环基有些类似：它们都是从一个向量开始，不断作用一个线性变换等到的一组向量. 这里我们给出一个定义来详细地说明一些术语：
 \begin{definition}{}{若当循环基}
-    设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是关于特征值$\lambda\in\mathbf{C}$的一个广义特征向量. 设$n$是使得$(\sigma-\lambda I)^n v=0$成立的最小正整数，则称$\{(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v),(\sigma-\lambda I)^{n-2}(v),\cdots,(\sigma-\lambda I)(v),v\}$是\term{$\sigma$关于特征值$\lambda$的循环广义特征向量组}（不引起歧义的情况下也可称循环向量），其中$(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v)$称为其起始向量，$v$称为其终止向量.
+    设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是关于特征值$\lambda\in\mathbf{C}$的一个广义特征向量. 设$n$是使得$(\sigma-\lambda I)^n v=0$成立的最小正整数，则称$\{(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v),(\sigma-\lambda I)^{n-2}(v),\ldots,(\sigma-\lambda I)(v),v\}$是\term{$\sigma$关于特征值$\lambda$的循环广义特征向量组}（不引起歧义的情况下也可称循环向量），其中$(\sigma-\lambda I)^{n-1}(v)$称为其起始向量，$v$称为其终止向量.
 \end{definition}
 
 给出这一定义后，便可以开始研究这一组向量与我们目标中的若当基之间的关联. 我们需要暂时停下前进的脚步，仔细思考我们需要什么. 我们的最终目标是证明，对于任意复向量空间上的线性变换，都能找到一组基，其矩阵表示为分块对角矩阵，且每一对角块为若当块. 根据\autoref{thm:不变子空间与分块对角矩阵}，我们要求每个若当块对应的基向量张成的子空间是不变子空间，因为这样才能保证生成一个对角块. 而根据之前的推导，我们知道生成若当块必须要这样的一组循环向量，那么自然地我们会有两个问题：
 \begin{enumerate}
     \item 循环向量生成的子空间一定是不变子空间吗？因为这样才能保证生成一个对角块；
-    \item 我们是从一组基$v_1,\cdots,v_n$可以得到若当块出发定义出这样的循环向量的，那么是不是一组向量满足这样的定义也一定线性无关的呢？因为这样只需要找到这样一组循环向量就一定可以构成若当基的一部分.
+    \item 我们是从一组基$v_1,\ldots,v_n$可以得到若当块出发定义出这样的循环向量的，那么是不是一组向量满足这样的定义也一定线性无关的呢？因为这样只需要找到这样一组循环向量就一定可以构成若当基的一部分.
 \end{enumerate}
 事实上如果读者熟悉之前讨论的一些例子和性质，这两个问题可以轻松解决：
 \begin{theorem}{}{若当循环基的性质}
@@ -87,23 +87,23 @@ \section{若当标准形的存在性}
 
 在以上问题被解决后，我们的目标将非常清晰，即对任意的复数域上的线性变换是否一定能找到一组基是由不同的若当循环基合并而成的，从而在在这组基下的矩阵表示是若当标准形？似乎有些困难，我们需要一些观察：事实上，若当循环基中的每个向量都是关于某个特征值$\lambda$的广义特征向量，因此它们张成的子空间应当是广义特征子空间$G_\lambda$的一部分（当然也可能张成整个广义特征子空间）. 于是站在\autoref{thm:广义特征性质} 中广义特征子空间分解的基础上，我们的目标可以转化为对其中的每一个广义特征子空间，找到一组由一个或多个若当循环基合并而成的基？这样首先利用\autoref{thm:广义特征性质} 中广义特征子空间分解，再利用广义特征子空间的若当循环基分解，我们就可以得到一组由不同的若当循环基合并而成的基，从而得到若当标准形.
 
-为了更清晰地展示，我们将上述过程形式化. 设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$是$\sigma$的互异特征值，$G_{\lambda_i}$是关于特征值$\lambda_i$的广义特征子空间. 根据\autoref{thm:广义特征性质}，我们知道
-\[V=G_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^m G_{\lambda_i},\]
-然后我们希望为每个广义特征子空间选取一组由一个或多个若当循环基合并而成的基，也就是说我们希望将每个广义特征子空间分解为一个或多个循环子空间的直和. 形式化而言，我们希望每个广义特征子空间$G_{\lambda_i}$可以由$s_i$组若当循环基$B_{i1},B_{i2},\cdots,B_{is_i}$张成，其中每一组基都可以表达为：
-\[B_{ij}=\{(\sigma-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}(v_{ij}),(\sigma-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}(v_{ij}),\cdots,v_{ij}\},\]
+为了更清晰地展示，我们将上述过程形式化. 设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$是$\sigma$的互异特征值，$G_{\lambda_i}$是关于特征值$\lambda_i$的广义特征子空间. 根据\autoref{thm:广义特征性质}，我们知道
+\[V=G_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}=\bigoplus_{i=1}^m G_{\lambda_i},\]
+然后我们希望为每个广义特征子空间选取一组由一个或多个若当循环基合并而成的基，也就是说我们希望将每个广义特征子空间分解为一个或多个循环子空间的直和. 形式化而言，我们希望每个广义特征子空间$G_{\lambda_i}$可以由$s_i$组若当循环基$B_{i1},B_{i2},\ldots,B_{is_i}$张成，其中每一组基都可以表达为：
+\[B_{ij}=\{(\sigma-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}(v_{ij}),(\sigma-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}(v_{ij}),\ldots,v_{ij}\},\]
 事实上$r_{ij}$就是这组若当循环基的长度. 我们设由$B_{ij}$张成的循环子空间为$C_{ij}$，则有
-\[G_{\lambda_i}=C_{i1}\oplus C_{i2}\oplus\cdots\oplus C_{is_i}=\mathop{\oplus}\limits_{j=1}^{s_i} C_{ij},\]
+\[G_{\lambda_i}=C_{i1}\oplus C_{i2}\oplus\cdots\oplus C_{is_i}=\bigoplus_{j=1}^{s_i} C_{ij},\]
 再结合\autoref{thm:广义特征性质} 的分解，我们有
 \begin{equation} \label{eq:17:循环子空间分解}
-    V=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^m G_{\lambda_i}=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^n\mathop{\oplus}\limits_{j=1}^{s_i} C_{ij}.
+    V=\bigoplus_{i=1}^m G_{\lambda_i}=\bigoplus_{i=1}^n\bigoplus_{j=1}^{s_i} C_{ij}.
 \end{equation}
 
 根据\autoref{thm:若当循环基的性质}，每个循环子空间都是不变子空间，并且每个若当循环基都对应于一个若当块. 回忆我们上面的推导过程，我们现在剩下的任务就是为复数域上的任意广义特征子空间$G_{\lambda_i}$找到一组由一个或多个若当循环基合并而成的基，这样就能得到\autoref{eq:17:循环子空间分解} 所示的分解，从而得到任意复数域上的线性变换都存在若当标准形. 为了实现这一目标，我们需要先证明一个关于若当循环基的性质.
 
 \begin{lemma}{}{若当循环基合并性质}
-    设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda\in\mathbf{C}$是$\sigma$的一个特征值. 设$B_1,\cdots,B_q$都是$\sigma$关于特征值$\lambda$的一组若当循环基，且它们的起始向量各不相同且构成了一组线性无关向量组，则
+    设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda\in\mathbf{C}$是$\sigma$的一个特征值. 设$B_1,\ldots,B_q$都是$\sigma$关于特征值$\lambda$的一组若当循环基，且它们的起始向量各不相同且构成了一组线性无关向量组，则
     \begin{enumerate}
-        \item $B_i(i=1,\cdots,q)$是互不相交的；
+        \item $B_i(i=1,\ldots,q)$是互不相交的；
         \item $B=B_1\cup\cdots\cup B_q$是线性无关向量组.
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
@@ -111,21 +111,21 @@ \section{若当标准形的存在性}
     \begin{enumerate}
         \item 反证法. 假设$B_i$和$B_j$有交集，即存在$v\in B_i\cap B_j$. 设$B_i$和$B_j$的终止向量分别为$v_i$和$v_j$，则存在非负整数$m_i,m_j$使得
               \[(\sigma-\lambda I)^{m_i}(v_i)=(\sigma-\lambda I)^{m_j}(v_j)=v.\]
-              故$(\sigma-\lambda I)^{m_i+m}(v_i)=(\sigma-\lambda I)^{m_j+m}(v_j)$，其中$m$是任意非负整数，因此$B_i$和$B_j$从向量$v$开始一直到起始向量必定都是相等的，而这与定理的前提起始向量各不相同矛盾，故$B_i(i=1,\cdots,q)$是互不相交的.
+              故$(\sigma-\lambda I)^{m_i+m}(v_i)=(\sigma-\lambda I)^{m_j+m}(v_j)$，其中$m$是任意非负整数，因此$B_i$和$B_j$从向量$v$开始一直到起始向量必定都是相等的，而这与定理的前提起始向量各不相同矛盾，故$B_i(i=1,\ldots,q)$是互不相交的.
 
-        \item 同样反证法，假设$B$是线性相关向量组，则一定存在一个子向量组$u_1,\cdots,u_s$，使得有全部非零的$k_1,\cdots,k_s$使得
+        \item 同样反证法，假设$B$是线性相关向量组，则一定存在一个子向量组$u_1,\ldots,u_s$，使得有全部非零的$k_1,\ldots,k_s$使得
               \begin{equation} \label{eq:17:若当循环基合并性质证明}
                   k_1u_1+\cdots+k_su_s=0.
               \end{equation}
               这是一定能做到的，因为$B$线性相关表明存在一个向量$u_1$能被其它向量线性表示，我们写出这一线性表示，去除表示中系数为0的向量，又$u_1\neq 0$，故一定剩余一组向量满足
               \[u_1=c_2u_2+\cdots+c_su_s,\]
-              其中$c_i\neq 0$，则$-u_1+c_2u_2+\cdots+c_su_s=0$，这就满足\autoref{eq:17:若当循环基合并性质证明} 中$k_1,\cdots,k_s$全部非零.
+              其中$c_i\neq 0$，则$-u_1+c_2u_2+\cdots+c_su_s=0$，这就满足\autoref{eq:17:若当循环基合并性质证明} 中$k_1,\ldots,k_s$全部非零.
 
-              接下来我们可以对每个$u_i$作用$(\sigma-\lambda I)$的幂次，在经过某个幂次后，所有的$u_i$都会变成它所在的$B_j$的起始向量. 假设每个$u_i$在作用$(\sigma-\lambda I)^{r_i}$次后变成所在$B_j$的起始向量，我们取$r=\max\{r_1,\cdots,r_s\}$，然后在\autoref{eq:17:若当循环基合并性质证明} 两边作用$(\sigma-\lambda I)^r$，则可以得到
+              接下来我们可以对每个$u_i$作用$(\sigma-\lambda I)$的幂次，在经过某个幂次后，所有的$u_i$都会变成它所在的$B_j$的起始向量. 假设每个$u_i$在作用$(\sigma-\lambda I)^{r_i}$次后变成所在$B_j$的起始向量，我们取$r=\max\{r_1,\ldots,r_s\}$，然后在\autoref{eq:17:若当循环基合并性质证明} 两边作用$(\sigma-\lambda I)^r$，则可以得到
               \begin{equation}
                   k_{i_1}(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_1})+\cdots+k_{i_t}(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_t})=0,
               \end{equation}
-              其中$u_{i_1},\cdots,u_{i_t}$是$u_1,\cdots,u_s$中在作用$(\sigma-\lambda I)^r$后变成对应起始向量的向量，即$(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_j})$都是起始向量，而其它向量已经到达超出起始向量所需次数，因此被化零. 又$k_{ij}$全都不为0，因此这些起始向量$(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_j})$线性相关，这与定理的前提起始向量线性无关矛盾，故$B$是线性无关向量组.
+              其中$u_{i_1},\ldots,u_{i_t}$是$u_1,\ldots,u_s$中在作用$(\sigma-\lambda I)^r$后变成对应起始向量的向量，即$(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_j})$都是起始向量，而其它向量已经到达超出起始向量所需次数，因此被化零. 又$k_{ij}$全都不为0，因此这些起始向量$(\sigma-\lambda I)^r(u_{i_j})$线性相关，这与定理的前提起始向量线性无关矛盾，故$B$是线性无关向量组.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -140,15 +140,15 @@ \section{若当标准形的存在性}
 
     于是接下来我们要将这组基扩充成$G_\lambda$的一组基，并保持若当循环基的特点. 观察$U=\im(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}$和$G_\lambda$的区别，其一在于$\sigma-\lambda I$将$G_\lambda$的一些向量映射进了$U$，但这些向量本身没能被其它向量映射到$U$中，其二在于$\sigma-\lambda I$将$G_\lambda$中的一些向量（实际上就是特征向量）化零，因此我们就从这两个角度扩充.
     \begin{enumerate}
-        \item 我们考虑任一若当循环基$B_i$的终止向量，它应当是某个$v_i\in G_\lambda$在$\sigma-\lambda I$下的像，我们直接将$v_i$加入到$B_i$中，这样我们就得到了$\tilde{B_i}=B_i\cup\{v_i\},\enspace i=1,\cdots,q$，它们仍然是满足循环向量组定义的.
-        \item $B$中的特征向量实际上就是每个$B_i$的起始向量，我们记为$w_1,\cdots,w_q$，它们是特征子空间$V_\lambda$的一组线性无关向量，因此可以将其扩充为$V_\lambda$的一组基
-              \[w_1,\cdots,w_q,u_1,\cdots,u_s.\]
+        \item 我们考虑任一若当循环基$B_i$的终止向量，它应当是某个$v_i\in G_\lambda$在$\sigma-\lambda I$下的像，我们直接将$v_i$加入到$B_i$中，这样我们就得到了$\tilde{B_i}=B_i\cup\{v_i\},\enspace i=1,\ldots,q$，它们仍然是满足循环向量组定义的.
+        \item $B$中的特征向量实际上就是每个$B_i$的起始向量，我们记为$w_1,\ldots,w_q$，它们是特征子空间$V_\lambda$的一组线性无关向量，因此可以将其扩充为$V_\lambda$的一组基
+              \[w_1,\ldots,w_q,u_1,\ldots,u_s.\]
     \end{enumerate}
 
     从而扩张后我们得到新的一组不相交且起始向量线性无关的若当循环基的并：
     \[\tilde{B}=\tilde{B_1}\cup\tilde{B_2}\cup\cdots\cup\tilde{B_q}\cup\{u_1\}\cup\cdots\cup\{u_s\},\]
 
-    由\autoref{lem:若当循环基合并性质}，$\tilde{B}$必然线性无关. 最后我们证明$\tilde{B}$是$G_\lambda$的一组基. 假设$B$包含$r=\dim U$个向量，于是$\tilde{B}$包含$r+q+s$个向量. 又因为$w_1,\cdots,w_q,u_1,\cdots,u_s$是$V_\lambda$的一组基，而$V_\lambda=\ker(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}$，由线性映射基本定理，
+    由\autoref{lem:若当循环基合并性质}，$\tilde{B}$必然线性无关. 最后我们证明$\tilde{B}$是$G_\lambda$的一组基. 假设$B$包含$r=\dim U$个向量，于是$\tilde{B}$包含$r+q+s$个向量. 又因为$w_1,\ldots,w_q,u_1,\ldots,u_s$是$V_\lambda$的一组基，而$V_\lambda=\ker(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}$，由线性映射基本定理，
     \[\dim G_\lambda=\dim\ker(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}+\dim\im(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}=q+s+r,\]
 
     因此$\tilde{B}$线性无关且长度等于$G_\lambda$的维数，故是$G_\lambda$的一组若当循环基.
@@ -172,7 +172,7 @@ \section{若当标准形的唯一性}
 
 回忆\autoref{eq:17:循环子空间分解}，我们的目标应当是为每一个广义特征子空间找到一组由若当循环基合并而成的基，然后将这些基合并成一组基，从而得到若当标准形. 因此我们只需要讨论如何对某一个特征值$\lambda$对应的广义特征子空间$G_\lambda$找到一组由一个或多个若当循环基合并而成的基即可，当一个线性变换或矩阵有多个特征值时，只需要对每一个特征值对应的广义特征子空间做同样的操作即可.
 
-因此我们现在只考虑将映射限制于一个广义特征子空间$G_\lambda$上的情形，将该特征值对应的若当块和若当基求解出来即可. 考虑到若当基是由一系列若当循环基合并而成，而若当循环基中会出现大量的$\sigma-\lambda I$的幂次. 回忆\autoref{thm:广义特征性质}，我们知道$(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}$是幂零线性变换，因此我们可以自然地简记$N=\sigma-\lambda I$. 假设最终我们求得限制在$G_\lambda$下的若当基中有$n$组若当循环基，每组若当循环基的长度分别为$m_1,\cdots,m_n$（不妨设$m_1\geqslant\cdots\geqslant m_n$），则我们可以将这些若当基记为：
+因此我们现在只考虑将映射限制于一个广义特征子空间$G_\lambda$上的情形，将该特征值对应的若当块和若当基求解出来即可. 考虑到若当基是由一系列若当循环基合并而成，而若当循环基中会出现大量的$\sigma-\lambda I$的幂次. 回忆\autoref{thm:广义特征性质}，我们知道$(\sigma-\lambda I)\vert_{G_\lambda}$是幂零线性变换，因此我们可以自然地简记$N=\sigma-\lambda I$. 假设最终我们求得限制在$G_\lambda$下的若当基中有$n$组若当循环基，每组若当循环基的长度分别为$m_1,\ldots,m_n$（不妨设$m_1\geqslant\cdots\geqslant m_n$），则我们可以将这些若当基记为：
 \[N^{m_1}v_1,\ldots,Nv_1,v_1,\ldots,N^{m_n}v_n,\ldots,Nv_n,v_n.\]
 
 事实上这里有两组未知量，其一是每组若当循环基的长度$m_i$，这对应每个若当块的大小，因为每组若当循环基就对应于一个若当块；其二是每组若当循环基的终止向量$v_i$，这就可以决定出整个若当基. 我们接下来将分成两步来求解这两组未知量，我们将用到一个重要的工具，我们称其为\term{Young图}，如\autoref{fig:17:若当基Young图形式}. 这是一种倒三角形的方格图，每一列都是一组若当循环基，按照长度从长到短依次从左到右排列，这是从列的角度看Young图.
@@ -401,8 +401,8 @@ \subsection{求解不变子空间}
 
         \item 显然$\{0\},\spa(v_1),\spa(v_1,v_2),\ldots,\spa(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n)$都是不变子空间，下面证明不变子空间一定在它们当中.
 
-              设$U$为任一不变子空间，若$U=\{0\}$，则也符合结论. 我们考虑非零的情况，设$\beta_1,\cdots,\beta_s$是$U$的一组基，并且假设
-              \[\beta_i=a_{i1}v_1+a_{i2}v_2+\cdots+a_{it}v_t,\enspace i=1,2,\cdots,s\]
+              设$U$为任一不变子空间，若$U=\{0\}$，则也符合结论. 我们考虑非零的情况，设$\beta_1,\ldots,\beta_s$是$U$的一组基，并且假设
+              \[\beta_i=a_{i1}v_1+a_{i2}v_2+\cdots+a_{it}v_t,\enspace i=1,2,\ldots,s\]
               其中满足至少有一个$i$使得$a_{it}\neq 0$（把所有基下表示末尾的0去除即可）. 对于满足$a_{it}\neq 0$的$i$，由于$U$是不变子空间，故$\sigma(\beta_i)\in U$，与第二点证明完全相同，我们得到
               \begin{align*}
                   a_{i2}v_1+a_{i3}v_2+\cdots+a_{it}v_{t-1}\in U, \\
@@ -477,7 +477,7 @@ \subsection{矩阵求幂与马尔可夫链}
                   \item $k=q+1$时，$J_k(0)$的个数为$r((J^m)^q)+r((J^m)^{q+2})-2r((J^m)^{q+1})=(n-mq)+0-0=r$.
                   \item $k>q+1$时，$J_k(0)$的个数为0.
               \end{enumerate}
-              综上所述，$J^m$的若当标准形是$\diag(J_q(0),\cdots,J_q(0),J_{q+1}(0),\cdots,J_{q+1}(0))$，其中$J_q(0)$的个数为$m-r$，$J_{q+1}(0)$的个数为$r$.
+              综上所述，$J^m$的若当标准形是$\diag(J_q(0),\ldots,J_q(0),J_{q+1}(0),\ldots,J_{q+1}(0))$，其中$J_q(0)$的个数为$m-r$，$J_{q+1}(0)$的个数为$r$.
     \end{enumerate}
 \end{solution}
 
@@ -527,7 +527,7 @@ \subsection{若当标准形与矩阵分解}
     我们首先对若当块$J_n(a)$证明这一定理. 事实上这非常显然，我们取$B=aE_n$，$C=J_n(0)$，则$B$可对角化，$C$是幂零的，且$BC=CB=aJ_n(0)$. 又因为$O=C^n=(J_n(a)-B)^n$，因此我们取$f(x)=(x-a)^n+a$，代入$x=J_n(a)$有
     $f(J_n(a))=(J_n(a)-aE_n)^n+aE_n=aE_n=B$，因此$B$表示为了$A$的多项式，而$C=J_n(a)-B=J_n(a)-f(J_n(a))$也是$A$的多项式.
 
-    接下来推广到若当标准形$J$，我们假设$J$互不相同的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$，设每个特征值$\lambda_i$对应$s_i$个若当块，则可以将$J$表示为
+    接下来推广到若当标准形$J$，我们假设$J$互不相同的特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，设每个特征值$\lambda_i$对应$s_i$个若当块，则可以将$J$表示为
     \[J=\begin{pmatrix}
             J_{11} &        &          &        &        &        &          \\
                    & \ddots &          &        &        &        &          \\
@@ -539,8 +539,8 @@ \subsection{若当标准形与矩阵分解}
         \end{pmatrix}.\]
     对每个若当块$J_{ij}$，假设若当块大小为$k_{ij}$，我们类似于前面对若当块的讨论取出每个$M_{ij}=\lambda_i E_{k_{ij}}$，$N_{ij}=J_{k_{ij}}(0)$，然后将这些矩阵按$J$的顺序排列成分块对角矩阵即可得到$M$和$N$，则$J=M+N$，$M$可对角化，$N$是幂零的，且$MN=NM$是容易验证的.
 
-    我们设每个特征值$\lambda_i$对应的最大的若当块的阶数为$k_i$，因此$(J_{ij}-\lambda_{ij})^{k_i}=O$. 我们知道$(\lambda-\lambda_1)^{k_1},\cdots,(\lambda-\lambda_m)^{k_m}$是两两互素的多项式，因此由中国剩余定理\autoref{thm:中国剩余定理} 可知，存在多项式$f(\lambda)$满足
-    \[f(\lambda)=g_i(\lambda)(\lambda-\lambda_i)^{k_i}+\lambda_i,\enspace i=1,\cdots,m\]
+    我们设每个特征值$\lambda_i$对应的最大的若当块的阶数为$k_i$，因此$(J_{ij}-\lambda_{ij})^{k_i}=O$. 我们知道$(\lambda-\lambda_1)^{k_1},\ldots,(\lambda-\lambda_m)^{k_m}$是两两互素的多项式，因此由\nameref{thm:中国剩余定理}可知，存在多项式$f(\lambda)$满足
+    \[f(\lambda)=g_i(\lambda)(\lambda-\lambda_i)^{k_i}+\lambda_i,\enspace i=1,\ldots,m\]
     故$f(J_{ij})=g_i(J_{ij})(J_{ij}-\lambda_i)^{k_i}+\lambda_iE_{k_{ij}}=\lambda_iE_{k_{ij}}=M_{ij}$，因此$f(J)=M$也成立. 同理$N=J-M=J-f(J)$也是$J$的多项式，因此命题结论对若当标准形都成立.
 
     接下来考虑一般情形，设$P^{-1}AP=J$，则$A=PJP^{-1}=P(M+N)P^{-1}=PMP^{-1}+PNP^{-1}$. 取$B=PMP^{-1}$，$C=PNP^{-1}$，则$B$可对角化，$C$是幂零的，且$BC=CB$，$B,C$均可以表示为$A$的多项式都可以从$M,N$具有这样的性质立刻得到，即这一问题是在相似下不变的.
@@ -613,10 +613,10 @@ \section{实数域上的若当标准形} \label{sec:实数域上的若当标准
 \begin{theorem}{}{实数域上的若当标准形}
     设$A$是$n$阶实矩阵，则$A$在实数域上相似于如下分块对角矩阵：
     \begin{enumerate}
-        \item $J=\diag(J_{r_1}(\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k),J_{s_1}(a_1,b_1),J_{s_l}(a_l,b_l))$；
-        \item $\tilde{J}=\diag(J_{r_1}(\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k),\tilde{J}_{s_1}(a_1,b_1),\tilde{J}_{s_l}(a_l,b_l))$
+        \item $J=\diag(J_{r_1}(\lambda_1),\ldots,J_{r_k}(\lambda_k),J_{s_1}(a_1,b_1),J_{s_l}(a_l,b_l))$；
+        \item $\tilde{J}=\diag(J_{r_1}(\lambda_1),\ldots,J_{r_k}(\lambda_k),\tilde{J}_{s_1}(a_1,b_1),\tilde{J}_{s_l}(a_l,b_l))$
     \end{enumerate}
-    其中$\lambda_1,\cdots,\lambda_k,a_1,b_1,\cdots,a_l,b_l$都是实数，$b_1,\cdots,b_l$都非零，$J_{r_i}(\lambda_i)$表示以$\lambda_i$为特征值的通常意义下的若当块，$R_j=\begin{pmatrix}
+    其中$\lambda_1,\ldots,\lambda_k,a_1,b_1,\ldots,a_l,b_l$都是实数，$b_1,\ldots,b_l$都非零，$J_{r_i}(\lambda_i)$表示以$\lambda_i$为特征值的通常意义下的若当块，$R_j=\begin{pmatrix}
             a_j & b_j \\ -b_j & a_j
         \end{pmatrix},C_2=\begin{pmatrix}
             0 & 0 \\ 1 & 0
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/18 \345\244\232\351\241\271\345\274\217\347\232\204\350\277\233\344\270\200\346\255\245\350\256\250\350\256\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/18 \345\244\232\351\241\271\345\274\217\347\232\204\350\277\233\344\270\200\346\255\245\350\256\250\350\256\272.tex"
index 4d048e0..f043fdd 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/18 \345\244\232\351\241\271\345\274\217\347\232\204\350\277\233\344\270\200\346\255\245\350\256\250\350\256\272.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/18 \345\244\232\351\241\271\345\274\217\347\232\204\350\277\233\344\270\200\346\255\245\350\256\250\350\256\272.tex"	
@@ -4,7 +4,7 @@ \chapter{多项式的进一步讨论}
 
 \section{特征多项式 \quad Hamilton-Cayley 定理}
 
-我们从大家熟悉的特征多项式出发，首先讨论其具有的性质，然后讨论它与相似标准形理论的关联. 事实上我们在初次引入特征值与特征向量时已经提到过特征多项式的定义，这里简要回顾复数域上的情况，因此根据\autoref{thm:多项式的唯一分解定理} 可知特征多项式能分解为一次多项式的乘积，每个一次多项式具有$\lambda-\lambda_i$的形式，其中$\lambda_i$是特征值. 我们更严谨地表达如下：设$V$是复向量空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，$A$为$\sigma$在任意一组基下的的矩阵表示. 令$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$表示$\sigma$（也即矩阵$A$）的所有互异特征值，则它们的特征多项式可以写成如下形式：
+我们从大家熟悉的特征多项式出发，首先讨论其具有的性质，然后讨论它与相似标准形理论的关联. 事实上我们在初次引入特征值与特征向量时已经提到过特征多项式的定义，这里简要回顾复数域上的情况，因此根据\nameref{thm:多项式的唯一分解定理}可知特征多项式能分解为一次多项式的乘积，每个一次多项式具有$\lambda-\lambda_i$的形式，其中$\lambda_i$是特征值. 我们更严谨地表达如下：设$V$是复向量空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，$A$为$\sigma$在任意一组基下的的矩阵表示. 令$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$表示$\sigma$（也即矩阵$A$）的所有互异特征值，则它们的特征多项式可以写成如下形式：
 \begin{equation}\label{eq:18:特征多项式}
     f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-\lambda_1)^{d_1}\cdots(\lambda-\lambda_m)^{d_m}
 \end{equation}
@@ -73,13 +73,13 @@ \section{特征多项式 \quad Hamilton-Cayley 定理}
     \item 利用分块对角矩阵分解
 
           \begin{proof}
-              设$\sigma$的特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，根据\autoref{thm:广义特征性质}，我们有广义特征子空间分解$V=G_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}$. 设每个广义特征子空间的维数为$d_i$. 根据\autoref{thm:核空间性质} 核空间停止增长的性质，以及$\sigma\vert_{G_{\lambda_i}}$是幂零线性变换，我们知道一定有$(\sigma-\lambda_iI)^{d_i}=0$（因为$\sigma-\lambda_iI$在$G_{\lambda_i}$上的幂次的核空间最大维数为$d_i$，因此最多增长到$d_i$次幂）. 换句话说，设$f_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_i)^{d_i}$，则$f_i(\sigma)$能将$G_{\lambda_i}$中向量都化零，而根据\autoref{thm:特征多项式与不变子空间}，$\sigma$在$V$上的特征多项式就是$f(\lambda)=f_1(\lambda)\cdots f_m(\lambda)$，而每个$f_i(\sigma)$都能将$G_{\lambda_i}$中的向量化零. 我们取$G_{\lambda_i}$的基为$v_{i1},\cdots,v_{is_i}$，合并成$V$的一组基$v_{11},\cdots,v_{1s_1},\cdots,v_{m1},\cdots,v_{ms_m}$，故对于任意的$v_{ij}$，根据\autoref{ex:矩阵多项式可交换} 的可交换性质，$f(\sigma)v=f_1(\sigma)\cdots f_{i-1}(\sigma)f_{i+1}(\sigma)\cdots f_m(\sigma)f_i(\sigma)v_{ij}=0$，即$f(\sigma)$能将$V$的一组基化零，根据线性映射的定义可知它也能将任意向量化零，故$f(\sigma)=0$，得证.
+              设$\sigma$的特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，根据\autoref{thm:广义特征性质}，我们有广义特征子空间分解$V=G_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus G_{\lambda_m}$. 设每个广义特征子空间的维数为$d_i$. 根据\autoref{thm:核空间性质} 核空间停止增长的性质，以及$\sigma\vert_{G_{\lambda_i}}$是幂零线性变换，我们知道一定有$(\sigma-\lambda_iI)^{d_i}=0$（因为$\sigma-\lambda_iI$在$G_{\lambda_i}$上的幂次的核空间最大维数为$d_i$，因此最多增长到$d_i$次幂）. 换句话说，设$f_i(\lambda)=(\lambda-\lambda_i)^{d_i}$，则$f_i(\sigma)$能将$G_{\lambda_i}$中向量都化零，而根据\autoref{thm:特征多项式与不变子空间}，$\sigma$在$V$上的特征多项式就是$f(\lambda)=f_1(\lambda)\cdots f_m(\lambda)$，而每个$f_i(\sigma)$都能将$G_{\lambda_i}$中的向量化零. 我们取$G_{\lambda_i}$的基为$v_{i1},\ldots,v_{is_i}$，合并成$V$的一组基$v_{11},\ldots,v_{1s_1},\ldots,v_{m1},\ldots,v_{ms_m}$，故对于任意的$v_{ij}$，根据\autoref{ex:矩阵多项式可交换} 的可交换性质，$f(\sigma)v=f_1(\sigma)\cdots f_{i-1}(\sigma)f_{i+1}(\sigma)\cdots f_m(\sigma)f_i(\sigma)v_{ij}=0$，即$f(\sigma)$能将$V$的一组基化零，根据线性映射的定义可知它也能将任意向量化零，故$f(\sigma)=0$，得证.
           \end{proof}
 
     \item 利用上三角矩阵
 
           \begin{proof}
-              根据\autoref{thm:上三角矩阵存在}，我们设$\sigma$在基$v_1,\cdots,v_n$下的矩阵表示为
+              根据\autoref{thm:上三角矩阵存在}，我们设$\sigma$在基$v_1,\ldots,v_n$下的矩阵表示为
               \[A=\begin{pmatrix}
                       \lambda_1 & a_{12}    & \cdots & a_{1n}    \\
                       0         & \lambda_2 & \cdots & a_{2n}    \\
@@ -114,14 +114,14 @@ \section{特征多项式 \quad Hamilton-Cayley 定理}
 \section{特征多项式与标准形}
 \subsection{特征多项式唯一分解与广义特征子空间}
 
-在证明了\autoref{thm:HC} 后，接下来我们便可以利用它进一步研究特征多项式与相似标准形之间的关系. 我们的目标是找到能在直和后得到原空间的不变子空间的分解方式（事实上就是找到广义特征子空间）. 实际上，我们可以利用\autoref{thm:裴蜀定理} 得到以下关键结论：
+在证明了 \nameref{thm:HC}后，接下来我们便可以利用它进一步研究特征多项式与相似标准形之间的关系. 我们的目标是找到能在直和后得到原空间的不变子空间的分解方式（事实上就是找到广义特征子空间）. 实际上，我们可以利用\nameref{thm:裴蜀定理}得到以下关键结论：
 \begin{lemma}{}{多项式分解与核空间直和}
     设$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，且在$\mathbf{F}[x]$中有$p=p_1p_2$，且$p_1,p_2$互素，则有
     \[\ker p(\sigma)=\ker p_1(\sigma)\oplus\ker p_2(\sigma).\]
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    此处证明直和采取先证明和，再证明直和的方式. 由于$p_1,p_2$互素，根据\autoref{thm:裴蜀定理}，存在$u,v\in\mathbf{F}[x]$使得
+    此处证明直和采取先证明和，再证明直和的方式. 由于$p_1,p_2$互素，根据\nameref{thm:裴蜀定理}，存在$u,v\in\mathbf{F}[x]$使得
     \[u(x)p_1(x)+v(x)p_2(x)=1,\]
     代入$\sigma$有
     \[u(\sigma)p_1(\sigma)+v(\sigma)p_2(\sigma)=I,\]
@@ -143,7 +143,7 @@ \subsection{特征多项式唯一分解与广义特征子空间}
     设$\sigma\in \mathcal{L}(V)$，且在$\mathbf{F}[x]$中有$p=p_1p_2\cdots p_s$，且$p_1,p_2,\ldots,p_s$两两互素，则有\[\ker p(\sigma)=\ker p_1(\sigma)\oplus\ker p_2(\sigma)\oplus\cdots\oplus\ker p_s(\sigma).\]
 \end{corollary}
 
-这一定理表明，将多项式分解为互素的多项式乘积，原多项式作用于线性变换的核空间等于分解后各个互素因式作用于线性变换的核空间的直和. 我们结合 Hamilton-Cayley 定理，如果$f$是$\sigma$的特征多项式，故$f(\sigma)=0$，则$\ker f(\sigma)$就是全空间$V$. 接下来我们将特征多项式分解为互素因式乘积，有
+这一定理表明，将多项式分解为互素的多项式乘积，原多项式作用于线性变换的核空间等于分解后各个互素因式作用于线性变换的核空间的直和. 我们结合 \nameref{thm:HC}，如果$f$是$\sigma$的特征多项式，故$f(\sigma)=0$，则$\ker f(\sigma)$就是全空间$V$. 接下来我们将特征多项式分解为互素因式乘积，有
 \[f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_m)^{r_m},\]
 其中$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$为$\sigma$的所有互异特征值，$r_1,\ldots,r_m$为特征值的重数. 然后由于分解的因式显然是两两互素的，因此根据\autoref{cor:多项式分解与核空间直和2}，我们有
 \[\ker f(\sigma)=V=\ker (\sigma-\lambda_1I)^{r_1}\oplus\cdots\oplus\ker (\sigma-\lambda_mI)^{r_m},\]
@@ -160,25 +160,25 @@ \subsection{特征多项式唯一分解与广义特征子空间}
 \end{proof}
 
 \subsection{初等因子分解与若当标准形}
-事实上，学习了若当标准形后，我们已不满足于基于广义特征子空间的分解. 我们知道同一个特征值可能对应多个若当块，因此每个广义特征子空间还能继续分解，分解成可以得到若当块的由循环基张成的循环子空间的直和. 我们可以根据\autoref{cor:若当基存在} 形式化地写出这一分解：设$V$是$\mathbf{C}$上的有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$，设每个特征值$\lambda_i(i=1,\cdots,n)$对应的广义特征子空间$K_{\lambda_i}$可以由$s_i$组若当基$B_{i1},B_{i2},\cdots,B_{is_i}$张成，其中每一组基都可以表达为：
-\[B_{ij}=\{(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}v_{ij},(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}v_{ij},\cdots,v_{ij}\},\]
+事实上，学习了若当标准形后，我们已不满足于基于广义特征子空间的分解. 我们知道同一个特征值可能对应多个若当块，因此每个广义特征子空间还能继续分解，分解成可以得到若当块的由循环基张成的循环子空间的直和. 我们可以根据\autoref{cor:若当基存在} 形式化地写出这一分解：设$V$是$\mathbf{C}$上的有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$，设每个特征值$\lambda_i(i=1,\ldots,n)$对应的广义特征子空间$K_{\lambda_i}$可以由$s_i$组若当基$B_{i1},B_{i2},\ldots,B_{is_i}$张成，其中每一组基都可以表达为：
+\[B_{ij}=\{(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}v_{ij},(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}v_{ij},\ldots,v_{ij}\},\]
 事实上$r_{ij}$就是这组循环基的长度. 我们设由$B_{ij}$张成的循环子空间为$C_{ij}$，则有
-\[K_{\lambda_i}=C_{i1}\oplus C_{i2}\oplus\cdots\oplus C_{is_i}=\mathop{\oplus}\limits_{j=1}^{s_i} C_{ij},\]
+\[K_{\lambda_i}=C_{i1}\oplus C_{i2}\oplus\cdots\oplus C_{is_i}=\bigoplus_{j=1}^{s_i} C_{ij},\]
 再根据\autoref{thm:广义特征性质}，我们有
 \begin{equation} \label{eq:19:循环子空间分解}
-    V=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^n K_{\lambda_i}=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^n\mathop{\oplus}\limits_{j=1}^{s_i} C_{ij}.
+    V=\bigoplus_{i=1}^n K_{\lambda_i}=\bigoplus_{i=1}^n\bigoplus_{j=1}^{s_i} C_{ij}.
 \end{equation}
 
 简而言之，我们将$V$分解为了一系列循环子空间的直和，每个循环子空间的循环基对应一个若当块. 进一步地，我们也希望探究这一分解与多项式之间的联系. 这时我们需要回忆起\autoref{ex:多项式域扩张}，帮助我们得到如下结论：
 \begin{theorem}{}{循环子空间同构于商空间}
     设$V$是$\mathbf{C}$上的有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$. 设
-    \[B_{ij}=\{(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}v_{ij},(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}v_{ij},\cdots,v_{ij}\}\]
+    \[B_{ij}=\{(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-1}v_{ij},(T-\lambda_iI)^{r_{ij}-2}v_{ij},\ldots,v_{ij}\}\]
     是$V$的一组循环基，$C_{ij}$是由$B_{ij}$张成的循环子空间. 则有
     \[C_{ij}\cong \mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}}).\]
 \end{theorem}
 
 事实上证明这一定理是显然的，因为根据\autoref{ex:多项式域扩张}，我们知道$\mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}})$是一个$r_{ij}$维线性空间，与$C_{ij}$相同. 但为什么我们在这里选择这一特别的商空间呢？事实上，回顾\autoref{ex:多项式域扩张} 的解答，我们发现，这一商空间的基是
-\[\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\cdots,\overline{1},\]
+\[\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\ldots,\overline{1},\]
 其中$\overline{a}=a+(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}}$. 我们很容易发现这一基的形式与$B_{ij}$的形式完全是一一对应的：$(T-\lambda_iI)^kv_{ij}$对应$\overline{(\lambda-\lambda_i)^k}$，事实上，我们不难发现以下两个关系：
 \begin{gather*}
     B_{ij}=\{p(T)v_{ij}\mid \deg p\leqslant r_{ij}-1\},\\
@@ -188,11 +188,11 @@ \subsection{初等因子分解与若当标准形}
 
 我们可以做进一步的观察，对于限制在$C_{ij}$上的线性映射$T|_{C_{ij}}$，我们利用同构映射将其自然地变为$\mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}})$上的线性映射$T'$：由于$T|_{C_{ij}}(p(T)v_{ij})=T\cdot p(T)v_{ij}$，根据同构我们有$T'(\overline{p(\lambda)})=\overline{\lambda\cdot p(\lambda)}$.
 
-事实上，由于映射$T'$和$T|_{C_{ij}}$是完全由它们对应的线性空间的同构映射$\phi$对应的，因此我们很自然地能知道，$T'$在基$\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\cdots,\overline{1}$下的矩阵实际上与$T|_{C_{ij}}$在基$B_{ij}$下的矩阵是完全一致的，即是一个若当块. 如果读者不相信，我们将这一结果的计算性验证留作习题.
+事实上，由于映射$T'$和$T|_{C_{ij}}$是完全由它们对应的线性空间的同构映射$\phi$对应的，因此我们很自然地能知道，$T'$在基$\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\ldots,\overline{1}$下的矩阵实际上与$T|_{C_{ij}}$在基$B_{ij}$下的矩阵是完全一致的，即是一个若当块. 如果读者不相信，我们将这一结果的计算性验证留作习题.
 
 总而言之，经过上面一系列看似繁杂的推演，我们事实上是想说明$C_{ij}$和$\mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}})$的同构是非常自然的，我们完全可以将$\mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}})$也视为一个循环子空间，并且我们也将循环基中出现的$(T-\lambda_i I)^k$中的多项式$(\lambda-\lambda_i)^k$提取出来，从而可以从多项式的角度来研究若当标准形. 利用这一同构，我们可以将\autoref{eq:19:循环子空间分解} 写为
 \begin{equation} \label{eq:19:初等因子分解}
-    V=\mathop{\oplus}\limits_{i=1}^n\mathop{\oplus}\limits_{j=1}^{s_i} \mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}}).
+    V=\bigoplus_{i=1}^n\bigoplus_{j=1}^{s_i} \mathbf{F}[\lambda]/((\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}}).
 \end{equation}
 注意，上式的等号实际上代表同构，在不引起歧义的情况下，我们可以这样简化书写. 事实上，这一分解直接引入了一个新的概念：初等因子（组）.
 \begin{definition}{}{}
@@ -219,7 +219,7 @@ \subsection{初等因子分解与若当标准形}
 \section{极小多项式及其性质}
 \subsection{极小多项式的定义}
 
-根据 Hamilton-Cayley 定理，我们知道特征多项式是复数域上（实数域也可以）线性变换的零化多项式. 然而特征多项式的次数一定等于线性空间的维数，我们希望零化多项式的次数更低，这样我们可以基于多项式理论研究更多的有关标准形的理论. 我们首先给出极小多项式的定义：
+根据 \nameref{thm:HC}，我们知道特征多项式是复数域上（实数域也可以）线性变换的零化多项式. 然而特征多项式的次数一定等于线性空间的维数，我们希望零化多项式的次数更低，这样我们可以基于多项式理论研究更多的有关标准形的理论. 我们首先给出极小多项式的定义：
 \begin{definition}{}{}
     我们有如下线性变换和矩阵的极小多项式定义：
     \begin{enumerate}
@@ -234,7 +234,7 @@ \subsection{极小多项式的定义}
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-    存在性是显然的，根据 Hamilton-Cayley 定理，我们知道一定存在零化多项式，故在所有零化多项式中一定有次数最低的多项式. 我们主要证明唯一性，假设存在两个次数最低（故它们次数相同）的首一多项式$p,q$使得$p(\sigma)=q(\sigma)=0$，则有$(p-q)(\sigma)=0$，又$\deg(p-q)<\deg p=\deg q$（因为根据假设它们首项会直接消去），又$\deg p=\deg q$是零花多项式的最低次数，故只能有$p=q$，得证.
+    存在性是显然的，根据 \nameref{thm:HC}，我们知道一定存在零化多项式，故在所有零化多项式中一定有次数最低的多项式. 我们主要证明唯一性，假设存在两个次数最低（故它们次数相同）的首一多项式$p,q$使得$p(\sigma)=q(\sigma)=0$，则有$(p-q)(\sigma)=0$，又$\deg(p-q)<\deg p=\deg q$（因为根据假设它们首项会直接消去），又$\deg p=\deg q$是零花多项式的最低次数，故只能有$p=q$，得证.
 \end{proof}
 
 如果需要计算极小多项式，我们可以给出一个算法化的描述. 对于$m=1,2,\ldots$，我们相继考虑线性方程组
@@ -269,7 +269,7 @@ \subsection{极小多项式的定义}
 
 \subsection{极小多项式的性质}
 
-我们希望极小多项式具有良好的性质，从而方便我们的讨论. 首先我们利用多项式的带余除法以及 Hamilton-Cayley 定理可以得到下述简单的结论：
+我们希望极小多项式具有良好的性质，从而方便我们的讨论. 首先我们利用多项式的带余除法以及 \nameref{thm:HC}可以得到下述简单的结论：
 \begin{theorem}{}{}
     设$\sigma\in \mathcal{L}(V)$.
     \begin{enumerate}
@@ -335,7 +335,7 @@ \subsection{极小多项式与标准形}
 
 这一结论的直接应用就是若当标准形的极小多项式，并且基于若当标准形的极小多项式我们可以得到更多的结论. 我们首先利用之前讨论的若当块的极小多项式来得到若当形矩阵的极小多项式：
 \begin{example}{}{若当极小多项式}
-    设若当标准形$J$的互不相同的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$，每个特征值$\lambda_i$对应$s_i$个若当块，则可以将$J$表示为
+    设若当标准形$J$的互不相同的特征值为$\lambda_1,\ldots,\lambda_m$，每个特征值$\lambda_i$对应$s_i$个若当块，则可以将$J$表示为
     \[J=\begin{pmatrix}
             J_{11} &        &          &        &        &        &          \\
                    & \ddots &          &        &        &        &          \\
@@ -420,7 +420,7 @@ \subsection{极小多项式与标准形}
 
 \centerline{\heiti B组}
 \begin{enumerate}
-    \item 证明：\autoref{thm:循环子空间同构于商空间} 之后定义的线性映射$T'$在基$\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\cdots,\overline{1}$下的矩阵实际上就是一个若当块.
+    \item 证明：\autoref{thm:循环子空间同构于商空间} 之后定义的线性映射$T'$在基$\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-1}},\overline{(\lambda-\lambda_i)^{r_{ij}-2}},\ldots,\overline{1}$下的矩阵实际上就是一个若当块.
     \item 已知某个实对称矩阵$A$的特征多项式为$\lambda^5+3\lambda^4-6\lambda^3-10\lambda^2+21\lambda-9$，求$A$的极小多项式.
     \item 设$V$为$n$阶方阵构成的线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V),\enspace \forall A\in V,\enspace \sigma(A)=2A-3A^{\mathrm{T}}$.
           \begin{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/19 \346\234\211\347\220\206\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/19 \346\234\211\347\220\206\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"
index e219335..86882b6 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/19 \346\234\211\347\220\206\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/19 \346\234\211\347\220\206\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
@@ -10,7 +10,7 @@ \chapter{有理标准形}
 \section{推广的广义特征子空间与第二有理标准形}
 为了逻辑上的顺畅，我们首先介绍第二有理标准形的构造，因为这一构造恰好需要对若当标准形的推导中广义特征空间以及初等因子的概念进行推广. 但需要注意的是，有理标准形在复数域上并不能退化为若当标准形，即有理标准形并不是在任何数域上都能找到的一个更广泛的标准形概念，不是若当标准形的推广，这一点是初学时必须要注意的，我们也将在后面详细讲述其中的差异与关联.
 
-回顾\autoref{thm:多项式的唯一分解定理} 叙述的唯一分解性质，任意数域上的特征多项式（所以是首一的）$f(\lambda)$都可以被唯一分解为一些首一不可约多项式的乘积，即
+回顾\nameref{thm:多项式的唯一分解定理}叙述的唯一分解性质，任意数域上的特征多项式（所以是首一的）$f(\lambda)$都可以被唯一分解为一些首一不可约多项式的乘积，即
 \[f(\lambda)=p_1(\lambda)^{n_1}p_2(\lambda)^{n_2}\cdots p_k(\lambda)^{n_k},\]
 其中$p_i(\lambda)$是首一不可约多项式，$n_i$是正整数. 如果我们讨论的是复数域，则这些不可约多项式都是一次多项式，即$p_i(\lambda)=\lambda-\lambda_i$，其中$\lambda_i$是复数域上的特征值. 但是如果我们讨论的是实数域或者有理数域，则这些不可约多项式可能是一次多项式，也可能是更高次的多项式. 事实上，在复数域上我们推导若当标准形的起点是定义广义特征子空间，然后将广义特征子空间分解为循环子空间的直和，那么我们最直接的想法便是，在所有数域上（包括非代数闭域）定义类似的概念，进行类似的分解. 于是我们首先有如下定义：
 \begin{definition}{}{}
@@ -45,16 +45,16 @@ \section{推广的广义特征子空间与第二有理标准形}
 接下来我们的目标便是将广义特征子空间分解为循环子空间的直和. 事实上，我们无法分解为若当块所需的循环子空间的形式，因为一方面我们不一定在复数域上讨论，另一方面若当标准形有唯一性，而我们需要找到另一种标准形，如果还保持原先的循环子空间还是只能局限于若当标准形. 因此我们有如下定义：
 \begin{definition}{}{}
     设$T\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是一个非零向量. 我们称子空间
-    \[W=\{v,Tv,T^2v,\cdots,T^kv,\cdots\}\]
-    为\term{由$v$生成的$T-\text{循环子空间}$}. 在不引起歧义的情况下，我们也称$W$为\term{$T-\text{循环子空间}$}或\term{循环子空间}.
+    \[W=\{v,Tv,T^2v,\ldots,T^kv,\cdots\}\]
+    为\term{由$v$生成的$T$-循环子空间}. 在不引起歧义的情况下，我们也称$W$为\term{$T$-循环子空间}或\term{循环子空间}.
 \end{definition}
 
-事实上，$V$一定是$T$的不变子空间，并且当$V$是有限维线性空间时，循环子空间也一定是有限维的. 一个有趣的事实是，如果循环子空间的维数等于$m$，那么它的一组基就是$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$. 我们来书写这一定理并给出证明：
+事实上，$V$一定是$T$的不变子空间，并且当$V$是有限维线性空间时，循环子空间也一定是有限维的. 一个有趣的事实是，如果循环子空间的维数等于$m$，那么它的一组基就是$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$. 我们来书写这一定理并给出证明：
 \begin{theorem}{}{}
-    设$V$是有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是一个非零向量，$W$是由$v$生成的$T-\text{循环子空间}$，则
+    设$V$是有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$，$v\in V$是一个非零向量，$W$是由$v$生成的$T$-循环子空间，则
     \begin{enumerate}
         \item $W$是$T$的不变子空间；
-        \item 若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$.
+        \item 若$W$的维数为$m$，则$W$的一组基为$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$.
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
@@ -64,7 +64,7 @@ \section{推广的广义特征子空间与第二有理标准形}
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-若我们记由$v$生成的$T-\text{循环子空间}$为$C_v$，则我们可以得到限制映射$T|_{C_v}$在循环基$\{v,Tv,\cdots,T^{m-1}v\}$下的矩阵. 为了得到这一矩阵，我们设$Tv=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_{m-1}T^{m-1}v$（因为$Tv$一定可以在这组基下被表示），则我们有矩阵表示为
+若我们记由$v$生成的$T-\text{循环子空间}$为$C_v$，则我们可以得到限制映射$T|_{C_v}$在循环基$\{v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\}$下的矩阵. 为了得到这一矩阵，我们设$Tv=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_{m-1}T^{m-1}v$（因为$Tv$一定可以在这组基下被表示），则我们有矩阵表示为
 \[A=\begin{pmatrix}
         0      & 0      & \cdots & 0      & -a_0     \\
         1      & 0      & \cdots & 0      & -a_1     \\
@@ -139,19 +139,19 @@ \section{不变因子与第一有理标准形}
 \[f(\lambda)=p_1(\lambda)^{n_1}p_2(\lambda)^{n_2}\cdots p_k(\lambda)^{n_k},\]
 其中$p_i(\lambda)$是首一不可约多项式，$n_i$是正整数. 于是$T$的初等因子具有形式$p_i^{r_{ij}}$，我们将这些初等因子按照不可约多项式进行分组，即将所有底数$p_i(\lambda)$相同的初等因子写在一行，并且按不可约多项式次数降幂排列：
 \begin{gather*}
-    p_1^{r_{11}},p_1^{r_{12}},\cdots,p_1^{r_{1s_1}}, \\
-    p_2^{r_{21}},p_2^{r_{22}},\cdots,p_2^{r_{2s_2}}, \\
+    p_1^{r_{11}},p_1^{r_{12}},\ldots,p_1^{r_{1s_1}}, \\
+    p_2^{r_{21}},p_2^{r_{22}},\ldots,p_2^{r_{2s_2}}, \\
     \cdots \\
-    p_k^{r_{k1}},p_k^{r_{k2}},\cdots,p_k^{r_{ks_k}}.
+    p_k^{r_{k1}},p_k^{r_{k2}},\ldots,p_k^{r_{ks_k}}.
 \end{gather*}
 其中$r_{ij}$是正整数，$r_{i1}\geqslant r_{i2}\geqslant\cdots\geqslant r_{is_i}$，且有$\prod\limits_{j=1}^{s_i}r_{ij}=n_i$. 接下来我们将每一行的长度对齐，不足的补$1$，于是可以写成
 \begin{gather*}
-    p_1^{r_{11}},p_1^{r_{12}},\cdots,p_1^{r_{1s}}, \\
-    p_2^{r_{21}},p_2^{r_{22}},\cdots,p_2^{r_{2s}}, \\
+    p_1^{r_{11}},p_1^{r_{12}},\ldots,p_1^{r_{1s}}, \\
+    p_2^{r_{21}},p_2^{r_{22}},\ldots,p_2^{r_{2s}}, \\
     \cdots \\
-    p_k^{r_{k1}},p_k^{r_{k2}},\cdots,p_k^{r_{ks}}.
+    p_k^{r_{k1}},p_k^{r_{k2}},\ldots,p_k^{r_{ks}}.
 \end{gather*}
-其中$s=\max\{s_1,s_2,\cdots,s_k\}$. 然后我们从后往前依次计算每一列的元素相乘的结果，即
+其中$s=\max\{s_1,s_2,\ldots,s_k\}$. 然后我们从后往前依次计算每一列的元素相乘的结果，即
 \begin{align*}
     d_1     & =p_1^{r_{1s}}p_2^{r_{2s}}\cdots p_k^{r_{ks}}, \\
             & \cdots                                        \\
@@ -164,7 +164,7 @@ \section{不变因子与第一有理标准形}
 \begin{equation} \label{eq:20:不变因子分解}
     V=\mathbf{F}[x]/(d_1)\oplus\mathbf{F}[x]/(d_2)\oplus\cdots\oplus\mathbf{F}[x]/(d_s),
 \end{equation}
-其中$d_i|d_{i+1}(i=1,\cdots,s-1)$. 这样的一组具有``一个整除下一个''性质的多项式被称为$T$的\term{不变因子组}，其中的每个多项式$d_i$都是$T$的一个\term{不变因子}.
+其中$d_i|d_{i+1}(i=1,\ldots,s-1)$. 这样的一组具有``一个整除下一个''性质的多项式被称为$T$的\term{不变因子组}，其中的每个多项式$d_i$都是$T$的一个\term{不变因子}.
 
 事实上，由\autoref{thm:初等因子组合} 的互素条件可知，这一分解已经是最``粗粒度''的分解了，因为每个不变因子都是不互素的，无法进一步组合成更大的循环子空间. 接下来我们需要为这一不变因子分解具体实现出一组循环基和对应的标准形.
 
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/2 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/2 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"
index e821480..97a8a12 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/2 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/2 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"	
@@ -185,7 +185,7 @@ \section{线性空间的定义}
     但是对\[\mathbf{F}[x]'_{n+1}=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_i\in\mathbf{F}, a_n\neq 0\}\]不构成线性空间，其原因在于我们加法不封闭，例如我们取$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中的两个元素$x^n$和$-x^n$，它们的和为$0$，不再满足$\mathbf{F}[x]'_{n+1}$中关于$a_n\neq 0$的条件，因此运算不封闭，不构成线性空间.
 \end{proof}
 
-第一个例子实际上是与向量有很大的联系的，因为次数不高于$n-1$次的多项式中，我们可以把所有系数$a_i(i=1,\cdots,n-1)$拼成向量$\alpha=(a_1,\cdots,a_{n-1})$，因此多项式和向量实际上是很类似的，所以这一例子是平凡的，并且应当作为常识，因为日后会非常常见. 并且请特别注意不构成线性空间的例子，这里我们使用运算不封闭这一条件否认，这是非常常用的，在习题中我们还会见到这样的例子.
+第一个例子实际上是与向量有很大的联系的，因为次数不高于$n-1$次的多项式中，我们可以把所有系数$a_i(i=1,\ldots,n-1)$拼成向量$\alpha=(a_1,\ldots,a_{n-1})$，因此多项式和向量实际上是很类似的，所以这一例子是平凡的，并且应当作为常识，因为日后会非常常见. 并且请特别注意不构成线性空间的例子，这里我们使用运算不封闭这一条件否认，这是非常常用的，在习题中我们还会见到这样的例子.
 
 \begin{example}{}{函数和数列线性空间}
     （向量层面的抽象）线性空间定义中$V$中的元素可以不是向量，也不是类似于上例中多项式的常规的、平凡的形式，可以是非常抽象的与我们认知中``向量''一次相去甚远的，例如：
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"
index ef7a863..f80bde4 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"	
@@ -292,9 +292,9 @@ \section{内积的表示方式}
     取 $ v = u_1 - u_2 $ 可得 $ u_1 - u_2 = 0 $，即 $ u_1 = u_2 $，唯一性得证.
 \end{proof}
 
-Riesz 表示定理不仅证明了内积和线性泛函的联系，也给出了求解向量 $ u $ 的公式使其满足$ \forall v \in V $，使得 $ \varphi(v) = \langle v, u\rangle $. 具体来说，就是
+\nameref{thm:Riesz}不仅证明了内积和线性泛函的联系，也给出了求解向量 $ u $ 的公式使其满足$ \forall v \in V $，使得 $ \varphi(v) = \langle v, u\rangle $. 具体来说，就是
 \[ u = \overline{\varphi(e_1)}e_1 + \cdots + \overline{\varphi(e_n)}e_n, \]
-而根据 Riesz 表示定理，我们知道 $ u $ 只依赖于线性泛函 $ \varphi $，所以选取任意一组$ V $ 上的标准正交基都会计算出相同的结果.
+而根据 \nameref{thm:Riesz}，我们知道 $ u $ 只依赖于线性泛函 $ \varphi $，所以选取任意一组$ V $ 上的标准正交基都会计算出相同的结果.
 
 按以往的经验，该节的内容常在考试中作为大题单独考察.
 \begin{example}{}{}
@@ -578,7 +578,7 @@ \subsubsection*{$^*$ 极小化问题的应用：最小二乘解}
 \begin{enumerate}
     \item 设 $ (e_1, \ldots , e_m) $ 是复内积空间 $ V $ 的一个标准正交组，证明：$ \forall v \in V $，均有
           \[ \sum_{j = 1}^{m} \lvert \langle v, e_j \rangle \rvert^2 \leqslant \lVert v \rVert^2, \]
-          等号成立当且仅当 $ v = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} \langle v, e_j \rangle e_j $. 这个不等式被称为 Bessel 不等式.
+          等号成立当且仅当 $ v = \displaystyle\sum_{j = 1}^{m} \langle v, e_j \rangle e_j $. 这个不等式被称为 Bessel 不等式.\index{Bessel@Bessel 不等式 (Bessel's inequality)}
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"
index 0068fa9..556400e 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"	
@@ -38,7 +38,7 @@ \section{奇异值分解}
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
-借助 \ref*{thm:T^*T的性质} 和单射满射的等价条件即可证明.
+借助 \nameref{thm:T^*T的性质}和单射满射的等价条件即可证明.
 
 特征值对应有特征向量，奇异值也对应有奇异向量.
 
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"
index 6f8ef1c..a97723f 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"	
@@ -71,7 +71,7 @@ \section{覆盖定理}
 \end{example}
 
 \begin{proof}
-    由\autoref{thm:覆盖定理}，$V$中存在向量$\alpha_1\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$. 继续取$\alpha_2\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s\cup\spa(\alpha_1)$，则一定有$\alpha_1,\alpha_2$线性无关. 继续取$\alpha_3\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s\cup\spa(\alpha_1,\alpha_2)$，则一定有$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关. 以此类推，最终得到一组基$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$都不在$V_1,V_2,\ldots,V_s$中.
+    由\nameref{thm:覆盖定理}，$V$中存在向量$\alpha_1\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$. 继续取$\alpha_2\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s\cup\spa(\alpha_1)$，则一定有$\alpha_1,\alpha_2$线性无关. 继续取$\alpha_3\notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s\cup\spa(\alpha_1,\alpha_2)$，则一定有$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关. 以此类推，最终得到一组基$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$都不在$V_1,V_2,\ldots,V_s$中.
 \end{proof}
 
 \section{维数公式}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"
index 759d903..3453c5c 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"	
@@ -367,7 +367,7 @@ \section{线性映射基本定理}
 \end{example}
 
 \begin{proof}
-    与\autoref{thm:线性映射基本定理} 证明类似，我们``设小扩大''. 设$\dim W=n,\enspace\dim\ker\sigma\cap W=k$，设$\ker\sigma\cap W$的一组基为$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$，我们将其扩充为$W$的一组基，记为
+    与\nameref{thm:线性映射基本定理}证明类似，我们``设小扩大''. 设$\dim W=n,\enspace\dim\ker\sigma\cap W=k$，设$\ker\sigma\cap W$的一组基为$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k$，我们将其扩充为$W$的一组基，记为
     \[\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n.\]
 
     根据定理要证明的等式和前述假设，我们只需证$\dim\sigma(W)=n-k$. 我们知道像空间为$\sigma(W)=\spa(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\ldots,\sigma(\alpha_n))$，其中根据我们的假设，$\sigma(\alpha_1)=\sigma(\alpha_2)=\cdots=\sigma(\alpha_k)=0$，因此像空间为$\spa(\sigma(\alpha_{k+1}),\ldots,\sigma(\alpha_n))$. 我们只需证明这一向量组是线性无关的即可，因为这样这$n-k$个向量就可以构成像空间的一组基，从而证明了$\dim\sigma(W)=n-k$.
@@ -431,7 +431,7 @@ \section{像与核的进一步讨论}
           \begin{proof}
               回忆直和的证明方法，我们这里利用先证明和为直和（即交为$\{0\}$）再证等号成立的方法. 设$\alpha\in\ker\sigma\cap\im \sigma$，则$\sigma(\alpha)=0$，且存在$\beta\in V$使得$\sigma(\beta)=\alpha$，因此利用$\sigma^2=\sigma$有
               \[0=\sigma(\alpha)=\sigma(\sigma(\beta))=\sigma^2(\beta)=\sigma(\beta)=\alpha,\]
-              即$\ker\sigma\cap\im \sigma=\{0\}$，因此和为直和. 又由\autoref{thm:线性映射基本定理} 可知，$\dim V=\dim\ker\sigma+\dim\im \sigma$，因此$V=\ker\sigma\oplus\im \sigma$.
+              即$\ker\sigma\cap\im \sigma=\{0\}$，因此和为直和. 又由\nameref{thm:线性映射基本定理}可知，$\dim V=\dim\ker\sigma+\dim\im \sigma$，因此$V=\ker\sigma\oplus\im \sigma$.
           \end{proof}
 
     \item 关于核空间，我们有如下定理，这一定理在之后讨论矩阵标准形的时候非常有用：
@@ -494,7 +494,7 @@ \section{像与核的进一步讨论}
                         \[\alpha=k_1\beta_1+\cdots+k_s\beta_s,\]
                         由于
                         \[0=\sigma(\alpha)=k_1\sigma(\beta_1)+\cdots+k_s\sigma(\beta_s),\]
-                        由$\sigma(\beta_1),\ldots,\sigma(\beta_s)$是一组基可知$k_1=\cdots=k_s=0$，因此$\alpha=0$，故$\ker\sigma\cap\im\sigma=\{0\}$，因此和为直和. 又由\autoref{thm:线性映射基本定理} 可知，$\dim V=\dim\ker\sigma+\dim\im \sigma$，因此$V=\ker\sigma\oplus\im \sigma$.
+                        由$\sigma(\beta_1),\ldots,\sigma(\beta_s)$是一组基可知$k_1=\cdots=k_s=0$，因此$\alpha=0$，故$\ker\sigma\cap\im\sigma=\{0\}$，因此和为直和. 又由\nameref{thm:线性映射基本定理}可知，$\dim V=\dim\ker\sigma+\dim\im \sigma$，因此$V=\ker\sigma\oplus\im \sigma$.
               \end{enumerate}
           \end{proof}
 
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"
index fb56cd9..f6d1341 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"	
@@ -207,7 +207,7 @@ \subsection{同构的说明}
           \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
-由此我们证明了$\mathcal{L}(V_1,V_2)\cong\mathbf{F}^{m\times n}$. 而我们很容易知道，$\mathbf{F}^{m\times n}$的维数为$mn$. 事实上对于矩阵关于矩阵加法和数乘构成的线性空间，我们有如下一组常用基：$E_{ij}(i=1,\cdots,m,j=1,\cdots,n)$，其中每个$E_{ij}$为第$i$行$j$列元素为1，其余元素全为0的矩阵. 例如对于$\mathbf{F}^{2\times 3}$，根据前面的描述我们可以写出其常用基为：
+由此我们证明了$\mathcal{L}(V_1,V_2)\cong\mathbf{F}^{m\times n}$. 而我们很容易知道，$\mathbf{F}^{m\times n}$的维数为$mn$. 事实上对于矩阵关于矩阵加法和数乘构成的线性空间，我们有如下一组常用基：$E_{ij}(i=1,\ldots,m,j=1,\ldots,n)$，其中每个$E_{ij}$为第$i$行$j$列元素为1，其余元素全为0的矩阵. 例如对于$\mathbf{F}^{2\times 3}$，根据前面的描述我们可以写出其常用基为：
 \[E_{11}=\begin{pmatrix}
         1 & 0 & 0 \\
         0 & 0 & 0
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"
index 67ccc43..7ba2180 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"	
@@ -289,7 +289,7 @@ \section{一组例题}
             0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0
         \end{pmatrix},\enspace \sigma(E_{23})=\begin{pmatrix}
             0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1
-        \end{pmatrix}$. 所以$\sigma$的像空间为上述六个矩阵线性扩张而成的空间，即$\im\sigma=\spa(\sigma(E_{11}),\sigma(E_{12}),\sigma(E_{13}),\sigma(E_{21}),\sigma(E_{22}),\sigma(E_{23}))$. 又由\autoref{thm:线性映射基本定理} 可知，$\dim\im\sigma=n-\dim\ker\sigma=6$，因此像空间就是这六个矩阵线性扩张而成的空间.
+        \end{pmatrix}$. 所以$\sigma$的像空间为上述六个矩阵线性扩张而成的空间，即$\im\sigma=\spa(\sigma(E_{11}),\sigma(E_{12}),\sigma(E_{13}),\sigma(E_{21}),\sigma(E_{22}),\sigma(E_{23}))$. 又由\nameref{thm:线性映射基本定理}可知，$\dim\im\sigma=n-\dim\ker\sigma=6$，因此像空间就是这六个矩阵线性扩张而成的空间.
 \end{solution}
 
 实际上，\autoref{ex:矩阵表示2} 和\autoref{ex:矩阵表示3} 都属于已知映射求像和核的题目，求解方法仍然是原先介绍的方法，只是\autoref*{ex:矩阵表示2} 没有像\autoref{ex:矩阵表示1} 或\autoref*{ex:矩阵表示3} 给出了线性映射的定义，而是给出矩阵表示，但这也完全不影响我们的求解.
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\350\277\233\351\230\266.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\350\277\233\351\230\266.tex"
index 548cd12..c9443dd 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\350\277\233\351\230\266.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\350\277\233\351\230\266.tex"	
@@ -412,7 +412,7 @@ \section{矩阵的幂} \label{sec:矩阵的幂}
               证明$\begin{pmatrix}
                       a & c \\ 0 & b
                   \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}
-                      a^n & (a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+b^{n-1})c \\ 0 & b^n
+                      a^n & (a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})c \\ 0 & b^n
                   \end{pmatrix}$.
           \end{example}
           \begin{proof}
@@ -420,7 +420,7 @@ \section{矩阵的幂} \label{sec:矩阵的幂}
               \[\begin{pmatrix}
                       a & c \\ 0 & b
                   \end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}
-                      a^k & (a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots+b^{k-1})c \\ 0 & b^k
+                      a^k & (a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1})c \\ 0 & b^k
                   \end{pmatrix}.\]
               当$n=k+1$时，有
               \begin{align*}
@@ -434,12 +434,12 @@ \section{矩阵的幂} \label{sec:矩阵的幂}
                       a & c \\ 0 & b
                   \end{pmatrix}                                         \\
                    & =\begin{pmatrix}
-                          a^k & (a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots+b^{k-1})c \\ 0 & b^k
+                          a^k & (a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1})c \\ 0 & b^k
                       \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
                                        a & c \\ 0 & b
                                    \end{pmatrix} \\
                    & =\begin{pmatrix}
-                          a^{k+1} & (a^k+a^{k-1}b+\ldots+b^k)c \\
+                          a^{k+1} & (a^k+a^{k-1}b+\cdots+b^k)c \\
                           0       & b^{k+1}
                       \end{pmatrix}.
               \end{align*}
@@ -755,7 +755,7 @@ \subsection{分块矩阵与数学归纳法}
 \begin{gather*}
     Ax=b_1 \\ Ax=b_2 \\ \cdots \\ Ax=b_n
 \end{gather*}
-当$n$很大时，如果利用$LU$分解，我们只需对$A$做一次分解，就可以解出所有方程，但高斯消元法则需要每个方程都和每个$b_i(i=1,2,\cdots,n)$构成增广矩阵一起消元，计算量会增大许多.
+当$n$很大时，如果利用$LU$分解，我们只需对$A$做一次分解，就可以解出所有方程，但高斯消元法则需要每个方程都和每个$b_i(i=1,2,\ldots,n)$构成增广矩阵一起消元，计算量会增大许多.
 
 \section{矩阵方程}
 
@@ -992,7 +992,7 @@ \section{秩等式与不等式}
               \[r(\sigma+\tau)\leqslant r(\sigma)+r(\tau),\]
               又根据线性映射的秩的定义，只需证明
               \[\dim(\sigma+\tau)(V_1)\leqslant \dim\sigma(V_1)+\dim\tau(V_1),\]
-              事实上，$\forall\beta\in(\sigma+\tau)(V_1)$，$\exists\alpha\in V_1$，使得$\beta=(\sigma+\tau)\alpha=\sigma(\alpha)+\tau(\alpha)\in\sigma(V_1)+\tau(V_1)$，因此$(\sigma+\tau)(V_1)\subseteq\sigma(V_1)+\tau(V_1)$，故$\dim(\sigma+\tau)(V_1)\leqslant \dim(\sigma(V_1)+\tau(V_1))\leqslant \dim\sigma(V_1)+\dim\tau(V_1)$，得证（最后一个不等号来源于\autoref{thm:线性空间维数公式}）.
+              事实上，$\forall\beta\in(\sigma+\tau)(V_1)$，$\exists\alpha\in V_1$，使得$\beta=(\sigma+\tau)\alpha=\sigma(\alpha)+\tau(\alpha)\in\sigma(V_1)+\tau(V_1)$，因此$(\sigma+\tau)(V_1)\subseteq\sigma(V_1)+\tau(V_1)$，故$\dim(\sigma+\tau)(V_1)\leqslant \dim(\sigma(V_1)+\tau(V_1))\leqslant \dim\sigma(V_1)+\dim\tau(V_1)$，得证（最后一个不等号来源于\nameref{thm:线性空间维数公式}）.
           \end{proof}
 
     \item $r(AB) \leqslant \min\{r(A), r(B)\}$.
@@ -1018,7 +1018,7 @@ \section{秩等式与不等式}
           \begin{proof}
               设$A,B$分别是线性映射$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2),\tau\in\mathcal{L}(V_2,V_3)$在基下表示矩阵，其中$V_1,V_2,V_3$分别是$m,n,s$维线性空间，我们只需证
               \[r(\tau\sigma)\geqslant r(\sigma)+r(\tau)-n.\]
-              事实上，根据\autoref{thm:线性映射基本定理}，我们有
+              事实上，根据\nameref{thm:线性映射基本定理}，我们有
               \begin{align*}
                   r(\tau\sigma) & =m-\dim\ker(\tau\sigma)                   \\
                                 & \geqslant m-(\dim\ker\sigma+\dim\ker\tau) \\
@@ -1033,7 +1033,7 @@ \section{秩等式与不等式}
                                        & =(n-\dim\sigma(V_1))+\dim(\ker\tau\cap\sigma(V_1)) \\
                                        & \leqslant\dim\ker\sigma+\dim\ker\tau.
               \end{align*}
-              这里2-3行将$\tau$视为$\mathcal{L}(\sigma(V_1),V_3)$中的线性映射，利用了\autoref{thm:线性映射基本定理}.
+              这里2-3行将$\tau$视为$\mathcal{L}(\sigma(V_1),V_3)$中的线性映射，利用了\nameref{thm:线性映射基本定理}.
           \end{proof}
 
           这一不等式有一个特例，即当$AB=O$时有$r(A)+r(B)\leqslant n$. 这一结论在\nameref{chap:朝花夕拾}中我们将用其他方法给出证明.
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"
index d8d5309..a2f8d61 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"	
@@ -19,14 +19,14 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
     \begin{enumerate}
         \item 一族元素，每个元素称为其中的\term{对象}，这一个族记作 $\Ob(\cC)$；我们将 $A \in \Ob(\cC)$ 简记作 $A \in \cC$；
         \item 一族 $A$ 到 $B$ 的箭头或者\term{态射} $\Hom_\cC (A, B)$，对于 $\Ob(\cC)$ 中的任意两个元素 $A, B \in \cC$，满足如下条件：
-        \begin{enumerate}
-            \item 如果 $A, B, C \in \cC, \alpha \in \Hom_\cC (A, B), \beta \in \Hom_\cC (B, C)$，则存在复合 $\beta \circ \alpha \in \Hom_\cC(A, C)$；
-            \item 对于任意$D \in \cC, \gamma \in \Hom_\cC (C, D)$，都有\[
-                \gamma \circ (\beta \circ \alpha)= (\gamma \circ \beta) \circ \alpha;
-            \]
-            \item $\Hom_\cC (A, A)$ 中必有一个恒同元素，记作 $\id_A$，使得对于任意的$f \in \Hom_\cC (B, A)$，
-            \[\id_A \circ f = f \circ \id_B \]
-        \end{enumerate}
+              \begin{enumerate}
+                  \item 如果 $A, B, C \in \cC, \alpha \in \Hom_\cC (A, B), \beta \in \Hom_\cC (B, C)$，则存在复合 $\beta \circ \alpha \in \Hom_\cC(A, C)$；
+                  \item 对于任意$D \in \cC, \gamma \in \Hom_\cC (C, D)$，都有\[
+                            \gamma \circ (\beta \circ \alpha)= (\gamma \circ \beta) \circ \alpha;
+                        \]
+                  \item $\Hom_\cC (A, A)$ 中必有一个恒同元素，记作 $\id_A$，使得对于任意的$f \in \Hom_\cC (B, A)$，
+                        \[\id_A \circ f = f \circ \id_B \]
+              \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -41,20 +41,20 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
     \begin{enumerate}
         \item 对 $\cC$ 中的每个对象 $A$ 它指派 $\cD$ 中的一个对象 $F(A)$；
         \item 对 $\Hom_\cC (A, B)$ 中的每个态射 $\alpha$ 它指派 $\Hom_\cD (F(A), F(B))$ 中的一个态射 $F(\alpha)$，满足
-        \begin{enumerate}
-            \item 对于可复合的 $\alpha, \beta$ 都有 $F(\alpha \circ \beta) = F(\alpha) \circ F(\beta)$；
-            \item 对于任意 $A \in \cC$ 都有 $F(\id_A) = \id_{F(A)}$；
-        \end{enumerate}
+              \begin{enumerate}
+                  \item 对于可复合的 $\alpha, \beta$ 都有 $F(\alpha \circ \beta) = F(\alpha) \circ F(\beta)$；
+                  \item 对于任意 $A \in \cC$ 都有 $F(\id_A) = \id_{F(A)}$；
+              \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 最简单的函子的例子是一个范畴打到自身的恒同函子，它不会改变任何东西；以及 $\FVect_\F$ 到 $\Set$ 的忘却函子，它直接抛掉线性空间中的代数结构，只留下里面的元素. 现在我们考虑一个不那么平凡的例子：
 
 \begin{example}{}{}
-    考虑范畴 $\FSet$ 的对象是所有的有限集，其中的态射为含入映射. 则它到 $\FVect_\F$ 有一个显然的函子，是张成函子，我们将其记作 $\mathop{\mathrm{span}}: \FSet \to \FVect_\F$. 它将一个有限集合映到由它张成的线性空间. 实际上，也就是将 $S = \{s_1, s_2, \cdots, s_n\}$ 映到一个形式和：
+    考虑范畴 $\FSet$ 的对象是所有的有限集，其中的态射为含入映射. 则它到 $\FVect_\F$ 有一个显然的函子，是张成函子，我们将其记作 $\spa: \FSet \to \FVect_\F$. 它将一个有限集合映到由它张成的线性空间. 实际上，也就是将 $S = \{s_1, s_2,\ldots, s_n\}$ 映到一个形式和：
 
     \[
-        \mathop{\mathrm{span}} S = \{\sum_{i = 1}^n a_i s_i: a_i \in \F\}
+        \spa S = \left\{\sum_{i = 1}^n a_i s_i: a_i \in \F\right\}
     \]
 
     其上的线性空间运算都是显然的. 同样不难验证它将原来的含入映射映到一个线性映射，一个含入映射总是可以被对应到一个从子空间到原空间的嵌入.
@@ -91,13 +91,13 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
 
 也许，我们应该采取一种更直观的看法来理解这一串概念，下面的一些概念来自于拓扑学，但并不严格，仅仅是提供一个比较方便的几何直观. 实际上，对拓扑和范畴论更加熟悉之后，读者会发现这个类比背后的深意.
 
-\begin{figure}[b!]
+\begin{figure}[htb]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
         \draw[thick] (0,3) ellipse (2.5 and 1)
-        (0,-2) ellipse (4 and 2)
+        (0,-2) ellipse (4.2 and 2)
         node at (3, 3) {$\cC$}
-        node at (4.5, -2) {$\cD$}
+        node at (4.7, -2) {$\cD$}
         coordinate (X) at (-1, 3)
         coordinate (Y) at (1, 3)
         coordinate (FX) at (-3, -2)
@@ -134,9 +134,11 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
         \foreach \point in {X, Y, FX, GX, GY, FY}
         \fill[black] (\point) circle (1pt);
     \end{tikzpicture}
+    \caption{自然变换的几何直观}
+    \label{fig:natural-transformation}
 \end{figure}
 
-首先，我们在一张纸上画两个面，表示两个范畴$\cC,\cD$. 在一个面上取两个点 $X, Y$，这是它上面的两个对象；然后，在另一个面上取四个点，分别表示 $F(X), F(Y), G(X), G(Y)$，即两个函子$F,G$在这两个点$X,Y$的取值. 注意，实际上两个函子分别是两个面之间的映射，如果把原像和像用线连接，展开来看的话，大概能看成是纸面上和纸面下的两张带有纹路的曲面. 然后，自然变换就是这两个曲面之间的连线$\theta$，对应到交换图上来，就是图中阴影区域的四条边. 实际上，我们的条件就是要求，这两族曲面$F, G$的结构和曲面之间的结构$\theta$都具备合适的连续性，图示如上页，这个东西在拓扑学中一般称为\term{同伦}.
+首先，我们在一张纸上画两个面，表示两个范畴$\cC,\cD$. 在一个面上取两个点 $X, Y$，这是它上面的两个对象；然后，在另一个面上取四个点，分别表示 $F(X), F(Y), G(X), G(Y)$，即两个函子$F,G$在这两个点$X,Y$的取值. 注意，实际上两个函子分别是两个面之间的映射，如果把原像和像用线连接，展开来看的话，大概能看成是纸面上和纸面下的两张带有纹路的曲面. 然后，自然变换就是这两个曲面之间的连线$\theta$，对应到交换图上来，就是图中阴影区域的四条边. 实际上，我们的条件就是要求，这两族曲面$F, G$的结构和曲面之间的结构$\theta$都具备合适的连续性，如\autoref{fig:natural-transformation}，这个东西在拓扑学中一般称为\term{同伦}.
 
 在实践中，我们一般会称态射 $\theta_X$ 对于 $X$ 来说是自然的、典范的，或者说它满足函子性. 我们来看两个例子：
 
@@ -204,7 +206,7 @@ \subsection{单态射、满态射和同构}
 证明如上所述，形式化的写法留给读者，对偶地，我们就有：
 
 \begin{lemma}{}{}
-    $f: T \to S$ 是满射当且仅当存在映射 $g: S \to T$ 使得 $f \circ g = \id_S$
+    $f: T \to S$ 是满射当且仅当存在映射 $g: S \to T$ 使得 $f \circ g = \id_S$.
 \end{lemma}
 
 而后面的这个定义是纯粹用箭头完成的，因此，它就能被推广到态射的情形：
@@ -289,10 +291,10 @@ \subsection{走向无穷范畴：为什么我们需要套娃？}
 
 \begin{enumerate}
     \item 证明以下两个态射的性质：
-    \begin{enumerate}
-        \item 如果 $A$ 与 $B$ 同构，那么 $A$ 与 $B$ 之间的同构映射是唯一的；
-        \item 函子保持态射的单、满性质.
-    \end{enumerate}
+          \begin{enumerate}
+              \item 如果 $A$ 与 $B$ 同构，那么 $A$ 与 $B$ 之间的同构映射是唯一的；
+              \item 函子保持态射的单、满性质.
+          \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \end{document}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex"
index 4d356bb..c81ce38 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex"
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex"
@@ -53,7 +53,6 @@
 \makeatletter
 % 此处可按需增改
 % \texorpdfstring 的两个参数分别显示在正文中与 PDF 书签中
-% 已知 bug：未竟专题中的定理等环境不可有标题（见 FIXME）
 \newcommand*{\@LUgreek}[1]{%
     \ifcase#1\or\texorpdfstring{$\boldsymbol{\varepsilon}$}{ε}%
     \or\texorpdfstring{$\boldsymbol{\delta}$}{δ}%