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<body><div class="header"><h1 class="chapter_number">
<a href="">CHAPTER 4</a></h1>
<h1 class="chapter_title"><a href="">ニューラルネットワークが任意の関数を表現できることの視覚的証明</a></h1></div><div class="section"><div id="toc">
<p class="toc_title"><a href="index.html">ニューラルネットワークと深層学習</a></p><p class="toc_not_mainchapter"><a href="about.html">What this book is about</a></p><p class="toc_not_mainchapter"><a href="exercises_and_problems.html">On the exercises and problems</a></p><p class='toc_mainchapter'><a id="toc_using_neural_nets_to_recognize_handwritten_digits_reveal" class="toc_reveal" onMouseOver="this.style.borderBottom='1px solid #2A6EA6';" onMouseOut="this.style.borderBottom='0px';"><img id="toc_img_using_neural_nets_to_recognize_handwritten_digits" src="images/arrow.png" width="15px"></a><a href="chap1.html">ニューラルネットワークを用いた手書き文字認識</a><div id="toc_using_neural_nets_to_recognize_handwritten_digits" style="display: none;"><p class="toc_section"><ul><a href="chap1.html#perceptrons"><li>Perceptrons</li></a><a href="chap1.html#sigmoid_neurons"><li>Sigmoid neurons</li></a><a href="chap1.html#the_architecture_of_neural_networks"><li>The architecture of neural networks</li></a><a href="chap1.html#a_simple_network_to_classify_handwritten_digits"><li>A simple network to classify handwritten digits</li></a><a href="chap1.html#learning_with_gradient_descent"><li>Learning with gradient descent</li></a><a href="chap1.html#implementing_our_network_to_classify_digits"><li>Implementing our network to classify digits</li></a><a href="chap1.html#toward_deep_learning"><li>Toward deep learning</li></a></ul></p></div>
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<p class='toc_mainchapter'><a id="toc_deep_learning_reveal" class="toc_reveal" onMouseOver="this.style.borderBottom='1px solid #2A6EA6';" onMouseOut="this.style.borderBottom='0px';"><img id="toc_img_deep_learning" src="images/arrow.png" width="15px"></a><a href="chap6.html">深層学習</a><div id="toc_deep_learning" style="display: none;"><p class="toc_section"><ul><a href="chap6.html#introducing_convolutional_networks"><li>Introducing convolutional networks</li></a><a href="chap6.html#convolutional_neural_networks_in_practice"><li>Convolutional neural networks in practice</li></a><a href="chap6.html#the_code_for_our_convolutional_networks"><li>The code for our convolutional networks</li></a><a href="chap6.html#recent_progress_in_image_recognition"><li>Recent progress in image recognition</li></a><a href="chap6.html#other_approaches_to_deep_neural_nets"><li>Other approaches to deep neural nets</li></a><a href="chap6.html#on_the_future_of_neural_networks"><li>On the future of neural networks</li></a></ul></p></div>
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<p class="toc_not_mainchapter"><a href="sai.html">
Appendix: 知性のある <i>シンプルな</i> アルゴリズムはあるか?</a></p>
<p class="toc_not_mainchapter"><a href="acknowledgements.html">Acknowledgements</a></p><p class="toc_not_mainchapter"><a href="faq.html">Frequently Asked Questions</a></p>
<hr>
<span class="sidebar_title">Sponsors</span>
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<!--
<p class="sidebar">Thanks to all the <a
href="supporters.html">supporters</a> who made the book possible.
Thanks also to all the contributors to the <a
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<p class="sidebar">The book is currently a beta release, and is still
under active development. Please send error reports to
[email protected]. For other enquiries, please see the <a
href="faq.html">FAQ</a> first.</p>
-->
<p class="sidebar">著者と共にこの本を作り出してくださった<a
href="supporters.html">サポーター</a>の皆様に感謝いたします。
また、<a
href="bugfinder.html">バグ発見者の殿堂</a>に名を連ねる皆様にも感謝いたします。
また、日本語版の出版にあたっては、<a
href="translators.html">翻訳者</a>の皆様に深く感謝いたします。
</p>
<p class="sidebar">この本は目下のところベータ版で、開発続行中です。
エラーレポートは [email protected] まで、日本語版に関する質問は [email protected] までお送りください。
その他の質問については、まずは<a
href="faq.html">FAQ</a>をごらんください。</p>
<hr>
<span class="sidebar_title">Resources</span>
<p class="sidebar">
<a href="https://github.com/mnielsen/neural-networks-and-deep-learning">Code repository</a></p>
<p class="sidebar">
<a href="http://eepurl.com/BYr9L">Mailing list for book announcements</a>
</p>
<p class="sidebar">
<a href="http://eepurl.com/0Xxjb">Michael Nielsen's project announcement mailing list</a>
</p>
<hr>
<a href="http://michaelnielsen.org"><img src="assets/Michael_Nielsen_Web_Small.jpg" width="160px" style="border-style: none;"/></a>
<p class="sidebar">
著：<a href="http://michaelnielsen.org">Michael Nielsen</a> / 2014年9月-12月 <br > 訳：<a href="https://github.com/nnadl-ja/nnadl_site_ja">「ニューラルネットワークと深層学習」翻訳プロジェクト</a>
</p>
</div>
</p>
<p>
<!--One of the most striking facts about neural networks is that they can
compute any function at all. That is, suppose someone hands you some
complicated, wiggly function, $f(x)$:-->
ニューラルネットワークに関して最も衝撃的な事実の1つは任意の関数を表現できることです。
例えば誰かから複雑で波打った関数$f(x)$を与えられたとします：
</p>
<p><center><canvas id="function" width="300" height="300"></canvas></center></p>
<p>
<!--<a id="basic_network_precursor"></a> No matter what the
function, there is guaranteed to be a neural network so that for every
possible input, $x$, the value $f(x)$ (or some close approximation) is
output from the network, e.g.:-->
<a id="basic_network_precursor"></a> それがどんな関数であっても、考えられるすべての入力$x$に対して、
出力値が$f(x)$（もしくはその近似）であるニューラルネットワークが存在します。例えば下図のようなものです。
</p>
<p><center><canvas id="basic_network" width="350" height="220"></canvas></center></p>
<p>
<!--This result holds even if the function has many inputs, $f = f(x_1,
\ldots, x_m)$, and many outputs. For instance, here's a network
computing a function with $m = 3$ inputs and $n = 2$ outputs:-->
この結果は入力が複数の関数$f = f(x_1, \ldots, x_m)$や出力が複数の関数でも成立します。
例えば、下図は$m=3$個の入力と$n=2$個の出力を持つ関数を計算するニューラルネットワークです：
</p>
<p><center><canvas id="vector_valued_network" width="450" height="370"></canvas></center></p>
<p>
<!--This result tells us that neural networks have a kind of
<em>universality</em>. No matter what function we want to compute, we
know that there is a neural network which can do the job.-->
この結果はニューラルネットワークが一種の<em>普遍性</em>を持っている事を示しています。
計算したい関数が何であろうとも、その計算を行えるニューラルネットワークが存在することがわかっているのです。
</p>
<p>
<!--What's more, this universality theorem holds even if we restrict our
networks to have just a single layer intermediate between the input
and the output neurons - a so-called single hidden layer. So even
very simple network architectures can be extremely powerful.-->
しかも、この普遍性定理は入力層と出力層の間の中間層、
いわゆる隠れ層をたった1層しか持たないニューラルネットワークに限っても成立しています。
つまり、極めて単純なネットワーク構成でも表現力は極めて高いのです。
</p>
<p>
<!--The universality theorem is well known by people who use neural
networks. But why it's true is not so widely understood. Most of the
explanations available are quite technical. For instance, one of the
original papers proving the result*-->
普遍性定理はニューラルネットワークを扱う人々の間ではよく知られています。
しかし、なぜそれが正しいのかはそれほど広くは理解されていません。
よく見られる説明の多くは極めてテクニカルです。
例えば、この結果を証明している原著論文*
<!--<span class="marginnote">
*<a href="http://www.dartmouth.edu/~gvc/Cybenko_MCSS.pdf">Approximation by superpositions of a sigmoidal function</a>, by George Cybenko (1989).
The result was very much in the air at the time, and
several groups proved closely related results.
Cybenko's paper contains a useful discussion of much of that work.
Another important early paper is
<a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0893608089900208">Multilayer feedforward networks are universal approximators</a>, by Kurt Hornik, Maxwell Stinchcombe, and Halbert White (1989).
This paper uses the Stone-Weierstrass theorem to arrive at similar results.</span>-->
<span class="marginnote">
*<a href="http://www.dartmouth.edu/~gvc/Cybenko_MCSS.pdf">Approximation by superpositions of a sigmoidal function</a>, George Cybenko (1989).
この結果は広く知られ、他にもいくつかのグループが関連した結果を証明しました。
Cybenkoの論文ではその仕事に関して多くの有益な議論がなされています。
初期の論文でその他の重要なものとして、
<a href="http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0893608089900208">Multilayer feedforward networks are universal approximators</a>, Kurt Hornik, Maxwell Stinchcombe, Halbert White (1989)があります。
この論文はストーン・ワイエルシュトラスの定理を用いて類似の結果を得ています。</span>
<!--did so using the Hahn-Banach theorem, the Riesz Representation theorem, and some Fourier analysis.-->
では、ハーン・バナッハの定理とリースの表現定理とフーリエ解析を利用しています。
<!--If you're a mathematician the argument is not
difficult to follow, but it's not so easy for most people. That's a
pity, since the underlying reasons for universality are simple and
beautiful.-->
この論文の議論を追うのは数学者にとっては難しくないかもしれませんが、大多数の人にとっては簡単ではありません。
これは悲しいことです。なぜなら、ニューラルネットワークの普遍性を成り立たせている原因は、本当はシンプルで美しいものだからです。
</p>
<p>
<!--In this chapter I give a simple and mostly visual explanation of the universality theorem.
We'll go step by step through the underlying ideas. You'll understand why it's true that neural networks can compute any function. You'll understand some of the limitations of
the result. And you'll understand how the result relates to deep
neural networks.-->
本章では、普遍性定理のシンプルで大部分が視覚的な説明を行います。
背景にあるアイデア達を1つずつ順を追って見ていきます。
なぜニューラルネットワークが任意の関数を表現できるのかの理由、結果にある種の制限がついている事、
そしてこの結果と深いニューラルネットとの関連が理解できるようになるはずです。
</p>
<p>
<!--To follow the material in the chapter, you do not need to have read
earlier chapters in this book. Instead, the chapter is structured to
be enjoyable as a self-contained essay. Provided you have just a
little basic familiarity with neural networks, you should be able to
follow the explanation. I will, however, provide occasional links to
earlier material, to help fill in any gaps in your knowledge.-->
本章を読むのにこの本のこれ以前の章を読む必要はありません。
その代わりに自己完結的なエッセイとして楽しめるよう構成されています。
ニューラルネットワークについて少し慣れていれば、説明を追えるはずです。
ただ、知識のギャップを埋めるのに役立つよう、以前の章へのリンクは必要に応じて示すつもりです。
</p>
<p></p>
<p></p>
<p></p>
<p>
<!--Universality theorems are a commonplace in computer science, so much
so that we sometimes forget how astonishing they are. But it's worth
reminding ourselves: the ability to compute an arbitrary function is
truly remarkable. Almost any process you can imagine can be thought
of as function computation. Consider the problem of naming a piece of
music based on a short sample of the piece. That can be thought of as
computing a function. Or consider the problem of translating a
Chinese text into English. Again, that can be thought of as computing
a function-->
普遍性に関する定理はコンピュータ科学では珍しくなく、それらが驚くべき定理である事をしばしば忘れてしまいます。
しかし、任意の関数を計算できるのは本当に著しい性質であることは今一度思い起こす価値のあることです。
あなたが思いつく処理は大抵どれも関数の計算と思うことができます。
例えば、音楽の短いサンプルだけを聞いて曲名を当てる問題を考えてみてください。
これも、一種の関数の構成であると考える事ができます。
または、中国語の文章を英語に翻訳する問題を考えてみてください。
やはり、これも関数の構成だと考える事ができます*<span class="marginnote">
<!--
2015/1/14 Kenta OONO
computing a functionは、givenな関数が与えられてそれの出力値を計算しているというよりは、
関数そのものがどんな形をしているかを決定するという雰囲気があるように思ったので、
ここでは関数を構成していると訳している
-->
<!--*<span class="marginnote">
*Actually, computing one of many functions, since
there are often many acceptable translations of a given piece of
text.</span>.-->
実際には1つの文章にはたくさんの妥当な訳し方があるので、多くの考えられる関数のうちの1つを構成している事になります。</span>。
<!--Or consider the problem of taking an mp4 movie file and
generating a description of the plot of the movie, and a discussion of
the quality of the acting. Again, that can be thought of as a kind of
function computation-->
もしくは、mp4形式の映画ファイルからその映画の物語のプロットを作成する問題を考えてみてください。
これも、一種の関数構成と考える事ができます*<span class="marginnote">
<!--
*<span class="marginnote">
*Ditto the remark about translation and
there being many possible functions.</span>. -->
先程の翻訳の場合と同様ですが、妥当な関数として様々なものが考えられます。</span>。
<!--Universality means that, in principle, neural networks can do all these things and many more.-->
普遍性定理は、ニューラルネットワークがこれらやそれ以外の様々な処理を原理的にはできることを示しています。
</p>
<p>
<!--Of course, just because we know a neural network exists that can (say)
translate Chinese text into English, that doesn't mean we have good
techniques for constructing or even recognizing such a network. This
limitation applies also to traditional universality theorems for
models such as Boolean circuits. But, as we've seen earlier in the
book, neural networks have powerful algorithms for learning functions.
That combination of learning algorithms + universality is an
attractive mix. Up to now, the book has focused on the learning
algorithms. In this chapter, we focus on universality, and what it
means.-->
もちろん、例えば中国語の文章を英語に翻訳するニューラルネットワークの存在が分かることは、
そのようなニューラルネットワークを構成したり、ネットワークがその性質を持つか判定する良い方法がわかることを意味しません。
ブーリアン回路のようなモデルに対する古典的な普遍性定理にもこの制限は適用されます。
しかし、この本の前の章で見てきたように、ニューラルネットワークには関数を学習する強力なアルゴリズムがあります。
学習アルゴリズムと普遍性の組み合わせは魅力的です。
ここまで、この本では学習アルゴリズムに焦点を置いてきました。本章では、普遍性とそれが意味する所に焦点を置きます。
</p>
<p><h3><a name="two_caveats"></a><a href="#two_caveats">2つの注意点</a></h3></p>
<p>
<!--Before explaining why the universality theorem is true, I want to
mention two caveats to the informal statement "a neural network can
compute any function".-->
普遍性定理が何故正しいかを説明する前に、「ニューラルネットワークが任意の関数を計算できる」という砕けた表現について2つの注意点を挙げたいと思います。
</p>
<p>
<!--First, this doesn't mean that a network can be used to <em>exactly</em>
compute any function. Rather, we can get an <em>approximation</em>
that is as good as we want. By increasing the number of hidden
neurons we can improve the approximation. For instance,
<a href="#basic_network_precursor">earlier</a> I illustrated a network
computing some function $f(x)$ using three hidden neurons. For most
functions only a low-quality approximation will be possible using
three hidden neurons. By increasing the number of hidden neurons
(say, to five) we can typically get a better approximation:</p>-->
まず、この表現はニューラルネットワークは任意の関数を<em>完全に</em>計算できる事を意味するのではありません。
そうではなく、好きなだけ近い<em>近似</em>関数を得られるという意味です。
隠れ層のニューロンを増やすことで、近似の精度を上げることができます。
例えば、<a href="#basic_network_precursor">前に</a>ある関数$f(x)$を3つの隠れニューロンを用いて計算するニューラルネットワークを説明しました。
大抵の関数については3個の隠れニューロンでは、精度の低い近似しか得られません。
隠れニューロンの数を（例えば5個に）増やす事で、より良い近似が得られます。
<p><center><canvas id="bigger_network" width="350" height="380"></canvas></center></p>
<p>
<!--And we can do still better by further increasing the number of hidden neurons. -->
そして、隠れニューロンをさらに増やす事で、さらに近似を良くできます。
</p>
<p>
<!--To make this statement more precise, suppose we're given a function
$f(x)$ which we'd like to compute to within some desired accuracy
$\epsilon > 0$. The guarantee is that by using enough hidden neurons
we can always find a neural network whose output $g(x)$ satisfies
$|g(x) - f(x)| < \epsilon$, for all inputs $x$. In other words, the
approximation will be good to within the desired accuracy for every
possible input.-->
ステートメントをより正確にする為に、私達が計算したい関数$f(x)$と希望の精度$\epsilon > 0$が与えられたとします。
十分な数の隠れニューロンを用いる事で、出力$g(x)$が$|g(x) - f(x) < \epsilon|$を任意の入力$x$に対して満たすニューラルネットワークを常に見つけられることを普遍性定理は保証しています。
言い換えれば、希望の精度の範囲内で考えられるすべての入力に対して良い近似であることを示しているのです。
</p>
<p>
<!--The second caveat is that the class of functions which can be
approximated in the way described are the <em>continuous</em> functions.
If a function is discontinuous, i.e., makes sudden, sharp jumps, then
it won't in general be possible to approximate using a neural net.
This is not surprising, since our neural networks compute continuous
functions of their input. However, even if the function we'd really
like to compute is discontinuous, it's often the case that a
continuous approximation is good enough. If that's so, then we can
use a neural network. In practice, this is not usually an important
limitation.-->
2つ目の注意点は、この方法で近似できる関数のクラスは<em>連続</em>関数であるという点です。
もし関数が不連続、すなわち急激なジャンプが突然発生する場合、ニューラルネットワークを用いた近似は一般的には不可能です。
これは驚くべき事ではありません。というのも、私達のニューラルネットワークが計算できるのは入力に対して連続な関数だからです。
しかし、計算したい関数が不連続でも、連続関数による近似で十分な場合もあります。その場合には、ニューラルネットを利用できます。
通常はこの制限は重大なものではありません。
</p>
<p>
<!--Summing up, a more precise statement of the universality theorem is
that neural networks with a single hidden layer can be used to
approximate any continuous function to any desired precision. In this
chapter we'll actually prove a slightly weaker version of this result,
using two hidden layers instead of one. In the problems I'll briefly
outline how the explanation can, with a few tweaks, be adapted to give
a proof which uses only a single hidden layer.-->
まとめると、普遍性定理のより正確なステートメントは、「隠れ層を1つ持つニューラルネットワークを用いて任意の連続関数を任意の精度で近似できる」となります。
本章では隠れ層が1層ではなく2層の場合のもう少し弱いバージョンの定理を証明します。
少し証明をひねる事で本章での証明を隠れ層が1層しかない場合に適用する方法を、演習問題において簡単に説明します。
</p>
<h3>
<!--<a name="universality_with_one_input_and_one_output"></a><a href="#universality_with_one_input_and_one_output">Universality with one input and one output</a>-->
<a name="universality_with_one_input_and_one_output"></a><a href="#universality_with_one_input_and_one_output">入出力が1つの場合の普遍性定理</a>
</h3>
<p>
<!--To understand why the universality theorem is true, let's start by
understanding how to construct a neural network which approximates a
function with just one input and one output:-->
普遍性定理の正しさを理解するために、まずは1つの入力と1つの出力を持つ関数を近似するニューラルネットワークの構成方法を理解する所から始めましょう：
</p>
<p><center><canvas id="function_2" width="300" height="300"></canvas></center></p>
<p>
<!--It turns out that this is the core of the problem of universality.
Once we've understood this special case it's actually pretty easy to
extend to functions with many inputs and many outputs.-->
この場合が普遍性の問題の中核をなします。
この特別な場合を理解すれば、入出力が多数の場合に拡張するのは容易です。
</p>
<p>
<!--To build insight into how to construct a network to compute $f$, let's
start with a network containing just a single hidden layer, with two
hidden neurons, and an output layer containing a single output neuron:-->
$f$を計算するニューラルネットワークの構成方法について直感を養うために、
隠れニューロンを2つ持つ隠れ層を1層持ち、出力層がニューロンを1つ持つ場合を考えます。
</p>
<p><center><canvas id="two_hidden_neurons" width="350" height="220"></canvas></center></p>
<p>
<!--To get a feel for how components in the network work, let's focus on
the top hidden neuron. In the diagram below, click on the weight,
$w$, and drag the mouse a little ways to the right to increase $w$.
You can immediately see how the function computed by the top hidden
neuron changes:-->
ニューラルネットワークを構成する各要素の挙動について感覚をつかむ為に、上の隠れニューロンに注目してみましょう。
下図で重み$w$の値をクリックしマウスを右に少しドラッグすると$w$の値が増加します。
それに応じて上の隠れニューロンの出力関数の変化する様子がわかります。
</p>
<p><center><canvas id="basic_manipulation" width="600" height="285"></canvas></center></p>
<p>
<!--As we learnt <a href="chap1.html#sigmoid_neurons">earlier in the book</a>,
what's being computed by the hidden neuron is $\sigma(wx + b)$, where
$\sigma(z) \equiv 1/(1+e^{-z})$ is the sigmoid function. Up to now,
we've made frequent use of this algebraic form. But for the proof of
universality we will obtain more insight by ignoring the algebra
entirely, and instead manipulating and observing the shape shown in
the graph.
This won't just give us a better feel for what's going on,
it will also give us a proof*<span class="marginnote">-->
<a href="chap1.html#sigmoid_neurons">この本の前の方</a>で学習したように、隠れニューロンで計算しているのは$\sigma(wx + b)$です。
ここで$\sigma(z) \equiv 1/(1+e^{-z})$はシグモイド関数です。
これまで、このような数式による表現を頻繁に使用してきました。
しかし、普遍性定理の証明においてはこの計算式を完全に忘れて、グラフの形を操作・観察する方がより洞察を得ることができます。
このようにすることで、単に何が起こっているかを感覚的に掴めるだけではなく、シグモイド関数以外の活性化関数に適用する普遍性定理の証明
*<span class="marginnote">
<!--
*Strictly speaking, the visual
approach I'm taking isn't what's traditionally thought of as a
proof. But I believe the visual approach gives more insight into
why the result is true than a traditional proof. And, of course,
that kind of insight is the real purpose behind a proof.
Occasionally, there will be small gaps in the reasoning I present:
places where I make a visual argument that is plausible, but not
quite rigorous. If this bothers you, then consider it a challenge
to fill in the missing steps. But don't lose sight of the real
purpose: to understand why the universality theorem is true.</span> of
universality that applies to activation functions other than the
sigmoid function.-->
*厳密に言えば、私が取る視覚的なアプローチは伝統的には証明と考えられているものではありません。
しかし、視覚的なアプローチはなぜこの結果が正しいのかについて、伝統的な証明よりもより多くの洞察が得られると信じています。
そしてもちろん、この種の洞察こそが証明の背後にある真の意図なのです。
私が示す推論の中にはいくつか小さなギャップが存在します：つまり視覚的な議論を行っていて妥当だけれど厳密ではない部分です。
もしこのことが気になるようでしたら、欠けている行間を埋める事に挑戦してみてください。
しかし、なぜ普遍性定理が正しいのかを理解するという真の意図を見失わないようにしてください。
</span>も得られます。
</p>
<p>
<!--To get started on this proof, try clicking on the bias, $b$, in the
diagram above, and dragging to the right to increase it. You'll see
that as the bias increases the graph moves to the left, but its shape
doesn't change.-->
証明を始める前に、上図のバイアス$b$をクリックして右にドラッグすることで値を増加させてみてください。
バイアスが大きくなるに従いグラフは左に移動しますが、形は変化しないことがわかります。
</p>
<p>
<!--Next, click and drag to the left in order to decrease the bias.
You'll see that as the bias decreases the graph moves to the right,
but, again, its shape doesn't change.-->
次にクリック・左ドラッグをしてバイアスを減らしてみてください。
バイアスが減るにつれてグラフが右に移動しますが、やはり形は変化しない事がわかります。
</p>
<p>
<!--Next, decrease the weight to around $2$ or $3$. You'll see that as
you decrease the weight, the curve broadens out. You might need to
change the bias as well, in order to keep the curve in-frame.-->
次に、重みを$2$か$3$程度まで減らしてみてください。重みを減らすにつれて、曲線が広がっていくのがわかります。
曲線をフレーム内に収めるために、バイアスも変える必要があるかもしれません。
</p>
<p>
<!--Finally, increase the weight up past $w = 100$. As you do, the curve
gets steeper, until eventually it begins to look like a step function.
Try to adjust the bias so the step occurs near $x = 0.3$. The
following short clip shows what your result should look like. Click
on the play button to play (or replay) the video:-->
最後に重みを$w = 100$過ぎまで増やしてみてください。増加させるにつれて曲線の勾配がきつくなり、最終的にステップ関数のような形になります。
段差が$x = 0.3$あたりに来るようにバイアスを調節してみてください。
下のクリップは想定する挙動を示しています。再生ボタンを押すとビデオが再生（もしくはリプレイ）されます。
</p>
<p><!-- Based on http://worrydream.com/ScrubbingCalculator/, with minor changes -->
<script type="text/javascript">
function playVideo (name) {
var div = $("#"+name)[0];
div.style.backgroundColor = "transparent";
div.style.cursor = "default";
div.getElementsByTagName("img")[0].style.display = "none";
var video = $("#v" + name)[0];
video.play();
}
function videoEnded (name) {
var div = document.getElementById(name);
div.getElementsByTagName("img")[0].style.display = "block";
div.style.backgroundColor = "white";
div.style.opacity = 0.6;
div.style.cursor = "pointer";
}
</script>
<div>
<div id="a" class="videoOverlay"
style="width: 560px; height: 280px; opacity: 0.8"
onclick="playVideo('a');">
<img style="left: 210px; top: 75px;"
src="images/play.png" width="128px">
</div>
<video id="va" width="560" height="280" preload
onended="videoEnded('a');">
<source type="video/mp4"
src="movies/create_step_function.mp4">
<source type="video/webm"
src="movies/create_step_function.webm"></p>
<p> </video>
</div></p>
<p>
<!--We can simplify our analysis quite a bit by increasing the weight so
much that the output really is a step function, to a very good
approximation. Below I've plotted the output from the top hidden
neuron when the weight is $w = 999$. Note that this plot is static,
and you can't change parameters such as the weight.-->
重みを増加させ、出力をステップ関数に十分近づけることで、解析を著しく単純にすることができます。
下では、重みが$w = 999$の時の上の隠れニューロンの出力を図示しています。
この図は静的で、重みなどのパラメータを変化できない事に注意してください。
</p>
<p><img src="images/high_weight_function.jpg"></p>
<p>
<!--It's actually quite a bit easier to work with step functions than
general sigmoid functions. The reason is that in the output layer we
add up contributions from all the hidden neurons. It's easy to
analyse the sum of a bunch of step functions, but rather more
difficult to reason about what happens when you add up a bunch of
sigmoid shaped curves. And so it makes things much easier to assume
that our hidden neurons are outputting step functions. More
concretely, we do this by fixing the weight $w$ to be some very large
value, and then setting the position of the step by modifying the
bias. Of course, treating the output as a step function is an
approximation, but it's a very good approximation, and for now we'll
treat it as exact. I'll come back later to discuss the impact of
deviations from this approximation.-->
一般のシグモイド関数に比べてステップ関数で考える方が簡単です。
その理由は出力層がすべての隠れニューロンからの寄与を足しあわせるからです。
ステップ関数達の和を解析するのは簡単ですが、シグモイドの形をした曲線達を足しあわせた時に何が起こるのかを解析するのはそれに比べるとずっと難しいです。
ですので、隠れニューロンがステップ関数を出力していると仮定することでずっと簡単になります。
具体的には、重みを適当なとても大きな値に固定した後にバイアスを変化させて段差の位置を調整する事でこれを実現できます。
もちろん出力をステップ関数として扱うのは近似です。
しかしこれは十分良い近似になっているので、しばらくは厳密にステップ関数であるとして扱います。
後でこの部分に戻ってきて、この近似によるずれの影響を議論します。
</p>
<p>
<!--At what value of $x$ does the step occur? Put another way, how does
the position of the step depend upon the weight and bias?-->
ステップがあるのは$x$の値でいえばどこでしょうか？
言い換えると、段差の位置は重みや階段にどのように依存するでしょうか？
</p>
<p>
<!--To answer this question, try modifying the weight and bias in the
diagram above (you may need to scroll back a bit). Can you figure out
how the position of the step depends on $w$ and $b$? With a little
work you should be able to convince yourself that the position of the
step is <em>proportional</em> to $b$, and <em>inversely proportional</em>
to $w$.-->
この答えに答えるために、上図の重みやバイアスを変化させてみてください（少しスクロールする必要があるかもしれません）。
段差の位置が$w$や$b$にどのように依存するかがわかりますか。
少し試してみると、段差の位置は$b$に<em>比例<em>し、$w$に<em>反比例</em>している事がわかると思います。
</p>
<p>
<!--In fact, the step is at position $s = -b/w$, as you can see by
modifying the weight and bias in the following diagram:-->
下図の重みとバイアスを変化させるとわかりますが、実は段差は$s = -b/w$の部分に生じます：
</p>
<p><canvas id="step" width="600" height="285"></canvas></p>
<p>
<!--It will greatly simplify our lives to describe hidden neurons using
just a single parameter, $s$, which is the step position, $s = -b/w$.
Try modifying $s$ in the following diagram, in order to get used to
the new parameterization:-->
隠れニューロンを記述するのに段差の位置を示すパラメータ$s = -b/w$を用いると、解析を著しく単純にできます。
新しいパラメータ付けに慣れるために、下図の$s$を変化させてみてください。
</p>
<p><canvas id="step_parameterization" width="600" height="285"></canvas></p>
<p>
<!--As noted above, we've implicitly set the weight $w$ on the input to be
some large value - big enough that the step function is a very good
approximation. We can easily convert a neuron parameterized in this
way back into the conventional model, by choosing the bias $b = -w s$.-->
前述したように、入力の重み$w$を十分大きく取り、ステップ関数が良い近似になっていることを我々は暗黙のうちに仮定しています。
バイアスを$b = -w s$と選ぶことで、1つのパラメータ$s$で特徴づけられたニューロンを前のモデルに戻す事ができます。
</p>
<p>
<!--Up to now we've been focusing on the output from just the top hidden
neuron. Let's take a look at the behavior of the entire network. In
particular, we'll suppose the hidden neurons are computing step
functions parameterized by step points $s_1$ (top neuron) and $s_2$
(bottom neuron). And they'll have respective output weights $w_1$ and
$w_2$. Here's the network:-->
これまで、私達は上の隠れニューロンの出力に注目してきました。
ここでニューラルネットワーク全体の挙動を見てみましょう。
2つの隠れニューロンは段差の位置が$s_1$（上ニューロン）と$s_2$（下ニューロン）でパラメータ付けられたステップ関数を計算しているとします。
さらに、出力の重みをそれぞれ$w_1$, $w_2$とします。ニューラルネットワークは以下の通りです：
</p>
<p><canvas id="two_hn_network" width="600" height="285"></canvas></p>
<p>
<!--What's being plotted on the right is the <em>weighted output</em> $w_1
a_1 + w_2 a_2$ from the hidden layer. Here, $a_1$ and $a_2$ are the
outputs from the top and bottom hidden neurons, respectively*<span class="marginnote">
*Note, by the way, that the output from the whole
network is $\sigma(w_1 a_1+w_2 a_2 + b)$, where $b$ is the bias on
the output neuron. Obviously, this isn't the same as the weighted
output from the hidden layer, which is what we're plotting here.
We're going to focus on the weighted output from the hidden layer
right now, and only later will we think about how that relates to
the output from the whole network.</span>. These outputs are denoted with
$a$s because they're often known as the neurons' <em>activations</em>.-->
右に図示しているのは隠れ層からの<em>重み付き出力</em>$w_1 a_1 + w_2 a_2$です。
ここで、$a_1$と$a_2$はそれぞれ上下の隠れニューロンからの出力です*<span class="marginnote">
* ところで、$b$は出力ニューロンのバイアスとすれば、全ニューラルネットワークの出力は$\sigma(w_1 a_1+w_2 a_2 + b)$である事に注意してください。
もちろんこの値は今図示している隠れ層の重み付き出力とは異なります。
今私達は隠れ層からの重み付き出力に注目しているので、ニューラルネットワーク全体の出力との関連付けはその後を考えます。
</span>
これらの出力はしばしば<em>活性(activation)</em>と呼ばれるため、$a$で表す事にします。
</p>
<p>
<!--Try increasing and decreasing the step point $s_1$ of the top hidden
neuron. Get a feel for how this changes the weighted output from the
hidden layer.
It's particularly worth understanding what happens when $s_1$ goes
past $s_2$. You'll see that the graph changes shape when this
happens, since we have moved from a situation where the top hidden
neuron is the first to be activated to a situation where the bottom
hidden neuron is the first to be activated.-->
上の隠れニューロンの段差地点$s_1$を増減させて、隠れ層からの重み付き出力をどのように変化させるかについて感覚を掴んでください。
特に$s_1$を$s_2$に通り越した時に何が起こるかを理解するのは有用です。
上の隠れニューロンが反応する状況から下の隠れニューロンが反応する状況に変化するために、グラフの形が変化するのがわかると思います。
</p>
<p>
<!--Similarly, try manipulating the step point $s_2$ of the bottom hidden
neuron, and get a feel for how this changes the combined output from
the hidden neurons.-->
同様に、下側の隠れニューロンでの段差地点$s_2$を増減させて、出力が変化する様子の感覚を掴んでください。
</p>
<p>
<!--Try increasing and decreasing each of the output weights. Notice how
this rescales the contribution from the respective hidden neurons.
What happens when one of the weights is zero?-->
出力の重みをそれぞれ増減させてみてください。
それに応じてそれぞれの隠れニューロンからの寄与が拡大・縮小される事がわかります。
重みのうちの1つを$0$にするとどのようなことが起こるでしょうか？
</p>
<p>
<!--Finally, try setting $w_1$ to be $0.8$ and $w_2$ to be $-0.8$. You
get a "bump" function, which starts at point $s_1$, ends at point
$s_2$, and has height $0.8$. For instance, the weighted output might
look like this:-->
最後に$w_1$を$0.8$、$w_2$を$-0.8$にセットしてみてください。
$s_1$から始まり$s_2$で終わる高さ$0.8$のコブ状の関数が得られます。
例えば、重み付き出力はこのような感じです：
</p>
<p><img src="images/bump_function.jpg"></p>
<p>
<!--Of course, we can rescale the bump to have any height at all. Let's
use a single parameter, $h$, to denote the height. To reduce clutter
I'll also remove the "$s_1 = \ldots$" and "$w_1 = \ldots$" notations.-->
もちろん、コブの高さを任意に拡大・縮小できます。
高さを表すパラメータ$h$を導入しましょう。
煩わしさを減らす為に"$s_1 = \ldots$"や"$w_1 = \ldots$"などの式を省略します。
</p>
<p><canvas id="bump_fn" width="600" height="285"></canvas></p>
<p>
<!--Try changing the value of $h$ up and down, to see how the height of
the bump changes. Try changing the height so it's negative, and
observe what happens. And try changing the step points to see how
that changes the shape of the bump.-->
$h$の値を増減させてみて、コブの高さが変化する様子を見てください。
高さを負の値に変化させて何が起こるかを観察してください。
さらに、段差地点を変更してコブの形がどのように変化するかを見てください。
</p>
<p>
<!--You'll notice, by the way, that we're using our neurons in a way that
can be thought of not just in graphical terms, but in more
conventional programming terms, as a kind of <tt>if-then-else</tt>
statement, e.g.:-->
ところで、我々はニューロンを視覚的説明の観点からだけではなく、プログラミングの観点からも見ることができ、
ニューロンを以下の様な<tt>if-then-else</tt>構文のようもみなせる事に気づいたかもしれません。例えば次の通りです
</p>
<p><div class="highlight"><pre>
<span class="k">if </span>input ><span class="o">=</span> step point:
重み付き出力に1を加える
<span class="k">else</span>:
重み付き出力に0を加える
</pre></div>
</p>
<p>
<!--For the most part I'm going to stick with the graphical point of view.
But in what follows you may sometimes find it helpful to switch points
of view, and think about things in terms of <tt>if-then-else</tt>.-->
以降の説明の大部分では視覚的な観点にこだわろうと思います。
しかしこれ以降の説明を、<tt>if-then-else</tt>の観点で考えると理解に役立つかも知れません。
</p>
<p>
<!--We can use our bump-making trick to get two bumps, by gluing two pairs
of hidden neurons together into the same network:-->
このコブを作るトリックを利用し、2組の隠れニューロンのペアを1つのニューラルネットワーク内でくっつける事で、2つのコブを作る事ができます：
</p>
<p><canvas id="double_bump" width="600" height = "280"></canvas></p>
<p>
<!--I've suppressed the weights here, simply writing the $h$ values for
each pair of hidden neurons. Try increasing and decreasing both $h$
values, and observe how it changes the graph. Move the bumps around
by changing the step points.-->
ここでは重みは書かず、それぞれの隠れニューロンのペアに対して$h$を書きました。
両方の$h$の値を増減させて、グラフがどのように変化するかを観察してください。
また、段差の地点を変更させることでコブを移動させてください。
</p>
<p>
<!--More generally, we can use this idea to get as many peaks as we want,
of any height. In particular, we can divide the interval $[0, 1]$ up
into a large number, $N$, of subintervals, and use $N$ pairs of hidden
neurons to set up peaks of any desired height. Let's see how this
works for $N = 5$. That's quite a few neurons, so I'm going to pack
things in a bit. Apologies for the complexity of the diagram: I could
hide the complexity by abstracting away further, but I think it's
worth putting up with a little complexity, for the sake of getting a
more concrete feel for how these networks work.-->
より一般的には、このアイデアを利用して好きな高さで好きな数のピークを構成できます。
大きな数$N$を用いて区間$[0, 1]$を$N$個の部分区間に分割します。
そして、$N$組の隠れニューロンのペアを用いて好きな高さのピークを構成できます。
$N = 5$の場合について見てみましょう。たくさんのニューロンがあるので少し詰めて描いています。
図が複雑になってしまいすみません：省略して描けば複雑さを隠せるのですが、
ニューラルネットワークにふるまいを具体的にイメージするため、若干の複雑さは我慢する価値はあると思います。
</p>
<p><canvas id="five_bumps" width="600" height = "620"></canvas></p>
<p>
<!--You can see that there are five pairs of hidden neurons. The step
points for the respective pairs of neurons are $0, 1/5$, then $1/5,
2/5$, and so on, out to $4/5, 5/5$. These values are fixed - they
make it so we get five evenly spaced bumps on the graph.-->
5組の隠れニューロンのペアが見て取れると思います。
それぞれのペアの段差地点は$(0, 1/5), (1/5, 2/5), \ldots , (4/5, 5/5)$です。
これらの値は固定されており、5つの等間隔に配置されたコブを持つグラフが得られるようにします。
</p>
<p>
<!--Each pair of neurons has a value of $h$ associated to it. Remember,
the connections output from the neurons have weights $h$ and $-h$ (not
marked). Click on one of the $h$ values, and drag the mouse to the
right or left to change the value. As you do so, watch the function
change. By changing the output weights we're actually
<em>designing</em> the function!-->
それぞれのニューロンペアには$h$の値が伴っています。
これらのニューロン達から出ている枝にはそれぞれ$h$、$-h$の重みが与えられています（これらは図には載せていません）。
$h$のうち一つをクリックし、左右にドラッグして値を変えてみてください。
どのように関数が変化するかを観察しましょう。
重みを変えることで、関数を<em>設計</em>することができるのです！
</p>
<p>
<!--Contrariwise, try clicking on the graph, and dragging up or down to
change the height of any of the bump functions. As you change the
heights, you can see the corresponding change in $h$ values. And,
although it's not shown, there is also a change in the corresponding
output weights, which are $+h$ and $-h$.-->
逆に、グラフをクリックし上下にドラッグして、どれかのコブの高さを変えてみてください。
高さを変化するに対応して、$h$の値が変化するのがわかると思います。
図には現れませんが、対応する出力の重み（これらの値は$+h$と$-h$です）も変化しています。
</p>
<p>
<!--In other words, we can directly manipulate the function appearing in
the graph on the right, and see that reflected in the $h$ values on
the left. A fun thing to do is to hold the mouse button down and drag
the mouse from one side of the graph to the other. As you do you this you draw out a function,
and get to watch the parameters in the neural network adapt.-->
言い換えると、我々は右のグラフ内の関数を直接操作すると、それが左のニューラルネット内の$h$の値として反映されているのがわかります。
マウスのボタンを押しっぱなしにして、一方からもう一方までドラッグしてみると面白いでしょう。
関数を様々な形に引き伸ばすのに応じて、ニューラルネットワークのパラメータが変化する様子を見て取れます。
</p>
<p>
<!--Time for a challenge.-->
それではチャレンジの時間です。
</p>
<p>
<!--Let's think back to the function I plotted at the beginning of the
chapter:-->
この章の最初に私が描いた関数を思い出してください。
</p>
<p><center> <canvas id="function_3" width="300" height="300"></canvas>
</center></p>
<p>
<!--I didn't say it at the time, but what I plotted is actually the function
<a class="displaced_anchor" name="eqtn106"></a>\begin{eqnarray}
f(x) = 0.2+0.4 x^2+0.3 \sin(15 x) + 0.05 \cos(50 x),
\tag{106}\end{eqnarray}
plotted over $x$ from $0$ to $1$, and with the $y$ axis taking
values from $0$ to $1$.-->
その時には言いませんでしたが、私が描いたのは
<a class="displaced_anchor" name="eqtn106"></a>\begin{eqnarray}
f(x) = 0.2+0.4 x^2+0.3 \sin(15 x) + 0.05 \cos(50 x),
\tag{106}\end{eqnarray}
という関数の$x$が$0$から$1$の部分で、$y$軸は$0$から$1$の値を取っています。
</p>
<p>
<!--That's obviously not a trivial function.-->
見ての通りこれは簡単な関数ではありません。
</p>
<p>
<!--You're going to figure out how to compute it using a neural network.-->
これをニューラルネットワークで計算する方法を導き出してみましょう。
</p>
<p>
<!--In our networks above we've been analysing the weighted combination
$\sum_j w_j a_j$ output from the hidden neurons. We now know how to
get a lot of control over this quantity. But, as I noted earlier,
this quantity is not what's output from the network. What's output
from the network is $\sigma(\sum_j w_j a_j + b)$ where $b$ is the bias
on the output neuron. Is there some way we can achieve control over
the actual output from the network?-->
前述のニューラルネットワークでは、隠れニューロンからの出力の重み付き和$\sum_j w_j a_j$を解析してきました。
私達は既にこの値の調節方法を良く知っています。
しかし、前に指摘したようにこの値はニューラルネットワークの出力ではありません。
ニューラルネットワークの本来の出力は$\sigma(\sum_j w_j a_j + b)$です。
ここで、$b$は出力ニューロンのバイアス項です。
ニューラルネットワークの実際の出力を調節する方法は何かないでしょうか？
</p>
<p>
<!--The solution is to design a neural network whose hidden layer has a
weighted output given by $\sigma^{-1} \circ f(x)$, where $\sigma^{-1}$
is just the inverse of the $\sigma$ function. That is, we want the
weighted output from the hidden layer to be:-->
答えは、隠れ層の重み付き出力が$\sigma^{-1} \circ f(x)$を持つニューラルネットワークを設計することです。
ここで$\sigma^{-1}$は$\sigma$関数の逆関数です。
すなわち、隠れ層からの重み付き出力を以下のようにします：
</p>
<p><center> <canvas id="inverted_function" width="340"
height="300"></canvas> </center></p>
<p>
<!--If we can do this, then the output from the network as a whole will be
a good approximation to $f(x)$*<span class="marginnote">
*Note that I have set the bias on the output neuron to $0$.</span>.-->
もしこれができれば、ニューラルネットワーク全体での出力は$f(x)$の良い近似となります*<span class="marginnote">
*出力ニューロンのバイアスを$0$としている事に注意してください。</span>。
</p>
<p>
<!--Your challenge, then, is to design a neural network to approximate the
goal function shown just above. To learn as much as possible, I want
you to solve the problem twice. The first time, please click on the
graph, directly adjusting the heights of the different bump functions.
You should find it fairly easy to get a good match to the goal
function. How well you're doing is measured by the <em>average
deviation</em> between the goal function and the function the network is
actually computing. Your challenge is to drive the average deviation
as <em>low</em> as possible. You complete the challenge when you drive
the average deviation to $0.40$ or below.-->
チャレンジするのはニューラルネットワークを設計し、前述した目標関数を近似することです。
できるだけ多くのことを学ぶために、この問題を2回解いてほしいと思っています。
1回目はグラフをクリックし、それぞれのコブの高さを直接調節してください。
目標関数によくマッチする関数を得るのは比較的簡単だと感じるはずです。
調整がどの程度上手く行えているかは、
目的関数とニューラルネットワークが計算している関数との間の<em>平均偏差</em>で測定できます。
チャレンジするのは平均偏差を出来るだけ<em>小さく</em>することです。
平均偏差を$0.40$かそれ未満に抑える事ができたらチャレンジは終了です。
</p>
<p>
<!--Once you've done that, click on "Reset" to randomly re-initialize
the bumps. The second time you solve the problem, resist the urge to
click on the graph. Instead, modify the $h$ values on the left-hand
side, and again attempt to drive the average deviation to $0.40$ or
below.-->
1度目がうまくできたら、リセットボタンを押してコブをランダムに初期化し直してください。
2度目はグラフをクリックしたくなる気持ちを抑えて問題を解いてください。
その代わり左側の$h$の値を変更することで平均偏差を再び$0.40$かそれ未満に抑えてみてください。
</p>
<p><canvas id="design_function" width="600" height = "620"></canvas></p>
<p>
<!--You've now figured out all the elements necessary for the network to
approximately compute the function $f(x)$! It's only a coarse
approximation, but we could easily do much better, merely by
increasing the number of pairs of hidden neurons, allowing more bumps.-->
これでニューラルネットワークを用いて関数$f(x)$を近似的に計算するために必要な要素が全て揃いました。
これは粗い近似ですが、隠れニューロンのペアの数を増やすことで簡単に近似精度を良くできます。
</p>
<p>
<!--In particular, it's easy to convert all the data we have found back
into the standard parameterization used for neural networks. Let me
just recap quickly how that works.-->
私達が見つけ出したデータをニューラルネットワークの通常のパラメータでの表現に戻すのは簡単です。
どのように行うかを簡単におさらいします。
</p>
<p>
<!--The first layer of weights all have some large, constant value, say $w
= 1000$.-->
最初の層のニューロンの重みは全て、例えば$w=1000$などの適当な大きな定数です。
</p>
<p>
<!--The biases on the hidden neurons are just $b = -w s$. So, for
instance, for the second hidden neuron $s = 0.2$ becomes $b = -1000
\times 0.2 = -200$.-->
隠れニューロンのバイアスは$b = -w s$です。例えば、2つ目の隠れニューロンで$s = 0.2$ならば、$b = -1000 \times 0.2 = -200$です。
</p>
<p>
<!--The final layer of weights are determined by the $h$ values. So, for
instance, the value you've chosen above for the first $h$, $h = $
<span id="h" style="font-family: MJX_Main;"></span>, means that
the output weights from the top two hidden neurons are
<span id="w1" style="font-family: MJX_Main;"></span>
and
<span id="w2" style="font-family: MJX_Main;"></span>
, respectively. And so on, for the entire layer of output weights.-->
最終層の重みは$h$の値によって決まります。例えば、最初の$h$について$h=$
<span id="h" style="font-family: MJX_Main;"></span>
を選んでいるので、1番上の2つの隠れニューロンでの出力側の重みは、それぞれ
<span id="w1" style="font-family: MJX_Main;"></span>
と
<span id="w2" style="font-family: MJX_Main;"></span>
です。
他の出力側の重みでも同様です。
</p>
<p>
<!--Finally, the bias on the output neuron is $0$.-->
最後に出力ニューロンでのバイアスは$0$です。
</p>
<p>
<!--That's everything: we now have a complete description of a neural
network which does a pretty good job computing our original goal
function. And we understand how to improve the quality of the
approximation by improving the number of hidden neurons.-->
以上で、目標関数を十分良く計算できるニューラルネットワークを記述できました。
また、隠れニューロンの数を増やして近似の精度を良くする方法もわかりました。
</p>
<p>
<!--What's more, there was nothing special about our original goal
function, $f(x) = 0.2+0.4 x^2+0.3 \sin(15 x) + 0.05 \cos(50 x)$. We
could have used this procedure for any continuous function from $[0,
1]$ to $[0, 1]$. In essence, we're using our single-layer neural
networks to build a lookup table for the function. And we'll be able
to build on this idea to provide a general proof of universality.-->
さらに、私達は目標関数$f(x) = 0.2+0.4 x^2+0.3 \sin(15 x) + 0.05 \cos(50 x)$について特別な仮定を置いていません。
私達は$[0, 1]$から$[0, 1]$への任意の連続関数に対してこの手順を利用できます。
本質的な部分は関数のルックアップテーブルを構築するのに、1層のニューラルネットワークを用いていることです。
このアイデアを用いて、一般の場合の普遍性定理の証明を行うことできます。
</p>
<p><h3><a name="many_input_variables"></a><a href="#many_input_variables">
<!--Many input variables-->
多変数の場合
</a></h3></p>
<p>
<!--Let's extend our results to the case of many input variables. This
sounds complicated, but all the ideas we need can be understood in the
case of just two inputs. So let's address the two-input case.-->
以上の結果を多変数の場合に拡張しましょう。
これは複雑そうに聞こえるかも知れません。
しかし、必要なアイデアは全て入力が2つの場合で理解できますので、2入力の場合に注目して考えてみましょう。
</p>
<p>
<!--We'll start by considering what happens when we have two inputs to a neuron:-->
ニューラルネットワークが2入力を持つ場合に何が起こるかを考える所から始めましょう：
</p>
<p><center> <canvas id="two_inputs" width="350" height="220"></canvas>
</center></p>
<p>
<!--Here, we have inputs $x$ and $y$, with corresponding weights $w_1$ and
$w_2$, and a bias $b$ on the neuron. Let's set the weight $w_2$ to