- 모니터 화면을 통해 보는 가상 세계의 모습이 현실 세계와 매우 유사해 보여도, 결국 그 본질은 체계화된 수들이 만들어 내는 질서에 불과하다.
- 서로 다른 두개의 연산이 존재할 때, 아래의 조건을 모두 만족하는 수의 집합은 체의 구조를 지닌다고 표현한다.
- 덧셈 연산에 대해 닫혀있다. ( Closure )
- 덧셈 연산은 결합법칙을 만족한다. ( Associativity )
- 덧셈 연산의 항등원이 존재한다. ( Identity element )
- 덧셈 연산의 역원이 존재한다. ( Inverse element )
- 덧셈 연산은 교환법칙을 만족한다. ( Commutativity )
- 곱셈 연산에 대해 닫혀있다. ( Closure )
- 곱셈 연산은 결합 법칙을 만족한다. ( Associativity )
- 덧셈과 곱셈 연산은 분배 법칙을 만족한다. ( Distributivity )
- 곱셈 연산은 교환 법칙을 만족한다. ( Commutativity )
- 곱셈 연산의 항등원이 존재한다. ( Identity element )
- 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈 연산의 역원이 존재한다. (Inverse element)
- 벡터는 평면을 구성하는 원소이다. 평면에서 벡터를 움직이게 하는 기본 연산을 알아보고, 기본 연산을 통해 공간과 차원이 어떻게 형성되는지 살펴보자.
- 곱집합을 사용해 직선으로 표현되는 영역을 평면으로 확장해 표현
- 데카르트 좌표계
- 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식
- 벡터의 크기를 norm이라 한다.
- 단위벡터: 크기가 1인 벡터
- 정규화: 임의 벡터를 크기가 1인 단위 벡터로 다듬는 작업
- 선형 결합의 수식에서 모든 a가 0이 아님에도 영벡터를 만들 수 있다면, 선형 결합에 사용된 벡터는 서로 ‘선형 종속의 관계’를 가짐
- 반면 영벡터가 나오기 위해서 모든 a값이 0이어야 한다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 ‘선형 독립의 관계’를 가짐
- 벡터 w값이 영벡터가 되는. a와 b의 해가 모두 0인 경우 뿐이면, 선형 독립
- 0이 아닌 임의의 계수 a, b를 사용해 영벡터를 만들 수 있으면 선형 종속
- 평면으로 구성된 벡터 공간을 생성하기 위한 기저는 수많은 경우가 존재하지만, 기저 집합의 원소 수는 언제가 2개뿐
- 평면에 대응하는 벡터 공간은 2차원으로 정의
- 2차원을 구성하는 다양한 기저 중에서 한 축만 사용하는 단위벡터 (1, 0), (0, 1)로 구성된 집합을 표준기저라고 함
- 기저의 각 원소를 표준기저벡터라고 함 (e1 = (1, 0), e2 = (0, 1))