diff --git a/Makefile b/Makefile index bf0c423..b598233 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -3,7 +3,7 @@ # You can set these variables from the command line. #SPHINXOPTS = -E -q # -E: get intersphinx changings; -q: quiet -SPHINXOPTS = +SPHINXOPTS = -q SPHINXBUILD = sphinx-build PAPER = BUILDDIR = _build diff --git a/akustik/doppler-effekt.rst b/akustik/doppler-effekt.rst new file mode 100644 index 0000000..129e64e --- /dev/null +++ b/akustik/doppler-effekt.rst @@ -0,0 +1,238 @@ + +Der Doppler-Effekt +================== + +Bewegen sich eine Schallquelle und/oder ein Schallempfänger aufeinander zu, so +tritt der nach `Christian Doppler +`_ benannte Doppler-Effekt auf. +Aus dem Alltag kennt man zum Beispiel die Erfahrung, dass ein sich näherndes +Fahrzeug Töne mit zunehmender Frequenz von sich gibt, während die Töne eines +sich entfernenden Fahrzeugs zunehmend tiefer werden. + +.. figure:: + ../pics/akustik/doppler-effekt.png + :align: center + :width: 80% + :name: fig-doppler-effekt + :alt: fig-doppler-effekt + + Doppler-Effekt: Schallausbreitung einer sich bewegenden Schallquelle + + .. only:: html + + :download:`SVG: Doppler-Effekt + <../pics/akustik/doppler-effekt.svg>` + + :download:`PDF: Folien-Kopiervorlage + <../pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt.pdf>` + +Wie man in der obigen Abbildung erkennen kann, werden die Abstände zwischen den +einzelnen ankommenden Schallwellen und somit die Wellenlängen :math:`\lambda` +kürzer, wenn sich die Schallquelle auf den Beobachter zubewegt (der Beobachter +sich also am rechten Bildrand befindet). Umgekehrt erscheinen die Wellenlängen +als kürzer, wenn sich die Schallquelle vom Beobachter wegbewegt (der Beobachter +sich also am linken Bildrand befindet). + + +.. _Bewegte Schallquelle, ruhender Beobachter: + +.. rubric:: Bewegte Schallquelle, ruhender Beobachter + +Da die Schallgeschwindigkeit :math:`v_{\mathrm{Schall}}` während des Vorgangs +konstant bleibt, muss sich gemäß der Wellenformel mit einer Änderung der +Wellenlänge :math:`\lambda` auch die Schallfrequenz :math:`f` ändern: + +.. math:: + + v_{\mathrm{Schall}} = \lambda \cdot f \quad \Longleftrightarrow \quad f = + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{\lambda} + +Nimmt der Beobachter bei einer sich nähernden Schallquelle eine verringerte +Wellenlänge :math:`\lambda` wahr, so muss sich folglich die wahrgenommene +Frequenz :math:`f` vergrößern. Quantitativ kann dieser Zusammenhang +folgendermaßen beschrieben werden: + +.. math:: + + \lambda_{\mathrm{Beobachter}} &= \lambda_{\mathrm{Sender}} + \Delta \lambda \\ + \lambda_{\mathrm{Beobachter}} &= \lambda_{\mathrm{Sender}} - \frac{v_{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} + +Möchte man den Einfluss auf die vom Beobachter empfangene Schallfrequenz +bestimmen, so muss auch :math:`\lambda_{\mathrm{Beobachter}} = +\frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}}` und :math:`\lambda +_{\mathrm{Sender}} = \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}}` gesetzt +werden: + +.. math:: + :label: eqn-naeherkommende-schallquelle + + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &= + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v + _{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} + +Diese Gleichung kann nach :math:`f_{\mathrm{Beobachter}}` aufgelöst werden: + +.. math:: + :label: eqn-bewegte-schallquelle-ruhender-beobachter + + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &= + \frac{1}{f_{\mathrm{Sender}}} \cdot (v_{\mathrm{Schall}} - + v_{\mathrm{Sender}}) \\[8pt] + f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}} - v + _{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} + +Das Minus-Zeichen in der obigen Gleichung gilt für eine sich nähernde +Schallquelle; entfernt sich die Schallquelle vom Beobachter, so gilt die obige +ebenfalls, wenn das Minus-Zeichen durch ein Plus-Zeichen ersetzt wird. + +*Beispiel:* + +* Welche Frequenz wird von einem Beobachter wahrgenommen, wenn sich eine + Schallquelle, die eine Frequenz von :math:`f_{\mathrm{Sender}}=\unit[440]{Hz}` + aussendet, mit einer Geschwindigkeit von :math:`v_{\mathrm{Sender}} = + \unit[10]{\frac{m}{s}}` auf den Beobachter zu- beziehungsweise wegbewegt? + + Im ersteren Fall gilt nach Gleichung + :eq:`eqn-bewegte-schallquelle-ruhender-beobachter` mit + :math:`v_{\mathrm{Schall}} \approx \unit[340]{\frac{m}{s}}`: + + .. math:: + + f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}} + - v_{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} = + \frac{\unit[340]{\frac{m}{s}}}{\unit[(340-10)]{\frac{m}{s}}} \cdot + \unit[440]{Hz} \approx \unit[453,3]{Hz} + + Im zweiteren Fall muss das Minux-Zeichen der oberen Gleichung durch ein + Plus-Zeichen ersetzt werden. Damit ergibt sich: + + .. math:: + + f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{v_{\mathrm{Schall}} + + v_{\mathrm{Sender}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} = + \frac{\unit[340]{\frac{m}{s}}}{\unit[(340+10)]{\frac{m}{s}}} \cdot + \unit[440]{Hz} \approx \unit[427,4]{Hz} + + Rotiert ein Lautsprecher wie beispielsweise im Leslie einer Hammond-Orgel + kontinuierlich, so wird dadurch ebenfalls eine Frequenz-Schwingung um den + eigentlich gespielten Ton hervorgerufen. + +.. rubric:: Bewegte Schallquelle und bewegter Beobachter + +Bewegt sich nicht nur die Schallquelle mit einer Geschwindigkeit :math:`v +_{\mathrm{Sender}}`, sondern gleichzeitig auch der Beobachter mit der +Geschwindigkeit :math:`v_{\mathrm{Beobachter}}`, so muss auch diese Bewegung +nach dem gleichen Prinzip in Gleichung :eq:`eqn-naeherkommende-schallquelle` +berücksichtigt werden. + +Bewegt sich der Beobachter auf die ihrerseits näher kommende Schallquelle zu, so +gilt: + +.. math:: + + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &= + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v + _{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v + _{\mathrm{Beobachter}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} + + +Diese Gleichung kann wiederum nach :math:`f_{\mathrm{Beobachter}}` aufgelöst +werden: + +.. math:: + + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} + \frac{v + _{\mathrm{Beobachter}}}{f_{\mathrm{Beobachter}}} &= + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f_{\mathrm{Sender}}} - \frac{v + _{\mathrm{Sender}}}{f_{\mathrm{Sender}}} \\[8pt] + \frac{1}{f_{\mathrm{Beobachter}}} \cdot (v_{\mathrm{Schall}} + v + _{\mathrm{Beobachter}}) &= \frac{1}{f_{\mathrm{Sender}}} \cdot + (v_{\mathrm{Schall}} - v_{\mathrm{Sender}}) \\[8pt] + +Damit ergibt sich folgende allgemeinere Formel für den Doppler-Effekt: + +.. math:: + :label: eqn-schallquelle-und-beobachter-bewegung-aufeinander-zu + + f_{\mathrm{Beobachter}} &= \frac{v_{\mathrm{Schall}} + v + _{\mathrm{Beobachter}}}{v_{\mathrm{Schall}} - + v_{\mathrm{Sender\phantom{acht}}}} \cdot f_{\mathrm{Sender}} + +Die Vorzeichen in der obigen Formel gelten für sich aufeinander zu bewegende +Schallquellen und Beobachter. Bewegt sich der Beobachter von der ursprünglichen +Position der Schallquelle weg, so muss im Zähler ein Minus-Zeichen gesetzt +werden; entfernt sich die Schallquelle vom ursprünglichen Ort des Beobachters, so +muss im Zähler ein Plus-Zeichen gesetzt werden. + +.. Der Doppler-Effekt tritt nicht nur bei Schallwellen, sondern auch bei +.. elektromagnetischen Wellen, beispielsweise Licht auf. + + +.. _Schallmauer und Mach-Kegel: + +.. rubric:: Schallmauer und Mach-Kegel + +Mit einer zunehmenden Relativ-Geschwindigkeit der Schallquelle gegenüber dem +Beobachter wird auch der Doppler-Effekt immer ausgeprägter. Eine Besonderheit +ergibt sich, wenn sich die Geschwindigkeit der Schallquelle +:math:`v_{\mathrm{Sender}}` der Schallgeschwindigkeit +:math:`v_{\mathrm{Schall}}` annähert. + +.. figure:: + ../pics/akustik/mach-kegel.png + :align: center + :width: 80% + :name: fig-mach-kegel + :alt: fig-mach-kegel + + Doppler-Effekt und Mach-Kegel: Schallausbreitung mit + :math:`v_{\mathrm{Sender}} < v_{\mathrm{Schall}}` beziehungsweise + :math:`v_{\mathrm{Sender}} > v_{\mathrm{Schall}}`. + + .. only:: html + + :download:`SVG: Doppler-Effekt + <../pics/akustik/doppler-effekt.svg>` + + :download:`PDF: Folien-Kopiervorlage + <../pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel.pdf>` + +Erreicht die Schallquelle die Geschwindigkeit :math:`v_{\mathrm{Sender}} = +v_{\mathrm{Schall}}`, so überlagern sich die von der Schallquelle ausgesendeten +Schallwellen konstruktiv mit jenen, die sie bereits vorher ausgesendet hatte. +Für die Schallquelle bedeutet dies einen erheblichen "Wellenberg" (ein ein +Maximum an Luftdruck), der zum weiteren Beschleunigen überwunden werden muss; +Überschall-Flugzeuge müssen also beim "Durchbrechen der Schallmauer" erhebliche +mechanische Belastungen aushalten; mit Überschallgeschwindigkeit nimmt der +Luftwiderstand zunächst wieder ab. [#]_ + +Für Beobachter auf dem Boden ist die Situation eine andere: Sie hören einen +heftigen Knall, wenn sie vom nach `Ernst Mach +`_ benannten "Mach-Kegel" gestreift +werden. Dieser Kegel entspricht der einhüllenden Kurve der (rechts in Abbildung +:ref:`Doppler-Effekt und Mach-Kegel ` gestrichelt dargestellt) +kugelförmigen Schallwellen. [#]_ Der Knall ist also nicht nur in dem Moment +beziehungsweise in der Nähe der Stelle hörbar, wenn das Flugzeug die Schallmauer +durchbricht, sondern während der gesamten Dauer des Überschall-Fluges an jeder +Stelle, die vom Mach-Kegel gestreift wird. + +.. raw:: html + +
+ +.. only:: html + + .. rubric:: Anmerkungen: + +.. [#] Wird eine Geschwindigkeit :math:`v` als Vielfaches der + Schallgeschwindigkeit ausgedrückt, so bezeichnet man den sich ergebenden + Wert als "Mach-Zahl". Eine Geschwindigkeit von :math:`v=\unit[1]{Mach}` ist + also mit der Schallgeschwindigkeit :math:`v_{\mathrm{Schall}} \approx + \unit[340]{\frac{m}{s}}` identisch. + +.. [#] Boote, die sich schnell über das Wasser bewegen, ziehen ebenfalls einen + "flachen Kegel" an Wellen hinter sich her. Einen Mach-Kegel kann man sich + ähnlich vorstellen, nur eben dreidimensional. Je höher die Geschwindigkeit + des Bootes beziehungsweise Überschallflugzeugs ist, desto "schmaler" und + "länger" wird der Kegel. + diff --git a/akustik/eigenschaften-von-schall.rst b/akustik/eigenschaften-von-schall.rst index fbd5213..6dab7ad 100644 --- a/akustik/eigenschaften-von-schall.rst +++ b/akustik/eigenschaften-von-schall.rst @@ -254,7 +254,7 @@ Schallwellen lassen sich in folgende drei Arten unterteilen: Lautstärke des Geräusches dabei sehr rasch abnimmt. -.. index:: Dezibel, Schall; Schallpegel +.. index:: Dezibel, Schall; Schallpegel, Schall;Schallintensität .. _Schallintensität und Schallpegel: Schallintensität und Schallpegel @@ -352,7 +352,7 @@ benannt ist: .. math:: - L _{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( + L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P_{\mathrm{min}}}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{(1)} = 10 \cdot 0 = \unit[0]{dB} @@ -368,7 +368,7 @@ benannt ist: .. math:: - L _{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( + L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P_{\mathrm{max}}}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{(10^{12})} = 10 \cdot 12 = \unit[120]{dB} @@ -393,7 +393,8 @@ benannt ist: L_{\mathrm{W}} = 10 \cdot \log_{10}{\left( \frac{P}{P_{\mathrm{min}}} \right)} = 10 \cdot \log_{10}{\left(\frac{\unit[1,375 \cdot - 10^{-5}]{W}}{\unit[1 \cdot 10^{-12}]{W}}\right)} = 10 \cdot \log_{10}{(1,375 \cdot 10^{7})} \approx \unit[71,4]{dB} + 10^{-5}]{W}}{\unit[1 \cdot 10^{-12}]{W}}\right)} = 10 \cdot + \log_{10}{(1,375 \cdot 10^{7})} \approx \unit[71,4]{dB} Die Schallpegel-Skala bildet also den normalen Hörbereich des Menschen auf einen Zahlenbereich zwischen :math:`0` und :math:`120` ab; Alltagsgeräusch haben @@ -452,10 +453,10 @@ Schallpegel-Differenzen von nur :math:`\unit[1]{dB}` bis :math:`\unit[2]{db}` sind meist nur bei direktem Vergleich erkennbar. -.. index:: Hörfläche +.. index:: Lautstärke +.. _Phon: .. _Lautstärke: -.. _Hörfläche: -.. _Hörflächen und Lautstärke: +.. _Lautstärke bei unterschiedlichen Frequenzen: .. rubric:: Lautstärke bei unterschiedlichen Frequenzen @@ -500,6 +501,14 @@ Gehör bei Frequenzen im Bereich von :math:`\unit[3000]{Hz}` bis Leistungen von weniger als :math:`P_{\mathrm{s}}=\unit[10^{-12}]{W}`, um Schall wahrnehmen zu können. +.. index:: Phon + +Gibt man eine Lautstärke unter Berücksichtigung der in Abbildung :ref:`Isophone +Lautstärkepegel ` dargestellten Hörkurven an, so +schreibt man dabei "Phon" anstelle von "Dezibel" als Einheit. Zu berücksichtigen +ist dabei, dass es sich auch bei einer "Phon"-Angabe um einen reinen Zahlenwert +handelt, der nur der Kenntlichkeit halber mit Phon benannt ist. + .. raw:: html
diff --git a/akustik/experimente.rst b/akustik/experimente.rst index 30d5e56..cf151e7 100644 --- a/akustik/experimente.rst +++ b/akustik/experimente.rst @@ -79,13 +79,9 @@ Experimente zur Akustik "Trommel" ausgehende Windstoß zustande? -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/akustik/index.rst b/akustik/index.rst index ad796ec..910cb9a 100644 --- a/akustik/index.rst +++ b/akustik/index.rst @@ -11,6 +11,7 @@ damit verbundenen Erscheinungen. :maxdepth: 2 eigenschaften-von-schall.rst + doppler-effekt.rst .. Um den Ton einer Stimmgaben verstärken zu können, werden Stimmgabeln .. oftmals auf einen so genannten Resonanzkasten angebacht. Dessen Luftsäule diff --git a/akustik/loesungen.rst b/akustik/loesungen.rst index b8950f9..d9ba5ec 100644 --- a/akustik/loesungen.rst +++ b/akustik/loesungen.rst @@ -1,7 +1,6 @@ -.. _Lösungen zur Akustik: - -Lösungen zur Akustik -==================== +.. _Lösungen zu den Aufgaben zur Akustik: +Lösungen zu den Aufgaben zur Akustik +==================================== diff --git a/atomphysik/atommodelle.rst b/atomphysik/atommodelle.rst index dfd071f..8773f5c 100644 --- a/atomphysik/atommodelle.rst +++ b/atomphysik/atommodelle.rst @@ -91,7 +91,7 @@ Proportionen zu erklären. Das Thomson-Modell ------------------ -Im Jahr 1897 entdeckte der Physiker `Joseph John Thomson +Im Jahr 1897 entdeckte `Joseph John Thomson `_ bei Untersuchungen einer Glühkathode, dass es sich bei der austretenden Strahlung um einen Strom von Teilchen handeln müsse. Diese auf diese Weise entdeckten "Elektronen" ließen @@ -140,7 +140,7 @@ erklären. Das Rutherford-Modell --------------------- -Im Jahr 1911 führte der Physiker `Ernest Rutherford +Im Jahr 1911 führte `Ernest Rutherford `_ ein Experiment durch, bei dem er einen Strahl radioaktiver Alpha-Teilchen :math:`(\ce{^4_2He^2+})` auf eine dünne Goldfolie lenkte. Die meisten Alpha-Teilchen konnten die Goldfolie @@ -192,7 +192,7 @@ Bahnform der Elektronen und über ihre Energieverteilung treffen. Das Bohr-Modell --------------- -Im Jahr 1913 formulierte der Physiker `Niels Bohr +Im Jahr 1913 formulierte `Niels Bohr `_ ein Atommodell, das von einem planetenartigen Umlauf der Elektronen um den Atomkern ausgeht. Damit konnte er -- beeinflusst durch die Quantentheorie `Max Plancks @@ -264,7 +264,7 @@ einen energiereicheren (weiter außen gelegenen) Zustand anheben. Die Sommerfeld-Erweiterung -------------------------- -Im Jahr 1916 formulierte der Physiker `Arnold Sommerfeld +Im Jahr 1916 formulierte `Arnold Sommerfeld `_ eine Erweiterung des Bohrschein Atommodells. Es ging anstelle von Kreisbahnen allgemeiner von elliptischen Bahnen der Elektronen um den Atomkern aus. Eine Ellipse besitzt diff --git a/atomphysik/radioaktivitaet.rst b/atomphysik/radioaktivitaet.rst index f1ea69b..e1c88bd 100644 --- a/atomphysik/radioaktivitaet.rst +++ b/atomphysik/radioaktivitaet.rst @@ -326,7 +326,7 @@ Strahlung oder über den zeitlichen Verlauf der Einwirkung. .. rubric:: Nebelkammer -Im Jahr 1911 bestrahlte der Physiker `Charles Wilson +Im Jahr 1911 bestrahlte `Charles Wilson `_ im Rahmen von metereologischen Untersuchungen einen mit unsichtbarem Wasserdampf übersättigten Raum mit Alpha- und Betastrahlen. Er stellte fest, dass diese die auf ihrem Weg @@ -337,7 +337,7 @@ erkennbar wird. .. rubric:: Geigerzähler -Im Jahr 1928 entwickelten die Physiker `Hans Geiger +Im Jahr 1928 entwickelten `Hans Geiger `_ und `Walther Müller `_ eine Apparatur, welche die ionisierende Wirkung von Gammastrahlen als akustische Geräusche hörbar machte. @@ -506,7 +506,7 @@ Nach vier Halbwertszeiten sind die Atome eines Radionuklid zu mehr als *Einheit:* - Die Einheit der Aktivität ist nach dem Physiker `Henry Becquerel + Die Einheit der Aktivität ist nach `Henry Becquerel `_ benannt. Nach der obigen Gleichung ergibt sich für :math:`\unit[1]{Becquerel}` :math:`(\unit[1]{Bq})` folgender Zusammenhang: [#]_ diff --git a/aufgaben-und-loesungen.rst b/aufgaben-und-loesungen.rst deleted file mode 100644 index a701571..0000000 --- a/aufgaben-und-loesungen.rst +++ /dev/null @@ -1,43 +0,0 @@ -.. _Aufgaben und Lösungen: -.. _Übungsaufgaben und Lösungen: - -Übungsaufgaben und Lösungen -=========================== - -.. Now: 46 Versuche, 9 Bilder.. - -.. _Aufgaben: -.. _Übungsaufgaben: - -.. raw:: html - -

Aufgaben

- -.. toctree:: - :maxdepth: 2 - - mechanik/aufgaben.rst - akustik/aufgaben.rst - optik/aufgaben.rst - waermelehre/aufgaben.rst - elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst - atomphysik/aufgaben.rst - -.. _Lösungen: - -Lösungen --------- - -.. toctree:: - :maxdepth: 2 - - mechanik/loesungen.rst - akustik/loesungen.rst - optik/loesungen.rst - waermelehre/loesungen.rst - elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst - atomphysik/loesungen.rst - -.. Papier hat in etwa gleiche Dicke wie menschliches Haar, rund 100 Mikrometer. -.. Ein Blatt Papier hat ca. 10 Millionen Fasern. - diff --git a/conf.py b/conf.py index 46a97f3..cdcb146 100644 --- a/conf.py +++ b/conf.py @@ -1,96 +1,87 @@ # import sys, os -extensions = ['sphinx.ext.autodoc', - 'sphinx.ext.intersphinx', - 'sphinx.ext.todo', - 'sphinx.ext.coverage', - 'sphinx.ext.pngmath', - 'sphinx.ext.ifconfig', - 'sphinx.ext.viewcode', - ] + +extensions = [ + 'sphinx.ext.intersphinx', + 'sphinx.ext.todo', + 'sphinx.ext.pngmath', + ] templates_path = ['_templates'] source_suffix = '.rst' master_doc = 'index' -project = "Grundwissen Physik" -copyright = "2011-2016, Bernhard Grotz" - -version = '0.4.1e' -release = '0.4.1e' - -language = 'de' -# spelling_lang = 'de_DE' +project = 'Grundwissen Physik' +copyright = '2011-2016, Bernhard Grotz' -exclude_patterns = ["notes.rst", "*/notes.rst", "**/notes.rst","todos.rst", "README.rst"] +version = '0.4.2b' +release = '0.4.2b' pygments_style = 'sphinx' +trim_footnote_reference_space = True +todo_include_todos = False +language = 'de' html_theme = 'sphinxdoc' html_static_path = ['_static'] html_additional_pages = {'home': 'home.html'} -htmlhelp_basename = "Grundwissen Physik" -html_title = "Grundwissen Physik" -html_short_title = "Grundwissen Physik" +htmlhelp_basename = 'Grundwissen Physik' +html_title = 'Grundwissen Physik' +html_short_title = 'Grundwissen Physik' html_show_sourcelink = True html_show_copyright = False html_show_sphinx = False html_last_updated_fmt = '%d.%m.%Y' -html_favicon = "favicon.ico" -html_logo = "logo.png" +html_favicon = 'favicon.ico' +html_logo = 'logo.png' html_search_language = 'en' html_search_options = {'type': 'default'} +exclude_patterns = [ + 'notes.rst', + '*/notes.rst', + '**/notes.rst', + 'todos.rst', + 'README.rst' + ] -trim_footnote_reference_space = True -todo_include_todos = False - 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{\par\begin{mdframed}[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]% - \begin{list}{}{\leftmargin=1cm - \labelwidth=\leftmargin}\item[\Large\ding{43}]} - {\end{list}\end{mdframed}\par} -""" +''' +latex_show_pagerefs = False pngmath_latex_preamble = latex_preamble -latex_elements = { - "preamble": latex_preamble, - "classoptions": "oneside,openany", - "papersize": 'a4paper', - "pointsize": '12pt', - "fontpkg": '', - "babel": "\\usepackage[ngerman]{babel}", - "fncychap": '', -} -# "fncychap": "\\usepackage[Conny]{fncychap}", -# Glenn ist auch schick +latex_elements = { + 'preamble': latex_preamble, + 'classoptions': 'oneside,openany', + 'papersize': 'a4paper', + 'pointsize': '12pt', + 'fontpkg': '', + 'babel': '\\usepackage[ngerman]{babel}', + 'fncychap': '', + } latex_documents = [ - ('index', 'grundwissen-physik.tex', "Grundwissen Physik", - "Bernhard Grotz", 'manual'), + ('index', 'grundwissen-physik.tex', 'Grundwissen Physik', 'Bernhard Grotz', + 'manual'), ] texinfo_documents = [ - ('index', 'Physik', "Grundwissen Physik", - "Bernhard Grotz", "Physik", "Grundwissen Physik", - ''), -] + ('index', 'Physik', 'Grundwissen Physik', 'Bernhard Grotz', 'Physik', + 'Grundwissen Physik', ''), + ] intersphinx_mapping = { 'gw':('http://grund-wissen.de/', None), @@ -101,5 +92,5 @@ 'gwic': ('http://grund-wissen.de/informatik/c', None), 'gwil': ('http://grund-wissen.de/informatik/latex', None), 'gwip': ('http://grund-wissen.de/informatik/python', None), -} + } diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst index 8677984..3aa1b41 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst @@ -1,189 +1,187 @@ -.. _Aufgaben zu Elektrizität und Magnetismus: +.. _Aufgaben Elektrizität und Magnetismus: Aufgaben zu Elektrizität und Magnetismus ======================================== -.. _Aufgaben zu elektrischer Ladung: -Aufgaben zu elektrischer Ladung -------------------------------- +.. _Aufgaben Elektrische Ladung: + +Elektrische Ladung +------------------ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Elektrische Ladung `. ---- -.. _Elektrische-Ladung-01: +.. _ela01: -* (\*) Warum laden sich beim Reiben zweier Körper stets *beide* Körper elektrisch - auf? +* (\*) Warum laden sich beim Reiben zweier Körper stets *beide* Körper + elektrisch auf? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu Stromstärke, Spannung und Widerstand: +.. _Aufgaben Stromstärke, Spannung und Widerstand: -Aufgaben zu Stromstärke, Spannung und Widerstand ------------------------------------------------- +Stromstärke, Spannung und Widerstand +------------------------------------ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Stromstärke, Spannung und Widerstand `. -.. rubric:: Aufgaben zum Ohmschen Gesetz +.. rubric:: Ohmsches Gesetz ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-01: +.. _eohm01: * (\*) Die Stromquelle eines Stromkreises stellt eine Spannung von :math:`U = - \unit[5]{V}` bereit. Welchen Widerstand hat der Stromkreis insgesamt, wenn - die Stromstärke :math:`I = \unit[0,2]{A}` beträgt? + \unit[5,0]{V}` bereit. Welchen Widerstand hat der Stromkreis insgesamt, wenn + die Stromstärke :math:`I = \unit[0,2]{A}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-02: +.. _eohm02: * (\*) Der Gesamt-Widerstand in einem Stromkreis beträgt :math:`R = \unit[800]{\Omega}`, die Stromquelle stellt eine Spannung von :math:`U = \unit[12]{V}` bereit. Wie groß ist dabei der Betrag der Stromstärke? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-03: +.. _eohm03: -* (\*) Wie groß ist die Stromstärke in einem Stromkreis mit einem Gesamt-Widerstand - von :math:`\unit[75]{\Omega }`, wenn eine Spannung von :math:`U=\unit[230]{V}` - angelegt wird? +* (\*) Wie groß ist die Stromstärke in einem Stromkreis mit einem + Gesamt-Widerstand von :math:`\unit[75]{\Omega }`, wenn eine Spannung von + :math:`U=\unit[230]{V}` angelegt wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-04: +.. _eohm04: -* (\*) Welche Spannung ist nötig, um in einem Stromkreis mit einem Gesamtwiderstand - von :math:`R = \unit[50]{\Omega }` eine Stromstärke von :math:`I = - \unit[0,3]{A}` zu erreichen? +* (\*) Welche Spannung ist nötig, um in einem Stromkreis mit einem + Gesamtwiderstand von :math:`R = \unit[50]{\Omega }` eine Stromstärke von + :math:`I = \unit[0,3]{A}` zu erreichen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-05: +.. _eohm05: * (\*) Bei einer Spannung von :math:`U = \unit[230]{V}` beträgt die Stromstärke - :math:`I` eines Stromkreises :math:`4` Ampere. Wie groß ist der + eines Stromkreises :math:`I = \unit[4,0]{A}`. Wie groß ist der Gesamt-Widerstand des Stromkreises? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. rubric:: Aufgaben zum spezifischen Widerstand +.. rubric:: Spezifischer Widerstand ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-01: +.. _espw01: * (\*) Wie groß ist der elektrische Widerstand eines Kupferdrahts mit einem - Radius von :math:`r=\unit[2]{mm}` und einer Länge von :math:`l=\unit[10]{m}`? - Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt :math:`\rho _{\rm{Cu}} = + Radius von :math:`r=\unit[2,0]{mm}` und einer Länge von :math:`l=\unit[10]{m}`? + Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt :math:`\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`. - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-02: +.. _espw02: -* (\*) Wie groß ist der elektrische Widerstand eines Kupferdrahts mit einem Radius - von :math:`r=\unit[8]{mm}` und einer Länge von :math:`l=\unit[11,4]{km}`? - Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt :math:`\rho _{\rm{Cu}} = - \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`. Welchen Widerstand hätte ein - baugleicher Draht aus Aluminium :math:`(\rho _{\rm{Al}} = \unit[0,0265]{\Omega - \cdot \frac{mm^2}{m}})` oder Edelstahl :math:`(\rho _{\rm{Edelstahl}} = - \unit[0,720]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m}})`? +* (\*) Wie groß ist der elektrische Widerstand eines Kupferdrahts mit einem + Radius von :math:`r=\unit[8]{mm}` und einer Länge von + :math:`l=\unit[11,4]{km}`? Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt + :math:`\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`. + Welchen Widerstand hätte ein baugleicher Draht aus Aluminium + :math:`(\rho_{\mathrm{Al}} = \unit[0,0265]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m}})` oder + Edelstahl :math:`(\rho_{\mathrm{Edelstahl}} = \unit[0,720]{\Omega \cdot + \frac{mm^2}{m}})`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-03: +.. _espw03: * (\*) Welchen Durchmesser muss ein Eisendraht mindestens haben, wenn er bei einer Länge von :math:`l=\unit[50]{m}` einen elektrischen Widerstand von - weniger als :math:`R = \unit[1]{\Omega }` aufweisen soll? Der spezifische - Widerstand von Eisen beträgt circa :math:`\rho _{\rm{Fe}} = + weniger als :math:`R = \unit[1,0]{\Omega }` aufweisen soll? Der spezifische + Widerstand von Eisen beträgt circa :math:`\rho_{\mathrm{Fe}} = \unit[0,125]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`. - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu Magnetismus: +.. _Aufgaben Magnetismus: -Aufgaben zu Magnetismus ------------------------ +Magnetismus +----------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Magnetismus `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Magnetismus +`. ---- -.. _Magnetfeld-Erde-01: +.. _emag01: -* (\*) Der Nordpol einer Magnetnadel zeigt annähernd zum geographischen Nordpol der - Erde. Was folgt daraus für den magnetischen Nord- bzw. Südpol der Erde, wenn - man bedenkt, dass sich gleichnamige Pole abstoßen und ungleichnamige Pole +* (\*) Der Nordpol einer Magnetnadel zeigt annähernd zum geographischen Nordpol + der Erde. Was folgt daraus für den magnetischen Nord- bzw. Südpol der Erde, + wenn man bedenkt, dass sich gleichnamige Pole abstoßen und ungleichnamige Pole anziehen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu elektrischer Arbeit, Energie und Leistung: +.. _Aufgaben Elektrische Arbeit, Energie und Leistung: -Aufgaben zu elektrischer Arbeit, Energie und Leistung ------------------------------------------------------ +Elektrische Arbeit, Energie und Leistung +---------------------------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Elektrische Arbeit, Energie und Leistung `. ---- -.. _Elektrische-Leistung-01: +.. _eael01: -* (\*) Wie groß ist die Stromstärke, die durch eine :math:`\unit[40]{W}`-Glühbirne - fließt, die mit :math:`\unit[230]{V}` Spannung betrieben wird? Welche - Energiemenge wird dabei bei einer Betriebsdauer von :math:`t = - \unit[6]{h}` verbraucht? +* (\*) Wie groß ist die Stromstärke, die durch eine + :math:`\unit[40]{W}`-Glühbirne fließt, die mit :math:`\unit[230]{V}` Spannung + betrieben wird? Welche Energiemenge wird dabei bei einer Betriebsdauer von + :math:`t = \unit[6,0]{h}` verbraucht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Elektrische-Leistung-02: - -* (\*) Die Leistung eines Wasserkochers ist mit :math:`\unit[1\,800]{W}` angegeben. - Wie groß ist die Stromstärke, die sich durch Anlegen einer Spannung von - :math:`\unit[230]{V}` ergibt? +.. _eael02: - :ref:`Lösung ` +* (\*) Die Leistung eines Wasserkochers ist mit :math:`\unit[1\,800]{W}` + angegeben. Wie groß ist die Stromstärke, die sich durch Anlegen einer Spannung + von :math:`\unit[230]{V}` ergibt? + :ref:`Lösung ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/elektrische-felder.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/elektrische-felder.rst index 2a3b071..c723290 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/elektrische-felder.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/elektrische-felder.rst @@ -14,6 +14,8 @@ zu negativen Ladungen. .. index:: Coulomb-Kraft .. _Coulomb-Kraft: +.. _Coulomb-Gesetz: +.. _Das Coulombsche Kraftgesetz: .. rubric:: Das Coulombsche Kraftgesetz @@ -27,10 +29,10 @@ Quadrat des Abstands :math:`r` beider Ladungen ist: .. math:: :label: eqn-coulomb - F _{\rm{el}} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon _0} \cdot \frac{Q_1 + F_{\mathrm{el}} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} -Hierbei ist :math:`\varepsilon _0 = \unit[8,854 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{A \cdot +Hierbei ist :math:`\varepsilon_0 = \unit[8,854 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{A \cdot s}{V \cdot m}}` die elektrische Feldkonstante des Vakuums. Die Einheit dieser wichtigen Naturkonstanten kann wegen :math:`\unit[1]{V} = \unit[1]{\frac{J}{C}} =` auch folgendermaßen geschrieben werden: @@ -76,9 +78,9 @@ Liegt eine kontinuierliche Verteilung vieler einzelner Ladungen vor, so wäre es zumindest sehr mühsam, die resultierende Wirkung auf eine weitere Probeladung als Überlagerung der zahlreichen einzelnen Coulomb-Kräfte zu beschreiben. Stattdessen verwendet man den Begriff der elektrischen Feldstärke -:math:`\vec{E}`; diese gibt an, welche Kraftwirkung :math:`\vec{F}` eine -Probeladung :math:`Q _{\rm{p}}` durch eine bereits vorhandene Ladung oder -Ladungsverteilung erfährt: +:math:`\vec{E}`; diese gibt an, welche Kraftwirkung +:math:`\vec{F}_{\mathrm{el}}` eine Probeladung :math:`Q_{\mathrm{p}}` durch eine +bereits vorhandene Ladung oder Ladungsverteilung erfährt: .. todo Fußnote Hinweis Feldstärke einer punktförmigen Ladung @@ -88,7 +90,7 @@ Ladungsverteilung erfährt: .. math:: - \vec{E} = \frac{\vec{F} _{\rm{el}}}{Q _{\rm{p}}} + \vec{E} = \frac{\vec{F} _{\mathrm{el}}}{Q_{\mathrm{p}}} Die elektrische Feldstärke wird in der Einheit :math:`\unit{\frac{N}{C}}` angegeben. [#]_ Als Vektor gibt die elektrische Feldstärke die Richtung der Kraft an, @@ -117,6 +119,7 @@ Pfeilrichtung der Feldlinien vertauscht vorstellt. .. index:: Plattenkondensator .. _Plattenkondensator: +.. _Das elektrische Feld eines Plattenkondensators: Das elektrische Feld eines Plattenkondensators ---------------------------------------------- @@ -143,6 +146,7 @@ stellen gleich ("homogen"). [#]_ .. index:: Elektrische Flussdichte +.. _Elektrische Flussdichte: Der Betrag der elektrischen Feldstärke eines Plattenkondensators ist davon abhängig, wie viele zusätzliche Ladungen sich über den Plattenflächen @@ -155,12 +159,17 @@ bezeichnet. Für ihren Betrag gilt: D = \frac{Q}{A} +.. Elektrische Flussdichte D nicht verwechseln mit Flächenenladungsdichte +.. :math:`\sigma = \frac{Q}{A}`; beide zwar haben die gleiche Einheit; die +.. elektrische Flussdichte ist allerdings ein Vektor, die Flächenladungsdichte ein +.. Skalar. + Die elektrische Flussdichte :math:`\vec{D}` steht, wie auch die elektrische Feldstärke :math:`\vec{E}`, senkrecht zu den Kondensatorplatten. Der -Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte :math:`D`, welche die +Zusammenhang zwischen der elektrischen Flussdichte :math:`\vec{D}`, welche die Ladungsverteilung beschreibt, und der elektrischen Feldstärke :math:`\vec{E}`, welche die Kraftwirkung auf geladene Teilchen angibt, kann wiederum mittels der -elektrischen Feldkonstante :math:`\varepsilon _0` formuliert werden: +elektrischen Feldkonstante :math:`\varepsilon_0` formuliert werden: .. math:: :label: eqn-elektrische-flussdichte-und-feldstaerke @@ -170,20 +179,21 @@ elektrischen Feldkonstante :math:`\varepsilon _0` formuliert werden: Um einen noch einfacheren Ausdruck für die Elektrische Feldstärke herzuleiten, ist ein kurzes Gedankenexperiment hilfreich: Wird ein einzelne positive -Probeladung :math:`Q _{\rm{p}}` entgegen den Feldlinien von der negativen zur +Probeladung :math:`Q_{\mathrm{p}}` entgegen den Feldlinien von der negativen zur positiv geladenen Platte verschoben, so muss dafür eine Arbeit :math:`W = F -_{\rm{el}} \cdot d = Q _{\rm{p}}\cdot E \cdot d` verrichtet werden, wobei +_{\mathrm{el}} \cdot d = Q_{\mathrm{p}}\cdot E \cdot d` verrichtet werden, wobei :math:`d` den Plattenabstand bezeichnet. Befindet sich die Ladung anschließend an der positiven Seite, so besitzt sie eine ebenso große potentielle Energie -:math:`E _{\rm{pot}}`. Als elektrische Spannung :math:`U` bezeichnet man eben -diese potentielle Energie, bezogen auf die Größe :math:`Q _{\rm{p}}` der +:math:`E_{\mathrm{pot}}`. Als elektrische Spannung :math:`U` bezeichnet man eben +diese potentielle Energie, bezogen auf die Größe :math:`Q_{\mathrm{p}}` der Probeladung: .. math:: + :label: eqn-definition-spannung - U = \frac{E _{\rm{pot}}}{Q _{\rm{p}}} + U = \frac{E_{\mathrm{pot}}}{Q_{\mathrm{p}}} -Setzt man :math:`E _{\rm{pot}} = Q _{\rm{p}} \cdot E \cdot d` in die obige +Setzt man :math:`E_{\mathrm{pot}} = Q_{\mathrm{p}} \cdot E \cdot d` in die obige Formel ein, so ergibt sich für das elektrische Feld :math:`E` eines Plattenkondensators folgender nützlicher Zusammenhang: @@ -203,6 +213,7 @@ Platte linear auf Null ab. .. index:: Elektrische Influenz, Influenz .. _Elektrische Influenz: +.. _Elektrische Influenz und Faradayischer Käfig: Elektrische Influenz und Faradayischer Käfig ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ @@ -219,9 +230,9 @@ beweglich sind und sich gegenseitig abstoßen. Bringt am ein Stück Metall in ein elektrisches Feld ein, so bewirkt dieses eine Verschiebung der frei beweglichen Elektronen zur positiven Platte hin; an der zur negativen Platte hin orientierten Seite bleiben die positiv geladenen -Atomrümpfe übrig. Dieser als "elektrische Influenz" bezeichnete Effekt hält so lange an, -bis sich im Metall durch die Ladungsverschiebung ein gleich starkes, aber -entgegengesetzt gerichtetes Feld einstellt. +Atomrümpfe übrig. Dieser als "elektrische Influenz" bezeichnete Effekt hält so +lange an, bis sich im Metall durch die Ladungsverschiebung ein gleich starkes, +aber entgegengesetzt gerichtetes Feld einstellt. .. figure:: ../pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.png @@ -306,6 +317,7 @@ verschwindet die Orientierungspolarisation wieder. .. index:: Verschiebunspolarisation, Dielektrikum .. _Dielektrikum: +.. _Verschiebunspolarisation und Dielektrikum: Verschiebunspolarisation und Dielektrikum ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ @@ -336,18 +348,18 @@ vergleichsweise schwaches und dem äußeren Feld entgegengesetzt gerichtetes elektrisches Feld. Füllt das Dielektrikum den gesamten Bereich zwischen den Kondensatorplatten aus, so wird der Wert der elektrischen Feldstärke :math:`\vec{E}` gegenüber dem ursprünglichen Wert um einen Faktor -:math:`\varepsilon _{\rm{r}}` gesenkt. Für einen Plattenkondensator mit +:math:`\varepsilon_{\mathrm{r}}` gesenkt. Für einen Plattenkondensator mit Dielektrikum gilt also allgemein: .. math:: - E = \frac{1}{\varepsilon _{\rm{r}} \cdot \varepsilon _0} \cdot \frac{Q}{A} = - \frac{1}{\varepsilon _{\rm{r}}} \cdot \frac{U}{d} + E = \frac{1}{\varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{A} = + \frac{1}{\varepsilon_{\mathrm{r}}} \cdot \frac{U}{d} .. _Dielektrizitätszahl: -Der Zahlenwert :math:`\varepsilon _{\rm{r}}` ist eine Materialkonstante, die als +Der Zahlenwert :math:`\varepsilon_{\mathrm{r}}` ist eine Materialkonstante, die als relative Dielektrizitätszahl bezeichnet wird. Streng genommen muss bereits Luft als Dielektrikum angesehen werden, ihr Wert ist jedoch nur geringfügig von der Dielektrizitätszahl des Vakuums. @@ -357,7 +369,7 @@ Dielektrizitätszahl des Vakuums. :widths: 50 50 * - Material - - Dielektrizitätszahl :math:`\varepsilon _{\rm{r}}` + - Dielektrizitätszahl :math:`\varepsilon_{\mathrm{r}}` * - Erde (feucht) - :math:`29` * - Erde (trocken) @@ -411,35 +423,368 @@ Praxis übliche Kondensatoren werden daher in Pikofarad :math:`(\unit{pF})`, :math:`(\unit{nF})` oder Mikrofarad :math:`(\unit{\mu F})` angegeben. Die obige Formel :eq:`eqn-kapazitaet` gilt allgemein für alle Bauarten von -Kondensatoren. Bei einem Plattenkondensator ist die Kapazität abhängig -von der Fläche :math:`A` der beiden Kondensatorplatten, von ihrem Abstand -:math:`d` sowie vom Dielektrikum, das sich zwischen den beiden +:ref:`Kondensatoren `. Bei einem Plattenkondensator ist die +Kapazität abhängig von der Fläche :math:`A` der beiden Kondensatorplatten, von +ihrem Abstand :math:`d` sowie vom Dielektrikum, das sich zwischen den beiden Kondensatorplatten befindet. Handelt es sich beim Dielektrikum um Vakuum oder Luft, so gilt für die Kapazität :math:`C` des Plattenkondensators: .. math:: :label: eqn-kapazitaet-plattenkondensator - C = \varepsilon _0 \cdot \frac{A}{d} + C = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} -Hierbei bezeichnet :math:`\varepsilon _0= \unit[8,854 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{A +Hierbei bezeichnet :math:`\varepsilon_0= \unit[8,854 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{A \cdot s}{V \cdot m}}` wiederum die elektrische Feldkonstante. Handelt es sich beim Dielektrikum um ein anderes Material, so muss anstelle von -:math:`\varepsilon _0` der Wert :math:`\varepsilon = \varepsilon _{\rm{r}} \cdot -\varepsilon _0` in die obige Gleichung eingesetzt werden, wobei -:math:`\varepsilon _{\rm{r}}` die :ref:`Dielektrizitätszahl +:math:`\varepsilon_0` der Wert :math:`\varepsilon = \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot +\varepsilon_0` in die obige Gleichung eingesetzt werden, wobei +:math:`\varepsilon_{\mathrm{r}}` die :ref:`Dielektrizitätszahl ` des jeweiligen Materials ist. Durch ein geeignetes Dielektrikum zwischen den Kondensatorplatten kann somit die Kapazität des Kondensators bei gleicher Baugröße um ein Vielfaches erhöht werden. -.. Elektrische Flussdichte D nicht verwechseln mit Flächenenladungsdichte :math:`\sigma = \frac{Q}{A}` +.. _Elektrische Energie in einem Plattenkondensator: + +.. rubric:: Elektrische Energie in einem Plattenkondensator + +Wird in einem Plattenkondensator eine Ladung positive Ladung :math:`Q` entgegen +der elektrischen Feldlinien bewegt, so muss Arbeit gegen die elektrische Kraft +:math:`F_{\mathrm{el}}` verrichtet werden. Bewegt man die Ladung von der +negativen zur positiven Platte, die voneinander den Plattenabstand :math:`d` +haben, so gilt für die verrichtete Arbeit :math:`W_{\mathrm{el}}`: + +.. math:: + + W_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{el}} \cdot d + +Wird ein Kondensator geladen, so kann man sich die dabei verrichtete elektrische +Arbeit als schrittweisen Transport von elektrischer Ladung von einer +Kondensatorplatte zur anderen vorstellen -- nicht über die Luft zwischen den +Kondensatorplatten, aber über die Anschlussdrähte. Als Folge der Ladungstrennung +baut sich im Kondensator zunehmend eine elektrische Spannung auf. + +Hat die Spannung zwischen den Kondensatorplatten den Wert :math:`U`, so musste +während des Ladevorgangs schrittweise Spannungen zwischen Null und :math:`U` +überwunden werden; die durchschnittliche Ladespannung hat also :math:`\bar{U} = +\frac{U}{2}` betragen. + +Mit :math:`F_{\mathrm{el}} = Q \cdot E` und :math:`E = \frac{U}{d}` ergibt sich: + +.. math:: + + W_{\mathrm{el}} = \bar{F}_{\mathrm{el}} \cdot d &= Q \cdot \bar{E} \cdot d + \\[8pt] + &= Q \cdot \frac{\bar{U}}{d} \cdot d = Q \cdot \bar{U} = \frac{1}{2} \cdot Q + \cdot U + +Schreibt man zusätzlich :math:`Q = C \cdot U`, so erhält man für die insgesamt +während des Ladens verrichtete elektrische Arbeit: + +.. math:: + :label: eqn-plattenkondensator-energie + + W_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot + \frac{\left( C \cdot U \right)^2}{C} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 + +Diese Arbeitsmenge bleibt in Form von elektrischer Energie im Kondensator +gespeichert. + +.. Energiedichte: Gespeicherte Energie je Volumen = 1/2 * \varepsilon_0 \cdot +.. \varepsilon_r \cdot E^2 + +Der Milikan-Versuch +------------------- + +Im Jahr 1910 konnte `Robert Millikan +`_ erstmals mittels eines +Plattenkondensators die Größe der Elementarladung :math:`e` experimentell +bestimmen. Die Grundidee seines Versuchs war es, mittels eines Zerstäubers +winzige, durch Reibungseffekte zumindest teilweise elektrisch geladene +Öltröpfchen zwischen die Platten des Kondensators zu bringen. + +Liegt am Kondensator keine elektrische Spannung an, so sinken die Tröpfchen +aufgrund ihrer Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` langsam nach unten; aufgrund +der kleinen Tröpfchengröße sind hierbei die statische Auftriebskraft +:math:`F_{\mathrm{A}}` der Tröpfchen in Luft sowie die Reibungskraft +:math:`F_{\mathrm{R}}` nicht zu vernachlässigen. + +.. figure:: + ../pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.png + :width: 50% + :align: center + :name: fig-millikan-versuch + :alt: fig-millikan-versuch + + Kräftegleichgewicht an einem schwebenden Öltröpfchen beim Millikan-Versuch. + + .. only:: html + + :download:`SVG: Millikan-Versuch + <../pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.svg>` + +Wird hingegen ein elektrisches Feld angelegt, so kann die (nur auf elektrisch +geladene Öltröpfchen) wirkende elektrische Kraft :math:`F_{\mathrm{el}}` die +Gewichtskraft ausgleichen; bei einer ausreichend großen Spannung können die +geladenen Teilchen sogar wieder nach oben steigen. + +Für die wirkenden Kräfte gilt: + +.. math:: + + F_{\mathrm{G}} &= m_{\text{\"Ol}} \cdot g = \rho_{\text{Öl}} \cdot V \cdot g + \\[4pt] + F_{\mathrm{A}} &= \; m_{\mathrm{L}} \cdot g = \; \rho_{\mathrm{L}} \cdot V + \cdot g \\[8pt] + F_{\mathrm{el}} &= Q \cdot E = Q \cdot \frac{U}{d} + +Hierbei bezeichnet :math:`g = \unit[9,81]{\frac{N}{kg}}` den Ortsfaktor, +:math:`\rho_{\text{Öl}}` die Dichte des Öls und :math:`\rho_{\mathrm{L}}` die +Dichte der Luft. Für das Volumen der kugelförmigen Öltröpfchen gilt +:math:`V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3`, wobei :math:`r` den Radius der +Öltröpfchen angibt. + +Schweben die Öltröpfchen in der Luft, so muss folgendes Gleichgewicht gelten: + +.. math:: + + F_{\mathrm{el}} &= F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} \\ + Q \cdot \frac{U}{d} &= (\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\mathrm{L}}) \cdot \left( + \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \right) \cdot g\\ + +Für die Ladung :math:`Q` eines schwebenden Öltröpfchens muss somit gelten: + +.. math:: + + Q &= \frac{4 \cdot \pi \cdot r^3 \cdot (\rho_{\text{Öl}} - + \rho_{\mathrm{L}}) \cdot g \cdot d }{3 \cdot U} + +In dieser Gleichung sind, abgesehen vom Radius :math:`r` der Öltröpfchen, alle +Größen konstant oder leicht messbar. Die größte Schwierigkeit besteht im exakten +Messen des Radius :math:`r` (durch die Brownsche Molekularbewegung noch +zusätzlich erschwert), wobei Messfehler durch die dritte Potenz einen +erheblichen Einfluss auf das Ergebnis haben können. Millikan bestimmte daher +zusätzlich die Geschwindigkeiten einzelner Tröpfchen beim Sinken, was er durch +ein zwischenzeitliches Abschalten der anliegenden Spannung erreichte. + +Erreichen die Tröpfchen beim Sinken eine konstante Geschwindigkeit :math:`v`, so +gilt folgendes Kräftegleichgewicht: + +.. math:: + + F_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} + +.. math:: + + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v &= (\rho_{\text{Öl}} - + \rho_{\mathrm{L}}) \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \right) + \cdot g + +In der obigen Gleichung bezeichnet :math:`\eta` die :ref:`Viskosität +` der Luft; bei :math:`\unit[20]{\degree C}` beträgt diese +:math:`\eta \approx \unit[0,0182]{mPa \cdot s}`. Löst man die Gleichung nach +:math:`r` auf, so erhält man: + +.. math:: + + 6 \cdot \eta \cdot v &= (\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\mathrm{L}}) \cdot + \frac{4}{3} \cdot g \cdot r^2 \\[6pt] + r^2 &= \frac{6 \cdot 3 \cdot \eta \cdot v}{4 \cdot g \cdot (\rho_{\text{Öl}} + - \rho_{\mathrm{L}})} \\[6pt] + r &= \sqrt{\frac{9 \cdot \eta \cdot v}{2 \cdot g \cdot (\rho_{\text{Öl}} - + \rho_{\mathrm{L}})}} \\[6pt] + +Durch Messung der Viskosität der Luft und der Sinkgeschwindigkeit :math:`v` der +Tröpfchen ohne elektrisches Feld kann der Radius :math:`r` der Tröpfchen mit +guter Genauigkeit bestimmt werden. -.. Bewegung von Teilchen in elektrischen Feldern +Millikan stellte fest, dass die sich ergebenden Ladungswerte stets ganzzahlige +Vielfache einer "Elementarladung" waren. Er bestimmte den Wert dieser Ladung zu +:math:`\unit[1,592 \cdot 10^{-19}]{C}`, was mit dem heute bekannten Wert von +:math:`q_{\mathrm{e}}=\unit[1,602 \cdot 10^{-19}]{C}` bereits sehr gut +übereinstimmte. + +.. _Bewegung von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern: + +Bewegung von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern +------------------------------------------------------- + +Bringt man ein Teilchen mit einer elektrischen Ladung :math:`Q` in ein +elektrisches Feld mit einer Feldstärke :math:`\vec{E}`, so erfährt es gemäß +:math:`F_{\mathrm{el}} = Q \cdot E` eine Kraftwirkung. Handelt es sich bei dem +Teilchen um ein Elektron oder Proton, so kann die Gewichtskraft des Teilchens +gegenüber der elektrischen Kraft :math:`F_{\mathrm{el}}` meist vernachlässigt +werden. + +Für technische Anwendungen ist insbesondere die Bewegung von Elektronen in +elektrischen Feldern von Bedeutung. + +.. _Bewegung in Richtung des elektrischen Feldes: + +.. rubric:: Bewegung in Richtung des elektrischen Feldes + +Angenommen, ein frei bewegliches Elektron befindet sich zunächst in +unmittelbarer Nähe der negativ geladenen Seite eines Plattenkondensators. Durch +die elektrische Feldstärke wird es dann zur positiven geladenen Seite hin +beschleunigt. Diese Bewegung ähnelt dem :ref:`freien Fall ` eines +Gegenstands im Gravitationsfeld der Erde: Es wird potentielle Energie in +kinetische Energie umgewandelt. + +Gemäß der Definition der Spannung :eq:`eqn-definition-spannung` kann die +potentielle Energie des Elektrons folgendermaßen ausgedrückt werden: [#]_ + +.. math:: + + E_{\mathrm{pot}} = Q \cdot U + +Die potentielle Energie des Elektrons ist also ausschließlich abhängig von der +im Plattenkondensator anliegenden Spannung :math:`U`, da die Ladung +:math:`Q_{\mathrm{el}} = \unit[1,602 \cdot 10^{-19}]{C}` des Elektrons konstant +ist. + +*Beispiel:* + +* Liegen an den Platten eines Kondensators :math:`U=\unit[100]{V}` an, so ein + Elektron, das sich in unmittelbarer Nähe der negativen Platte befindet, + folgende Energiemenge: + + .. math:: + + E_{\mathrm{pot}} = Q_{\mathrm{el}} \cdot U = \unit[1,602 \cdot + 10^{-19}]{C} \cdot \unit[100]{V} = \unit[1,602 \cdot 10^{-17}]{J} + + Die Einheit ergibt sich aus :math:`\unit{C} = \unit{A \cdot s}` und + :math:`\unit{V} = \unit{\frac{W}{A}}` zu :math:`\unit{C \cdot V} = + \unit{\frac{W \cdot A \cdot s}{A}} = \unit{W \cdot s} = \unit{J}`. + +.. index:: Elektronenvolt +.. _Elektronenvolt: + +Da die Energiemengen bei einzelnen Elektronen ziemlich gering sind, ist es +üblich, diese in der Einheit "Elektronenvolt" anzugeben. Hierbei wird mit +:math:`e \equiv Q_{\mathrm{el}} = \unit[1,602 \cdot 10^{-19}]{C}` die Ladung +eines einzelnen Elektrons bezeichnet; multipliziert man diesen Wert mit dem Wert +der anliegenden Spannung, so erhält man unmittelbar die Energiemenge in +Elektronenvolt. Für das obige Beispiel würde entsprechend +:math:`E_{\mathrm{pot}} = 1 \, e \cdot \unit[100]{V} = \unit[100]{eV}` gelten. + +Erreicht das Elektron die positiv geladene Platte, so ist die gesamte +potentielle Energie des Elektrons in kinetische Energie umgewandelt worden. +Hierbei muss also gelten: + +.. math:: + + E_{\mathrm{kin}} &= E_{\mathrm{pot}} \\[4pt] + \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{el}} \cdot v^2 &= Q \cdot U \\[4pt] + +Das Elektron erreicht somit unmittelbar vor dem Aufprall auf der positiven +Leiterplatte folgende Geschwindigkeit: + +.. math:: + + v = \sqrt{\frac{2 \cdot Q_{\mathrm{el}} \cdot U}{m}} + +Diese Gleichung kann nicht nur für Elektronen, sondern ebenso für andere +geladene Teilchen (beispielsweise Ionen) verwendet werden. Diese tragen meist +ebenso nur eine einzelne Elementarladung oder ein geringzahliges Vielfaches +davon, haben jedoch eine weitaus höhere Masse; somit ergeben sich wesentlich +geringere Geschwindigkeitswerte als bei Elektronen. + +*Beispiel:* + +* Liegt wie im obigen Beispiel eine Spannung von :math:`U=\unit[100]{V}` am + Kondensator an, so ergibt sich mit :math:`m_{\mathrm{el}} = \unit[9,1 \cdot + 10^{-31}]{kg}` für ein Elektron folgende Aufprall-Geschwindigkeit: + + .. math:: + + v = \sqrt{\frac{2 \cdot \unit[1,602 \cdot 10^{-19}]{C} \cdot + \unit[100]{V}}{\unit[9,1 \cdot 10^{-31}]{kg}}} \approx \unit[5,93 \cdot + 10^{6}]{\frac{m}{s}} + +Trotz der *scheinbar* geringen Energiemenge von +:math:`E_{\mathrm{pot}}=\unit[100]{eV} = \unit[1,602 \cdot 10^{-17}]{J}` +erreicht das Elektron bereits eine Geschwindigkeit von über +:math:`\unit[5]{Mio.\; \frac{m}{s}}`; dies entspricht bereits rund :math:`1,7\%` +der Lichtgeschwindigkeit. [#]_ Wird die Spannung, wie beispielsweise in +Braunschen Röhren üblich, um einen Faktor :math:`100` auf +:math:`\unit[10\,000]{V}` erhöht, so steigt die Geschwindigkeit beim Aufprall um +den Faktor :math:`\sqrt{100} = 10` an. + +In klassischen Oszilloskopen und Braunschen Röhren werden die freien Elektronen +von einem spiralförmig aufgewickelten Heizdraht ausgesendet ("Glühelektrischer +Effekt"). Ohne ein weiteres wirksames elektrisches Feld würde sich der Draht +dabei aufgrund der verbleibenden Atomrümpfe positiv aufladen, und die Elektronen +würden zurück in Richtung des Drahtes beschleunigt. Als Folge davon ergäbe sich +eine nur wenige Millimeter dicke "Elektronenwolke" um den Heizdraht herum. +Wird hingegen mittels einer (positiv geladenen) Anode ein elektrisches Feld +angelegt, so werden die Elektronen entlang der Feldlinien in Richtung der Anode +beschleunigt. + +.. todo Wehneltzylinder als "Sammellinse" für Elektronen, damit sie Anode passieren .. Q * U = e * U = Energie = 1/2 m v^2 +.. _Bewegung senkrecht zum elektrischen Feld: +.. rubric:: Bewegung senkrecht zum elektrischen Feld + +Erfolgt die Bewegung eines geladenen Teilchens, beispielsweise eines Elektrons, +(zunächst) senkrecht zur Richtung des elektrischen Felds eines +Plattenkondensators, so gleicht die vom geladenen Teilchen durchlaufene Bahn +derjenigen, die ein :ref:`waagrecht geworfener ` Gegenstand +im Gravitationsfeld der Erde durchläuft. + +Verläuft das elektrische Feld in vertikaler Richtung, so bleibt die horizontale +Komponente der Geschwindigkeit des geladenen Teilchens unverändert. Tritt das +Teilchen zur Zeit :math:`t_0 = 0` an der Stelle :math:`s_0 = 0` in das +elektrische Feld ein, so muss also gelten: + +.. math:: + + v_{\mathrm{x}} &= v_{\mathrm{x,0}} \\ + s_{\mathrm{x}} &= v_{\mathrm{x,0}} \cdot t + +In Vertikaler Richtung hat das geladene Teilchen zunächst eine Geschwindigkeit +von :math:`v_{\mathrm{y,0}} = 0`. Tritt das Teilchen mittig (in der Höhe +:math:`s_{\mathrm{y,0}} = 0`) in das elektrische Feld ein, so wird es durch das +elektrische Feld konstant beschleunigt. Somit muss gelten: + +.. math:: + + v_{\mathrm{y}} &= a \cdot \Delta t \\ + s_{\mathrm{y}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + +Die Beschleunigung :math:`a`, die ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld +erfährt, kann man wegen :math:`a = \frac{F_{\mathrm{el}}}{m}` als :math:`a = +\frac{q \cdot E}{m}` schreiben. Handelt es sich bei dem geladenen Teilchen um +ein freies Elektron, so ist :math:`q` gleich der Elementarladung +:math:`q_{\mathrm{e}}`, so ergibt sich: + +.. math:: + + v_{\mathrm{y}} &= \frac{q_{\mathrm{e}} \cdot E}{m} \cdot \Delta t \\ + s_{\mathrm{y}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{\mathrm{e}} \cdot E}{m} \cdot t^2 + +Um die Geschwindigkeit beziehungsweise die Position des Teilchens nicht +in Abhängigkeit von der Zeit, sondern in Abhängigkeit von der horizontalen +Entfernung :math:`s_{\mathrm{x}}` auszudrücken, kann man den Zusammenhang +:math:`s_{\mathrm{x}} = v_{\mathrm{x}} \cdot t \quad \Longleftrightarrow \quad t += \frac{s_{\mathrm{x}}}{v_{\mathrm{x}}}` nutzen: + +.. math:: + + s_{\mathrm{y}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{\mathrm{e}} \cdot E}{m} \cdot + \frac{s_{\mathrm{x}^2}}{v_{\mathrm{x}}^2} + +Bei einem Strahl aus freien Elektronen treten diese mit einer jeweils gleichen +Eintrittsgeschwindigkeit :math:`v_{\mathrm{x}}` in das elektrische Feld ein. +Durch eine Variation der Spannung an den Kondensatorplatten und damit einer +Beeinflussung des elektrischen Feldes :math:`E` kann somit die Bahn der +Elektronen unmittelbar beeinflusst werden. Dieser Effekt wird beispielsweise in +Röhren-Oszilloskopen genutzt, um den zeitlichen Verlauf eines beziehungsweise +zweier Spannungssignale auf einem Schirm sichtbar zu machen. .. raw:: html @@ -457,7 +802,7 @@ Kondensators bei gleicher Baugröße um ein Vielfaches erhöht werden. \unit{V} = \unit{\frac{J}{C}} = \unit{\frac{N \cdot m}{C}} - Damit lässt sich die Einheit der elektrischen Feldsterke folgendermaßen + Damit lässt sich die Einheit der elektrischen Feldstärke folgendermaßen umformulieren: .. math:: @@ -465,8 +810,25 @@ Kondensators bei gleicher Baugröße um ein Vielfaches erhöht werden. \unit{\frac{N}{C}} = \unit{\frac{N \cdot m}{C \cdot m}} = \unit{\frac{V}{m}} \quad \checkmark -.. [#] An den Rendern des Kondensators sind die Feldlinien zwar gekrümmt, doch +.. [#] An den Rändern des Kondensators sind die Feldlinien zwar gekrümmt, doch im Inneren verlaufen die Feldlinien nahezu parallel. -.. [#] Der Faradayische Kaefig ist nach dem Physiker `Michael Faraday +.. [#] Der Faradayische Käfig ist nach `Michael Faraday `_ benannt. + +.. [#] Auf den Platten eines geladenen Kondensators befinden sich eine Vielzahl + an Ladungsträgern. Beim obigen Ansatz wird daher angenommen, dass ein + einzelnes Elektron, das von einer Seite des Kondensators auf die andere + gelangt, keinen Einfluss auf die Ladungsverteilung des Kondensators und + somit auf die anliegende Spannung hat. Wird die Spannung im Kondensator + durch eine äußere Spannungsquelle aufrecht erhalten, kann :math:`U` während + des Vorgangs als konstant angesehen werden. + +.. [#] Auch die Bindungsenergien der Elektronen an den Atomkern werden in + Elektronenvolt angegeben. Beispielsweise genügt bei den meisten chemischen + Elementen bereits eine Energiemenge von etwa :math:`\unit[15]{eV}`, um ein + einzelnes Elektron aus der Atomhülle zu lösen ("erste Ionisierungsenergie"). Um + weitere Elektronen aus der Atomhülle zu lösen, sind meist deutlich höhere + Energiemengen erforderlich (siehe folgende `Tabelle auf Wikipedia + `__). + diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst index d24d2ef..03c6292 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst @@ -11,7 +11,7 @@ darstellt, sind folgende Regeln stets zu beachten: -- beispielsweise Batterien, Akkus, und/oder gesicherte Stromversorgungsgeräte. * Achte darauf, dass niemals Wasser unbeabsichtigt in die Nähe einer elektrischen Schaltung gelangen kann. -* Schalte den Strom erst ein, wenn ein Versuch fertig aufgebaut ist. Schalte +* Schalte den Strom erst ein, wenn ein Experiment fertig aufgebaut ist. Schalte den Strom erst ab, bevor Du einen Versuch wieder abbaust. * Berühre keine blanken Drähte oder Metallteile, solange der Strom angeschlossen ist. Schraube Elektrogeräte nicht auf, solange der Netzstecker @@ -19,15 +19,18 @@ darstellt, sind folgende Regeln stets zu beachten: angeschlossen werden! -.. _Experimente zu elektrischer Ladung: +.. _Experimente Elektrische Ladung: -Experimente zu elektrischer Ladung ----------------------------------- +Elektrische Ladung +------------------ -.. _Elektrizität durch Reibung: +Das folgende Experiment bezieht sich auf den Abschnitt :ref:`Elektrische Ladung +`. ---- +.. _Elektrizität durch Reibung: + .. rubric:: Elektrizität durch Reibung *Material:* @@ -49,15 +52,18 @@ Experimente zu elektrischer Ladung ---- -.. _Experimente zu Stromstärke, Spannung und Widerstand: +.. _Experimente Stromstärke, Spannung und Widerstand: -Experimente zu Stromstärke, Spannung und Widerstand ---------------------------------------------------- +Stromstärke, Spannung und Widerstand +------------------------------------ -.. _Stromversorgung einer Glühbirne 1: +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Stromstärke, +Spannung und Widerstand `. ---- +.. _Stromversorgung einer Glühbirne 1: + .. rubric:: Stromversorgung einer Glühbirne 1 *Material:* @@ -231,15 +237,18 @@ Experimente zu Stromstärke, Spannung und Widerstand ---- -.. _Experimente zu Leitern, Halbleitern und Isolatoren: +.. _Experimente Leiter, Halbleiter und Isolatoren: -Experimente zu Leitern, Halbleitern und Isolatoren --------------------------------------------------- +Leiter, Halbleiter und Isolatoren +--------------------------------- -.. _Prüfstrecke für elektrischen Widerstand: +Das folgende Experiment bezieht sich auf den Abschnitt :ref:`Leiter, Halbleiter +und Isolatoren `. ---- +.. _Prüfstrecke für elektrischen Widerstand: + .. rubric:: Prüfstrecke für elektrischen Widerstand *Material:* @@ -264,23 +273,24 @@ Experimente zu Leitern, Halbleitern und Isolatoren ---- +.. Quelle (auch Bild): PK81 -.. - Quelle (auch Bild): PK81 +.. Eine Prüfstrecke ist eine gezielt eingebaute Unterbrechung in einem Stromkreis, +.. mit deren Hilfe man die Leitfähigkeit von Stoffen testen kann. - Eine Prüfstrecke ist eine gezielt eingebaute Unterbrechung in einem Stromkreis, - mit deren Hilfe man die Leitfähigkeit von Stoffen testen kann. +.. _Experimente Magnetismus: -.. _Experimente zu Magnetismus: +Magnetismus +----------- -Experimente zu Magnetismus --------------------------- - -.. _Eine Leiterschaukel im Hufeisenmagneten: +Das folgende Experiment bezieht sich auf den Abschnitt :ref:`Magnetismus +`. ---- +.. _Eine Leiterschaukel im Hufeisenmagneten: + .. rubric:: Eine Leiterschaukel im Hufeisenmagneten *Material:* @@ -422,9 +432,15 @@ Experimente zu Magnetismus - Ändert sich das Versuchsergebnis, wenn die Spule gegen den Magneten bewegt wird? -.. raw:: html +---- + +.. Tolle Idee (Nuecke 269): Eisendraht mit :math:`\unit[0,2]{mm}` Durchmesser +.. und etwa :math:`\unit[0,5]{m}` Länge zu lockerer Spirale aufwickeln; an +.. :math:`\unit[2,0]{V}` Spannung anschließen und Stromstärke messen. +.. Dann unter Spirale eine Kerze stellen, weiterhin Stromstärke messen! + +.. foo -
.. only:: html @@ -432,9 +448,6 @@ Experimente zu Magnetismus .. [#] Die Richtungspfeile des Magnetfelds zeigen vom Nord- zum Südpol! -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} .. raw:: html diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/index.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/index.rst index 5e319a8..48af20b 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/index.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/index.rst @@ -4,7 +4,9 @@ Elektrizität und Magnetismus ============================ Die Elektrizitätslehre ist die Wissenschaft der elektrischen Ladungen und der -mit ihnen verknüpften elektrischen und magnetischen Felder. +mit ihnen verknüpften elektrischen und magnetischen Felder; gleichzeitig ist sie +die Basis der :ref:`Elektronik ` als anwendungsorientierter +Fachrichtung. .. toctree:: :maxdepth: 2 diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/ladung.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/ladung.rst index 19c799a..a5a6745 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/ladung.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/ladung.rst @@ -136,7 +136,7 @@ negativ. .. rubric:: Bandgeneratoren Mit einem Bandgenerator lässt sich eine Ladungstrennung durch Reibung in -größerem Stil und beliebig oft wiederholen. Dazu wird ein elastisches +erheblichem Umfang und beliebig oft wiederholen. Dazu wird ein elastisches Gummiband mit einer Kurbel oder einem Elektromotor angetrieben: * Das Band streift an zwei Metallbürsten, wobei es aufgrund Reibung Elektronen @@ -217,10 +217,12 @@ zwischen geladenen Körpern wirken: :download:`SVG: Ladung - Kraftwirkung <../pics/elektrizitaet-magnetismus/ladung-kraftwirkung.svg>` -Je stärker zwei Körper elektrisch geladen sind, desto stärker sind die -Kräfte, die zwischen ihnen wirken. +Je stärker zwei Körper elektrisch geladen sind, desto stärker sind die Kräfte, +die zwischen ihnen wirken. Quantitativ kann die zwischen zwei geladenen Körpern +wirkende elektrostatische Kraft durch das :ref:`Coulombsche Gesetz +` bestimmt werden, das im Abschnitt :ref:`Elektrische Felder +` näher beschrieben ist. -.. todo: Größe der Coulomb-Kraft .. index:: single: Ladungsnachweis; Elektroskop @@ -348,6 +350,6 @@ geeigneten Steckern in einen Stromkreis eingebaut werden und als .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` - und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` + und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/leiter-halbleiter-isolator.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/leiter-halbleiter-isolator.rst index 3334d37..0968178 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/leiter-halbleiter-isolator.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/leiter-halbleiter-isolator.rst @@ -1,8 +1,8 @@ -.. _Leiter, Halbleiter und Isolator: +.. _Leiter, Halbleiter und Isolatoren: -Leiter, Halbleiter und Isolator -=============================== +Leiter, Halbleiter und Isolatoren +================================= Ob ein elektrischer Strom in einem Stoff fließen kann, hängt von der Anzahl der frei beweglichen Ladungsträger innerhalb des Stoffes ab. @@ -359,3 +359,13 @@ Blitzableitern ausgestattet. .. [#] Die fest verankerten Atomrümpfe und damit die Protonen der fünf- bzw. dreiwertigen Donator- bzw. Akzeptor-Atome bleiben in den jeweiligen Schichten zurück. + +.. hint:: + + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente `. + +.. und :ref:`Übungsaufgaben `. + + + diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst index cc1f853..b2c1fea 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst @@ -1,46 +1,46 @@ -.. _Lösungen zu Elektrizität und Magnetismus: +.. _Lösungen Elektrizität und Magnetismus: -Lösungen zu Elektrizität und Magnetismus -======================================== +Elektrizität und Magnetismus +============================ -.. _Lösungen zu elektrischer Ladung: +.. _Lösungen Elektrische Ladung: -Lösungen zu elektrischer Ladung -------------------------------- +Elektrische Ladung +------------------ -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Elektrische Ladung ` zum Abschnitt :ref:`Elektrische Ladung `. ---- -.. _Elektrische-Ladung-01-Lösung: +.. _ela01l: * Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet, sondern nur voneinander getrennt werden. Wenn zwei Körper aus unterschiedlichem Material aneinander gerieben werden, gibt der eine Körper negative Ladung (Elektronen) an den anderen ab. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Stromstärke, Spannung und Widerstand: -Lösungen zu Stromstärke, Spannung und Widerstand ------------------------------------------------- +.. _Lösungen Stromstärke, Spannung und Widerstand: -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Stromstärke, Spannung und Widerstand `. -.. rubric:: Lösungen zum Ohmschen Gesetz +.. rubric:: Ohmsches Gesetz ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-01-Lösung: +.. _eohm01l: * Die Spannung der Stromquelle beträgt :math:`U = \unit[5]{V}`, die resultierende Stromstärke :math:`I = \unit[0,2]{A}`. Aus dem Ohmschen Gesetz @@ -56,11 +56,11 @@ und Widerstand `. Der Widerstand des Stromkreises beträgt somit :math:`R = \unit[25]{\Omega }`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-02-Lösung: +.. _eohm02l: * Die Spannung der Stromquelle beträgt :math:`U = \unit[12]{V}`, der Widerstand des Stromkreises :math:`R = \unit[800]{\Omega }`. Aus dem @@ -77,15 +77,15 @@ und Widerstand `. Die Stromstärke im Stromkreis beträgt somit :math:`I = \unit[15]{mA}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-03-Lösung: +.. _eohm03l: -* Die Spannung der Stromquelle beträgt :math:`U = \unit[230]{V}`, der - Widerstand des Stromkreises :math:`R = \unit[75]{\Omega }`. Aus dem Ohmschen - Gesetz ergibt sich für die Stromstärke :math:`I` im Stromkreis: +* Die Spannung der Stromquelle beträgt :math:`U = \unit[230]{V}`, der Widerstand + des Stromkreises :math:`R = \unit[75]{\Omega }`. Aus dem Ohmschen Gesetz + ergibt sich für die Stromstärke :math:`I` im Stromkreis: .. math:: @@ -98,11 +98,11 @@ und Widerstand `. Die Stromstärke im Stromkreis beträgt somit rund :math:`\unit[3,1]{A}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-04-Lösung: +.. _eohm04l: * Der Widerstand im Stromkreis beträgt :math:`U = \unit[50]{\Omega}`, die fließende Stromstärke :math:`I = \unit[0,3]{A}`. Mit dem Ohmschen Gesetz @@ -114,11 +114,11 @@ und Widerstand `. Die Spannung der Stromquelle beträgt somit :math:`U = \unit[15]{V}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Ohmsches-Gesetz-05-Lösung: +.. _eohm05l: * Die Spannung der Stromquelle beträgt :math:`U = \unit[5]{V}`, die resultierende Stromstärke :math:`I = \unit[0,2]{A}`. Aus dem Ohmschen Gesetz @@ -134,21 +134,21 @@ und Widerstand `. Der Widerstand des Stromkreises beträgt somit :math:`R = \unit[5,75]{\Omega }`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. rubric:: Lösungen zu spezifischen Widerstand +.. rubric:: Spezifischer Widerstand ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-01-Lösung: +.. _espw01l: * Der elektrische Widerstand :math:`R` des Kupferdrahtes lässt sich anhand der Formel :math:`R = \rho \cdot \frac{l}{A}` berechnen, indem man als Werte für die Länge :math:`l=\unit[10]{m}`, für den Querschnitt :math:`A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (\unit[2]{mm})^2 \approx \unit[12,6]{mm^2}` und :math:`\rho - _{\rm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }` einsetzt: + _{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }` einsetzt: .. math:: @@ -158,17 +158,17 @@ und Widerstand `. Der Draht hat einen elektrischen Widerstand von rund :math:`\unit[0,12]{\Omega }`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-02-Lösung: +.. _espw02l: * Der elektrische Widerstand :math:`R` des Kupferdrahtes lässt sich mit Hilfe der Formel :math:`R = \rho \cdot \frac{l}{A}` berechnen, indem man als Werte für die Länge :math:`l=\unit[11,4]{km} = \unit[11400]{m}`, für den Querschnitt :math:`A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (\unit[8]{mm})^2 \approx - \unit[201]{mm^2}` und :math:`\rho _{\rm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot + \unit[201]{mm^2}` und :math:`\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }` einsetzt: .. math:: @@ -198,11 +198,11 @@ und Widerstand `. hätten elektrische Widerstände von :math:`\unit[1,50]{\Omega }` bzw. :math:`\unit[40,8]{\Omega }`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Spezifischer-Widerstand-03-Lösung: +.. _espw03l: * Den nötigen Radius des Eisendrahts erhält man, indem man die Formel :math:`R = \rho \cdot \frac{l}{A} = \rho \cdot \frac{l}{\pi \cdot r^2}` nach @@ -213,9 +213,9 @@ und Widerstand `. R = \rho \cdot \frac{l}{\pi \cdot r^2} \quad \Leftrightarrow \quad r = \sqrt{\rho \cdot \frac{l}{\pi \cdot R} } - Setzt man hierbei den spezifischen Widerstand von Eisen :math:`\rho - _{\rm{Fe}} = \unit[0,125]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`, für die Länge - :math:`l = \unit[50]{m}` und für den maximalen Widerstand :math:`R = + Setzt man hierbei den spezifischen Widerstand von Eisen + :math:`\rho_{\mathrm{Fe}} = \unit[0,125]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} }`, für + die Länge :math:`l = \unit[50]{m}` und für den maximalen Widerstand :math:`R = \unit[1]{\Omega }` ein, so erhält man: .. math:: @@ -227,7 +227,7 @@ und Widerstand `. Der Draht muss somit einen Durchmesser von mindestens :math:`2 \cdot r \approx \unit[2,82]{mm}` haben. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- @@ -241,36 +241,30 @@ Magnetismus>` zum Abschnitt :ref:`Magnetismus `. ---- -.. _Magnetfeld-Erde-01-Lösung: +.. _emag01l: * Wenn der Nordpol der Magnetnadel -- geographisch gesehen -- nach Norden zeigt, so muss sich dort der magnetische Südpol der Erde befinden; der magnetische Nordpol der Erde befindet sich entsprechend (näherungsweise) am geographischen Südpol. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu elektrischer Arbeit, Energie und Leistung: +.. _Lösungen Elektrische Arbeit, Energie und Leistung: -Lösungen zu elektrischer Arbeit, Energie und Leistung ------------------------------------------------------ +Elektrische Arbeit, Energie und Leistung +---------------------------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Elektrische +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Elektrische Arbeit, Energie und Leistung `. -.. .. rubric:: Lösungen zu elektrischer Arbeit und Energie - -.. .. _Elektrische-Energie-01-Lösung: - -.. .. rubric:: Lösungen zu elektrischer Leistung - ---- -.. _Elektrische-Leistung-01-Lösung: +.. _eael01l: * Mit Hilfe der Definition der elektrischen Leistung :math:`P` kann die fließende Stromstärke :math:`I` folgendermaßen ausgedrückt werden: @@ -299,11 +293,11 @@ Arbeit, Energie und Leistung `. Es werden somit :math:`\unit[0,24]{kWh}` an elektrischer Energie benötigt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Elektrische-Leistung-02-Lösung: +.. _eael02l: * Mit Hilfe der Definition der elektrischen Leistung :math:`P` lässt sich die fließende Stromstärke :math:`I` folgendermaßen ausgedrücken: @@ -323,16 +317,11 @@ Arbeit, Energie und Leistung `. Die Stromstärke im Wasserkocher beträgt somit rund :math:`\unit[7,83]{A}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/magnetismus.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/magnetismus.rst index 7e8fcec..0bea8c8 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/magnetismus.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/magnetismus.rst @@ -189,7 +189,7 @@ abgeschätzt werden. Elektromagnete -------------- -Im Jahr 1820 entdeckte der Physiker `Hans-Christian Oersted +Im Jahr 1820 entdeckte `Hans-Christian Oersted `_, dass auch von einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter eine (schwache) Kraftwirkung auf eine nahe gelegene Kompassnadel ausgeht. Diese Feststellung widersprach der bis dahin @@ -323,14 +323,14 @@ fließenden Stromstärke :math:`\vec{I}` und umgekehrt proportional zum Abstand .. math:: - H _{\rm{Leiterbahn}} = \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot r} + H_{\mathrm{Leiterbahn}} = \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot r} Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist gemäß der obigen Formel :math:`\frac{A}{m}`. Im Inneren einer Leiterschleife ist der Wert der magnetischen Feldstärke gegenüber einer geraden Leiterbahn um den Faktor :math:`\pi` erhöht, es gilt -also :math:`H _{\rm{Leiterschleife}}= \frac{I}{2 \cdot r}`. Kombiniert man eine +also :math:`H_{\mathrm{Leiterschleife}}= \frac{I}{2 \cdot r}`. Kombiniert man eine Zahl :math:`N` an Leiterschleifen zu einer langen Spule, so ist die magnetische Feldstärke im Inneren der Spule nahezu homogen. Für die magnetische Feldstärke einer Spule mit einer Windungszahl :math:`N` und einer Länge :math:`l` gilt: @@ -338,7 +338,7 @@ einer Spule mit einer Windungszahl :math:`N` und einer Länge :math:`l` gilt: .. math:: :label: eqn-magnetische-feldstaerke-spule - H _{\rm{Spule}} = \frac{N \cdot I}{l} + H_{\mathrm{Spule}} = \frac{N \cdot I}{l} .. index:: Magnetische Flussdichte @@ -353,10 +353,10 @@ andere Magneten beschreibt, gibt es folgenden Zusammenhang: .. math:: :label: eqn-magnetische-feldstaerke-und-flussdichte - \vec{B} = \mu _0 \cdot \vec{H} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{H} = - \frac{1}{\mu _0} \cdot \vec{B} + \vec{B} = \mu_0 \cdot \vec{H} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{H} = + \frac{1}{\mu_0} \cdot \vec{B} -Hierbei bezeichnet :math:`\mu _0 = \unit[1,256 \cdot 10 ^{-6}]{\frac{V \cdot +Hierbei bezeichnet :math:`\mu_0 = \unit[1,256 \cdot 10 ^{-6}]{\frac{V \cdot s}{A \cdot m}}` die magnetische Feldkonstante. Für die magnetische Flussdichte ergibt sich damit als Einheit: @@ -364,6 +364,8 @@ ergibt sich damit als Einheit: [B] = \unit[1]{\frac{V \cdot s}{m^2}} = \unit[1]{Tesla} = \unit[1]{T} +.. ebenso ist :math:`\unit[1]{T} = \unit[1]{\frac{N}{A \cdot m}}` + Beispielsweise beträgt die magnetische Flussdichte der Erde rund :math:`\unit[0,04]{mT}`. @@ -376,18 +378,18 @@ Material hinausgedrängt werden. Allgemein gilt also: .. math:: - \vec{B} = \mu _{\rm{r}} \cdot \mu _0 \cdot \vec{H} + \vec{B} = \mu_{\mathrm{r}} \cdot \mu_0 \cdot \vec{H} -Für die Größe der Permeabilitaetszahl :math:`\mu _{\rm{r}}` gibt es im +Für die Größe der Permeabilitaetszahl :math:`\mu_{\mathrm{r}}` gibt es im wesentlichen drei verschiedene Fälle: -* In diamagnetischen Materialien :math:`\mu _{\rm{r}} < 1`, die magnetische +* In diamagnetischen Materialien :math:`\mu_{\mathrm{r}} < 1`, die magnetische Flussdichte wird also gegenüber dem äußeren Feld leicht verringert. Beispiele: Kupfer, Zink, Wasser, Stickstoff. -* In paramagnetischen Materialien ist :math:`\mu _{\rm{r}} > 1`, die magnetische +* In paramagnetischen Materialien ist :math:`\mu_{\mathrm{r}} > 1`, die magnetische Flussdichte wird also gegenüber dem äußeren Feld leicht erhöht. Beispiele: Aluminium, Platin, Sauerstoff. -* In ferromagnetischen Materialien ist :math:`\mu _{\rm{r}} \gg 1`, ist die magnetische +* In ferromagnetischen Materialien ist :math:`\mu_{\mathrm{r}} \gg 1`, ist die magnetische Flussdichte wird also gegenüber dem äußeren Feld stark erhöht. Beispiele: Eisen, Cobalt, Nickel. @@ -457,7 +459,7 @@ der wirkenden Kraft gilt folgende Merkregel: :alt: fig-lorentzkraft-drei-finger-regel Die Drei-Finger-Regel als Merkhilfe für die Richtungen der Lorentskraft - :math:`\vec{F} _{\rm{B}}`, des Magnetfeldes :math:`\vec{B}` und der + :math:`\vec{F} _{\mathrm{B}}`, des Magnetfeldes :math:`\vec{B}` und der technischen Stromrichtung :math:`\vec{I}`. .. only:: html @@ -465,6 +467,28 @@ der wirkenden Kraft gilt folgende Merkregel: :download:`SVG: Drei-Finger-Regel (Lorentzkraft) <../pics/elektrizitaet-magnetismus/lorentzkraft-drei-finger-regel.svg>` +.. Beispiel Leiter zwischen Hufeisenmagnet mit Pic + +Bezeichnet man die Länge des vom Strom :math:`I` durchflossenen Leiterstücks, +das sich im Magnetfeld :math:`\vec{B}` befindet, mit :math:`\vec{s}`, so kann +die Lorentzkraft :math:`\vec{F}_{\mathrm{L}}` quantitativ mittels folgender +Formel berechnet werden: + +.. math:: + + \vec{F}_{\mathrm{L}} = I \times (\vec{s} \times \vec{B}) + +Verläuft der stromdurchflossene Leiter senkrecht zum Magnetfeld, so ist der +Betrag der Lorentzkraft gleich :math:`F_{\mathrm{L}} = I \cdot s \cdot B`, +andernfalls ergibt das Vektorprodukt :math:`F_{\mathrm{L}} = I \cdot s \cdot B +\cdot \sin{(\alpha)}`, wobei :math:`\alpha` den Winkel zwischen dem Leiterstück +und dem Magnetfeld angibt. Wird nicht nur ein einzelnes Leiterstück, sondern +beispielsweise eine Spule mit :math:`n` Windungen in das Magnetfeld eingebracht, +so ergibt sich auch eine :math:`n`-fache Weglänge :math:`s` und somit eine +:math:`n`-Fache Kraftwirkung. + + + Die Lorentz-Kraft findet beispielsweise in Elektromotoren sowie in den Bildröhren von älteren Fernsehgeräten Anwendung. Gleichermaßen liefert sie eine Erklärung für den Vorgang der elektromagnetischen Induktion. @@ -490,6 +514,6 @@ bzw. herausgezogen, so tritt in der Spule kurzzeitig ein Stromfluss auf. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/elektrizitaet-und-magnetismus/stromstaerke-spannung-widerstand.rst b/elektrizitaet-und-magnetismus/stromstaerke-spannung-widerstand.rst index f532bc0..c21a7b2 100644 --- a/elektrizitaet-und-magnetismus/stromstaerke-spannung-widerstand.rst +++ b/elektrizitaet-und-magnetismus/stromstaerke-spannung-widerstand.rst @@ -307,14 +307,14 @@ wechselt und daher als Wechselspannung bezeichnet wird. Die bekannteste Wechselspannung ist die sinusförmige Spannung des Stromnetzes, die periodisch zwischen :math:`\unit[+325]{V}` und :math:`\unit[-325]{V}` hin und her wechselt. Aufgrund der Schwankungen kann jedoch nur soviel elektrische -Leistung umgesetzt werden wie bei einer Gleichspannung von :math:`U _{\rm{eff}} +Leistung umgesetzt werden wie bei einer Gleichspannung von :math:`U_{\mathrm{eff}} = \unit[230]{V}`. [#]_ Diese so genannte "effektive Spannung" einer sinusförmigen Wechselspannung lässt sich allgemein nach folgender Formel berechnen: [#]_ .. math:: - U _{\rm{eff}} = \frac{U _{\rm{max}}}{\sqrt{2}} + U_{\mathrm{eff}} = \frac{U_{\mathrm{max}}}{\sqrt{2}} Die Frequenz der Wechselspannung im Stromnetz beträgt :math:`f=\unit[50]{Hz}`, d.h. in einer Sekunde durchläuft die Wechselspannung 50 Perioden. Hieraus ergibt @@ -466,13 +466,13 @@ den elektrischen Strom. *Beispiele:* -* Ein :math:`l = \unit[1]{m}` langer Kupferdraht :math:`(\rho _{\rm{Cu}} = +* Ein :math:`l = \unit[1]{m}` langer Kupferdraht :math:`(\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} } )` mit einer Querschnittsfläche von :math:`\unit[1]{mm^2}` hat einen elektrischen Widerstand von .. math:: - R = \rho _{\rm{Cu}} \cdot \frac{l}{A} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot + R = \rho_{\mathrm{Cu}} \cdot \frac{l}{A} = \unit[0,0156]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} } \cdot \frac{\unit[1]{m}}{\unit[1]{mm^2}} = \unit[0,0156]{\Omega } @@ -482,12 +482,12 @@ den elektrischen Strom. damit ein um eine Million geringerer elektrischer Widerstand. * Ein :math:`\unit[4]{mm^2}` dicker und :math:`\unit[30]{mm} = \unit[0,03]{m}` - langer Stab aus Edelstahl :math:`(\rho _{\rm{V2A}} = \unit[0,720]{\Omega + langer Stab aus Edelstahl :math:`(\rho_{\mathrm{V2A}} = \unit[0,720]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} })` hat einen elektrischen Widerstand von .. math:: - R = \rho _{\rm{V2A}} \cdot \frac{l}{A} = \unit[0,720]{\Omega \cdot + R = \rho_{\mathrm{V2A}} \cdot \frac{l}{A} = \unit[0,720]{\Omega \cdot \frac{mm^2}{m} } \cdot \frac{\unit[0,03]{m}}{\unit[4]{mm^2}} = \unit[0,0054]{\Omega } @@ -506,6 +506,8 @@ den elektrischen Strom. - :math:`\unit[0,0265]{\Omega }` * - Messing - :math:`\unit[0,070]{\Omega }` + * - Konstantan + - :math:`\unit[0,5]{\Omega }` * - Edelstahl (V2A) - :math:`\unit[0,720]{\Omega }` * - Eisen @@ -552,7 +554,7 @@ Halbleiter und Isolatoren einteilen. Das Ohmsche Gesetz kann in solchen Fällen (näherungsweise) genutzt werden, wenn die Widerstandswerte in Abhängigkeit von der Stromstärke - oder Spannung bekannt sind, d.h. als Diagramm oder in tabellarischer + oder Spannung bekannt sind, also als Diagramm oder in tabellarischer Form für bestimmte Werte vorliegen. .. raw:: html @@ -561,7 +563,7 @@ Halbleiter und Isolatoren einteilen. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und :ref:`Übungsaufgaben ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/experimente-aufgaben-loesungen.rst b/experimente-aufgaben-loesungen.rst new file mode 100644 index 0000000..ceb63bb --- /dev/null +++ b/experimente-aufgaben-loesungen.rst @@ -0,0 +1,76 @@ +.. _Aufgaben und Lösungen: +.. _Experimente, Übungsaufgaben und Lösungen: + +Experimente, Übungsaufgaben und Lösungen +======================================== + +.. Anzahl der Aufgaben bzw. Versuche ausgeben: + +.. find ./ -name "*aufgaben*.rst" | xargs grep -c "^\* " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' +.. find ./ -name "*loesungen*.rst" | xargs grep -c "^\* " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' +.. find ./ -name "*experimente*.rst" | xargs grep -c ".. rubric:: " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' + +.. Now 2016-05-16 + +.. * 68 Experimente, 17 Bilder +.. * 141 Übungsufgaben +.. * 141 Lösungen + +.. _Experimente: + +Experimente +----------- + +.. Experimente sind in der Physik von besonderer Bedeutung. Mit einem geeigneten +.. Versuchsaufbau können Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge anschaulich und +.. beliebig oft wiederholbar untersucht werden. + +.. toctree:: + :maxdepth: 2 + + mechanik/experimente.rst + akustik/experimente.rst + optik/experimente.rst + waermelehre/experimente.rst + elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst + + +.. _Aufgaben: +.. _Übungsaufgaben: + +Übungsaufgaben +-------------- + +.. .. raw:: html + +..

Aufgaben

+ +.. toctree:: + :maxdepth: 2 + + mechanik/aufgaben.rst + akustik/aufgaben.rst + optik/aufgaben.rst + waermelehre/aufgaben.rst + elektrizitaet-und-magnetismus/aufgaben.rst + atomphysik/aufgaben.rst + + +.. _Lösungen: + +Lösungen +-------- + +.. toctree:: + :maxdepth: 2 + + mechanik/loesungen.rst + akustik/loesungen.rst + optik/loesungen.rst + waermelehre/loesungen.rst + elektrizitaet-und-magnetismus/loesungen.rst + atomphysik/loesungen.rst + +.. Papier hat in etwa gleiche Dicke wie menschliches Haar, rund 100 Mikrometer. +.. Ein Blatt Papier hat ca. 10 Millionen Fasern. + diff --git a/experimente.rst b/experimente.rst deleted file mode 100644 index bcaab08..0000000 --- a/experimente.rst +++ /dev/null @@ -1,18 +0,0 @@ -.. _Experimente: - -Experimente ------------ - -.. Experimente sind in der Physik von besonderer Bedeutung. Mit einem geeigneten -.. Versuchsaufbau können Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge anschaulich und -.. beliebig oft wiederholbar untersucht werden. - -.. toctree:: - :maxdepth: 2 - - mechanik/experimente.rst - akustik/experimente.rst - optik/experimente.rst - waermelehre/experimente.rst - elektrizitaet-und-magnetismus/experimente.rst - diff --git a/index.rst b/index.rst index c880a4b..42a027c 100644 --- a/index.rst +++ b/index.rst @@ -34,14 +34,7 @@ Physik waermelehre/index.rst elektrizitaet-und-magnetismus/index.rst atomphysik/index.rst - experimente.rst - aufgaben-und-loesungen.rst + experimente-aufgaben-loesungen.rst tabellen.rst links-und-quellen.rst -.. Anzahl der Aufgaben bzw. Versuche ausgeben: - -.. find ./ -name "*aufgaben*.rst" | xargs grep -c "^\* " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' -.. find ./ -name "*loesungen*.rst" | xargs grep -c "^\* " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' -.. find ./ -name "*experimente*.rst" | xargs grep -c ".. rubric:: " | awk -F ":" '{sum+=$2} END {print sum}' - diff --git a/links-und-quellen.rst b/links-und-quellen.rst index e3ab549..c7d0122 100644 --- a/links-und-quellen.rst +++ b/links-und-quellen.rst @@ -127,9 +127,8 @@ finden, beispielsweise in [GrossBerhag1979]_ (Seite 66) oder [Boes1995]_ (Seite Der strukturelle Aufbau des Abschnitts :ref:`Mechanische Schwingungen` folgt strukturell [Schmidt2003]_. -Die Werte der im Abschnitt Mechanik der Festkoerper angegebenen -Elastizitaetsmodule stammen aus - +Das Dehungsverhalten von Festkörpern ist auch in [Harms1994]_ (Seite 54f.) +beschrieben. .. rubric:: Quellenangaben zur Akustik @@ -255,6 +254,9 @@ fehlende Werte durch die beiden Nachschlagewerke [Kuchling2001]_ und .. [Hammer2002] Anton Hammer: Physikalische Formeln und Tabellen. Lindauer Verlag, 2002. +.. [Harms1994] Volker Harms: Physik für Mediziner und Pharmazeuten. Harms + Verlag, 1994. + .. [Harten2007] Ulrich Harten: Physik - Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2007. @@ -293,5 +295,7 @@ fehlende Werte durch die beiden Nachschlagewerke [Kuchling2001]_ und .. [Voelcker1988] Diethelm Völcker: Physik in der Mittelstufe 3. Mentor Verlag, München, 1988. +.. [Zeitler2007] Jürgen Zeitler, Günter Simon: Physik für Techniker. Hanser Verlag, + München, 2007. diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/arbeit.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/arbeit.rst index 779e4bb..a672f91 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/arbeit.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/arbeit.rst @@ -21,28 +21,25 @@ der Kraft und die Länge des Weges, entlang dessen die Kraft wirkt, bekannt sein .. math:: :label: eqn-arbeit - W = F \cdot s _{\rm{\parallel}} + W = F \cdot s_{\mathrm{\parallel}} -.. Wenn \alpha Winkel zwischen Kraftrichtung und Wegrichtung :math:`(0 < \alpha < 90 \degree)`, so W = F \cdot s \cdot \cos{\alpha} - -.. - Wenn Kraft nicht konstant, sondern Funktion des Weges s, und stehen - gegebenenfalls Kraft und Weg im Winkel \alpha zueinander, so ist die Arbeit - gleich dem Integral ueber :math:`F(s)`. +.. Wenn \alpha Winkel zwischen Kraftrichtung und Wegrichtung :math:`(0 < \alpha +.. < 90 \degree)`, so W = F \cdot s \cdot \cos{\alpha} .. math:: W = \int_{s_1}^{s^2} F \cdot \cos{\alpha} \cdot \mathrm{d} s - In einem F-S-Diagramm entspricht die verrichtete Arbeit der Flaeche - unterhalb der Kurve von :math:`F(s)`. + In einem :math:`F(s)`-Diagramm entspricht die zwischen zwei Punkten + :math:`s_1` und :math:`s_2` verrichtete Arbeit der Fläche zwischen dem + entsprechenden Abschnitt des Graphen und der horizontalen :math:`s`-Achse. *Einheit:* Die Einheit der Arbeit ist nach Gleichung :eq:`eqn-arbeit` das Produkt der - Einheiten von Kraft und Weg. Sie wird zu Ehren des Physikers `James Prescott - Joule `_ kurzerhand Joule + Einheiten von Kraft und Weg. Sie wird nach `James Prescott Joule + `_ kurzerhand Joule :math:`\unit[]{(J)}` genannt. .. math:: @@ -51,10 +48,10 @@ der Kraft und die Länge des Weges, entlang dessen die Kraft wirkt, bekannt sein *Beispiele:* -* Die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` einer Tafel Schokolade :math:`( m = +* Die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` einer Tafel Schokolade :math:`( m = \unit[100]{g})` entspricht in guter Näherung :math:`\unit[1]{N}`. Hebt man eine Tafel Schokolade einen Meter weit an (egal von welcher Position aus), so - verrichtet man dabei eine Arbeit von :math:`W = F _{\rm{G}} \cdot s = + verrichtet man dabei eine Arbeit von :math:`W = F_{\mathrm{G}} \cdot s = \unit[1]{N} \cdot \unit[1]{m} = \unit[1]{J}`. * Hebt man :math:`2, 3, 4, \ldots` Tafeln Schokolade einen Meter weit an, so @@ -95,17 +92,18 @@ dafür nötig. *Definition:* - Die Hubarbeit :math:`W _{\rm{Hub}}` ist proportional zur :ref:`Gewichtskraft - ` :math:`F _{\rm{ G}}` eines angehobenen Körpers und zur - Hubhöhe :math:`h`: + Die Hubarbeit :math:`W_{\mathrm{Hub}}` ist proportional zur + :ref:`Gewichtskraft ` :math:`F_{\mathrm{ G}}` eines + angehobenen Körpers und zur Hubhöhe :math:`h`: .. math:: :label: eqn-hubarbeit - W _{\rm{Hub}} = F _{\rm{G}} \cdot h + W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h -Die Hubarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Gewichtskraft (:math:`F _{\rm{G}} = m -\cdot g`) auch als :math:`W _{\rm{Hub}} = m \cdot g \cdot h` geschrieben werden. +Die Hubarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Gewichtskraft +(:math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g`) auch als :math:`W_{\mathrm{Hub}} = m \cdot +g \cdot h` geschrieben werden. .. index:: @@ -119,17 +117,17 @@ Reibungskraft eine gleich große Gegenkraft entgegenwirken. *Definition:* - Die Reibungsarbeit :math:`W _{\rm{Reib}}` ist proportional zur - :ref:`Reibungskraft ` :math:`F _{\rm{R}}` und zur + Die Reibungsarbeit :math:`W_{\mathrm{Reib}}` ist proportional zur + :ref:`Reibungskraft ` :math:`F_{\mathrm{R}}` und zur zurückgelegten Wegstrecke :math:`s`: .. math:: :label: eqn-reibungsarbeit - W _{\rm{Reib}} = F _{\rm{R}} \cdot s + W_{\mathrm{Reib}} = F_{\mathrm{R}} \cdot s Beim gleichzeitigen Auftreten mehrerer Reibungskräfte (z.B. Rollreibung und -Luftwiderstand) entspricht :math:`F _{\rm{R}}` der Summe aller auftretenden +Luftwiderstand) entspricht :math:`F_{\mathrm{R}}` der Summe aller auftretenden Reibungskräfte. @@ -145,36 +143,37 @@ gleichmäßig mit der Auslenkung zu: * Die anfängliche Spannkraft der Feder in der Ruhelage ist Null. * Wird die Feder um eine Wegstrecke :math:`s` ausgelenkt, so beträgt die - :ref:`Spannkraft ` der Feder :math:`F _{\rm{S}} = -k \cdot s`. + :ref:`Spannkraft ` der Feder :math:`F_{\mathrm{S}} = -k \cdot s`. Entlang der Strecke :math:`s` muss im Durchschnitt nur die Hälfte der -(maximalen) Spannkraft :math:`F _{\rm{S}}` am Auslenkungspunkt aufgewendet -werden. Für die durchschnittlich nötige Kraft :math:`\bar{F}_{\rm{S}}` gilt +(maximalen) Spannkraft :math:`F_{\mathrm{S}}` am Auslenkungspunkt aufgewendet +werden. Für die durchschnittlich nötige Kraft :math:`\bar{F}_{\mathrm{S}}` gilt also: .. math:: - \bar{F} _{\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F _{\rm{s}} + \bar{F} _{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{s}} Dies gilt allgemein für elastische Verformungen. *Definition:* Die zur Verformung eines elastischen Körpers (z.B. einer Schraubenfeder) - nötige Spannarbeit :math:`W _{\rm{Spann}}` ist proportional zur - durchschnittlichen Spannkraft :math:`\bar{F} _{\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot F - _{\rm{S}}` und der dazugehörigen Auslenkung :math:`s`: + nötige Spannarbeit :math:`W_{\mathrm{Spann}}` ist proportional zur + durchschnittlichen Spannkraft :math:`\bar{F} _{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} + \cdot F_{\mathrm{S}}` und der dazugehörigen Auslenkung :math:`s`: .. math:: :label: eqn-spannarbeit - W _{\rm{Spann}} = \bar{F} _{\rm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot F _{\rm{S}} \cdot s + W_{\mathrm{Spann}} = \bar{F} _{\mathrm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot + F_{\mathrm{S}} \cdot s -Die Spannarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Spannkraft (:math:`F _{\rm{S}} -= - D \cdot s`) auch als :math:`W _{\rm{Spannn}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot -s^2` geschrieben werden, wobei :math:`D` die (oftmals experimentell zu -bestimmende) Federkonstante des Körpers angibt. +Die Spannarbeit kann mit Hilfe der Formel für die Spannkraft +(:math:`F_{\mathrm{S}} = - D \cdot s`) auch als :math:`W_{\mathrm{Spannn}} = +\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2` geschrieben werden, wobei :math:`D` die (oftmals +experimentell zu bestimmende) Federkonstante des Körpers angibt. .. index:: @@ -189,19 +188,19 @@ Beschleunigungsarbeit. *Definition:* - Die Beschleunigungsarbeit :math:`W _{\rm{B}}` eines zunächst ruhenden + Die Beschleunigungsarbeit :math:`W_{\mathrm{B}}` eines zunächst ruhenden Körpers der Masse :math:`m` ist proportional zum Quadrat der Endgeschwindigkeit :math:`v`, die dieser erreicht: [#]_ .. math:: :label: eqn-beschleunigungsarbeit - W _{\rm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 -Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{1}}` und -wird auf eine Endgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{2}}` beschleunigt, so beträgt -die Beschleunigungsarbeit :math:`W _{\rm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 -- v_1^2)`. +Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_1` und wird auf +eine Endgeschwindigkeit :math:`v_2` beschleunigt, so beträgt die +Beschleunigungsarbeit :math:`W_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_2^2 - +v_1^2)`. .. index:: @@ -215,7 +214,7 @@ Die zugehörige Arbeit heißt Rotationsarbeit. *Definition:* - Die Rotationsarbeit :math:`W _{\rm{rot}}` eines zunächst ruhenden Körpers + Die Rotationsarbeit :math:`W_{\mathrm{rot}}` eines zunächst ruhenden Körpers mit :ref:`Trägheitsmoment ` :math:`J` ist proportional zum Quadrat der :ref:`Winkelgeschwindigkeit ` :math:`\omega`, die dieser erreicht: @@ -223,15 +222,15 @@ Die zugehörige Arbeit heißt Rotationsarbeit. .. math:: :label: eqn-rotationsarbeit - W _{\rm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 + W_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 -Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`\omega _{\rm{1}}` -und wird auf eine Endgeschwindigkeit :math:`\omega _{\rm{2}}` beschleunigt, so +Besitzt der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`\omega_1` +und wird auf eine Endgeschwindigkeit :math:`\omega_2` beschleunigt, so muss in Gleichung :eq:`eqn-rotationsarbeit` anstelle :math:`\omega` die -Differenz :math:`\Delta \omega = \omega _{\rm{2}} - \omega _{\rm{1}}` beider +Differenz :math:`\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1` beider Winkelgeschwindigkeiten eingesetzt werden. -.. Rotationsarbeit \Delta W _{\rm{rot}} = M \cdot \Delta \varphi = J \cdot \alpha \cdot \Delta \varphi +.. Rotationsarbeit \Delta W_{\mathrm{rot}} = M \cdot \Delta \varphi = J \cdot \alpha \cdot \Delta \varphi .. = J \cdot (\frac{\Delta \omega}{\Delta t}) \cdot \Delta \varphi .. = J \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta \varphi}{\Delta t^2}) \cdot \Delta \varphi .. = J \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta \varphi^2}{\Delta t^2}) @@ -280,17 +279,18 @@ der Kraftwandlung ("die goldene Regel der Mechanik") lautet daher: F_1 &= \frac{1}{2} \cdot F_2{\color{white}\ldots} \\ s_1 &= 2 \cdot s_2 \\ - \Rightarrow F_1 \cdot s_1 = \frac{1}{2} \cdot F_2 &\, \cdot \, 2 \cdot s_2 = F_2 \cdot s_2 + \Rightarrow F_1 \cdot s_1 = \frac{1}{2} \cdot F_2 &\, \cdot \, 2 \cdot s_2 + = F_2 \cdot s_2 -* Um einen Körper mit einer Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` auf eine Höhe - :math:`h` zu heben, ist die Hubarbeit :math:`W _{\rm{Hub}} = F _{\rm{G}} \cdot +* Um einen Körper mit einer Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` auf eine Höhe + :math:`h` zu heben, ist die Hubarbeit :math:`W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h` nötig. Verschiebt man ihn hingegen entlang des längeren Weges :math:`l` einer :ref:`schiefen Ebene ` nach oben, so ist die nötige Kraft :math:`F` um das Verhältnis :math:`\frac{h}{l}` geringer. Es gilt: .. math:: - F \cdot l = F _{\rm{G}} \cdot h + F \cdot l = F_{\mathrm{G}} \cdot h .. raw:: html @@ -308,12 +308,12 @@ der Kraftwandlung ("die goldene Regel der Mechanik") lautet daher: .. math:: - W = \sum_{i}^{} F _{\rm{i}} \cdot s _{\rm{i}} + W = \sum_{i}^{} F_{\mathrm{i}} \cdot s_{\mathrm{i}} Im Fall einer sich kontinuierlich ändernden Kraft wird aus der Summe :math:`(\sum_{}^{})` ein Integral :math:`(\int_{}^{})`. -.. [#] Um die Formel für die Beschleunigungsarbeit :math:`W _{\rm{B}}` +.. [#] Um die Formel für die Beschleunigungsarbeit :math:`W_{\mathrm{B}}` herzuleiten, geht man von der allgemeinen Definition der Arbeit :math:`W = F \cdot s` aus. Für die Kraft :math:`F` kann man das allgemeine Kraftgesetz :math:`F = m \cdot a` einsetzen. Für die Wegstrecke kann man die @@ -325,7 +325,7 @@ der Kraftwandlung ("die goldene Regel der Mechanik") lautet daher: .. math:: - W _{\rm{B}} = F \cdot s = (m \cdot a) \cdot \frac{v^2}{2 \cdot a} = + W_{\mathrm{B}} = F \cdot s = (m \cdot a) \cdot \frac{v^2}{2 \cdot a} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 .. raw:: html @@ -334,7 +334,7 @@ der Kraftwandlung ("die goldene Regel der Mechanik") lautet daher: .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/aufgaben.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/aufgaben.rst index 3d45963..e38473e 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/aufgaben.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/aufgaben.rst @@ -1,122 +1,123 @@ -.. _Aufgaben zu Arbeit, Leistung und Energie: +.. _Aufgaben Arbeit, Leistung und Energie: -Aufgaben zu Arbeit, Leistung und Energie -======================================== +Arbeit, Leistung und Energie +============================ -.. _Aufgaben zu mechanischer Arbeit: +.. _Aufgaben Mechanische Arbeit: -Aufgaben zu mechanischer Arbeit -------------------------------- - -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische -Arbeit `. +Mechanische Arbeit +------------------ +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Arbeit +`. ---- -.. _Arbeit-01: +.. _alea01: -* (\*) Warum handelt es sich um Arbeit, wenn man eine :math:`\unit[10]{kg}` schwere - Getränke-Kiste um :math:`\unit[1]{m}` anhebt? Verrichtet man auch Arbeit, - wenn man die Kiste längere Zeit in dieser Höhe hält? Handelt es sich um - Arbeit, wenn die Kiste auf gleicher Höhe entlang einer :math:`\unit[10]{m}` +* (\*) Warum handelt es sich um Arbeit, wenn man eine :math:`\unit[10]{kg}` + schwere Getränke-Kiste um :math:`\unit[1]{m}` anhebt? Verrichtet man auch + Arbeit, wenn man die Kiste längere Zeit in dieser Höhe hält? Handelt es sich + um Arbeit, wenn die Kiste auf gleicher Höhe entlang einer :math:`\unit[10]{m}` langen, ebenen Strecke getragen wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Arbeit-02: +.. _alea02: -* (\*) Durch eine Kraft :math:`F _{\rm{Zug}} = \unit[25]{N}` wird ein Körper über - eine :math:`s = \unit[5]{m}` lange Strecke gezogen. Welche Menge an Arbeit - wird dabei verrichtet? Wie groß ist die Arbeit der Schwerkraft auf diesem - Weg, wenn der Körper eine Gewichtskraft von :math:`F _{\rm{G}} = +* (\*) Durch eine Kraft :math:`F_{\mathrm{Zug}} = \unit[25]{N}` wird ein Körper + über eine :math:`s = \unit[5]{m}` lange Strecke gezogen. Welche Menge an + Arbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist die Arbeit der Schwerkraft auf + diesem Weg, wenn der Körper eine Gewichtskraft von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[100]{N}` hat? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hubarbeit-01: +.. _alea03: * (\*) Ein Gewicht mit einer Masse von :math:`\unit[100]{kg}` soll um :math:`\unit[1]{m}` angehoben werden. Wie viel Arbeit muss dafür aufgebracht werden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hubarbeit-02: +.. _alea04: * (\*) Ein Wanderer der Masse :math:`\unit[70]{kg}` trägt einen :math:`\unit[7]{kg}` schweren Rucksack auf einen um :math:`\unit[200]{m}` höher gelegenen Gipfel eines Berges hinauf. Wie viel Hubarbeit verrichtet er am Rucksack, wie viel insgesamt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hubarbeit-03: +.. _alea05: * (\**) Welche Arbeit ist nötig, um zehn auf der Erde liegende, :math:`h = - \unit[7]{cm}` hohe und :math:`F _{\rm{g}} = \unit[35]{N}` schwere + \unit[7]{cm}` hohe und :math:`F_{\mathrm{g}} = \unit[35]{N}` schwere Ziegelsteine aufeinander zu stapeln? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Reibungsarbeit-01: +.. _alea06: * (\*) Durch eine Kraft :math:`F = \unit[15]{N}` wird ein Körper über eine :math:`s = \unit[5]{m}` lange Strecke gezogen. Welche Menge an Arbeit wird dabei verrichtet? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Reibungsarbeit-02: +.. _alea07: -* (\**) Zwei Jugendliche mit den Massen :math:`m _{\rm{1}} = \unit[55]{kg}` und - :math:`m _{\rm{2}} = \unit[40]{kg}` sitzen auf einem Schlitten und werden - von einem Pferd über ein ebenes, :math:`l = \unit[200]{m}` langes - Schneefeld gezogen. Der Schlitten wiegt :math:`m _{\rm{S}} = \unit[5]{kg}`, - die Reibungszahl von Metall auf Schnee beträgt :math:`\mu _{\rm{G}} = - 0,04`. Welche Arbeit verrichtet das Pferd? +* (\**) Zwei Jugendliche mit den Massen :math:`m_1 = \unit[55]{kg}` und + :math:`m_2 = \unit[40]{kg}` sitzen auf einem Schlitten und werden von einem + Pferd über ein ebenes, :math:`l = \unit[200]{m}` langes Schneefeld gezogen. + Der Schlitten wiegt :math:`m_{\mathrm{S}} = \unit[5]{kg}`, die Reibungszahl + von Metall auf Schnee beträgt :math:`\mu_{\mathrm{G}} = 0,04`. Welche Arbeit + verrichtet das Pferd? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-01: +.. _alea08: * (\*) Ein Fahrzeug mit einer Masse von :math:`m = \unit[1000]{kg}` wird von - :math:`v _{\rm{1}} = \unit[0]{m/s}` konstant auf :math:`v _{\rm{2}} = - \unit[30]{m/s}` (entspricht :math:`\unit[108]{km/h}`) beschleunigt. Wie groß - ist die dabei verrichtete Beschleunigungsarbeit? + :math:`v_1 = \unit[0]{m/s}` konstant auf :math:`v_2 = \unit[30]{m/s}` + (entspricht :math:`\unit[108]{km/h}`) beschleunigt. Wie groß ist die dabei + verrichtete Beschleunigungsarbeit? + + :ref:`Lösung ` - :ref:`Lösung ` .. Alternative: Leistung, wenn :math:`t=\unit[15]{s}`? ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-02: +.. _alea09: -* (\**) Ein Fahrzeug mit einer Masse von :math:`m = \unit[750]{kg}` wird aus dem Stand - :math:`t = \unit[10]{s}` lang mit einer konstanten Beschleunigung :math:`a = - \unit[2,5]{m/s^2}` beschleunigt. Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit? +* (\**) Ein Fahrzeug mit einer Masse von :math:`m = \unit[750]{kg}` wird aus dem + Stand :math:`t = \unit[10]{s}` lang mit einer konstanten Beschleunigung + :math:`a = \unit[2,5]{m/s^2}` beschleunigt. Wie groß ist die dabei verrichtete + Arbeit? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-03: +.. _alea10: * (\*) Welche Menge an Arbeit ist nötig, um ein Fahrzeug mit einer Masse von :math:`m=\unit[1000]{kg}` von :math:`0` auf :math:`\unit[50]{\frac{km}{h}}` @@ -125,66 +126,68 @@ Arbeit `. :math:`\unit[50]{\frac{km}{h}}` auf :math:`\unit[100]{\frac{km}{h}}` zu beschleunigen? + :ref:`Lösung ` + ---- -.. _Aufgaben zum Wirkungsgrad: +.. _Aufgaben Wirkungsgrad: -Aufgaben zum Wirkungsgrad -------------------------- +Wirkungsgrad +------------ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Wirkungsgrad `. ---- -.. _Wirkungsgrad-01: +.. _alew01: * (\*) Wie groß ist der Wirkungsgrad eines "idealen", d.h. reibungsfreien und gewichtslosen, Flaschenzugs? Inwiefern gilt in diesem Fall die "Goldene Regel der Mechanik"? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wirkungsgrad-02: +.. _alew02: -* (\*) Das Zugseil eines Flaschenzugs wird einer Kraft von :math:`F = \unit[80]{N}` - um eine Strecke :math:`s = \unit[7]{m}` angezogen. Dadurch wird eine Last - mit einer Gewichtskraft von :math:`F _{\rm{G}} = \unit[250]{N}` um die - Höhe :math:`h = \unit[2]{m}` angehoben. Wie groß ist der Wirkungsgrad +* (\*) Das Zugseil eines Flaschenzugs wird einer Kraft von :math:`F = + \unit[80]{N}` um eine Strecke :math:`s = \unit[7]{m}` angezogen. Dadurch wird + eine Last mit einer Gewichtskraft von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[250]{N}` + um die Höhe :math:`h = \unit[2]{m}` angehoben. Wie groß ist der Wirkungsgrad :math:`\eta` des Flaschenzugs? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wirkungsgrad-03: +.. _alew03: -* (\*) Einem Kraftwandler mit einem Wirkungsgrad von :math:`33\%` wird eine Arbeit - von :math:`W _{\rm{auf}} = \unit[7200]{J}` zugeführt. Welche Menge an - Arbeit wird dabei von dem Kraftwandler abgegeben? +* (\*) Einem Kraftwandler mit einem Wirkungsgrad von :math:`33\%` wird eine + Arbeit von :math:`W_{\mathrm{in}} = \unit[7200]{J}` zugeführt. Welche Menge + an Arbeit wird dabei von dem Kraftwandler abgegeben? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wirkungsgrad-04: +.. _alew04: * (\*) Welche Menge an Arbeit muss in eine mechanische Vorrichtung mit einem - Wirkungsgrad von :math:`80\%` aufgewandt werden, wenn sie :math:`W - _{\rm{ab}} = \unit[5000]{J}` an Arbeit abgeben soll? + Wirkungsgrad von :math:`80\%` aufgewandt werden, wenn sie + :math:`W_{\mathrm{ab}} = \unit[5000]{J}` an Arbeit abgeben soll? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu mechanischer Leistung: +.. _Aufgaben Mechanische Leistung: -Aufgaben zu mechanischer Leistung +Mechanische Leistung --------------------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische @@ -192,58 +195,58 @@ Leistung `. ---- -.. _Leistung-01: +.. _alel01: * (\*) Wie groß ist die Leistung eines Sportlers mit einer Masse von :math:`m = \unit[70]{kg}`, wenn er zehn Klimmzüge mit einem Höhenunterschied von je - :math:`h = \unit[0,5]{m}` in einer Zeit von insgesamt :math:`t = - \unit[8]{s}` schafft? + :math:`h = \unit[0,5]{m}` in einer Zeit von insgesamt :math:`t = \unit[8]{s}` + schafft? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Leistung-02: +.. _alel02: * (\*) Welche Leistung liefert ein Motor, der eine Kiste mit einer Masse von :math:`\unit[200]{kg}` in :math:`t=\unit[6]{s}` auf eine Höhe von :math:`h=\unit[4]{m}` anheben kann? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Leistung-03: +.. _alel03: * (\*) Welche Masse kann durch eine Leistung von :math:`P = \unit[1]{PS} = \unit[735]{W}` in einer Sekunde um einen Meter angehoben werden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Leistung-04: +.. _alel04: * (\**) Ein Löschfahrzeug der Feuerwehr pumpt mit einer Leistung von :math:`\unit[5]{kW}` Wasser in :math:`h = \unit[15]{m}` Höhe. Wie viel Liter Wasser stehen den Feuerwehrleuten in einer Sekunde, wie viel in einer Minute zur Verfügung? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Leistung-05: +.. _alel05: * (\**) Zum Ziehen eines Schlittens sei eine horizontale Kraft von :math:`F = \unit[300]{N}` nötig. Wie groß ist die mechanische Leistung, wenn der Schlitten mit :math:`v = \unit[0,75]{m/s}` gezogen wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigungs-Leistung-01: +.. _alel06: * (\*) Ein Fahrzeug der Masse :math:`m = \unit[1200]{kg}` wird beim Einfahren auf eine Autobahn in :math:`\unit[t=8]{s}` konstant von @@ -251,76 +254,76 @@ Leistung `. beschleunigt. Wie groß muss die Beschleunigungs-Leistung des Motors dabei mindestens sein? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu mechanischer Energie: +.. _Aufgaben Mechanische Energie: -Aufgaben zu mechanischer Energie --------------------------------- +Mechanische Energie +------------------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische -Energie `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Energie +`. ---- -.. _Energie-01: +.. _alee01: * (\*) Wie viel Energie besitzt :math:`\unit[1]{m^3}` Wasser :math:`(m = \unit[1000]{kg})`, das aus einem Stausee :math:`h = \unit[120]{m}` tief hinab fließt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Energie-02: +.. _alee02: -* (\*) Ein PKW mit einer Masse von :math:`m _{\rm{PKW}} = \unit[1\,000]{kg}` und - ein LKW mit einer Masse von :math:`m _{\rm{LKW}} = \unit[8\,000]{kg}` fahren - jeweils :math:`v _{\rm{1}} = \unit[50]{km/h}`. Wie groß sind die - Bewegungsenergien der beiden Fahrzeuge? Wie groß ist die Bewegungsenergie - des PWKs, wenn seine Geschwindigkeit verdoppelt bzw. verdreifacht wird? +* (\*) Ein PKW mit einer Masse von :math:`m_{\mathrm{PKW}} = \unit[1\,000]{kg}` + und ein LKW mit einer Masse von :math:`m_{\mathrm{LKW}} = \unit[8\,000]{kg}` + fahren jeweils :math:`v_1 = \unit[50]{km/h}`. Wie groß sind die + Bewegungsenergien der beiden Fahrzeuge? Wie groß ist die Bewegungsenergie des + PWKs, wenn seine Geschwindigkeit verdoppelt bzw. verdreifacht wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Energie-03: +.. _alee03: * (\**) Angenommen, ein Fahrzeug würde mit :math:`v = \unit[72]{km/h}` gegen ein festes Hindernis prallen. Aus welcher Höhe müsste das Fahrzeug stürzen, um -- bei Vernachlässigung des Luftwiderstands -- eine vergleichbare Wirkung zu erfahren? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Energie-04: +.. _alee04: * (\**) Ein Badegast springt von einem 5-m-Turm ins Wasser. Wie groß ist seine Geschwindigkeit :math:`v` beim Eintauchen, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Energie-05: +.. _alee05: * (\*) Stimmt es, dass alle Lebensmittel gespeicherte Sonnen-Energie beinhalten? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- .. Wenn sich Label ändert, Verweis in Links-und-Quellen auch anpassen! -.. _Energie-06: +.. _alee06: * (\*) Welche Energieumwandlungen finden beim Trampolinspringen statt? @@ -333,19 +336,13 @@ Energie `. .. centered:: :download:`SVG: Energieerhaltung beim Trampolinspringen <../../pics/mechanik/arbeit-energie-leistung/energieerhaltung-trampolin.svg>` - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` +---- -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript ` - diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/energie.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/energie.rst index fdfb07e..8c1417e 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/energie.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/energie.rst @@ -7,8 +7,8 @@ .. index:: Energie, Joule .. _Mechanische Energie: -Die mechanische Energie -======================= +Mechanische Energie +=================== Zum Heben oder Beschleunigen eines beliebigen Körpers oder zum Verformen eines elastischen Körpers -- beispielsweise zum Spannen einer Feder -- muss stets @@ -70,14 +70,14 @@ werden kann. *Definition:* - Die potentielle Energie :math:`E _{\rm{pot}}` ist gleich dem Produkt aus der - Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = m \cdot g` eines Körpers mit Masse + Die potentielle Energie :math:`E_{\mathrm{pot}}` ist gleich dem Produkt aus + der Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` eines Körpers mit Masse :math:`m` sowie der Höhe :math:`h`, die dieser angehoben wird: .. math:: :label: eqn-potentielle-energie - E _{\rm{pot}} = F _{\rm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h + E_{\mathrm{pot}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h Hierbei steht :math:`g` für den :ref:`Ortsfaktor `. Auf der Erdoberfläche gilt :math:`g \approx \unit[9,81]{\frac{N}{kg}}`. @@ -104,16 +104,16 @@ eines Flummis, usw. *Definition:* - Die Spannenergie :math:`E _{\rm{Spann}}` eines verformten Körpers mit der + Die Spannenergie :math:`E_{\mathrm{Spann}}` eines verformten Körpers mit der Federkonstanten :math:`D` ist gleich dem Produkt aus der während der - Verformung durchschnittlich wirkenden Spannkraft :math:`\bar{F} _{\rm{S}} = - \frac{1}{2} \cdot F _{\rm{S}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s` und der + Verformung durchschnittlich wirkenden Spannkraft :math:`\bar{F} _{\mathrm{S}} = + \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s` und der Ausdehnung :math:`s` aus der Ruhelage: .. math:: :label: eqn-spannenergie - E _{\rm{Spann}} = \bar{F} _{\rm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot D + E_{\mathrm{Spann}} = \bar{F} _{\mathrm{S}} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 Die gespeicherte Spannenergie nimmt somit, solange es sich sich um einen @@ -128,20 +128,20 @@ elastischen Prozess handelt, quadratisch mit der Verformung des Körpers zu. Um einen Körper zu beschleunigen, d.h. ihn auf eine bestimmte Geschwindigkeit :math:`v` zu bringen, muss die :ref:`Beschleunigungsarbeit -` :math:`W _{\rm{B}}` verrichtet werden. Diese ist dann +` :math:`W_{\mathrm{B}}` verrichtet werden. Diese ist dann in Form von Bewegungsenergie (häufig auch "kinetische Energie" genannt) im Körper gespeichert. *Definition:* - Die kinetische Energie :math:`E _{\rm{Kin}}` ist gleich dem Produkt aus der + Die kinetische Energie :math:`E_{\mathrm{Kin}}` ist gleich dem Produkt aus der Masse :math:`m` eines Körpers und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit :math:`v`: .. math:: :label: eqn-bewegungsenergie - E _{\rm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + E_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 Die Bewegungsenergie eines Körpers nimmt somit quadratisch mit seiner Geschwindigkeit zu. @@ -154,20 +154,20 @@ Geschwindigkeit zu. .. rubric:: Die Rotationsenergie Um einen Körper auf eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` zu -bringen, muss die :ref:`Rotationsarbeit ` :math:`W -_{\rm{rot}}` verrichtet werden. Diese ist dann in Form von Rotationsenergie im -Körper gespeichert. +bringen, muss die :ref:`Rotationsarbeit ` +:math:`W_{\mathrm{rot}}` verrichtet werden. Diese ist dann in Form von +Rotationsenergie im Körper gespeichert. *Definition:* - Die Rotationsenergie :math:`E _{\rm{rot}}` ist gleich dem Produkt aus dem + Die Rotationsenergie :math:`E_{\mathrm{rot}}` ist gleich dem Produkt aus dem :ref:`Trägheitsmoment ` :math:`J` eines Körpers und dem Quadrat seiner Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega`: .. math:: :label: eqn-rotationsarbeit - E _{\rm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 + E_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 Die kinetische Gesamtenergie eines rollenden Körpers ist gleich der Summe seiner @@ -175,16 +175,17 @@ Bewegungsenergie und seiner Rotationsenergie: .. math:: - E _{\rm{kin,ges}} = E _{\rm{B}} + E _{\rm{Rot}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot - v^2 + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 + E_{\mathrm{kin,ges}} = E_{\mathrm{B}} + E_{\mathrm{Rot}} = \frac{1}{2} \cdot + m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 .. index:: single: Energie; Energie-Erhaltung .. _Energieerhaltungssatz: +.. _Energie-Erhaltungssatz: -Der Energieerhaltungssatz -------------------------- +Der Energie-Erhaltungssatz +-------------------------- Bei rein mechanischen Vorgängen bleibt die Summe der mechanischen Energien (Höhenenergie, Bewegungsenergie und Spannenergie) konstant. @@ -217,8 +218,8 @@ Reibungseffekte auf, die mechanische Energie in Wärme umwandeln. [#]_ Anheben eines Gegenstands auf ein anderes Energie-Niveau nötig ist. .. [#] Diese für den weiteren mechanischen Prozess "verloren gegangene" Energie - ist dann gleich der verrichteten Reibungsarbeit :math:`W _{\rm{R}} = F - _{\rm{R}} \cdot s`. + ist dann gleich der verrichteten Reibungsarbeit :math:`W_{\mathrm{R}} = + F_{\mathrm{R}} \cdot s`. .. raw:: html @@ -226,7 +227,7 @@ Reibungseffekte auf, die mechanische Energie in Wärme umwandeln. [#]_ .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/experimente.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/experimente.rst index 55ae148..6b0d00a 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/experimente.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/experimente.rst @@ -1,12 +1,12 @@ -.. _Experimente zu Arbeit, Leistung und Energie: +.. _Experimente Arbeit, Leistung und Energie: -Experimente zu Arbeit, Leistung und Energie -=========================================== +Arbeit, Leistung und Energie +============================ -.. _Experimente zu mechanischer Arbeit: +.. _Experimente Mechanische Arbeit: -Experimente zu mechanischer Arbeit ----------------------------------- +Mechanische Arbeit +------------------ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Arbeit `. @@ -43,10 +43,10 @@ Arbeit `. ---- -.. _Experimente zu mechanischer Leistung: +.. _Experimente Mechanische Leistung: -Experimente zu mechanischer Leistung ------------------------------------- +Mechanische Leistung +-------------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. @@ -66,18 +66,19 @@ Leistung `. * Ein langes Maßband oder ein Meterstab * Klemmbrett, Stift und Schreibblock -.. figure:: ../../pics/mechanik/arbeit-energie-leistung/leistung-im-treppenhaus.png - :name: fig-leistung-im-treppenhaus - :alt: fig-leistung-im-treppenhaus +.. image:: ../../pics/mechanik/arbeit-energie-leistung/leistung-im-treppenhaus.png :align: center :width: 70% - Tabelle zur Leistungsmessung im Treppenhaus. +.. only:: html + + .. centered:: :download:`SVG: Leistungsmessung im Treppenhaus + <../../pics/mechanik/arbeit-energie-leistung/leistung-im-treppenhaus.svg>` - .. only:: html +.. :name: fig-leistung-im-treppenhaus +.. :alt: fig-leistung-im-treppenhaus +.. Tabelle zur Leistungsmessung im Treppenhaus. - :download:`SVG: Leistungsmessung im Treppenhaus - <../../pics/mechanik/arbeit-energie-leistung/leistung-im-treppenhaus.svg>` *Durchführung:* @@ -87,21 +88,21 @@ Leistung `. Treppe aus, die für ein gefahrloses Hochrennen gut geeignet ist. - Messe mit Hilfe eines langen Maßbandes oder eines Meterstabes die Höhe :math:`h` der Treppe. -- Notiere dir die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = m \cdot g` aller Läufer. - (Gerundet: :math:`F _{\rm{G}} \approx \text{Masse in kg } \cdot \unit[10]{N}`) +- Notiere dir die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` aller Läufer. + (Gerundet: :math:`F_{\mathrm{G}} \approx \text{Masse in kg } \cdot \unit[10]{N}`) - Stoppe jeweils die Zeit :math:`t`, die deine Mitschüler für das Hochrennen der Treppe benötigen und trage die Werte in die Messtabelle ein. -- Berechne zunächst die verrichtete Arbeit :math:`W = F _{\rm{G}} \cdot h` und +- Berechne zunächst die verrichtete Arbeit :math:`W = F_{\mathrm{G}} \cdot h` und anschließend die erbrachte Leistung :math:`P = \frac{W}{t}`. Wer hat beim Hochrennen welche Leistung erbracht? ---- -.. _Experimente zu mechanischer Energie: +.. _Experimente Mechanische Energie: -Experimente zu mechanischer Energie ------------------------------------ +Mechanische Energie +------------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Energie `. @@ -159,14 +160,9 @@ Energie `. Nägel fallen. Wie wirkt sich die unterschiedliche Masse der Gewichte oder eine andere Fallhöhe auf die Eindringtiefe der Nägel aus? +---- -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/leistung.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/leistung.rst index c77f1b7..79a96f4 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/leistung.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/leistung.rst @@ -1,8 +1,9 @@ .. index:: Leistung, Watt .. _Leistung: +.. _Mechanische Leistung: -Die Leistung -============ +Mechanische Leistung +==================== Mechanische Arbeit kann unterschiedlich schnell verrichtet werden. Die mechanische Leistung (umgangssprachlich auch "Arbeitstempo" genannt) gibt an, @@ -21,7 +22,7 @@ wie schnell mechanische Arbeit verrichtet wird. *Einheit:* Die Leistung wird (zu Ehren des Ingenieurs `James Watt - `_) in Watt :math:`(\unit[]{W})` + `_) in Watt :math:`(\unit{W})` angegeben. Eine Leistung von einem Watt entspricht einer in einer Sekunde geleisteten Arbeit von einem Joule: @@ -32,27 +33,27 @@ wie schnell mechanische Arbeit verrichtet wird. *Beispiele:* * Zwei Kräne ziehen jeweils eine Palette mit Steinen, die einer Gewichtskraft - :math:`F _{\rm{G}} = \unit[4\,000]{N}` entspricht, auf ein :math:`\unit[5]{m}` hohes + :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[4\,000]{N}` entspricht, auf ein :math:`\unit[5]{m}` hohes Gerüst. Der eine Kran braucht für diese Arbeit eine Zeit von :math:`t - _{\rm{1}} = \unit[10]{s}`, der andere Kran benötigt hingegen :math:`t - _{\rm{2}} = \unit[20]{s}`. Damit können die Leistungen :math:`P _{\rm{1}}` und - :math:`P _{\rm{2}}` der beiden Kräne berechnet werden: + _1 = \unit[10]{s}`, der andere Kran benötigt hingegen :math:`t + _2 = \unit[20]{s}`. Damit können die Leistungen :math:`P_1` und + :math:`P_2` der beiden Kräne berechnet werden: .. math:: - P _{\rm{1}} = \frac{W _{\rm{Hub}}}{t _{\rm{1}} } = \frac{F _{\rm{G}} \cdot h}{t - _{\rm{1}} } = \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[10]{s}} - = \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[10]{s}} = \unit[2\,000]{W} \\[5pt] - P _{\rm{2}} = \frac{W _{\rm{Hub}}}{t _{\rm{2}} } = \frac{F _{\rm{G}} \cdot h}{t - _{\rm{2}} } = \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[20]{s}} - = \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[20]{s}} = \unit[1\,000]{W} + P_1 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_1} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_1} = + \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[10]{s}} = + \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[10]{s}} = \unit[2\,000]{W} \\[5pt] + P_2 = \frac{W_{\mathrm{Hub} }}{t_2} = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{t_2} = + \frac{\unit[4\,000]{N} \cdot \unit[5]{m}}{\unit[20]{s}} = + \frac{\unit[20\,000]{J}}{\unit[20]{s}} = \unit[1\,000]{W} Da der erste Kran die Arbeit in der halben Zeit verrichtet, ist seine Leistung (sein "Arbeitstempo") doppelt so hoch wie die des zweiten Kranes. * Die mechanische Leistung, die ein Mensch über einen langen Zeitraum aufrecht - erhalten kann, liegt bei :math:`75 \text{ bis } \unit[100]{W}`. Kurzzeitig - kann ein gut trainierter Mensch auch eine Leistung in der Größenordnung von + erhalten kann, liegt bei etwa :math:`\unit[100]{W}`. Kurzzeitig kann ein gut + trainierter Mensch auch eine Leistung in der Größenordnung von :math:`\unit[1\,000]{W}` erreichen. .. list-table:: Beispiele für Leistungen in Natur und Technik @@ -87,7 +88,7 @@ wie schnell mechanische Arbeit verrichtet wird. Große Leistungsmengen werden nach wie vor häufig in Pferdestärken -:math:`(\unit[]{PS})` anstelle in Kilowatt :math:`(\unit[]{kW})` angegeben. +:math:`(\unit{PS})` anstelle in Kilowatt :math:`(\unit{kW})` angegeben. .. math:: @@ -124,5 +125,5 @@ ziehen. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/loesungen.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/loesungen.rst index f464a0c..783d38e 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/loesungen.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/loesungen.rst @@ -1,36 +1,37 @@ -.. _Lösungen zu Arbeit, Leistung und Energie: +.. _Lösungen Arbeit, Leistung und Energie: -Lösungen zu Arbeit, Leistung und Energie -======================================== +Arbeit, Leistung und Energie +============================ -.. _Lösungen zu mechanischer Arbeit: -Lösungen zu mechanischer Arbeit -------------------------------- +.. _Lösungen Mechanische Arbeit: -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Arbeit ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Arbeit `. ---- -.. _Arbeit-01-Lösung: +.. _alea01l: * Beim Anheben einer Getränkekiste der Masse :math:`m = \unit[10]{kg}` um :math:`h = \unit[1]{m}` wird Hubarbeit verrichtet. Die Richtungen der - hebenden Kraft :math:`F = F _{\rm{G}}` und Wegstrecke :math:`s = h` stimmen - überein, für den Betrag der verrichteten Arbeit :math:`W _{\rm{Hub}}` gilt somit: + hebenden Kraft :math:`F = F_{\mathrm{G}}` und Wegstrecke :math:`s = h` stimmen + überein, für den Betrag der verrichteten Arbeit :math:`W_{\mathrm{Hub}}` gilt somit: .. math:: - W _{\rm{Hub}} &= F \cdot s = F _{\rm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h + W_{\mathrm{Hub}} &= F \cdot s = F_{\mathrm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \\[4pt] &= \unit[10]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[1]{m} = \unit[98,1]{N \cdot m} = \unit[98,1]{J} Wird die Kiste :math:`\unit[1]{m}` über dem Boden *gehalten*, so muss zwar - die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` der Kiste ausgeglichen werden, doch + die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` der Kiste ausgeglichen werden, doch keine Arbeit verrichtet werden; die nötige Kraft wirkt dann nicht *entlang* einer Wegstrecke -- die Gewichtskraft der Kiste könnte beispielsweise auch von einem Tisch "gehalten" werden, ohne dass dieser Arbeit verrichtet bzw. @@ -42,41 +43,41 @@ Arbeit>`. Kraft entlang des Weges :math:`s` wirkt, wird beim Tragen der Kiste auf gleicher Höhe auch keine Arbeit verrichtet. [#]_ - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Arbeit-02-Lösung: +.. _alea02l: -* Beim Verschieben des Körpers wirkt die Zugkraft :math:`(F _{\rm{Zug}} = +* Beim Verschieben des Körpers wirkt die Zugkraft :math:`(F_{\mathrm{Zug}} = \unit[25]{N})` entlang der zurückgelegten Wegstrecke :math:`(s = \unit[5]{m})`. Für die verrichtete Arbeit :math:`W` gilt damit: .. math:: - W = F _{\rm{Zug}} \cdot s = \unit[25]{N} \cdot \unit[5]{m} = + W = F_{\mathrm{Zug}} \cdot s = \unit[25]{N} \cdot \unit[5]{m} = \unit[125]{J} Die Zugkraft verrichtet somit eine Arbeit von :math:`\unit[125]{J}`. Die - Schwerkraft :math:`F _{\rm{G}} = \unit[100]{N}` hingegen verrichtet keine + Schwerkraft :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[100]{N}` hingegen verrichtet keine Arbeit, da sie senkrecht zur Wegstrecke :math:`s` wirkt. [#]_ - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hubarbeit-01-Lösung: +.. _alea03l: * Um eine :math:`m = \unit[100]{kg}` schwere Masse anzuheben, muss eine Kraft von - :math:`F = F _{\rm{G}} = m \cdot g` aufgebracht werden, wobei :math:`g= + :math:`F = F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` aufgebracht werden, wobei :math:`g= \unit[9,81 ]{N/kg}` den Ortsfaktor bezeichnet. Wird die Masse um :math:`h=\unit[1]{m}` angehoben, so ergibt sich mit der Formel der Hubarbeit: .. math:: - W _{\rm{Hub}} &= F _{\rm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \\[4pt] + W_{\mathrm{Hub}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot h = m \cdot g \cdot h \\[4pt] &= \unit[100]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[1]{m} = \unit[981]{N \cdot m} = \unit[981]{J} @@ -84,7 +85,7 @@ Arbeit>`. :math:`\unit[1]{kJ}`, nötig, um eine Masse von :math:`\unit[100]{kg}` einen Meter weit anzuheben. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` .. Vergleiche die nötige Energiemenge mit der eines kleinen Glases Apfelsaft @@ -92,42 +93,42 @@ Arbeit>`. ---- -.. _Hubarbeit-02-Lösung: +.. _alea04l: * Um die Hubarbeit zu berechnen, die der Wanderer für seine eigene Masse - :math:`(m _{\rm{1}} = \unit[70]{kg})` und die Masse seines Rucksacks - :math:`(m _{\rm{2}} = \unit[7]{kg})` beim Anstieg zum + :math:`(m_1 = \unit[70]{kg})` und die Masse seines Rucksacks + :math:`(m_2 = \unit[7]{kg})` beim Anstieg zum :math:`h=\unit[200]{m}` höheren Gipfel aufzubringen hat, müssen die gegebenen Werte nur in die Formel der Hubarbeit eingesetzt werden: .. math:: - W _{\rm{1}} &= m _{\rm{1}} \cdot g \cdot h = \unit[70]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } + W_1 &= m_1 \cdot g \cdot h = \unit[70]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[200]{m} = \unit[137340]{N \cdot m} = \unit[137,34]{kJ} \\[4pt] - W _{\rm{2}} &= m _{\rm{2}} \cdot g \cdot h = \unit[7]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } + W_2 &= m_2 \cdot g \cdot h = \unit[7]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } \cdot \unit[200]{m} = \unit[13734]{N \cdot m} = \unit[13,734]{kJ} Insgesamt muss der Wanderer auf seinem Weg zum Gipfel somit eine Hubarbeit - von :math:`W _{\rm{Hub}} = W _{\rm{1}} + W _{\rm{2}} \approx \unit[151]{kJ}` + von :math:`W_{\mathrm{Hub}} = W_1 + W_2 \approx \unit[151]{kJ}` verrichten. [#]_ - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hubarbeit-03-Lösung: +.. _alea05l: * Ein Ziegelstein bildet das Fundament, die restlichen neun müssen je um ein entsprechendes Vielfaches der Ziegelsteinhöhe angehoben werden -- der erste - um :math:`h _{\rm{1}}= \unit[7]{cm} = \unit[0,07]{m}`, der zweite um - :math:`h _{\rm{2}} = \unit[14]{cm} = \unit[0,14]{m}` usw. Die Gesamtarbeit + um :math:`h_1= \unit[7]{cm} = \unit[0,07]{m}`, der zweite um + :math:`h_2 = \unit[14]{cm} = \unit[0,14]{m}` usw. Die Gesamtarbeit entspricht der Summe aller einzelnen Hubarbeiten: .. math:: - W _{\rm{Hub, gesamt}} &= F _{\rm{G}} \cdot h _{\rm{1}} + F _{\rm{G}} - \cdot h _{\rm{2}} + \ldots + F _{\rm{G}} \cdot h _{\rm{9}} \\ - & = F _{\rm{G}} \cdot (h _{\rm{1}} + h _{\rm{2}} + \ldots + h _{\rm{9}}) + W_{\mathrm{Hub, gesamt}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot h_1 + F_{\mathrm{G}} + \cdot h_2 + \ldots + F_{\mathrm{G}} \cdot h_{\mathrm{9}} \\ + & = F_{\mathrm{G}} \cdot (h_1 + h_2 + \ldots + h_{\mathrm{9}}) \\ & = \unit[35]{N} \cdot (\unit[0,07]{m} + \unit[0,14]{m} + \ldots + \unit[0,63]{m}) \\ @@ -135,11 +136,11 @@ Arbeit>`. Die insgesamt zu verrichtende Arbeit beträgt somit :math:`\unit[110,25]{J}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Reibungsarbeit-01-Lösung: +.. _alea06l: * Die verrichtete (Reibungs-)Arbeit lässt sich durch Einsetzen der gegebenen Werte :math:`F = \unit[15]{N}` und :math:`s = \unit[5]{m}` in die allgemeine @@ -152,59 +153,59 @@ Arbeit>`. Es wird somit eine Arbeit von :math:`\unit[75]{J}` verrichtet. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Reibungsarbeit-02-Lösung: +.. _alea07l: -* Die Gesamtmasse der Jugendlichen :math:`(m _{\rm{1}} = \unit[55]{kg} ,\, m2 - = \unit[40]{kg})` und des Schlittens :math:`(m _{\rm{S}} = \unit[5]{kg})` +* Die Gesamtmasse der Jugendlichen :math:`(m_1 = \unit[55]{kg} ,\, m2 + = \unit[40]{kg})` und des Schlittens :math:`(m_{\mathrm{S}} = \unit[5]{kg})` ist gleich der Summe der einzelnen Massen: .. math:: - m = m _{\rm{1}} + m _{\rm{2}} + m _{\rm{S}} = \unit[55]{kg} + + m = m_1 + m_2 + m_{\mathrm{S}} = \unit[55]{kg} + \unit[40]{kg} + \unit[5]{kg} = \unit[100]{kg} - Mit der (Gleit-)Reibungszahl :math:`\mu _{\rm{G}} = 0,04` von Eisen auf Schnee - ergibt sich damit für die Reibungskraft :math:`F _{\rm{R}} = \mu _{\rm{G}} + Mit der (Gleit-)Reibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{G}} = 0,04` von Eisen auf Schnee + ergibt sich damit für die Reibungskraft :math:`F_{\mathrm{R}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot m \cdot g`: .. math:: - F _{\rm{R}} = \mu _{\rm{G}} \cdot m \cdot g = 0,04 \cdot \unit[100]{kg} + F_{\mathrm{R}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot m \cdot g = 0,04 \cdot \unit[100]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } = \unit[39,24]{N} - Diese Reibungskraft wird durch die Zugkraft :math:`F _{\rm{Zug}}` des + Diese Reibungskraft wird durch die Zugkraft :math:`F_{\mathrm{Zug}}` des Pferdes ausgeglichen. Da die Kraft entlang der Strecke von :math:`s = - \unit[200]{m}` konstant ist, kann die Zugarbeit :math:`W = W _{\rm{R}}` des + \unit[200]{m}` konstant ist, kann die Zugarbeit :math:`W = W_{\mathrm{R}}` des Pferdes ausgerechnet werden: .. math:: - W = W _{\rm{R}} = F _{\rm{R}} \cdot s = \unit[39,24]{N} \cdot + W = W_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{R}} \cdot s = \unit[39,24]{N} \cdot \unit[250]{m} = \unit[7848]{N \cdot m} = \unit[7848]{J} \approx \unit[7,5]{kJ} Das Pferd verrichtet beim Ziehen des Schlittens über das Feld somit eine Arbeit von rund :math:`\unit[7,5]{kJ}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-01-Lösung: +.. _alea08l: * Für die zur Beschleunigung eines Körpers aus der Ruhelage :math:`(v - _{\rm{1}} = 0)` verrichtete Arbeit gilt: + _1 = 0)` verrichtete Arbeit gilt: .. math:: W = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 Setzt man die gegebenen Werte :math:`m = \unit[1000]{kg}` und :math:`v = v - _{\rm{2}} = \unit[30]{m/s}` in die obige Gleichung ein, so ergibt sich: [#V1]_ + _2 = \unit[30]{m/s}` in die obige Gleichung ein, so ergibt sich: [#V1]_ .. math:: @@ -216,11 +217,11 @@ Arbeit>`. Zur Beschleunigung des Fahrzeugs sind somit :math:`\unit[445\,000]{J}= \unit[445]{kJ}` nötig. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-02-Lösung: +.. _alea09l: * Um die Beschleunigungsarbeit zu berechnen, muss die Differenz zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit :math:`\Delta v` bekannt sein. Diese lässt @@ -245,11 +246,11 @@ Arbeit>`. Die verrichtete Arbeit beträgt somit rund :math:`\unit[234]{kJ}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigungsarbeit-03-Lösung: +.. _alea10l: * Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf :math:`v_1=\unit[50]{\frac{km}{h}} \approx \unit[13,9]{\frac{m}{s}}` nötige Arbeit beträgt mit :math:`m = @@ -257,7 +258,7 @@ Arbeit>`. .. math:: - W _{\mathrm{B,1}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot + W_{\mathrm{B,1}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot (\unit[13,9]{\frac{m}{s}})^2 \approx \unit[96\,451]{J} Zum Beschleunigen des Fahrzeugs auf :math:`v_2=\unit[100]{\frac{km}{h}} @@ -265,18 +266,18 @@ Arbeit>`. .. math:: - W _{\mathrm{B,2}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot + W_{\mathrm{B,2}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \unit[1000]{kg} \cdot (\unit[27,8]{\frac{m}{s}})^2 \approx \unit[385\,802]{J} Die zum Beschleunigen des Fahrzeugs von :math:`v_1=\unit[50]{\frac{km}{h}}` - auf :math:`v_2 = \unit[100]{\frac{km}{h}}` nötige Arbeitsmenge :math:`W - _{\mathrm{B,3}}` muss der Differenz :math:`W_2 - W_1` der Arbeitsmengen - entsprechen, die zum Beschleunigen aus der Ruhelage auf :math:`50` - beziehungsweise :math:`\unit[100]{\frac{km}{h}}` nötig sind: + auf :math:`v_2 = \unit[100]{\frac{km}{h}}` nötige Arbeitsmenge + :math:`W_{\mathrm{B,3}}` muss der Differenz :math:`W_2 - W_1` der + Arbeitsmengen entsprechen, die zum Beschleunigen aus der Ruhelage auf + :math:`50` beziehungsweise :math:`\unit[100]{\frac{km}{h}}` nötig sind: .. math:: - W _{\mathrm{B,3}} = W_{\mathrm{B,2}} - W_{\mathrm{B,1}} = + W_{\mathrm{B,3}} = W_{\mathrm{B,2}} - W_{\mathrm{B,1}} = \unit[385,802]{J} - \unit[96\,451]{J} \approx \unit[289\,351]{J} Es sind somit rund :math:`\unit[289]{kJ}` zum Beschleunigen von :math:`50` auf @@ -288,154 +289,156 @@ Arbeit>`. v)^2` zu rechnen, da :math:`(\Delta v)^2 = (v_2-v_1)^2 \ne v_2^2-v_1^2` ist! - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zum Wirkungsgrad: +.. _Lösungen Wirkungsgrad: -Lösungen zum Wirkungsgrad -------------------------- +Wirkungsgrad +------------ -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Wirkungsgrad `. ---- -.. _Wirkungsgrad-01-Lösung: +.. _alew01l: * Nach der :ref:`Goldenen Regel der Mechanik ` bleibt auch bei der Benutzung eines Flaschenzugs die zu verrichtende Arbeit :math:`W = F \cdot s` unverändert -- zwar ist bei Benutzung eines Flaschenzugs weniger Kraft nötig, dafür muss diese entlang einer entsprechend längeren Wegstrecke aufgebracht werden. Die zugeführte Arbeit - :math:`W _{\rm{1}}` und die abgegebene Arbeit :math:`W _{\rm{2}}` sind somit + :math:`W_1` und die abgegebene Arbeit :math:`W_2` sind somit gleich groß: .. math:: - W _{\rm{1}} = F _{\rm{1}} \cdot s _{\rm{1}} = F _{\rm{2}} \cdot s - _{\rm{2}} = W _{\rm{2}} + W_1 = F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s + _2 = W_2 Damit gilt für den Wirkungsgrad :math:`\eta`: .. math:: - \eta = \frac{W _{\rm{ab}}}{W _{\rm{auf}}} = \frac{W _{\rm{1}} - }{W _{\rm{2}} } = 1 = 100\% + \eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}} } = \frac{W_1}{W_2} = 1 = + 100\% Der Wirkungsgrad eines idealen Flaschenzugs beträgt somit :math:`100\%`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wirkungsgrad-02-Lösung: +.. _alew02l: -* Die Menge an Hubarbeit :math:`W _{\rm{Hub}}`, die im Idealfall zum Heben der - Last (Gewichtskraft: :math:`F _{\rm{G}} = \unit[250]{N}`, Zughöhe: :math:`h +* Die Menge an Hubarbeit :math:`W_{\mathrm{Hub}}`, die im Idealfall zum Heben der + Last (Gewichtskraft: :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[250]{N}`, Zughöhe: :math:`h = \unit[2]{m}`) nötig ist, lässt sich nach folgender Formel berechnen: .. math:: - W _{\rm{Hub}} = F _{\rm{G}} \cdot h = \unit[250]{N} \cdot \unit[2]{m} = + W_{\mathrm{Hub}} = F_{\mathrm{G}} \cdot h = \unit[250]{N} \cdot \unit[2]{m} = \unit[500]{N \cdot m} = \unit[500]{J} - Diese Menge an Arbeit muss mit der Menge an Arbeit :math:`W _{\rm{ab}}` - übereinstimmen, die vom Flaschenzug abgegeben wird. Es gilt somit :math:`W - _{\rm{ab}} = W _{\rm{Hub}}`. + Diese Menge an Arbeit muss mit der Menge an Arbeit :math:`W_{\mathrm{out}}` + übereinstimmen, die vom Flaschenzug abgegeben wird. Es gilt somit + :math:`W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{Hub}}`. Nach der Angabe reduziert sich durch die Verwendung des Flaschenzugs die aufzubringende Kraft auf :math:`\unit[80]{N}`, die Zugstrecke beträgt dabei :math:`s = \unit[7]{m}`. Somit wird folgende Arbeit am Flaschenzug - aufgewendet: + verrichtet: .. math:: - W _{\rm{auf}} = F \cdot s = \unit[80]{N} \cdot \unit[7]{m} = \unit[560]{N} + W_{\mathrm{in}} = F \cdot s = \unit[80]{N} \cdot \unit[7]{m} = \unit[560]{N} - Die vom Flaschenzug abgegebene Arbeit :math:`W _{\rm{ab}}` ist somit kleiner - als die aufgewandte Arbeit :math:`W _{\rm{auf}}`. Der Wirkungsgrad des + Die vom Flaschenzug abgegebene Arbeit :math:`W_{\mathrm{out}}` ist somit kleiner + als die investierte Arbeit :math:`W_{\mathrm{in}}`. Der Wirkungsgrad des Flaschenzugs, der dem Verhältnis beider Größen entspricht, ist somit kleiner als eins: .. math:: - \eta = \frac{W _{\rm{ab}}}{W _{\rm{auf}}} = + \eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} = \frac{\unit[500]{N}}{\unit[560]{N}} \approx 0,893 Der Wirkungsgrad :math:`\eta` des Flaschenzugs beträgt also rund :math:`89,3\%`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wirkungsgrad-03-Lösung: +.. _alew03l: -* Um die Menge an abgegebener Arbeit :math:`W _{\rm{auf}}` aus den - gegebenen Größen :math:`W _{\rm{auf}} = \unit[7200]{J}` und :math:`\eta = +* Um die Menge an abgegebener Arbeit :math:`W_{\mathrm{out}}` aus den + gegebenen Größen :math:`W_{\mathrm{in}} = \unit[7200]{J}` und :math:`\eta = 33\% = 0,33` zu berechnen, muss man die Formel für den Wirkungsgrad entsprechend umstellen: .. math:: - \eta = \frac{W _{\rm{ab}}}{W _{\rm{auf}}} \quad \Longleftrightarrow - \quad W _{\rm{ab}} = W _{\rm{auf}} \cdot \eta + \eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} \quad \Longleftrightarrow + \quad W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{in}} \cdot \eta .. math:: - W _{\rm{ab}} = W _{\rm{auf}} \cdot \eta = \unit[7200]{J} \cdot 0,33 = + W_{\mathrm{out}} = W_{\mathrm{in}} \cdot \eta = \unit[7200]{J} \cdot 0,33 = \unit[2376]{J} Der Kraftwandler gibt somit :math:`\unit[2376]{W}` an Arbeit ab. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wirkungsgrad-04-Lösung: +.. _alew04l: -* Um die Menge an aufzuwendender Arbeit :math:`W _{\rm{auf}}` aus den - gegebenen Größen :math:`W _{\rm{ab}} = \unit[5000]{J}` und :math:`\eta = +* Um die Menge an aufzuwendender Arbeit :math:`W_{\mathrm{in}}` aus den + gegebenen Größen :math:`W_{\mathrm{out}} = \unit[5000]{J}` und :math:`\eta = 80\% = 0,8` zu berechnen, muss die Formel für den Wirkungsgrad umgestellt werden: .. math:: - \eta = \frac{W _{\rm{ab}}}{W _{\rm{auf}}} \quad \Longleftrightarrow - \quad W _{\rm{auf}} = \frac{W _{\rm{ab}}}{\eta } + \eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} \quad \Longleftrightarrow + \quad W_{\mathrm{in}} = \frac{W_{\mathrm{out}}}{\eta } .. math:: - W _{\rm{auf}} = \frac{W _{\rm{ab}}}{\eta } = + W_{\mathrm{in}} = \frac{W_{\mathrm{out}}}{\eta } = \frac{\unit[5000]{J}}{0,8} = \unit[6250]{J } Es müssen somit :math:`\unit[6250]{J}` an Arbeit an der Vorrichtung verrichtet werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + +---- -.. _Lösungen zu mechanischer Leistung: +.. _Lösungen Mechanische Leistung: -Lösungen zu mechanischer Leistung ---------------------------------- +Mechanische Leistung +-------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. ---- -.. _Leistung-01-Lösung: +.. _alel01l: -* Die gesamte Arbeit :math:`W _{\rm{ges}}`, die der Sportler verrichtet, lässt - sich als das Zehnfache der Hubarbeit :math:`W _{\rm{Hub}} = m \cdot g \cdot +* Die gesamte Arbeit :math:`W_{\mathrm{ges}}`, die der Sportler verrichtet, lässt + sich als das Zehnfache der Hubarbeit :math:`W_{\mathrm{Hub}} = m \cdot g \cdot h` während eines Klimmzugs berechnen: [#Nm]_ .. math:: - W _{\rm{ges}} &= 10 \cdot m \cdot g \cdot h \\ + W_{\mathrm{ges}} &= 10 \cdot m \cdot g \cdot h \\ &= 10 \cdot \unit[70]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[0,5]{m} \\ &= \unit[3433,5]{N \cdot m} = \unit[3433,5]{J} @@ -444,20 +447,20 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. .. math:: - P = \frac{W _{\rm{ges}}}{t} + P = \frac{W_{\mathrm{ges}}}{t} = \frac{\unit[3433,5]{J}}{\unit[8]{s}} \approx \unit[429,2]{W} Die Leistung des Sportlers beträgt somit rund :math:`429` Watt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Leistung-02-Lösung: +.. _alel02l: * Die Leistung des Motors kann berechnet werden, indem man die bekannten Größen - :math:`(m _{\rm{Last}} = \unit[200]{kg} ,\, h = \unit[4]{m} ,\, t = + :math:`(m_{\mathrm{Last}} = \unit[200]{kg} ,\, h = \unit[4]{m} ,\, t = \unit[6]{s})` in die Definition der Leistung einsetzt: .. math:: @@ -468,16 +471,16 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. Die Leistung des Motors beträgt somit rund :math:`\unit[1,3]{kW}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Leistung-03-Lösung: +.. _alel03l: * Um die Masse :math:`m` zu bestimmen, die durch die Leistung :math:`P = \unit[1]{PS} = \unit[735]{W}` in :math:`t = \unit[1]{s}` um :math:`h = \unit[1]{m}` angehoben werden kann, setzt man die Hubarbeit :math:`W - _{\rm{H}} = m \cdot g \cdot h` in die Definition der Leistung ein und löst + _{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h` in die Definition der Leistung ein und löst die Gleichung nach :math:`m` auf: .. math:: @@ -497,15 +500,15 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. Masse von knapp :math:`\unit[75]{kg}` in einer Sekunde um einen Meter angehoben werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Leistung-04-Lösung: +.. _alel04l: * Ein Liter Wasser hat eine Masse von einem Kilogramm. Somit kann man die Wassermenge -- wie bei der vorherigen Aufgabe -- bestimmen, indem man die - Hubarbeit :math:`W _{\rm{H}} = m \cdot g \cdot h` in die Definition der + Hubarbeit :math:`W_{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h` in die Definition der Leistung einsetzt und die Gleichung nach :math:`m` auflöst: .. math:: @@ -528,12 +531,12 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. gepumpte Wassermenge entsprend :math:`60 \cdot \unit[34]{l} \approx \unit[2039]{l}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Leistung-05-Lösung: +.. _alel05l: * Für die mechanische Leistung :math:`P` gilt allgemein: @@ -552,12 +555,12 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. Die mechanische Leistung beträgt somit :math:`\unit[225]{W}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigungs-Leistung-01-Lösung: +.. _alel06l: * Die verrichtete Beschleunigungsarbeit beträgt mit :math:`m = \unit[1200]{kg}` und :math:`v_2 = \unit[25]{m/s}` und :math:`v_1 = \unit[15]{\frac{m}{s}}`: @@ -583,32 +586,33 @@ mechanischer Leistung>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Leistung `. im Getriebe) zur Beschleunigung mindestens :math:`\unit[30\,000]{W} = \unit[30]{kW}` aufbringen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu mechanischer Energie: +.. _Lösungen Mechanische Energie: -Lösungen zu mechanischer Energie --------------------------------- +Mechanische Energie +------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie `. ---- -.. _Energie-01-Lösung: +.. _alee01l: * Kann die Reibung vernachlässigt werden, so wird beim Herabfließen des Wassers - dessen gesamte Höhenenergie :math:`(E _{\rm{pot}} = m \cdot g \cdot h)` wieder + dessen gesamte Höhenenergie :math:`(E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h)` wieder abgegeben. Bezogen auf :math:`\unit[1]{m^3} \equiv \unit[1000]{kg}` Wasser und eine Fallhöhe von :math:`h = \unit[110]{m}` ergibt sich: .. math:: - E _{\rm{pot}} &= m \cdot g \cdot h + E_{\mathrm{pot}} &= m \cdot g \cdot h = \unit[1000]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2} } \cdot \unit[110]{m} = \unit[1\,079\,100]{N \cdot m } = \unit[1\,079\,100]{J} = @@ -618,38 +622,38 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Energie-02-Lösung: +.. _alee02l: -* Die Formel für die Bewegungsenergie lautet :math:`E _{\rm{kin}} = \frac{1}{2} +* Die Formel für die Bewegungsenergie lautet :math:`E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2`. Setzt man in diese Gleichung die Massen :math:`m - _{\rm{PKW}} = \unit[1\,000]{kg}` und :math:`m _{\rm{LKW}} = \unit[8\,000]{kg}` + _{\mathrm{PKW}} = \unit[1\,000]{kg}` und :math:`m_{\mathrm{LKW}} = \unit[8\,000]{kg}` der beiden Fahrzeuge sowie ihre Geschwindigkeit :math:`v_1 = \unit[50]{\frac{km}{h} } \approx \unit[13,89]{\frac{m}{s} }` ein, so erhält man: .. math:: - E _{\rm{kin, PKW,1}} = \frac{1}{2} \cdot m _{\rm{PKW}} \cdot v _{\rm{1}}^2 &= + E_{\mathrm{kin, PKW,1}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{PKW}} \cdot v_1^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1\,000]{kg} \cdot \left( \unit[13,89]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[96\,466]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[96\,466]{J} \approx \unit[96,5]{kJ} \\ - E _{\rm{kin, LKW}} = \frac{1}{2} \cdot m _{\rm{LKW}} \cdot v _{\rm{1}}^2 &= + E_{\mathrm{kin, LKW}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{LKW}} \cdot v_1^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[8\,000]{kg} \cdot \left( \unit[13,89]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[771\,728,4]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[771\,728,4]{J} \approx \unit[771,7]{kJ} \\ Durch seine achtfache Masse besitzt der LKW bei gleicher Geschwindigkeit gegenüber dem PKW auch eine achtfache Energie. Wird der PKW auf :math:`v - _{\rm{2}} = \unit[100]{\frac{km}{h} } \approx \unit[27,78]{\frac{m}{s} }` + _2 = \unit[100]{\frac{km}{h} } \approx \unit[27,78]{\frac{m}{s} }` beschleunigt, so beträgt seine Energie: .. math:: - E _{\rm{kin, PKW,2}} = \frac{1}{2} \cdot m _{\rm{PKW}} \cdot v _{\rm{2}}^2 &= + E_{\mathrm{kin, PKW,2}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{PKW}} \cdot v_2^2 &= \frac{1}{2} \cdot \unit[1\,000]{kg} \cdot \left( \unit[27,78]{\frac{m}{s} } \right) ^2 \\ &= \unit[385\,864,2]{kg \cdot \frac{m^2}{s^2} } = \unit[385\,864,2]{J} \approx \unit[385,9]{kJ} @@ -662,7 +666,7 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Energie-03-Lösung: +.. _alee03l: * Um die Höhe zu bestimmen, deren Energie einer Bewegung mit :math:`\unit[72]{\frac{km}{h} } = \unit[20]{\frac{m}{s} }` entspricht, setzt - man die Formeln für die Höhenenergie :math:`E _{\rm{pot}}` und die - Bewegungsenergie :math:`E _{\rm{kin}}` gleich: + man die Formeln für die Höhenenergie :math:`E_{\mathrm{pot}}` und die + Bewegungsenergie :math:`E_{\mathrm{kin}}` gleich: .. math:: - E _{\rm{pot}} &= E _{\rm{kin}} \\ + E_{\mathrm{pot}} &= E_{\mathrm{kin}} \\ m \cdot g \cdot h &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 Beide Größen sind direkt proportional zur Geschwindigkeit. In der obigen @@ -702,15 +706,15 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Energie-04-Lösung: +.. _alee04l: * Um die Geschwindigkeit des Badegasts beim Eintauchen zu ermitteln, kann die - Höhenenergie :math:`E _{\rm{H}} = m \cdot g \cdot h` auf dem Sprungbrett - :math:`(h=\unit[5]{m})` mit der kinetischen Energie :math:`E _{\rm{B}} = + Höhenenergie :math:`E_{\mathrm{H}} = m \cdot g \cdot h` auf dem Sprungbrett + :math:`(h=\unit[5]{m})` mit der kinetischen Energie :math:`E_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2` unmittelbar vor dem Eintauchen gleichgesetzt werden: @@ -733,12 +737,12 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Energie-05-Lösung: +.. _alee05l: * Ja, alle Nahrungsmittel enthalten indirekt Sonnenlicht. Pflanzen wandeln diese mittels der Photosynthese zunächst in Zucker, anschließend (auch) in @@ -758,16 +762,16 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Energie-06-Lösung: +.. _alee06l: * In der Ausgangsposition besitzt der Körper des Trampolinspringers weder - Bewegungsenergie :math:`(E _{\rm{kin}} = 0)` noch Höhenenergie :math:`(E - _{\rm{pot}} = 0)`; dafür ist das elastische Trampolintuch maximal gespannt. - Diese Spannenergie :math:`E _{\rm{spann}}` bewirkt dann eine Beschleunigung + Bewegungsenergie :math:`(E_{\mathrm{kin}} = 0)` noch Höhenenergie :math:`(E + _{\mathrm{pot}} = 0)`; dafür ist das elastische Trampolintuch maximal gespannt. + Diese Spannenergie :math:`E_{\mathrm{spann}}` bewirkt dann eine Beschleunigung bzw. ein Anheben des Körpers. .. image:: @@ -787,12 +791,11 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` +---- -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html @@ -806,22 +809,23 @@ mechanischer Energie>` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Energie - .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript ` diff --git a/mechanik/arbeit-leistung-energie/wirkungsgrad.rst b/mechanik/arbeit-leistung-energie/wirkungsgrad.rst index dad060b..c2cf768 100644 --- a/mechanik/arbeit-leistung-energie/wirkungsgrad.rst +++ b/mechanik/arbeit-leistung-energie/wirkungsgrad.rst @@ -22,14 +22,14 @@ somit folgendermaßen formuliert werden: *Definition:* - Das Verhältnis aus der abgegebenen Arbeit :math:`W _{\rm{out}}` und der - aufgenommenen Arbeit :math:`W _{\rm{in}}` wird Wirkungsgrad :math:`\eta` + Das Verhältnis aus der abgegebenen Arbeit :math:`W_{\mathrm{out}}` und der + aufgenommenen Arbeit :math:`W_{\mathrm{in}}` wird Wirkungsgrad :math:`\eta` einer mechanischen Einrichtung genannt: .. math:: :label: eqn-wirkungsgrad - \eta = \frac{W _{\rm{out}}}{W _{\rm{in}}} + \eta = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}} *Einheit:* @@ -46,12 +46,13 @@ der nur geringfügig kleiner als :math:`1` ist, bedeutet, dass der größte Teil der aufgenommenen Arbeit als abgegebene mechanische Arbeit wirksam ist. Besteht eine mechanische Einrichtung aus mehreren Komponenten, die jeweils die -Wirkungsgrade :math:`\eta_1,\, \eta_2,\, \ldots` haben, so ergibt sich fuer den -Gesamt-Wirkungsgrad :math:`\eta _{\rm{Ges}}` der Anlage: +Wirkungsgrade :math:`\eta_1,\, \eta_2,\, \ldots` haben, so ergibt sich für den +Gesamt-Wirkungsgrad :math:`\eta_{\mathrm{Ges}}` der Anlage: .. math:: - \eta _{\rm{Ges}} = \frac{W _{\rm{out}}}{W _{\rm{in}}}= \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \ldots + \eta_{\mathrm{Ges}} = \frac{W_{\mathrm{out}}}{W_{\mathrm{in}}}= \eta_1 \cdot + \eta_2 \cdot \ldots Der Gesamt-Wirkungsgrad einer mechanischen Einrichtung ist wegen :math:`\eta \le 1` somit kleiner als der Wirkungsgrad der am wenigsten effizienten Komponente. @@ -63,6 +64,5 @@ Der Gesamt-Wirkungsgrad einer mechanischen Einrichtung ist wegen :math:`\eta \le .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-aufgaben.rst b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-aufgaben.rst index 1f2f51e..4fbba43 100644 --- a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-aufgaben.rst +++ b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-aufgaben.rst @@ -1,7 +1,7 @@ -.. _Aufgaben zu Drehmoment und Gleichgewicht: +.. _Aufgaben Drehmoment und Gleichgewicht: -Aufgaben zu Drehmoment und Gleichgewicht -======================================== +Drehmoment und Gleichgewicht +============================ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht `. @@ -18,16 +18,16 @@ Gleichgewicht `. ---- -.. _ggw03: +.. _ggw02: * Wie muss ein Stehaufmännchen aufgebaut sein, damit es sich von selbst wieder aufrichtet, wenn es "umgeschubst" wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _ggw02: +.. _ggw03: .. Idee nach Brenneke1972 S.44 @@ -37,10 +37,8 @@ Gleichgewicht `. :math:`F_2`, welche die beiden Träger aufwenden müssen, wenn sich die Last :math:`s_1 = \unit[1]{m}` weit vom hinteren Träger entfernt befindet? - .. figure:: + .. image:: ../pics/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht/gewichtsverteilung-aufgabe.png - :name: fig-gewichtsverteilung-aufgabe - :alt: fig-gewichtsverteilung-aufgabe :align: center :width: 70% @@ -48,17 +46,11 @@ Gleichgewicht `. .. centered:: :download:`SVG: Gewichtsverteilung (Aufgabe) <../pics/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht/gewichtsverteilung-aufgabe.svg>` + :ref:`Lösung ` - :ref:`Lösung ` - - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} +---- -.. raw:: html -
.. only:: html diff --git a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-experimente.rst b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-experimente.rst index c8aac59..0b3e3cc 100644 --- a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-experimente.rst +++ b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-experimente.rst @@ -1,7 +1,7 @@ -.. _Experimente zu Drehmoment und Gleichgewicht: +.. _Experimente Drehmoment und Gleichgewicht: -Experimente zu Drehmoment und Gleichgewicht -=========================================== +Drehmoment und Gleichgewicht +============================ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht `. @@ -125,22 +125,18 @@ Gleichgewicht `. - Teste den so ermittelten Schwerpunkt, indem Du die Form an dieser Stelle auf einem Finger balancierst. Was stellst Du fest? +---- + + .. Schwerpunkt zweidimensionaler Figuren -.. todo:: Experiment zum Trägheitsmoment: Holzkugel und Holzzylinder mit gleichem +.. todo Experiment zum Trägheitsmoment: Holzkugel und Holzzylinder mit gleichem Durchmesser und gleicher Masse (oder auch Holzzylinder mit gleichem Durchmesser, aber unterschiedlicher Länge/Masse) auf schiefer Ebene hinabrollen lassen. Unterschiedliches Trägheitsmoment -> nicht gleich schnell! - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-loesungen.rst b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-loesungen.rst index 13f05b5..0c4c56f 100644 --- a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-loesungen.rst +++ b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht-loesungen.rst @@ -1,8 +1,7 @@ +.. _Lösungen Drehmoment und Gleichgewicht: -.. _Lösungen zu Drehmoment- und Gleichgewicht-Aufgaben: - -Lösungen zu Drehmoment- und Gleichgewicht-Aufgaben -================================================== +Drehmoment und Gleichgewicht +============================ Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht @@ -19,7 +18,7 @@ Drehmoment und Gleichgewicht>` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht ---- -.. _ggw03l: +.. _ggw02l: * Bei Stehaufmännchen muss der Schwerpunkt in der unteren Hälfte des Grundkörpers liegen; diese Verlagerung des Schwerpunkts wird durch einen @@ -32,7 +31,8 @@ Drehmoment und Gleichgewicht>` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht .. only:: html - .. centered:: :download:`SVG: Stehaufmännchen <../pics/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht/stehaufmaennchen.svg>` + .. centered:: :download:`SVG: Stehaufmännchen + <../pics/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht/stehaufmaennchen.svg>` Wird ein Stehaufmännchen aus seiner aufrechten Position ausgelenkt, so wird dadurch der Schwerpunkt angehoben. Ein stabiles Gleichgewicht ist allerdings @@ -40,11 +40,11 @@ Drehmoment und Gleichgewicht>` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht Stehaufmännchen wird sich daher, wenn man es loslässt, von selbst wieder aufrichten, da hierdurch der Schwerpunkt zum niedrigsten Punkt zurückkehrt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _ggw02l: +.. _ggw03l: * Während die Last getragen wird, ist sie im statischen Gleichgewicht; das heißt, die an ihr angreifenden Kräfte und Drehmomente ergeben in Summe jeweils @@ -54,7 +54,7 @@ Drehmoment und Gleichgewicht>` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht .. math:: F_1 + F_2 - F_{\mathrm{G}} &= 0 \\ - - F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 &= 0 \\ + F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 &= 0 \\ Die erste Gleichung ergibt sich daraus, dass die beiden von den Trägern ausgeübten Kräfte das Gewicht der Last ausgleichen, die Last also nicht nach @@ -108,16 +108,11 @@ Drehmoment und Gleichgewicht>` zum Abschnitt :ref:`Drehmoment und Gleichgewicht der Mitte zwischen den beiden Personen befindet. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht.rst b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht.rst index 5a224ad..b2ac35a 100644 --- a/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht.rst +++ b/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht.rst @@ -11,8 +11,8 @@ Drehmoment und Gleichgewicht .. index:: Drehmoment .. _Drehmoment: -Das Drehmoment --------------- +Drehmoment +---------- Wirkt eine Kraft auf einen starren Körper, so kann sie sowohl eine Verschiebung als auch eine Drehung (Rotation) bewirken. Für die Drehbewegung des Körpers @@ -74,8 +74,8 @@ Windeisen, Kreuzschlüssel usw. von Bedeutung. .. _Gleichgewicht: .. _Schwerpunkt: -Das Gleichgewicht ------------------ +Gleichgewicht +------------- Ein um eine Achse drehbarer Körper ist im Gleichgewicht, wenn sich alle an ihm wirkenden Drehmomente gegenseitig ausgleichen. @@ -85,8 +85,8 @@ wirkenden Drehmomente gegenseitig ausgleichen. *Definition:* Der Schwerpunkt ist der Punkt eines starren Körpers, bei dem sich alle durch - sein Gewicht wirkenden Drehmomente :math:`M _{\rm{i}} = s _{\rm{i}} \times F - _{\rm{i}}` zu Null addieren: + sein Gewicht wirkenden Drehmomente :math:`M_{\mathrm{i}} = s_{\mathrm{i}} \times F + _{\mathrm{i}}` zu Null addieren: .. math:: @@ -98,20 +98,20 @@ wirkenden Drehmomente gegenseitig ausgleichen. Koordinatenursprung angesehen wird. .. - = \vec{s} _{\rm{1}} \times \vec{F} _{\rm{1}} + \vec{s} _{\rm{2}} \times - \vec{F} _{\rm{2}} + \ldots + = \vec{s} _{\mathrm{1}} \times \vec{F} _{\mathrm{1}} + \vec{s} _{\mathrm{2}} \times + \vec{F} _{\mathrm{2}} + \ldots Ist ein anderes Koordinatensystem vorgegeben, so gilt für den Schwerpunkt -:math:`\vec{s} _{\rm{S}}` eines Körpers: +:math:`\vec{s} _{\mathrm{S}}` eines Körpers: .. math:: - \vec{s} _{\rm{S}} = \frac{\sum_{i}^{} m_i \cdot \vec{s}_i }{m - _{\rm{ges}}} + \vec{s} _{\mathrm{S}} = \frac{\sum_{i}^{} m_i \cdot \vec{s}_i }{m + _{\mathrm{ges}}} -Hierbei werden mit :math:`m _{\rm{i}}` die Massen der einzelnen Punktmassen und -mit :math:`m _{\rm{ges}}` die Gesamtmasse bezeichnet. +Hierbei werden mit :math:`m_{\mathrm{i}}` die Massen der einzelnen Punktmassen und +mit :math:`m_{\mathrm{ges}}` die Gesamtmasse bezeichnet. Ist die Summe aller wirkenden Drehmomente bezüglich einem bestimmten Punkt als feste Drehachse nicht gleich Null, so führt der Körper eine Rotation um diese @@ -146,10 +146,10 @@ unterschieden werden: :download:`SVG: Labiles, stabiles und indifferentes Gleichgewicht <../pics/mechanik/drehmoment-und-gleichgewicht/hebelgleichgewicht-stabil-labil-indifferent.svg>` -Kann sich ein Körper frei um eine Drehachse bzw. einen Aufhängepunkt drehen, -so nimmt sein Schwerpunkt die tiefst mögliche Stelle ein. In dieser Lage -befindet sich der Schwerpunkt stets senkrecht unterhalb der Achse bzw. des -Aufhängepunktes. Sind der Schwerpunkt und der Aufhänge- bzw. Drehpunkt +Kann sich ein Körper frei um eine Drehachse beziehungsweise einen Aufhängepunkt +drehen, so nimmt sein Schwerpunkt die tiefst mögliche Stelle ein. In dieser Lage +befindet sich der Schwerpunkt stets senkrecht unterhalb der Achse +beziehungsweise des Aufhängepunktes. Sind Schwerpunkt, Aufhänge- und Drehpunkt identisch, so befindet sich der Körper in jeder Lage im indifferenten Gleichgewicht. @@ -192,7 +192,7 @@ Fläche, die von den Beinen des Schemels begrenzt wird. :name: fig-standfestigkeit :alt: fig-standfestigkeit :align: center - :width: 60% + :width: 40% Standfestigkeit eines Gegenstands. @@ -204,22 +204,22 @@ Fläche, die von den Beinen des Schemels begrenzt wird. Wirkt eine Kraft :math:`\vec{F}` in einer Höhe :math:`h` über der Standfläche waagrecht auf den Körper ein, so übt diese bezüglich der Kippkante ein so genanntes Kippmoment :math:`F \cdot h` aus. Im entgegengesetzten Drehsinn -bewirkt die im Schwerpunkt :math:`\rm{S}` wirkende Gewichtskraft des Gegenstands +bewirkt die im Schwerpunkt :math:`\mathrm{S}` wirkende Gewichtskraft des Gegenstands ein "Standmoment" :math:`F \cdot l`, wobei :math:`l` den Abstand der Kippkante von der Wirkungslinie der Gewichtskraft angibt. Im Gleichgewichtsfall gilt: .. math:: - F \cdot h = F _{\rm{G}} \cdot l + F \cdot h = F_{\mathrm{G}} \cdot l Die zum Kippen des Gegenstands nötige Kraft beträgt also mindestens: .. math:: - F = \frac{F _{\rm{G}} \cdot l}{h} + F = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot l}{h} Die Standfestigkeit eines Gegenstands ist umso größer, je geringer seine Höhe -:math:`h` ist, je größer seine Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` ist und je +:math:`h` ist, je größer seine Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` ist und je größer der senkrechte Abstand :math:`l` des Schwerpunkts zur Kippkante ist. [#]_ .. _Trägheitsmoment: @@ -282,13 +282,13 @@ m \cdot r^2`. Das Trägheitsmoment eines beliebig geformten Körpers kann rechnerisch bestimmt werden, wenn man ihn aus einer Vielzahl von einzelnen kleinen Massestücken -:math:`m _{\rm{i}}` zusammengesetzt denkt, die jeweils im Abstand :math:`r -_{\rm{i}}` von der Drehachse entfernt liegen. Das Trägheitsmoment des Körpers +:math:`m_{\mathrm{i}}` zusammengesetzt denkt, die jeweils im Abstand :math:`r +_{\mathrm{i}}` von der Drehachse entfernt liegen. Das Trägheitsmoment des Körpers ist dann gleich der Summe der Trägheitsmomente aller einzelnen Teilstücke: .. math:: - J = \sum_{i=1}^{n} m _{\rm{i}} \cdot r _{\rm{i}}^2 + J = \sum_{i=1}^{n} m_{\mathrm{i}} \cdot r_{\mathrm{i}}^2 Die Trägheitsmomente einiger regelmäßig geformter Körper, die in technischen Anwendungen häufig auftreten, sind in Formelsammlungen aufgelistet. Eine kleine @@ -323,7 +323,7 @@ des Körpers auf einer Kreisbahn um die neue Drehachse rotiert. Es gilt somit: .. math:: :label: eqn-satz-von-steiner - J _{\rm{a}} = J + m \cdot a^2 + J_{\mathrm{a}} = J + m \cdot a^2 Formal ist das neue Trägheitsmoment also gleich dem ursprünglichen Trägheitsmoment (bei Rotation um den Schwerpunkt) plus dem Trägheitsmoment des @@ -401,7 +401,7 @@ sind, kann das Trägheitsmoment unmittelbar bestimmt werden. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/dynamik/arten-mechanischer-kraefte.rst b/mechanik/dynamik/arten-mechanischer-kraefte.rst index 84eb260..c9065c3 100644 --- a/mechanik/dynamik/arten-mechanischer-kraefte.rst +++ b/mechanik/dynamik/arten-mechanischer-kraefte.rst @@ -41,14 +41,14 @@ im freien Fall gleich schnell zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt. *Formel:* - Der Wert der Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}`, die ein + Der Wert der Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}`, die ein Körper der Masse :math:`m` durch die Anziehungskraft eines Planeten erfährt, ist proportional zum so genannten Ortsfaktor :math:`\vec{g}`: [#]_ .. math:: :label: eqn-gewichtskraft - \vec{F}_{\rm{G}} = m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{\mathrm{G}} = m \cdot \vec{g} .. index:: Gravitation @@ -64,7 +64,7 @@ Gravitationsgesetz ableiten lässt, näherungsweise :math:`g = |\vec{g}| = .. math:: - F_{\rm{G, Erde}} = m \cdot g = \unit[1]{kg} \cdot + F_{\mathrm{G, Erde}} = m \cdot g = \unit[1]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = \unit[9,81]{N} * Ein Körper der Masse :math:`\unit[50]{kg}` hat auf der Erde eine @@ -72,7 +72,7 @@ Gravitationsgesetz ableiten lässt, näherungsweise :math:`g = |\vec{g}| = .. math:: - F _{\rm{G, Erde}} = \unit[50]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = + F_{\mathrm{G, Erde}} = \unit[50]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = \unit[490,5]{N} Das Gewicht eines Körpers ist nicht an allen Stellen auf der Erde exakt @@ -122,7 +122,7 @@ Gewichtskraft von .. math:: - F_{\rm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot + F_{\mathrm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[1,62]{\frac{N}{kg}} = \unit[1,62]{N} Auf der Sonne erfährt ein Körper der Masse :math:`\unit[1]{kg}` eine @@ -130,7 +130,7 @@ Gewichtskraft von .. math:: - F_{\rm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[274]{\frac{N}{kg}} = + F_{\mathrm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[274]{\frac{N}{kg}} = \unit[274]{N} Körper haben überall im Universum somit zwar die gleiche Masse, aber nicht @@ -147,7 +147,7 @@ Die Reibungskraft Erfahrungsgemäß kommt jeder bewegte Körper, der nicht angetrieben wird, nach einer gewissen Zeit zur Ruhe. Da seine Geschwindigkeit abnimmt, muss eine -bremsende Kraft wirken. Diese Kraft heißt Reibungskraft :math:`F_{\rm{R}}`. +bremsende Kraft wirken. Diese Kraft heißt Reibungskraft :math:`F_{\mathrm{R}}`. Reibungskräfte treten immer auf, wenn sich Körper berühren und gegeneinander bewegen. Ursache dafür sind die unebenen Oberflächen der Körper und @@ -188,16 +188,16 @@ ineinander stecken und versuchen sie gegeneinander zu bewegen). *Formel:* Haften zwei Körper aneinander, so ist der Betrag der maximalen - Haftreibungskraft :math:`F _{\rm{R,Haft,max.}}` proportional zu der - Normalkraft :math:`F _{\perp}`, die beide Körper aneinander presst + Haftreibungskraft :math:`F_{\mathrm{R,Haft,max.}}` proportional zu der + Normalkraft :math:`F_{\perp}`, die beide Körper aneinander presst .. math:: - F _{\rm{R,Haft,max.}} = \mu _{\rm{H}} \cdot F _{\perp} + F_{\mathrm{R,Haft,max.}} = \mu_{\mathrm{H}} \cdot F_{\perp} .. _Haftreibungszahl: -Die Proportionalitätskonstante heißt Haftreibungszahl :math:`\mu _{\rm{H}}` +Die Proportionalitätskonstante heißt Haftreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{H}}` und hängt vom Stoff und von der Oberflächenbeschaffenheit der Körper ab. Ist die angreifende Kraft größer als die maximale Haftreibungskraft, so beginnt der Körper zu gleiten. @@ -207,8 +207,8 @@ Körper zu gleiten. :widths: 50 50 50 * - Stoffpaar - - Haftreibungszahl :math:`\mu _{\rm{H}}` - - Gleitreibungszahl :math:`\mu _{\rm{H}}` + - Haftreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{H}}` + - Gleitreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{H}}` * - Holz auf Holz - :math:`0,5 \text{ bis } 0,6` - :math:`0,2 \text{ bis } 0,4` @@ -256,16 +256,16 @@ völlig ineinander verhaken. *Formel:* - Die Gleitreibungskraft :math:`F _{\rm{R,Gleit}}` hängt -- wie auch die + Die Gleitreibungskraft :math:`F_{\mathrm{R,Gleit}}` hängt -- wie auch die Haftreibungskraft -- von der zusammenpressenden Gewichts- oder Normalkraft - :math:`F _{\perp}` und der Oberflächenbeschaffenheit der Körper ab: + :math:`F_{\perp}` und der Oberflächenbeschaffenheit der Körper ab: .. math:: - F _{\rm{R,Gleit}} = \mu _{\rm{G}} \cdot F _{\perp} + F_{\mathrm{R,Gleit}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot F_{\perp} -Die Gleitreibungszahl :math:`\mu _{\rm{G}}` ist dabei stets kleiner als die -`Haftreibungszahl`_ :math:`\mu _{\rm{H}}`. +Die Gleitreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{G}}` ist dabei stets kleiner als die +`Haftreibungszahl`_ :math:`\mu_{\mathrm{H}}`. .. index:: single: Reibung; Rollreibung @@ -303,7 +303,7 @@ auswirken. :widths: 50 50 * - Stoffpaar - - Rollreibungszahl :math:`\mu _{\rm{R}}` + - Rollreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{R}}` * - Eisen auf Eisen - :math:`\text{ ca. } 0,005` * - Kugeln im Kugellager @@ -325,27 +325,54 @@ er stets einen Strömungswiderstand (z.B. Wasserwiderstand oder Luftwiderstand) überwinden. Hierbei hängt die Größe der Widerstandskraft von der Dichte :math:`\rho` des durchquerten Mediums, der Querschnittsfläche :math:`A` des Körpers, dem Quadrat seiner Geschwindigkeit :math:`v^2` sowie einem so genannten -"Widerstandsbeiwert" :math:`c _{\rm{w}}` ab, der den Einfluss der Körperform +"Widerstandsbeiwert" :math:`c_{\mathrm{w}}` ab, der den Einfluss der Körperform beziffert. .. todo tabelle pic -Beispielsweise gilt für die Luftwiderstandskraft :math:`F _{\rm{L}}` +Beispielsweise gilt für die Luftwiderstandskraft :math:`F_{\mathrm{L}}` näherungsweise folgende Formel: [#LW]_ .. math:: - F _{\rm{L}} = \frac{1}{2} \cdot c _{\rm{w}} \cdot A \cdot \rho \cdot v^2 + F_{\mathrm{L}} = \frac{1}{2} \cdot c_{\mathrm{w}} \cdot \rho_{\mathrm{L}} \cdot A \cdot v^2 Bei üblichen Straßenfahrzeugen kann der Widerstandsbeiwert im optimalen Falle :math:`0,09` betragen, bei Omnibusssen sind Werte bis zu :math:`0,6` üblich. -.. Typische :math:`c _{\rm{w}}`-Werte für verschiedene Körperformen sind in Tabelle -.. aufgelistet. +.. list-table:: + :name: tab-luftwiderstandsbeiwerte + :widths: 50 50 -Die Dichte der Luft beträgt unter Normalbedingungen :math:`\rho _{\rm{Luft}} = + * - Gegenstand + - :math:`c_{\mathrm{w}}`-Wert + * - Halbkugel (konkav), Fallschirm + - :math:`1,33` + * - Rechteckige Platte + - :math:`1,1` bis :math:`1,3` + * - Kreisförmige Platte + - :math:`1,11` + * - Mensch (stehend) + - :math:`0,78` + * - LKW + - :math:`0,6` bis :math:`0,9` + * - Fahrradfahrer (Mountainbike) + - :math:`0,5` bis :math:`0,7` + * - Kugel + - :math:`0,45` + * - Fahrradfahrer (Rennrad) + - :math:`0,4` + * - PKW + - :math:`0,25` bis :math:`0,45` + * - Halbkugel (konvex) + - :math:`0,34` + * - Tropfen (Stromlinienform) + - :math:`0,02` + + +Die Dichte der Luft beträgt unter Normalbedingungen :math:`\rho_{\mathrm{Luft}} = \unit[1,29]{kg/m^3}`. Für die Berechnung der Wasserwiderstandkraft muss mit der -entsprechend höheren Dichte von Wasser :math:`(\rho _{\rm{Wasser}} = +entsprechend höheren Dichte von Wasser :math:`(\rho_{\mathrm{Wasser}} = \unit[1000]{kg/m^3})` gerechnet werden. @@ -356,26 +383,27 @@ entsprechend höheren Dichte von Wasser :math:`(\rho _{\rm{Wasser}} = Die Spannkraft -------------- -Drückt man einen elastischen Körper, z.B. eine Schraubenfeder, zusammen oder -zieht ihn auseinander, so wirkt in der Feder eine jeweils entgegengesetzte -Kraft, die sie wieder auf ihre ursprüngliche Länge zurück zu formen versucht. +Drückt man einen elastischen Gegenstand, beispielsweise eine Schraubenfeder, +zusammen oder zieht ihn auseinander, so wirkt in ihm eine entgegengesetzt +gerichtete Kraft, die ihn wieder auf ihre ursprüngliche Länge zurück zu formen +versucht. *Formel:* Je weiter die Wegstrecke :math:`s` ist, um die eine Schraubenfeder gestaucht - oder gedehnt wird, desto stärker ist die rückstellende Spannkraft :math:`F - _{\rm{S}}` der Feder. + oder gedehnt wird, desto stärker ist die rückstellende Spannkraft + :math:`F_{\mathrm{S}}` der Feder. .. math:: :label: eqn-spannkraft - \vec{F}_{\rm{S}} = - D \cdot \vec{s} + \vec{F}_{\mathrm{S}} = - D \cdot \vec{s} Die Federkonstante :math:`D` ist dabei von der Form und dem Material der Feder -bzw. des elastischen Körpers abhängig. Die Federkonstante (und damit die -Federhärte) einer Schraubenfeder ist beispielsweise umso größer, je dicker der -Draht ist und je enger er gewickelt ist; sie wird im Allgemeinen in Newton je -Meter :math:`(\unit[]{N/m})` angegeben. +beziehungsweise des elastischen Körpers abhängig. Die Federkonstante (und damit +die Federhärte) einer Schraubenfeder ist beispielsweise umso größer, je dicker +der Draht ist und je enger er gewickelt ist; sie wird im Allgemeinen in Newton +je Meter :math:`(\unit{N/m})` angegeben. Das Minuszeichen in Gleichung :eq:`eqn-spannkraft` bedeutet, dass die Richtung der Auslenkung der Feder :math:`s` von ihrer Ruhelage der Richtung der Federkraft @@ -407,11 +435,11 @@ beschleunigt. Diese Kraft wird Radialkraft bzw. Zentripetalkraft genannt. Für den Betrag der Radialkraft gilt ebenfalls das :ref:`Kraftgesetz ` :math:`F = m \cdot a`. Mit der :ref:`Radialbeschleunigung ` :math:`a = \frac{v^2}{r}` folgt für die Radialkraft -:math:`F _{\rm{rad}}`: +:math:`F_{\mathrm{rad}}`: .. math:: - F _{\rm{rad}} = m \cdot \frac{v^2}{r} + F_{\mathrm{rad}} = m \cdot \frac{v^2}{r} Befindet man sich als Beobachter selbst auf einer Kreisbahn, so nimmt man hingegen die entsprechende Gegenkraft ("Zentrifugalkraft") wahr. Sitzt man @@ -466,33 +494,33 @@ bis :math:`250\,000`-faches der Erdbeschleunigung :math:`g` betragen. .. [#] Genau genommen ist die obige Formel eine Näherung für das allgemeine Gravitationsgesetz, wonach auf zwei Körper mit den Massen :math:`m_1` und - :math:`m_2` stets eine anziehende Kraft :math:`F _{\rm{G}}` wirkt. Ihr + :math:`m_2` stets eine anziehende Kraft :math:`F_{\mathrm{G}}` wirkt. Ihr Betrag ist von den beiden Massen sowie vom Abstand :math:`r` zwischen ihren Schwerpunkten abhängig: .. math:: - F _{\rm{G}} = \gamma \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} + F_{\mathrm{G}} = \gamma \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} Dabei ist :math:`\gamma = \unit[6,67 \cdot 10^{-11}]{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}` die allgemeine Gravitationskonstante. Für die Schwerkraft, die ein Körper in Nähe der Erdoberfläche erfährt, kann näherungsweise und :math:`r \approx r - _{\rm{E}} = \unit[6371]{km}` gesetzt werden (der Abstand eines Gegenstands + _{\mathrm{E}} = \unit[6371]{km}` gesetzt werden (der Abstand eines Gegenstands bzw. Körpers von der Erdoberfläche ist meist vernachlässigbar klein - gegenüber dem Erdradius). Mit der Erdmasse :math:`m _{\rm{E}} = \unit[5,972 + gegenüber dem Erdradius). Mit der Erdmasse :math:`m_{\mathrm{E}} = \unit[5,972 \cdot 10^{24}]{kg}` kann der Ortsfaktor :math:`g` somit folgendermaßen definiert werden: .. math:: - g = \gamma \cdot \frac{m_2}{r _{\rm{E}}^2} \approx \unit[9,81]{m/s^2} + g = \gamma \cdot \frac{m_2}{r_{\mathrm{E}}^2} \approx \unit[9,81]{m/s^2} Für die Gewichtskraft eines Körpers :math:`m` auf der Erde gilt damit in guter Näherung: .. math:: - F _{\rm{G}} = \gamma \cdot \frac{m \cdot m _{\rm{E}}}{r _{\rm{E}}^2} + F_{\mathrm{G}} = \gamma \cdot \frac{m \cdot m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}^2} \approx m \cdot g .. [#LW] Treten zusätzlich Luftverwirbelungen ("turbulente Strömungen") auf, so @@ -507,6 +535,7 @@ bis :math:`250\,000`-faches der Erdbeschleunigung :math:`g` betragen. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/dynamik/aufgaben.rst b/mechanik/dynamik/aufgaben.rst index 66c8276..8f842b5 100644 --- a/mechanik/dynamik/aufgaben.rst +++ b/mechanik/dynamik/aufgaben.rst @@ -1,37 +1,38 @@ -.. _Aufgaben zu Dynamik: +.. _Aufgaben Dynamik: -Aufgaben zur Dynamik -==================== +Dynamik +======= -.. _Aufgaben zu mechanischen Kräften: +.. _Aufgaben Mechanische Kräfte: -Aufgaben zu mechanischen Kräften --------------------------------- +Mechanische Kräfte +------------------ -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte +`. ---- -.. _Trägheit-01: +.. _dynk01: -* (\*) Wieso ist es gefährlich, beim Fahrradfahren mit höherer Geschwindigkeit die - Hinter- mit der Vorderbremse zu verwechseln? Welche Rolle spielt dabei die +* (\*) Wieso ist es gefährlich, beim Fahrradfahren mit höherer Geschwindigkeit + die Hinter- mit der Vorderbremse zu verwechseln? Welche Rolle spielt dabei die Masse des Radfahrers beziehungsweise seine (Massen-)Trägheit? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Trägheit-02: +.. _dynk02: * (\*) Wenn eine Straßenbahn vor dem Anhalten allmählich abbremst, erfahren die Fahrgäste beim Anhalten einen Ruck nach hinten. Wie ist das zu erklären? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Angriffspunkt-und-Wirkungslinie-01: +.. _dynk03: * (\*) Um einen Körper in Bewegung zu versetzen, ist stets eine Kraft notwendig. Ist der Körper nicht verformbar ("starr"), so haben gleich gerichtete Zug- und @@ -39,17 +40,16 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte Einkaufswagens, der gezogen oder geschoben wird. Wo befindet sich jeweils der Angriffspunkt, wo die Wirkungslinie der Kraft? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Kraft-und-Gegenkraft-01: +.. _dynk04: -* (\*) Zu jeder Kraft :math:`\vec{F} _{\rm{12}}` gibt es stets eine gleich - große, in die umgekehrte Richtung wirkende Gegenkraft :math:`\vec{F} - _{\rm{21}} = - \vec{F} _{\rm{12}}`. Finde in der folgenden Abbildung - zueinander gehörende Kraft-Gegenkraft-Paare und zeichne Kraftpfeile mit - passenden Richtungen ein. +* (\*) Zu jeder Kraft :math:`\vec{F}_{12}` gibt es stets eine gleich + große, in die umgekehrte Richtung wirkende Gegenkraft :math:`\vec{F}_{21} = - + \vec{F}_{12}`. Finde in der folgenden Abbildung zueinander gehörende + Kraft-Gegenkraft-Paare und zeichne Kraftpfeile mit passenden Richtungen ein. .. image:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraft-und-gegenkraft-beispiele-1.png :align: center @@ -60,37 +60,37 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte .. centered:: :download:`SVG: Kraft und Gegenkraft 1 <../../pics/mechanik/dynamik/kraft-und-gegenkraft-beispiele-1.svg>` - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte: +.. _Aufgaben Zusammenwirken mehrerer Kräfte: -Aufgaben zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte -------------------------------------------- +Zusammenwirken mehrerer Kräfte +------------------------------ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zusammenwirken mehrerer Kräfte `. ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-01: +.. _dynz01: * (\*) Ein Kind mit einer Masse von :math:`m = \unit[30]{kg}` sitzt auf einer Schaukel. Welche Kraft wirkt auf die beiden Seile der Schaukel? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-02: +.. _dynz02: -* (\**) Zwei Kinder ziehen einen Schlitten mit den beiden Kräften :math:`F _{\rm{1}} - = F _{\rm{2}} = \unit[40]{N}`. Die Kräfte wirken in unterschiedlicher - Richtung, der Winkel gegenüber der zum Schlitten senkrecht verlaufenden - Linie beträgt jeweils :math:`\varphi = 30\degree`. Welche resultierende - Gesamtkraft ergibt sich? +* (\**) Zwei Kinder ziehen einen Schlitten mit den beiden Kräften :math:`F_1 = + F_2 = \unit[40]{N}`. Die Kräfte wirken in unterschiedlicher Richtung, der + Winkel gegenüber der zum Schlitten senkrecht verlaufenden Linie beträgt + jeweils :math:`\varphi = 30\degree`. Welche resultierende Gesamtkraft ergibt + sich? .. image:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftaddition-kinder-schlitten.png :align: center @@ -104,18 +104,18 @@ mehrerer Kräfte `. Hinweis: Die Aufgabe lässt sich graphisch (mit Hilfe eines Kräfte-Parallelogramms) oder rechnerisch lösen. - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-03: +.. _dynz03: -* (\**) Welche Winkel :math:`\alpha`, :math:`\beta` und :math:`\gamma` müssen drei an - einem gemeinsamen Punkt angreifende Kräfte :math:`F_1 = \unit[50]{N}`, +* (\**) Welche Winkel :math:`\alpha`, :math:`\beta` und :math:`\gamma` müssen + drei an einem gemeinsamen Punkt angreifende Kräfte :math:`F_1 = \unit[50]{N}`, :math:`F_2 = \unit[70]{N}` und :math:`F_3 = \unit[90]{N}` einschließen, damit zwischen ihnen ein Kräftegleichgewicht herrscht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- @@ -132,13 +132,13 @@ mehrerer Kräfte `. .. ---- -.. _Kraftzerlegung-01: +.. _dynz04: * (\*) Ein Schlitten mit Kind (Gesamt-Gewichtskraft: :math:`\unit[500]{N}`) wird von einem Erwachsenen gezogen. Das Zugseil schließt dabei einen Winkel von - :math:`\alpha = 10 \degree` ein. Wie groß ist die nötige Zugkraft :math:`F - _{\mathrm{z}}`, wenn die Reibungszahl zwischen Schlitten und Schnee :math:`\mu - = 0,03` beträgt? + :math:`\alpha = 10 \degree` ein. Wie groß ist die nötige Zugkraft + :math:`F_{\mathrm{z}}`, wenn die Reibungszahl zwischen Schlitten und Schnee + :math:`\mu = 0,03` beträgt? .. image:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-schlitten-aufgabe.png :align: center @@ -149,14 +149,14 @@ mehrerer Kräfte `. .. centered:: :download:`SVG: Kraftzerlegung am Beispiel eines Schlittens <../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-schlitten-aufgabe.svg>` - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Kraftzerlegung-02: +.. _dynz05: -* (\*) Eine Straßenlaterne mit einer Gewichtskraft von :math:`F _{\rm{G}} = +* (\*) Eine Straßenlaterne mit einer Gewichtskraft von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[50]{N}` wird von zwei Stahlseilen in einem Winkel von :math:`\alpha = 25 \degree` gehalten. Wie groß ist die Kraft im linken bzw. im rechten Seilstück? @@ -169,13 +169,13 @@ mehrerer Kräfte `. .. centered:: :download:`SVG: Kraftzerlegung am Beispiel einer Straßenlaterne <../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-strassenlampe-aufgabe.svg>` - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Kraftzerlegung-03: +.. _dynz06: -* (\**) Eine Straßenlaterne mit einer Gewichtskraft von :math:`F _{\rm{G}} = +* (\**) Eine Straßenlaterne mit einer Gewichtskraft von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[50]{N}` wird asymmetrisch von zwei Stahlseilen. Der Aufhängepunkt der Lampe befindet sich jeweils :math:`h=\unit[1]{m}` unterhalb der Befestigungsstellen der Seile an den tragenden Wänden; der Abstand der Lampe @@ -194,108 +194,103 @@ mehrerer Kräfte `. <../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-strassenlampe-asymmetrisch-aufgabe.svg>` - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu Arten mechanischer Kräfte: +.. _Aufgaben Arten mechanischer Kräfte: -Aufgaben zu Arten mechanischer Kräfte -------------------------------------- +Arten mechanischer Kräfte +------------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Arten mechanischer Kräfte `. ---- -.. _Gewichtskraft-01: +.. _dyna01: * (\*) Welche Gewichtskraft entspricht einer Masse von :math:`\unit[1]{kg}` auf der Erde? Wie groß ist die Gewichtskraft der gleichen Masse auf dem Mond? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Gewichtskraft-02: +.. _dyna02: * (\*) Die Gewichtskraft eines Astronauten beträgt auf dem Mond :math:`\unit[130]{N}`. Wie groß ist seine Gewichtskraft auf der Erde? Wie groß ist seine Masse? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Reibung-01: +.. _dyna03: * (\*) Könnte man sich ohne Vorhandensein einer Reibungskraft überhaupt zu Fuß fortbewegen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Reibung-02: +.. _dyna04: -* (\*) Eine :math:`\unit[50]{kg}` schwere Holzkiste aus Eichenholz soll auf einem - Holzboden verschoben werden. Die Haftreibungszahl beträgt :math:`\mu - _{\rm{H}} = 0,54`, die Gleitreibungszahl :math:`\mu _{\rm{G}} = 0,34`. +* (\*) Eine :math:`\unit[50]{kg}` schwere Holzkiste aus Eichenholz soll auf + einem Holzboden verschoben werden. Die Haftreibungszahl beträgt :math:`\mu + _{\mathrm{H}} = 0,54`, die Gleitreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{G}} = 0,34`. Welche Kraft ist nötig, um die Kiste aus der Ruhelage in Bewegung zu - versetzen, und welche Kraft ist nötig, um die Kiste weiter gleiten zu - lassen? + versetzen, und welche Kraft ist nötig, um die Kiste weiter gleiten zu lassen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-01: +.. _dyna05: * (\*) Eine zu untersuchende Schraubenfeder dehnt sich durch das Einwirken einer - Zugkraft :math:`F = \unit[1]{N}` um :math:`\Delta s = \unit[33]{cm}`. Wie - groß ist die Federkonstante :math:`D` der Schraubenfeder? + Zugkraft :math:`F = \unit[1,0]{N}` um :math:`\Delta s = \unit[33]{cm}`. Wie groß + ist die Federkonstante :math:`D` der Schraubenfeder? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-02: +.. _dyna06: * (\*) Welche Kraft ist nötig, um eine Schraubenfeder mit einer Federkonstante von :math:`D=\unit[40]{N/m}` um :math:`\unit[12]{cm}` auszudehnen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-03: +.. _dyna07: * (\*) Wie weit dehnt sich eine Schraubenfeder mit einer Federkonstante von :math:`\unit[650]{N/m}`, wenn man mit einer Kraft von :math:`\unit[20]{N}` an ihr zieht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Radialkraft-01: +.. _dyna08: -* (\**) Welchen Radius :math:`r` muss ein Kreisverkehr mindestens haben, wenn ein - Fahrzeug der Masse :math:`m=\unit[1500]{kg}` ihn mit einer Geschwindigkeit von - :math:`v = \unit[36]{km/h}` ohne Wegrutschen durchfahren können soll? Als - Haftreibungszahl kann dabei :math:`\mu _{\rm{H}}= 0,8` angenommen werden. +* (\**) Welchen Radius :math:`r` muss ein Kreisverkehr mindestens haben, wenn + ein Fahrzeug der Masse :math:`m=\unit[1500]{kg}` ihn mit einer Geschwindigkeit + von :math:`v = \unit[36]{km/h}` ohne Wegrutschen durchfahren können soll? Als + Haftreibungszahl kann dabei :math:`\mu_{\mathrm{H}}= 0,8` angenommen werden. - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/dynamik/experimente.rst b/mechanik/dynamik/experimente.rst index 042e54e..fa33439 100644 --- a/mechanik/dynamik/experimente.rst +++ b/mechanik/dynamik/experimente.rst @@ -3,12 +3,60 @@ Experimente zur Dynamik ======================= -.. _Experimente zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte: +.. _Experimente Mechanische Kräfte: -Experimente zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte ----------------------------------------------- +Mechanische Kräfte +------------------ -Die folgenden Versuche beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zusammenwirken +Das folgende Experiment bezieht sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte `. + +---- + +.. _Kraft und Verformung: + +.. rubric:: Kraft und Verformung + +*Material:* + +.. hlist:: + :columns: 2 + + * Eine Sperrholz-Platte (:math:`4 \text{ bis } \unit[6]{mm}` dick) + * Zwei Holzklötze :math:`(6 \times 6 \text{ oder } \unit[8 \times 8]{cm})` + * Verschiedene Gewichte + +.. figure:: + ../../pics/mechanik/dynamik/experiment-kraft-und-verformung.png + :align: center + :width: 40% + :name: fig-experiment-kraft-und-verformung + :alt: fig-experiment-kraft-und-verformung + + Verformung einer Holzplatte durch die einwirkende Gewichtskraft. + + .. only:: html + + :download:`SVG: Kraft und Verformung + <../../pics/mechanik/dynamik/experiment-kraft-und-verformung.svg>` + +*Durchführung:* + +- Lege eine dünne Holzplatte auf zwei auseinander liegende Holzklötze. Stelle + dann mitten auf die Holzplatte ein Gewicht. Kannst Du erkennen, wie sich die + Platte durch die Gewichtskraft des Probekörpers verformt? +- Nimm das Gewicht herunter und versuche die Platte ebenso zu verformen, + indem Du mit der Hand darauf drückst. Übt die Holzplatte dabei ebenfalls + einen Druck auf Dich aus? + +---- + + +.. _Experimente Zusammenwirken mehrerer Kräfte: + +Zusammenwirken mehrerer Kräfte +------------------------------ + +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zusammenwirken mehrerer Kräfte `. ---- @@ -105,54 +153,14 @@ mehrerer Kräfte `. ---- +.. _Experimente Arten mechanischer Kräfte: -.. _Experimente zu mechanischen Kräften: +Arten mechanischer Kräfte +------------------------- -Experimente zu mechanischen Kräften ------------------------------------ +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Arten +mechanischer Kräfte `. -Die folgenden Versuche beziehen sich auf die Abschnitte :ref:`Kraft `. -und :ref:`Arten mechanischer Kräfte `. - ----- - -.. _Kraft und Verformung: - -.. rubric:: Kraft und Verformung - -*Material:* - -.. hlist:: - :columns: 2 - - * Eine Sperrholz-Platte (:math:`4 \text{ bis } \unit[6]{mm}` dick) - * Zwei Holzklötze :math:`(6 \times 6 \text{ oder } \unit[8 \times 8]{cm})` - * Verschiedene Gewichte - -.. figure:: - ../../pics/mechanik/dynamik/experiment-kraft-und-verformung.png - :align: center - :width: 40% - :name: fig-experiment-kraft-und-verformung - :alt: fig-experiment-kraft-und-verformung - - Verformung einer Holzplatte durch die einwirkende Gewichtskraft. - - .. only:: html - - :download:`SVG: Kraft und Verformung - <../../pics/mechanik/dynamik/experiment-kraft-und-verformung.svg>` - -*Durchführung:* - -- Lege eine dünne Holzplatte auf zwei auseinander liegende Holzklötze. Stelle - dann mitten auf die Holzplatte ein Gewicht. Kannst Du erkennen, wie sich die - Platte durch die Gewichtskraft des Probekörpers verformt? -- Nimm das Gewicht herunter und versuche die Platte ebenso zu verformen, - indem Du mit der Hand darauf drückst. Übt die Holzplatte dabei ebenfalls - einen Druck auf Dich aus? - -.. _Versuche zu Arten mechanischer Kräfte: ---- @@ -235,7 +243,7 @@ lassen. Du weitere Gewichte an der Schraubenfeder befestigst? Notiere dazu jeweils die Gewichtskraft der angebrachten Probekörper sowie die Längenänderung der Schraubenfeder in einer Tabelle. -- Optional: Wiederhole den Versuch mit einer weicheren oder härteren Feder. +- Optional: Wiederhole das Experiment mit einer weicheren oder härteren Feder. Fertige ein Diagramm aus den tabellarischen Messwerten an. Welchen Zusammenhang kannst Du erkennen? @@ -246,7 +254,7 @@ lassen. .. rubric:: Kugel in einer Modell-Zentrifuge -Mit diesem Versuch wird das Kräftegleichgewicht aus Hangabtriebskraft und +Mit diesem Experiment wird das Kräftegleichgewicht aus Hangabtriebskraft und Zentripetalkraft bei einer Modell-Zentrifuge schön veranschaulicht. *Vorbereitung:* @@ -285,14 +293,9 @@ Zentripetalkraft bei einer Modell-Zentrifuge schön veranschaulicht. Ruhelage auslenkt. Was stellst Du fest? Wie kannst Du Deine Beobachtung erklären? +---- -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/dynamik/loesungen.rst b/mechanik/dynamik/loesungen.rst index dc995ad..f063e52 100644 --- a/mechanik/dynamik/loesungen.rst +++ b/mechanik/dynamik/loesungen.rst @@ -1,20 +1,22 @@ -.. _Lösungen zu den Dynamik-Aufgaben: +.. _Lösungen Dynamik: -Lösungen zu den Dynamik-Aufgaben -================================ +Dynamik +======= -.. _Lösungen zu den Kräfte-Aufgaben: -Lösungen zu den Kräfte-Aufgaben -------------------------------- +.. _Lösungen Mechanische Kräfte: -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Kraft `. +Mechanische Kräfte +------------------ + +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanische Kräfte `. ---- -.. _Trägheit-01-Lösung: +.. _dynk01l: * Bremst man beim Fahrradfahren abrupt mit der Vorderbremse, so ähnelt dies einer Fahrt gegen eine hohe Bordsteinkante: Der Fahrer, der Fahrrad-Rahmen @@ -28,22 +30,22 @@ mechanischen Kräften>` zum Abschnitt :ref:`Kraft `. Lenkstange katapultiert. Die Vorderbremse sollte daher stets mit Bedacht und möglichst nur als "Unterstützung" der Hinterrad-Bremse eingesetzt werden.. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Trägheit-02-Lösung: +.. _dynk02l: * Während des Bremsens spürt ein Fahrgast seine Trägheitskraft und drückt unbewusst nach hinten. Der plötzliche Wegfall der Trägheitskraft beim Anhalten wird jedoch nicht schnell genug bemerkt, und der Körper gibt rückwärts nach. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Angriffspunkt-und-Wirkungslinie-01-Lösung: +.. _dynk03l: * Da der Einkaufswagen starr ist, können Zug- und Druckkräfte an ihm keine Verformung, sondern lediglich eine Veränderung seiner Geschwindigkeit @@ -52,11 +54,11 @@ mechanischen Kräften>` zum Abschnitt :ref:`Kraft `. auf einer Linie. In diesem Fall wird der Wagen durch gleich große Zug- oder Druckkräfte in gleichem Maße beschleunigt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kraft-und-Gegenkraft-01-Lösung: +.. _dynk04l: * Kraft und Gegenkraft haben immer die gleiche Wirkungslinie, aber unterschiedliche Richtungen. Sie treten an allen Stellen auf, an denen @@ -90,42 +92,42 @@ mechanischen Kräften>` zum Abschnitt :ref:`Kraft `. Gewicht der Feder gegenüber dem Gewicht der Kugel vernachlässigt werden kann. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu den Aufgaben zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte: +.. _Lösungen Zusammenwirken mehrerer Kräfte: -Lösungen zu den Aufgaben zum Zusammenwirken mehrerer Kräfte ------------------------------------------------------------ +Zusammenwirken mehrerer Kräfte +------------------------------ -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Zusammenwirken mehrerer Kräfte `. ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-01-Lösung: +.. _dynz01l: -* Die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = m \cdot g` des Kindes :math:`(m = +* Die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` des Kindes :math:`(m = \unit[30]{kg})` verteilt sich gleichmäßig auf beide Seilstücke. Somit gilt für die Kraft :math:`F` in jedem der beiden Seile: .. math:: - F = \frac{1}{2} \cdot F _{\rm{G}} = \frac{1}{2} \cdot \unit[30]{kg} + F = \frac{1}{2} \cdot F_{\mathrm{G}} = \frac{1}{2} \cdot \unit[30]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} = \unit[147,15]{N} In beiden Seilen wirkt somit eine Zugkraft von rund :math:`\unit[147]{N}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-02-Lösung: +.. _dynz02l: -* Zeichnerisch findet man die Gesamtkraft :math:`\vec{F} _{\rm{Ges}}`, indem +* Zeichnerisch findet man die Gesamtkraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{Ges}}`, indem man ein Kräfteparallelogramm durch durch paralleles Verschiebung der beiden Kraftpfeile konstruiert. Die gesuchte Gesamtkraft entspricht der Diagonalen des Kräfteparallelogramms. @@ -144,44 +146,44 @@ Kräfte `. <../../pics/mechanik/dynamik/kraftaddition-kinder-schlitten-loesung.svg>` Rechnerisch lässt sich die Aufgabe lösen, indem man den Kräfte - :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` und :math:`\vec{F} _{\rm{2}}` mit Hilfe der + :math:`\vec{F} _{\mathrm{1}}` und :math:`\vec{F} _{\mathrm{2}}` mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen :math:`\sin{}` und :math:`\cos{}` in jeweils eine :math:`x`- und eine :math:`y`-Komponente aufteilt. - Für die Kraft :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` gilt: + Für die Kraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{1}}` gilt: .. math:: - F _{\rm{1,x}} = \unit[40]{N} \cdot \cos{(30\degree)} \approx \unit[35]{N}\\ - F _{\rm{1,y}} = \unit[40]{N} \cdot \sin{(30\degree)} \approx \unit[20]{N}\\ + F_{\mathrm{1,x}} = \unit[40]{N} \cdot \cos{(30\degree)} \approx \unit[35]{N}\\ + F_{\mathrm{1,y}} = \unit[40]{N} \cdot \sin{(30\degree)} \approx \unit[20]{N}\\ - Für die Kraft :math:`\vec{F} _{\rm{2}}` gilt: + Für die Kraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{2}}` gilt: .. math:: - F _{\rm{2,x}} &= \unit[40]{N} \cdot \cos{(30\degree)} \approx \unit[35]{N}\\ - F _{\rm{2,y}} &= \unit[40]{N} \cdot \,\sin{(30\degree)} \approx \unit[-20]{N}\\ + F_{\mathrm{2,x}} &= \unit[40]{N} \cdot \cos{(30\degree)} \approx \unit[35]{N}\\ + _{\mathrm{2,y}} &= \unit[40]{N} \cdot \,\sin{(30\degree)} \approx \unit[-20]{N}\\ - Das Minuszeichen der Kraftkomponente :math:`F _{\rm{2,y}}` gibt an, dass die + Das Minuszeichen der Kraftkomponente :math:`F_{\mathrm{2,y}}` gibt an, dass die Kraft entgegen der als positiv festgelegten :math:`y`-Richtung verläuft. Um beide Kräfte zu addieren, werden die :math:`x`- und die :math:`y`-Komponenten beider Kräfte addiert. Es ergibt sich: .. math:: - F _{\rm{1,x}} + F _{\rm{2,x}} = \unit[35]{N} &+ \unit[35]{N} = + F_{\mathrm{1,x}} + F_{\mathrm{2,x}} = \unit[35]{N} &+ \unit[35]{N} = \unit[70]{N} \\ - F _{\rm{1,y}} + F _{\rm{2,y}} = \unit[20]{N} &- \unit[20]{N} = + F_{\mathrm{1,y}} + F_{\mathrm{2,y}} = \unit[20]{N} &- \unit[20]{N} = \unit[0]{N} \\ - Die Gesamtkraft :math:`\vec{F} _{\rm{Ges}}` hat somit einen Betrag von + Die Gesamtkraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{Ges}}` hat somit einen Betrag von rund :math:`\unit[70]{N}` und verläuft in die positive :math:`x`-Richtung. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Zusammenwirken-mehrerer-Kräfte-03-Lösung: +.. _dynz03l: * Wenn ein Kräfte-Gleichgewicht herrscht, so bilden die beteiligten Kräfte eine geschlossene Vektorkette; im Fall dreier Kräfte lassen sich die Vektoren @@ -233,19 +235,19 @@ Kräfte `. \gamma ^{*} = 360 \degree`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kraftzerlegung-01-Lösung: +.. _dynz04l: * Bei einer Gleitreibungszahl von :math:`\mu = 0,15` ergibt sich aus der - Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = \unit[500]{N}` folgende Reibungskraft - :math:`F _{\rm{R}}`: + Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[500]{N}` folgende Reibungskraft + :math:`F_{\mathrm{R}}`: .. math:: - F _{\rm{R}} = \mu \cdot F _{\rm{G}} = 0,15 \cdot \unit[500]{N} = \unit[75]{N} + F_{\mathrm{R}} = \mu \cdot F_{\mathrm{G}} = 0,15 \cdot \unit[500]{N} = \unit[75]{N} .. image:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-schlitten-loesung.png :width: 60% @@ -262,32 +264,34 @@ Kräfte `. .. math:: - \frac{F _{\rm{Z,y}}}{F _{\rm{Z}}} = \sin{(\alpha)} \quad \Leftrightarrow - \quad F _{\rm{Z,y}} = F _{\rm{Z}} \cdot \sin{(\alpha)} \\ - \frac{F _{\rm{Z,x}}}{F _{\rm{Z}}} = \cos{(\alpha)} \quad \Leftrightarrow - \quad F _{\rm{Z,x}} = F _{\rm{Z}} \cdot \cos{(\alpha)} + \frac{F_{\mathrm{Z,y}}}{F_{\mathrm{Z}}} = \sin{(\alpha)} \quad + \Leftrightarrow \quad F_{\mathrm{Z,y}} = F_{\mathrm{Z}} \cdot + \sin{(\alpha)} \\ + \frac{F_{\mathrm{Z,x}}}{F_{\mathrm{Z}}} = \cos{(\alpha)} \quad + \Leftrightarrow \quad F_{\mathrm{Z,x}} = F_{\mathrm{Z}} \cdot + \cos{(\alpha)} - Für den Betrag der Zugkraft gilt somit :math:`F _{\rm{Z}} = \frac{F - _{\rm{Z,x}}}{\cos{(\alpha)}} = \frac{\unit[75]{N}}{\cos{(10 \degree)}} + Für den Betrag der Zugkraft gilt somit :math:`F_{\mathrm{Z}} = \frac{F + _{\mathrm{Z,x}}}{\cos{(\alpha)}} = \frac{\unit[75]{N}}{\cos{(10 \degree)}} \approx \unit[76,2]{N}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kraftzerlegung-02-Lösung: +.. _dynz05l: * Da die Laterne symmetrisch aufgehängt ist, müssen die Kräfte :math:`\vec{F}_1` und :math:`\vec{F}_2` im linken und im rechten Seilstück betragsmäßig gleich sein. Jedes der beiden Seilstücke muss somit in - vertikaler Richtung die Hälfte des Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = + vertikaler Richtung die Hälfte des Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[50]{N}` der Lampe ausgleichen: .. math:: - F _{\rm{1,y}} &= F _{\rm{2,y}} \\ - F _{\rm{1,y}} + F _{\rm{2,y}} &= \unit[50]{N}\\[8pt] - \Rightarrow F _{\rm{1,y}} = F _{\rm{2,y}} &= \unit[25]{N} + F_{\mathrm{1,y}} &= F_{\mathrm{2,y}} \\ + F_{\mathrm{1,y}} + F_{\mathrm{2,y}} &= \unit[50]{N}\\[8pt] + \Rightarrow F_{\mathrm{1,y}} = F_{\mathrm{2,y}} &= \unit[25]{N} Die Größe der horizontalen Kraftkomponente kann graphisch mit Hilfe eines Kräfte-Parallelogramms oder rechnerisch mit Hilfe der :ref:`trigonometrischen @@ -308,25 +312,26 @@ Kräfte `. Horizontalen ist ebenfalls gleich :math:`\alpha`, da es sich um :ref:`Z-Winkel ` handelt. Betrachtet man in der obigen Abbildung das orange hervorgehobene Dreieck, so - lässt sich die horizontale Komponente :math:`F _{\rm{1,x}}` anhand der + lässt sich die horizontale Komponente :math:`F_{\mathrm{1,x}}` anhand der folgenden Beziehung ausdrücken: .. math:: - \frac{F _{\rm{1,y}}}{F _{\rm{1,x}}} = \tan{(\alpha)} \qquad &\text{oder} \qquad - \frac{F _{\rm{1,x}}}{F _{\rm{1,y}}} = \cot{(\alpha)} \\[8pt] - \Rightarrow F _{\rm{1,x}} = &F _{\rm{1,y}} \cdot \text{cot}(\alpha) + \frac{F_{\mathrm{1,y}}}{F_{\mathrm{1,x}}} = \tan{(\alpha)} \qquad + &\text{oder} \qquad \frac{F_{\mathrm{1,x}}}{F_{\mathrm{1,y}}} = + \cot{(\alpha)} \\[8pt] + \Rightarrow F_{\mathrm{1,x}} &= F_{\mathrm{1,y}} \cdot \text{cot}(\alpha) Mit dem Cotangens-Wert :math:`\text{cot}(\alpha) = \text{cot}(25 \degree) - \approx 2,145` folgt somit :math:`F _{\rm{1,x}} \approx \unit[53,61]{N}`. - Der Kraftanteil :math:`F _{\rm{2,x}}` ist ebenso groß, zeigt aber in die + \approx 2,145` folgt somit :math:`F_{\mathrm{1,x}} \approx \unit[53,61]{N}`. + Der Kraftanteil :math:`F_{\mathrm{2,x}}` ist ebenso groß, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kraftzerlegung-03-Lösung: +.. _dynz06l: * Mit :math:`h= \unit[1]{m}`, :math:`l_1 = \unit[5]{m}` und :math:`l_2 = \unit[10]{m}` lassen sich die Größen der Winkel :math:`\alpha` und @@ -334,22 +339,24 @@ Kräfte `. .. math:: - \tan{(\alpha)} = \frac{\unit[1]{m}}{\unit[10]{m}} \quad &\Leftrightarrow \quad - \alpha = \text{atan}\left(\frac{1}{10}\right) \approx \phantom{1}5,7 \degree \\[8pt] - \tan{(\beta)} = \frac{\unit[1]{m}}{\unit[5]{m}} \quad &\Leftrightarrow \quad - \beta = \text{atan}\left(\frac{1}{5}\right) \approx 11,3 \degree + \tan{(\alpha)} = \frac{\unit[1]{m}}{\unit[10]{m}} \quad &\Leftrightarrow + \quad \alpha = \text{atan}\left(\frac{1}{10}\right) \approx \phantom{1}5,7 + \degree \\[8pt] + \tan{(\beta)} = \frac{\unit[1]{m}}{\unit[5]{m}} \quad &\Leftrightarrow + \quad \beta = \text{atan}\left(\frac{1}{5}\right) \approx 11,3 \degree Um die Beträge :math:`F_1` und :math:`F_2` der zwei unbekannten Kräfte zu berechnen, kann man ein Gleichungssystem der wirkenden Kräfte aufstellen. Dabei lassen sich als Bedingungen nutzen, dass die vertikalen Anteile der - Kräfte in Summe die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = \unit[50]{N}` der Lampe + Kräfte in Summe die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[50]{N}` der Lampe ausgleichen, und sich die horizontalen Anteile der Kräfte zu Null addieren. Es muss also gelten: .. math:: F_1 \cdot \sin{(\alpha)} + F_2 \cdot \sin{(\beta)} &= \unit[50]{N} \\ - -F_1 \cdot \cos{(\alpha)} + F_2 \cdot \cos{(\beta)} &= \unit[\phantom{5}0]{N} \\ + -F_1 \cdot \cos{(\alpha)} + F_2 \cdot \cos{(\beta)} &= + \unit[\phantom{5}0]{N} \\ .. image:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-strassenlampe-asymmetrisch-loesung.png :align: center @@ -389,7 +396,7 @@ Kräfte `. \sin{(\beta)}\right)} \cdot \frac{\cos{(\beta)}}{\cos{(\alpha)}} Setzt man hier :math:`\alpha \approx 5,7 \degree` und :math:`\beta \approx - 11,3 \degree` ein, so erhält man :math:`F _2 \approx \unit[169,0]{N}` und + 11,3 \degree` ein, so erhält man :math:`F_2 \approx \unit[169,0]{N}` und :math:`F_1 \approx \unit[167,5]{N}`. Diese Lösung kann ebenfalls (wesentlich schneller!) gefunden werden, wenn man @@ -419,68 +426,68 @@ Kräfte `. Auch hier liefert ein Einsetzen der Werte :math:`\alpha \approx 5,7 \degree` und :math:`\beta \approx 11,3 \degree` die Werte :math:`F_1 \approx - \unit[167,5]{N}` und :math:`F _2 \approx \unit[169,0]{N}`. + \unit[167,5]{N}` und :math:`F_2 \approx \unit[169,0]{N}`. Die an den beiden Seilstücken ziehenden Kräfte sind also jeweils deutlich größer als die Gewichtskraft der Lampe. Da :math:`\beta > \alpha` ist, hat die Kraft :math:`F_2` einen größeren Kraftteil in vertikaler Richtung als :math:`F_1`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu den Aufgaben zu Arten mechanischer Kräfte: +.. _Lösungen Arten mechanischer Kräfte: -Lösungen zu den Aufgaben zu Arten mechanischer Kräfte ------------------------------------------------------ +Arten mechanischer Kräfte +------------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Arten mechanischer Kräfte `. ---- -.. _Gewichtskraft-01-Lösung: +.. _dyna01l: -* Um die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` zu berechnen, die einer Masse +* Um die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` zu berechnen, die einer Masse :math:`m` entspricht, muss diese mit dem jeweiligen Ortsfaktor :math:`g` multipliziert werden. Für die Erde gilt mit :math:`m = \unit[1]{kg}` und - :math:`g _{\rm{Erde}} = \unit[9,81]{N/kg}`: + :math:`g_{\mathrm{Erde}} = \unit[9,81]{N/kg}`: .. math:: - F _{\rm{G, Erde}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } = + F_{\mathrm{G, Erde}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} } = \unit[9,81]{N} - Auf dem Mond gilt für den Ortsfaktor :math:`g _{\rm{Mond}} = + Auf dem Mond gilt für den Ortsfaktor :math:`g_{\mathrm{Mond}} = \unit[1,60]{\frac{N}{kg} }` und somit: .. math:: - F _{\rm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[1,60]{\frac{N}{kg} } = + F_{\mathrm{G, Mond}} = \unit[1]{kg} \cdot \unit[1,60]{\frac{N}{kg} } = \unit[1,60]{N} Die Gewichtskraft der :math:`\unit[1]{kg}`-Masse ist auf der Erde mit - :math:`F _{\rm{G, Erde}} = \unit[9,81]{N}` somit etwa :math:`6` mal größer - als die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G, Mond}} = \unit[1,60]{N}` der + :math:`F_{\mathrm{G, Erde}} = \unit[9,81]{N}` somit etwa :math:`6` mal größer + als die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G, Mond}} = \unit[1,60]{N}` der gleichen Masse auf dem Mond. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Gewichtskraft-02-Lösung: +.. _dyna02l: -* Der Ortsfaktor auf dem Mond ist :math:`g _{\rm{Mond}} = \unit[1,60]{N/kg}`, - der Ortsfaktor auf der Erde ist :math:`g _{\rm{Erde}} = \unit[9,81]{N/kg}`. +* Der Ortsfaktor auf dem Mond ist :math:`g_{\mathrm{Mond}} = \unit[1,60]{N/kg}`, + der Ortsfaktor auf der Erde ist :math:`g_{\mathrm{Erde}} = \unit[9,81]{N/kg}`. Der Astronaut spürt auf der Erde somit eine :math:`9,81 / 1,60 \approx 6,13`-fache Gewichtskraft: .. math:: - F _{\rm{G, Erde}} = \unit[130]{N} \cdot \frac{\unit[9,81]{\frac{N}{kg} + F_{\mathrm{G, Erde}} = \unit[130]{N} \cdot \frac{\unit[9,81]{\frac{N}{kg} }}{\unit[1,60]{\frac{N}{kg} }} \approx \unit[130]{N} \cdot 6,13 \approx \unit[797]{N} @@ -494,11 +501,11 @@ mechanischer Kräfte>`. Die Masse des Astronauten beträgt somit :math:`m = \unit[81,25]{kg}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Reibung-01-Lösung: +.. _dyna03l: * Ohne Reibung würden die Füße -- extremer als auf Eis -- unkontrollierbar über den Boden gleiten. @@ -509,47 +516,47 @@ mechanischer Kräfte>`. die Gegenkraft der Erde auf den Körper gleich Null. Der Körper erfährt somit keine Beschleunigung. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Reibung-02-Lösung: +.. _dyna04l: * Um die Holzkiste in Bewegung zu versetzen, muss ihre Haftreibungskraft - :math:`F _{\rm{R,H}}` überwunden werden. Setzt man die Masse :math:`m = - \unit[50]{kg}` und die Haftreibungszahl :math:`\mu _{\rm{H}} = + :math:`F_{\mathrm{R,H}}` überwunden werden. Setzt man die Masse :math:`m = + \unit[50]{kg}` und die Haftreibungszahl :math:`\mu_{\mathrm{H}} = \unit[0,54]{}` in die Haftreibungs-Gleichung ein, so ergibt sich: .. math:: - F _{\rm{R,H}} = \mu _{\rm{H}} \cdot F _{\rm{G}} = 0,54 \cdot \unit[50]{kg} - \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[265]{N} + F_{\mathrm{R,H}} = \mu_{\mathrm{H}} \cdot F_{\mathrm{G}} = 0,54 \cdot + \unit[50]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[265]{N} Es muss somit eine Kraft :math:`F \ge \unit[265]{N}` aufgebracht werden, um die Kiste in Bewegung zu versetzen. Um das Gleiten aufrecht zu erhalten, - muss nur die Gleitreibungskraft :math:`F _{\rm{R,G}}` ausgeglichen werden: + muss nur die Gleitreibungskraft :math:`F_{\mathrm{R,G}}` ausgeglichen werden: .. math:: - F _{\rm{R,G}} = \mu _{\rm{G}} \cdot F _{\rm{G}} = 0,34 \cdot \unit[50]{kg} - \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[167]{N} + F_{\mathrm{R,G}} = \mu_{\mathrm{G}} \cdot F_{\mathrm{G}} = 0,34 \cdot + \unit[50]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[167]{N} Somit gilt für die zum (Weiter-)Gleiten der Kiste nötige Kraft :math:`F \ge \unit[167]{N}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-01-Lösung: +.. _dyna05l: -* Die Federkonstante :math:`k` einer Schraubenfeder ist gleich dem Verhältnis +* Die Federkonstante :math:`D` einer Schraubenfeder ist gleich dem Verhältnis aus der auf sie wirkenden Kraft :math:`F` und der resultierenden Längenänderung :math:`\Delta s`: .. math:: - k = \frac{F}{\Delta s} + D = \frac{F}{\Delta s} Setzt man die Werte :math:`F = \unit[1]{N}` und :math:`\Delta s = \unit[33]{cm} = \unit[0,33]{m}` ein, erhält man: @@ -558,88 +565,85 @@ mechanischer Kräfte>`. k = \frac{\unit[1]{N}}{\unit[0,33]{m}} = \unit[0,33]{\frac{N}{m} } - Die Federkonstante :math:`k` beträgt somit :math:`\unit[0,33]{\frac{N}{m} }`. + Die Federkonstante :math:`k` beträgt somit :math:`\unit[0,33]{\frac{N}{m}}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-02-Lösung: +.. _dyna06l: * Für den Betrag der zum Dehnen einer Feder nötigen Spannkraft :math:`F - _{\rm{S}}` gilt mit :math:`k = \unit[40]{N/m}` und :math:`s = \unit[12]{cm} + _{\mathrm{S}}` gilt mit :math:`k = \unit[40]{N/m}` und :math:`s = \unit[12]{cm} = \unit[0,12]{m}`: .. math:: - F _{\rm{S}} = k \cdot s = \unit[40]{\frac{N}{m} } \cdot \unit[0,12]{m} = - \unit[4,8]{N} + F_{\mathrm{S}} = D \cdot s = \unit[40]{\frac{N}{m} } \cdot \unit[0,12]{m} + = \unit[4,8]{N} Es ist somit eine Kraft von :math:`\unit[4,8]{N}` nötig, um die Schraubenfeder :math:`\unit[12]{cm}` weit zu dehnen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hookesches-Gesetz-03-Lösung: +.. _dyna07l: * Die Dehnung :math:`s` einer Feder lässt sich anhand der bekannten - Federhärte :math:`k = \unit[650]{N/m}` und der wirkenden Kraft :math:`F = + Federhärte :math:`D = \unit[650]{N/m}` und der wirkenden Kraft :math:`F = \unit[20]{N}` wie folgt berechnen: .. math:: - F _{\rm{s}} = k \cdot s \quad \Longleftrightarrow \quad s = \frac{F - _{\rm{s}}}{k} + F_{\mathrm{s}} = D \cdot s \quad \Longleftrightarrow \quad s = \frac{F + _{\mathrm{s}}}{D} .. math:: - s = \frac{F _{\rm{S}}}{k} = \frac{\unit[20]{N}}{\unit[650]{\frac{N}{m} + s = \frac{F_{\mathrm{S}}}{D} = \frac{\unit[20]{N}}{\unit[650]{\frac{N}{m} }} \approx \unit[0,031]{m} Die Schraubenfeder wird somit um :math:`\unit[0,031]{m} = \unit[3,1]{cm}` gedehnt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Radialkraft-01-Lösung: +.. _dyna08l: * Damit das Fahrzeug nicht aus der Kurve gleitet, muss die Haftreibungskraft - :math:`F _{\rm{H}}` zwischen der Straße und den Reifen mindestens genauso + :math:`F_{\mathrm{H}}` zwischen der Straße und den Reifen mindestens genauso groß sein wie die zum Durchfahren der Kurve nötige Radialkraft :math:`F - _{\rm{rad}}`, es muss also gelten: + _{\mathrm{rad}}`, es muss also gelten: .. math:: - F _{\rm{H}} &= F _{\rm{rad}} \\[4pt] - \mu _{\rm{H}} \cdot m \cdot g &= m \cdot \frac{v^2}{r} \\ - \Rightarrow r &= \frac{v^2}{\mu _{\rm{H}}\cdot g} \\ + F_{\mathrm{H}} &= F_{\mathrm{rad}} \\[4pt] + \mu_{\mathrm{H}} \cdot m \cdot g &= m \cdot \frac{v^2}{r} \\ + \Rightarrow r &= \frac{v^2}{\mu_{\mathrm{H}}\cdot g} \\ Der Mindestradius :math:`r` der Kurvenbahn beim Durchfahren mit einer bestimmten Geschwindigkeit :math:`v` ist also unabhängig von der - Fahrzeugmasse. Mit :math:`v = \unit[36]{km/h} = \unit[10]{m/s}`, :math:`\mu - _{\rm{H}} = 0,8` und :math:`g = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}` folgt: + Fahrzeugmasse. Mit :math:`v = \unit[36]{km/h} = \unit[10]{m/s}`, + :math:`\mu_{\mathrm{H}} = 0,8` und :math:`g = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}` + folgt: .. math:: - r = \frac{v^2}{ \mu _{\rm{H}} \cdot g} = + r = \frac{v^2}{ \mu_{\mathrm{H}} \cdot g} = \frac{\left(\unit[10]{\frac{m}{s}}\right)^2 }{0,8 \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}} \approx \unit[12,75]{m} Der Mindestradius beträgt somit knapp :math:`\unit[13]{m}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - -.. raw:: latex + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/dynamik/mechanische-kraefte.rst b/mechanik/dynamik/mechanische-kraefte.rst index b57d204..296a346 100644 --- a/mechanik/dynamik/mechanische-kraefte.rst +++ b/mechanik/dynamik/mechanische-kraefte.rst @@ -1,4 +1,3 @@ - .. index:: Kraft .. _Kraft: .. _Mechanische Kräfte: @@ -28,6 +27,7 @@ diesem Fall heben sich mehrere gleichzeitig wirkende Kräfte in ihrer Wirkung au :download:`SVG: Bogenschießen <../../pics/mechanik/dynamik/bogenschiessen.svg>` + .. index:: Newtonsche Gesetze .. _Newtonsche Gesetze: @@ -158,7 +158,7 @@ können sich somit nicht gegenseitig aufheben. .. math:: - F _{\rm{A \rightarrow B}} = - F _{\rm{B \rightarrow A}} + F_{\mathrm{A \rightarrow B}} = - F_{\mathrm{B \rightarrow A}} *Beispiel:* @@ -361,9 +361,9 @@ Beschleunigung :math:`-a`: .. math:: - \vec{F} _{\rm{Schein}} = - m \cdot a + \vec{F}_{\mathrm{Schein}} = - m \cdot a -Eine wichtige Scheinkraft ist die Trägheitskraft :math:`F _{\rm{T}}`, die +Eine wichtige Scheinkraft ist die Trägheitskraft :math:`F_{\mathrm{T}}`, die beispielsweise beim Beschleunigen oder Abbremsen von Fahrzeugen auftritt. Ein Sonderfall dieser Trägheitswirkung ist die :ref:`Zentrifugalkraft ` bei einer kreisförmigen Bewegung. @@ -378,12 +378,12 @@ bei einer kreisförmigen Bewegung. .. [#N1] In mathematischer Schreibweise bedeutet dies, dass der Geschwindigkeitsvektor :math:`\vec{v}` eines Körpers dann konstant bleibt, - wenn die Summe aller :math:`n` wirkenden Kräfte :math:`\vec{F} _{\rm{i}}` + wenn die Summe aller :math:`n` wirkenden Kräfte :math:`\vec{F} _{\mathrm{i}}` gleich null ist: .. math:: - \sum_{i=1}^{n} \vec{F} _{\rm{i}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad + \sum_{i=1}^{n} \vec{F} _{\mathrm{i}} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{v} = \text{konst.} .. [#] Streng genommen gilt diese Definition nur dann, wenn die Masse @@ -397,6 +397,6 @@ bei einer kreisförmigen Bewegung. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/dynamik/zusammenwirken-mehrerer-kraefte.rst b/mechanik/dynamik/zusammenwirken-mehrerer-kraefte.rst index 3324358..9d4fefa 100644 --- a/mechanik/dynamik/zusammenwirken-mehrerer-kraefte.rst +++ b/mechanik/dynamik/zusammenwirken-mehrerer-kraefte.rst @@ -1,20 +1,19 @@ -.. index:: - single: Kraftaddition +.. index:: Kraftaddition .. _Zusammenwirken mehrerer Kräfte: Zusammenwirken mehrerer Kräfte ============================== Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper ein, so kann man sich diese als zu einer -Gesamtkraft zusammengesetzt denken. Die Gesamtkraft :math:`F _{\rm{ges}}` hat +Gesamtkraft zusammengesetzt denken. Die Gesamtkraft :math:`F_{\mathrm{ges}}` hat auf den Körper die gleiche Wirkung wie die gemeinsame Wirkung der :math:`n` einzelnen (Teil-)Kräfte. .. math:: :label: eqn-kraftaddition - \vec{F} _{\rm{ges}} = \vec{F} _{\rm{1}} + - \vec{F} _{\rm{2}} + \ldots + \vec{F} _{\rm{n}} + \vec{F}_{\mathrm{ges}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots + + \vec{F}_{\mathrm{n}} Will man die Wirkung mehrerer Kräfte auf einen Körper angeben, müssen Betrag und Richtung jeder Kraft bekannt sein. @@ -111,24 +110,24 @@ Vektors an die Spitze des anderen Vektors verschoben wird. Die Verbindungslinie vom gemeinsamen Angriffspunkt zum sich so ergebenden Endpunkt entspricht dann der resultierenden Gesamtkraft. [#]_ -Rechnerisch erhält man die sich aus zwei Teilkräften :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` -und :math:`\vec{F} _{\rm{2}}` ergebende Gesamtkraft :math:`\vec{F} _{\rm{ges}}`, +Rechnerisch erhält man die sich aus zwei Teilkräften :math:`\vec{F}_1` +und :math:`\vec{F}_2` ergebende Gesamtkraft :math:`\vec{F}_{\mathrm{ges}}`, indem man die einzelnen Komponenten beider Kraftvektoren miteinander addiert: .. math:: - \vec{F} _{\rm{1}} + \vec{F} _{\rm{2}} = \begin{pmatrix} - F _{\rm{x,1}} \\ - F _{\rm{y,1}} \\ - F _{\rm{z,1}} \\ + \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} + F_{\mathrm{x,1}} \\ + F_{\mathrm{y,1}} \\ + F_{\mathrm{z,1}} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - F _{\rm{x,2}} \\ - F _{\rm{y,2}} \\ - F _{\rm{z,2}} \\ + F_{\mathrm{x,2}} \\ + F_{\mathrm{y,2}} \\ + F_{\mathrm{z,2}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - F _{\rm{x,1}} + F _{\rm{x,2}} \\ - F _{\rm{y,1}} + F _{\rm{y,2}} \\ - F _{\rm{z,1}} + F _{\rm{z,2}} \\ + F_{\mathrm{x,1}} + F_{\mathrm{x,2}} \\ + F_{\mathrm{y,1}} + F_{\mathrm{y,2}} \\ + F_{\mathrm{z,1}} + F_{\mathrm{z,2}} \\ \end{pmatrix} Der Betrag der wirkenden Gesamtkraft ist auch hierbei gleich dem Betrag des @@ -136,10 +135,10 @@ Ergebnisvektors, der sich gemäß folgender Formel berechnen lässt: .. math:: - F _{\rm{ges}} = |\vec{F} _{\rm{ges}}| = \sqrt{F _{\rm{ges,x}}^2 + F - _{\rm{ges,y}}^2 + F _{\rm{ges,3}}^2} + F_{\mathrm{ges}} = |\vec{F} _{\mathrm{ges}}| = \sqrt{F_{\mathrm{ges,x}}^2 + F + _{\mathrm{ges,y}}^2 + F_{\mathrm{ges,3}}^2} -.. Verallgemeinerung: Mehrere Kräfte. +.. todo Verallgemeinerung: Mehrere Kräfte. .. index:: single: Kraftzerlegung @@ -156,10 +155,10 @@ eine gleiche Wirkung hervorrufen. *Beispiel:* * Eine Straßenlampe wird von zwei Halteseilen getragen. Diese können nur - Zugkräfte vermitteln, d.h. die Teilkräfte :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` und - :math:`\vec{F} _{\rm{2}}` in den Seilen müssen entlang der Seilrichtungen + Zugkräfte vermitteln, d.h. die Teilkräfte :math:`\vec{F}_1` und + :math:`\vec{F}_2` in den Seilen müssen entlang der Seilrichtungen verlaufen; die Summe beider Teilkräfte wiederum muss der Gewichtskraft - :math:`\vec{F} _{\rm{G}}` der Lampe entsprechen. + :math:`\vec{F}_{\mathrm{G}}` der Lampe entsprechen. .. figure:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-strassenlampe.png :name: fig-kraftzerlegung @@ -176,8 +175,8 @@ eine gleiche Wirkung hervorrufen. Um eine Kraft in zwei gegebene Richtungen zu zerlegen, zeichnet man vom Anfangs- und Endpunkt der Kraft Parallelen zu diesen Richtungen. Das entstehende -Parallelogramm ergibt die gesuchten Teilkräfte :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` und -:math:`\vec{F} _{\rm{2}}`. +Parallelogramm ergibt die gesuchten Teilkräfte :math:`\vec{F} _1` und +:math:`\vec{F} _2`. .. figure:: ../../pics/mechanik/dynamik/kraftzerlegung-bei-bekannten-winkeln.png :name: fig-kraftzerlegung-bei-bekannten-winkeln @@ -229,7 +228,7 @@ als der Betrag :math:`F` der zu zerlegenden Kraft. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/aufgaben.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/aufgaben.rst index 0ea511a..b639423 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/aufgaben.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/aufgaben.rst @@ -1,60 +1,90 @@ -.. _Aufgaben zu Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: +.. _Aufgaben Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: -Aufgaben zur Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase -============================================================ +Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase +=============================================== -.. _Aufgaben zur Mechanik der Flüssigkeiten: +.. _Aufgaben Mechanik der Festkörper: -Aufgaben zur Mechanik der Flüssigkeiten ---------------------------------------- +Mechanik der Festkörper +----------------------- + +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanik der +Festkörper `. + +---- + +.. _feb01: + +* (\*) Muss bei einem Querträger aus Stahlbeton (beispielsweise bei einer + Brücke) der Stahl auf der Ober- oder auf der Unterseite in den Beton + eingebracht werden? + + :ref:`Lösung ` + +---- + +.. _Aufgaben Mechanik der Flüssigkeiten: + +Mechanik der Flüssigkeiten +-------------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten `. +.. rubric:: Statischer Druck + ---- -.. _Kolbendruck-01: +.. _flfd01: * (\*) Auf einen Kolben mit einer Fläche von :math:`\unit[1 \cdot 10^4]{mm^2}` wird eine Kraft von :math:`\unit[350]{N}` ausgeübt. Welcher Druck wird dadurch auf das Fluid im Zylinder ausgeübt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Schweredruck-01: +.. _flfd02: * (\*) Bis zu welcher Höhe kann Wasser in den Leitungen eines Gebäudes maximal steigen, wenn der Druck in Bodenhöhe :math:`p = \unit[6]{bar}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` + +---- + +.. rubric:: Statischer Auftrieb ---- -.. _Auftrieb-01: +.. _flfa01: * (\**) Welchen Auftrieb erfährt ein badender Mensch mit einem Volumen von - :math:`\unit[80\,]{l}` und einer Dichte von :math:`\rho _{\rm{K}} = - \unit[1050]{\frac{kg}{m^3}}` in normalem Wasser :math:`\rho _{\rm{W}} = + :math:`\unit[80\,]{l}` und einer Dichte von :math:`\rho_{\mathrm{K}} = + \unit[1050]{\frac{kg}{m^3}}` in normalem Wasser :math:`\rho_{\mathrm{W}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}` und in gesättigtem Salzwasser mit einer Dichte - :math:`\rho _{\rm{SW}} = \unit[1120]{\frac{kg}{m^3}}`? + :math:`\rho_{\mathrm{SW}} = \unit[1120]{\frac{kg}{m^3}}`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Auftrieb-02: +.. _flfa02: * (\*) Durch welchen Mechanismus können Fische im Wasser auf- und abtauchen, ohne sich dabei in horizontaler Richtung fortzubewegen? Wie funktioniert das Auf- und Abtauchen bei einem Unterseeboot? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` + +---- + +.. rubric:: Bernoulli-Gleichung ---- -.. _Bernoulli-01: +.. _flfb01: * (\**) Durch ein horizontal verlaufendes Rohr fließt eine Flüssigkeit. Der Unterschied der Flüssigkeitsniveaus in der vorderen und hinteren Röhre @@ -62,86 +92,56 @@ Flüssigkeiten `. identisch sind. Wie groß die Strömungsgeschwindigkeit :math:`v` der Flüssigkeit im Rohr? - .. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png + .. image:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png :align: center :width: 60% - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur Mechanik der Gase: +.. _Aufgaben Mechanik der Gase: -Aufgaben zur Mechanik der Gase ------------------------------- +Mechanik der Gase +----------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanik der Gase `. ---- -.. _Dynamischer-Druck-01: +.. _flg01: -* (\**) Welche Strömungsgeschwindigkeit :math:`v` ist notwendig, um einen dynamischen - Druck von :math:`p _{\rm{dyn}} = \unit[10]{kPa}` zu erzeugen, wenn es sich bei - dem Fluid um Wasser :math:`(\rho _{\rm{Wasser}}= \unit[1]{\frac{g}{cm^3}})` - beziehungsweise Luft :math:`(\rho _{\rm{Luft}} = \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}})` - handelt? +* (\**) Welche Strömungsgeschwindigkeit :math:`v` ist notwendig, um einen + dynamischen Druck von :math:`p_{\mathrm{dyn}} = \unit[10]{kPa}` zu erzeugen, + wenn es sich bei dem Fluid um Wasser :math:`(\rho_{\mathrm{Wasser}}= + \unit[1]{\frac{g}{cm^3}})` beziehungsweise Luft :math:`(\rho_{\mathrm{Luft}} = + \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}})` handelt? - :ref:`Lösung ` - -.. * Luft mit einer Dichte von :math:`\rho = \unit[1,25]{\frac{kg}{m^3}}` - .. durchläuft den in der folgenden Abbildung dargestellten Diffusor. Der - .. Durchmesser der Eintrittsöffnung ist :math:`d_1`, die Strömungsgesch betraegt - .. dabei :math:`v_1`. Der Durchmesser der Ausgangsöffnung ist :math:`d_2`. Wie - .. groß ist die Geschwindigkeit :math:`v_2` der ausströmenden Luft? - -.. .. math:: + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Bernoulli-02: +.. _flg02: * (\***) Durch ein sich verengendes Rohr wird Luft geblasen. In jeder Minute strömen :math:`\unit[1,5 \cdot 10 ^{-2}]{m^3}` durch das Rohr. Die Querschnittsfläche des weiten Teils beträgt :math:`\unit[2]{cm^2}`, die des engen Teils :math:`\unit[0,5]{cm^2}`. Wie groß ist der Unterschied :math:`\Delta h` der Wassersstände im angebrachten U-Rohr, wenn die Dichte der - Luft :math:`\rho _{\rm{Luft}} = \unit[1,32]{kg/m^3}` beträgt? + Luft :math:`\rho_{\mathrm{Luft}} = \unit[1,32]{kg/m^3}` beträgt? - .. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png + .. image:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png :align: center :width: 50% - :ref:`Lösung ` - + :ref:`Lösung ` -.. Wie ändert sich der Gefäßwiderstand bei Halbierung des Kapillardurchmessers? -.. Diskutieren Sie die Folgen der Arterienverkalkung! - -.. Welche Wirkung auf den Widerstand hat die Ersetzung einer Kapillare vom Radius r -.. durch eine Parallelschaltung von 2 Kapillaren mit den Radien r/2 und gleichen -.. Längen? - -.. Berechnen Sie den Strömungswiderstand (in Pas/m) des Blutkreislaufs, den -.. sogenannten totalen peripheren Widerstand TPR (total peripherical resistance). -.. i = 80cm /s; ∆ p = 1,33 \cdot 10 Pa (mittlere Druckdifferenz zwischen linker Kammer und -.. rechtem Vorhof) - -.. Wie groß ist die Reynoldszahl in der Aorta für die mittlere Blutgeschwindigkeit -.. v mittel = 40cm/s und die maximale systolische Geschwindigkeit v max = 120cm/s. -.. Welche Strömungsart erwarten Sie? Von welcher Blutgeschwindigkeit an gibt es -.. sicher turbulente Strömung? r Aorta = 1,2cm; ρ Vollblut = 1,06g/cm - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/experimente.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/experimente.rst index b14b387..ced4668 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/experimente.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/experimente.rst @@ -1,12 +1,12 @@ -.. _Experimente zu Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: +.. _Experimente Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: -Experimente zur Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase -=============================================================== +Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase +=============================================== -.. _Experimente zur Mechanik der Flüssigkeiten: +.. _Experimente Mechanik der Flüssigkeiten: -Experimente zur Mechanik der Flüssigkeiten ------------------------------------------- +Mechanik der Flüssigkeiten +-------------------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten `. @@ -84,13 +84,9 @@ Flüssigkeiten `. jeweils mit dem Daumen nach innen. Bei welcher Spritze brauchst Du mehr Kraft, um die Kolben im "Gleichgewicht" zu halten? -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/festkoerper.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/festkoerper.rst index 820dadf..7e160d6 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/festkoerper.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/festkoerper.rst @@ -170,7 +170,7 @@ weichen Stahl unter tiefen Temperaturen denen eines härteren Stahls. :math:`20 \degree` ermittelt. -.. index:: Querkontraktion +.. index:: Querkontraktion, Poisson-Zahl .. _Querkontraktion: .. rubric:: Querkontraktion @@ -270,7 +270,7 @@ Auch bei einer Stauchung wird die Formänderung des Materials durch eine (Druck-)Spannung beschrieben. Die Druckspannung ist ebenso wie die Zugspannung definiert als Verhältnis der einwirkenden Kraft :math:`F` zur Querschnittsfläche :math:`A` des Materials. Das Symbol für die stauchende Spannung ist wiederum -:math:`\sigma`, die Einheit ist ebenfalls Pascal. Fuer eine elastische Stauchung +:math:`\sigma`, die Einheit ist ebenfalls Pascal. Für eine elastische Stauchung gilt: .. math:: :label: eqn-druckspannung @@ -298,13 +298,28 @@ auf das eine Ende des Gegenstands, während das andere Ende fest eingespannt ist Das Produkt aus der Länge :math:`l` des Gegenstands und der Kraft :math:`F` entspricht dem wirkenden Drehmoment :math:`M`. +.. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.png + :name: fig-biegung + :alt: fig-biegung + :align: center + :width: 50% + + Richtungen der im Material entstehenden Spannungen bei einer Biegung. + + .. only:: html + + :download:`SVG: Biegung + <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.svg>` + Kennzeichnend für eine Biegung ist eine "neutrale Faser" in der Mitte des Gegenstands. Oberhalb dieser neutralen Faser steht der Gegenstand unter Zugspannung und wird gedehnt, unterhalb der neutralen Faser steht der Gegenstand unter Druckspannung und wird gestaucht. Auf Höhe der neutralen Faser wechselt die Spannung und Dehnung das Vorzeichen -von positiv (Zugspannung) zu negativ (Druckspannung). +von positiv (Zugspannung) zu negativ (Druckspannung). Wird die +Elastizitätsgrenze des Materials auf der Zug- oder Druckseite überschritten, so +geht die Biegung in eine Knickung über. .. _Scherung und Torsion: @@ -416,11 +431,11 @@ Torsionswinkel. Der Proportionalitätsfaktor :math:`G` steht wiederum für der .. :math:`\frac{\tau}{r}` ein zweiter Zusammenhang gilt: Übt man auf das zu .. verdrillende Stabende ein Drehmoment :math:`M` aus, so gilt: -.. .. math:: +.. .. math:: - .. \frac{\tau}{r} = \frac{M}{J _{\rm{T}}} +.. \frac{\tau}{r} = \frac{M}{J_{\mathrm{T}}} -.. Hierbei wird :math:`J _{\rm{T}}` als Torsionssteifigkeit bezeichnet. +.. Hierbei wird :math:`J_{\mathrm{T}}` als Torsionssteifigkeit bezeichnet. .. Bei Torsionen gilt im linear-elastischen Bereich als Zusammenhang zwischen dem .. wirkenden Drehmoment :math:`M` und dem Drehwinkel :math:`\varphi`: :math:`M = k @@ -544,3 +559,14 @@ Kehrwert des Kompressionsmoduls , die so genannte Kompressibilität :math:`\kapp zurück. Beispiele für solche viskoelastischen Stoffe sind hochpolymere Kunststoffe und die menschliche Haut. + +.. raw:: html + +
+ +.. hint:: + + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + +.. :ref:`Experimente ` und diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/fluessigkeiten.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/fluessigkeiten.rst index b12c593..5443f0b 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/fluessigkeiten.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/fluessigkeiten.rst @@ -67,18 +67,18 @@ an den allen Öffnungen senkrecht zur Oberfläche aus. [#]_ p = \frac{F}{A} - Beim Kolbendruck :math:`p _{\rm{k}}` wird die Kraft :math:`F` auf einen + Beim Kolbendruck :math:`p_{\mathrm{k}}` wird die Kraft :math:`F` auf einen Kolben mit der Fläche :math:`A` ausgeübt. *Einheit:* Die Grundeinheit des Drucks, die sich aus der obigen Formel ergibt, ist nach - dem Physiker `Blaise Pascal `_ - benannt. Für ein Pascal :math:`(\unit[1]{Pa})` gilt folgender Zusammenhang: + `Blaise Pascal `_ benannt. Für + ein Pascal :math:`(\unit[1]{Pa})` gilt folgender Zusammenhang: .. math:: - \unit[1]{Pa} &= \unit[1]{\frac{N}{m^2} } \\[6pt] + \unit[1]{Pa} &= \unit[1]{\frac{N}{m^2}} \\[6pt] Größere Drücke, wie sie in der alltäglichen Praxis des öfteren anzutreffen sind, werden häufig in der Einheit "Bar" :math:`(\unit{bar})` @@ -105,9 +105,9 @@ Durch das Eigengewicht der Flüssigkeit wird innerhalb der Flüssigkeit ein mit zunehmender Tiefe immer größer werdender Schweredruck hervorgerufen; dieser wirkt in einer bestimmten Tiefe in alle Raumrichtungen gleich stark. -Die Größe :math:`p _{\rm{s}}` des Schweredrucks lässt sich berechnen, wenn man +Die Größe :math:`p_{\mathrm{s}}` des Schweredrucks lässt sich berechnen, wenn man das Volumen einer Flüssigkeitssäule mit einer Grundfläche :math:`A` und einer -Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = m_{\mathrm{Fl}} \cdot g` betrachtet. +Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m_{\mathrm{Fl}} \cdot g` betrachtet. .. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/schweredruck.png :name: fig-schweredruck @@ -126,7 +126,8 @@ Am Boden der Flüssigkeitssäule gilt: .. math:: - p _{\mathrm{s}} = \frac{F _{\mathrm{G,fl}}}{A } = \frac{m_{\mathrm{Fl}} \cdot g}{A} + p_{\mathrm{s}} = \frac{F_{\mathrm{G,fl}} }{A} = \frac{m_{\mathrm{Fl}} \cdot + g}{A} Die Masse :math:`m` der Flüssigkeit kann auch als Produkt aus ihrer :ref:`Dichte ` :math:`\rho` und ihrem Volumen :math:`V` geschrieben werden. Das @@ -136,7 +137,8 @@ gilt also: .. math:: - m_{\mathrm{Fl}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot V \qquad \text{und} \qquad V = A \cdot h + m_{\mathrm{Fl}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot V \qquad \text{und} \qquad V = A + \cdot h Setzt man :math:`m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot h` in die obere Gleichung ein, so kann die Fläche :math:`A` im Zähler und Nenner gekürzt @@ -145,7 +147,7 @@ werden. Es ergibt sich damit folgende Formel: .. math:: :label: eqn-schweredruck - p _{\mathrm{s}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h + p_{\mathrm{s}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h Der Schweredruck in einer Flüssigkeit hängt, da der Ortsfaktor :math:`g` konstant ist, nur von der Dichte der Flüssigkeit und der Höhe der @@ -156,12 +158,12 @@ Flüssigkeitssäule ab. * Wie hoch ist der Schweredruck des Wassers in :math:`h=\unit[10]{m}` unterhalb der Wasseroberfläche? - Für den Schweredruck gilt mit :math:`\rho _{\mathrm{Wasser}} = + Für den Schweredruck gilt mit :math:`\rho_{\mathrm{Wasser}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}`: .. math:: - p _{\mathrm{s}} = \rho \cdot g \cdot h = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} \cdot + p_{\mathrm{s}} = \rho \cdot g \cdot h = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[10]{m} = \unit[98\,100]{Pa} Der Schweredruck des Wassers in :math:`h=\unit[10]{m}` beträgt somit knapp @@ -174,7 +176,7 @@ Flüssigkeit häufig um die Angabe :math:`\text{(man.)}` ergänzt. Dieses Kürze steht für "Manometer-Druck" und soll darauf hindeuten, dass sich die Druckangabe relativ zum Luftdruck bezieht. Addiert man beispielsweise zu dem Schweredruck von :math:`p_{\mathrm{s}}=\unit[1]{bar} \text{ (man.)}` noch den Luftdruck dazu, -der ebenfalls :math:`p _{\mathrm{Luft}} = \unit[1]{bar}` groß ist, so erhält man +der ebenfalls :math:`p_{\mathrm{Luft}} = \unit[1]{bar}` groß ist, so erhält man :math:`p = \unit[2]{bar} \text{ (abs.)}` als "absoluten" Druck, der in dieser Tiefe vorherrscht. @@ -214,7 +216,7 @@ Druckmessung Die Zunahme des Schweredrucks mit der Höhe der Wassersäule wird bei so genannten "U-Rohr-Manometern" zur Druckmessung genutzt. Als "Manometer" bezeichnet man allgemein Druckmessgeräte, die einen externen, relativ zum Luftdruck -vorherrschenden Druck :math:`p _{\mathrm{ext}}` messen. +vorherrschenden Druck :math:`p_{\mathrm{ext}}` messen. .. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/u-rohr-manometer.png :name: fig-u-rohr-manometer @@ -231,30 +233,31 @@ vorherrschenden Druck :math:`p _{\mathrm{ext}}` messen. <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/u-rohr-manometer.svg>` Wird auf ein Ende eines mit einer Flüssigkeit gefüllten U-Rohrs ein externer Druck -:math:`p _{\mathrm{ext}}` ausgeübt, so wird durch diesen die Flüssigkeit in die +:math:`p_{\mathrm{ext}}` ausgeübt, so wird durch diesen die Flüssigkeit in die andere Hälfte des U-Rohrs verdrängt. Dies erfolgt so lange, bis sich in der anderen Hälfte durch die höhere Wassersäule ein hinreichend großer Schweredruck -aufgebaut hat, der dem externen Druck :math:`p _{\mathrm{ext}}` entgegenwirkt. +aufgebaut hat, der dem externen Druck :math:`p_{\mathrm{ext}}` entgegenwirkt. Im Gleichgewichtsfall gilt: .. math:: :label: eqn-druckmessung-u-rohr-1 - p_{\mathrm{links}} &= p _{\mathrm{rechts}} \\ + p_{\mathrm{links}} &= p_{\mathrm{rechts}} \\ p_{\mathrm{ext}} + p_{\mathrm{s,1}} &= p_{\mathrm{s,2}} \\ - p_{\mathrm{ext}} + \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h_1 &= \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h_2 + p_{\mathrm{ext}} + \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h_1 &= + \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h_2 -Durch diesen Zusammenhang kann unmittelbar die gesuchte Größe :math:`p -_{\mathrm{ext}}` bestimmt werden. Schreibt man :math:`\Delta h = h_2 - h_1`, so -folgt: +Durch diesen Zusammenhang kann unmittelbar die gesuchte Größe +:math:`p_{\mathrm{ext}}` bestimmt werden. Schreibt man :math:`\Delta h = h_2 - +h_1`, so folgt: .. math:: :label: eqn-druckmessung-u-rohr-2 - p_{\mathrm{ext}} = \rho _{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot \Delta h + p_{\mathrm{ext}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot \Delta h -Zur Messung des externen Drucks :math:`p _{\mathrm{ext}}` muss somit lediglich +Zur Messung des externen Drucks :math:`p_{\mathrm{ext}}` muss somit lediglich der sich einstellende Unterschied der Füllhöhen, also eine Länge gemessen werden. Da der Zusammenhang direkt proportional bzw. linear ist, kann durch eine Kalibrierung auf eine bestimmte Flüssigkeit auch eine entsprechende Skala @@ -276,16 +279,15 @@ berücksichtigen; in diesem Fall spricht man von einem Barometer, das .. todo Manometer <-> Barometer; Membran-Manometer Pic -.. - Zwei verschiedene, nicht mischbare Flüssigkeiten mit unterschiedlichen - Dichten :math:`\rho _1` und :math:`\rho _2` -> Höhen stellen sich so ein, - dass Druckausgleich zustande kommt. +.. Zwei verschiedene, nicht mischbare Flüssigkeiten mit unterschiedlichen +.. Dichten :math:`\rho_1` und :math:`\rho_2` -> Höhen stellen sich so ein, +.. dass Druckausgleich zustande kommt. - .. math:: +.. .. math:: - p_1 = p_2 \quad \Leftrightarrow \quad \rho _1 \cdot g \cdot h_1 = \rho_2 - \cdot g \cdot h_2 \\ - \Rightarrow \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho _2}{\rho _1} +.. p_1 = p_2 \quad \Leftrightarrow \quad \rho_1 \cdot g \cdot h_1 = \rho_2 +.. \cdot g \cdot h_2 \\ +.. \Rightarrow \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1} .. Wasserdruck 4,5 bar. Höhe des Wasserspiegels im Wasserturm über Zapfstelle? .. Staumauern eines Stausees unten viel dicker als oben. @@ -320,7 +322,7 @@ ihm der Schweredruck meist vernachlässigbar klein ist. <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulische-anlage.svg>` Auf der anderen Seite der hydraulischen Anlage befindet sich ein zweiter Kolben -mit (verhältnismäßig) großer Querschnittsfläche :math:`A _{\rm{2}}`. Da +mit (verhältnismäßig) großer Querschnittsfläche :math:`A_2`. Da innerhalb der Flüssigkeit der Kolbendruck :math:`p = \frac{F}{A}` an allen Stellen gleich groß ist, wird beim Hineinpressen des kleinen Kolbens eine Kraft auf den großen Kolben ausgeübt, die um das Verhältnis der Kolbenflächen @@ -328,13 +330,12 @@ verstärkt ist: .. math:: - p &= \frac{F _{\rm{1}}}{A _{\rm{1}}} = \frac{F _{\rm{2}}}{A _{\rm{2}}} \\ + p &= \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \\ .. math:: :label: eqn-hydraulische-anlage - \quad \Leftrightarrow \quad F _{\rm{1}} &= \frac{A _{\rm{1}}}{A _{\rm{2}}} - \cdot F _{\rm{2}} + \quad \Leftrightarrow \quad F_1 &= \frac{A_1}{A_2} \cdot F_2 Diese zunächst unerwartete Tatsache, dass eine kleine schwache Kraft auf den kleinen Kolben eine große Kraft am großen Kolben bewirkt, kann man sich @@ -350,24 +351,23 @@ Eine hydraulische Anlage stellt somit ebenfalls einen :ref:`Kraftwandler ` dar. Die :ref:`goldene Regel der Mechanik ` gilt unverändert: Um den großen Kolben um eine Höhe :math:`s_2` anzuheben, muss man den kleinen Kolben um eine entsprechend längere -Wegstrecke :math:`s _{\rm{1}}` bewegen. Es gilt mit der obigen Gleichung +Wegstrecke :math:`s_1` bewegen. Es gilt mit der obigen Gleichung :eq:`eqn-hydraulische-anlage`: .. math:: - F _{\rm{1}} \cdot s _{\rm{1}} &= F _{\rm{2}} \cdot s _{\rm{2}} \\ - \Leftrightarrow \quad F _{\rm{1}} \cdot s _{\rm{1}} &= \frac{A _{\rm{2}}}{A - _{\rm{1}}} \cdot F _{\rm{1}} \cdot s _{\rm{2}} + F_1 \cdot s_1 &= F_2 \cdot s_2 \\ + \Leftrightarrow \quad F_1 \cdot s_1 &= \frac{A_2}{A_1} \cdot F_1 \cdot s_2 -Hierbei kann man die Kraft :math:`F _{\rm{1}}`, die als gemeinsamer Faktor auf +Hierbei kann man die Kraft :math:`F_1`, die als gemeinsamer Faktor auf beiden Seiten der Gleichung auftritt, kürzen. Für das Verhältnis der zurückgelegten Wegstrecken folgt damit: .. math:: :label: eqn-hydraulische-anlage-kraftwandler - s _{\rm{1}} = \frac{A _{\rm{2}}}{A _{\rm{1}}} \cdot s _{\rm{2}} + s_1 = \frac{A_2}{A_1} \cdot s_2 Um den großen Kolben nennenswert nach oben zu bringen, müsste der kleine Kolben wesentlich länger sein. Als Alternative hierzu kann ein Ventil-System und ein @@ -447,7 +447,7 @@ Statischer Auftrieb in Flüssigkeiten ------------------------------------ Ist ein Körper mit einem Volumen :math:`V` von einer Flüssigkeit umgeben, so -erfährt er durch diese eine Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}.` Diese resultiert +erfährt er durch diese eine Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}.` Diese resultiert aus der Tatsache, dass der Schweredruck innerhalb einer Flüssigkeit mit der Tiefe zunimmt. @@ -468,44 +468,44 @@ Tiefe zunimmt. Die horizontalen Kräfte, die durch den Druck der umgebenden Flüssigkeit auf den Körper einwirken, sind jeweils paarweise gleich groß und heben sich in ihrer Wirkung gegenseitig auf (sofern der Körper nicht komprimierbar ist). Die nach -unten bzw. oben gerichteten Kräfte :math:`F _{\rm{1}}` und :math:`F _{\rm{2}}` +unten bzw. oben gerichteten Kräfte :math:`F_1` und :math:`F_2` hingegen sind aufgrund der Druckdifferenz unterschiedlich groß. -Bezeichnet man mit :math:`A _{\rm{1}} = A _{\rm{2}} = A` die Grund- bzw. -Deckfläche des Körpers, so gilt: +Bezeichnet man mit :math:`A_1 = A_2 = A` die Grund- bzw. Deckfläche des Körpers, +so gilt: .. math:: - \Delta F = F _{\rm{2}} - F _{\rm{1}} = p _{\rm{2}} \cdot A - p _{\rm{1}} - \cdot A = A \cdot (p _{\rm{2}} - p _{\rm{1}}) + \Delta F = F_2 - F_1 = p_2 \cdot A - p_1 + \cdot A = A \cdot (p_2 - p_1) -Die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}` ist mit der Kraftdifferenz :math:`\Delta -F = F _{\rm{2}} - F _{\rm{1}}` identisch. Zur Berechnung ihres Betrags kann nach -Gleichung :eq:`eqn-schweredruck` für den Schweredruck :math:`p _{\rm{1}}` bzw. -:math:`p _{\rm{2}}` wiederum :math:`p _{\rm{1}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot h -_{\rm{1}}` bzw. :math:`p _{\rm{2}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot h _{\rm{2}}` eingesetzt -werden, wobei :math:`\rho` die Dichte der Flüssigkeit bezeichnet: +Die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}` ist mit der Kraftdifferenz +:math:`\Delta F = F_2 - F_1` identisch. Zur Berechnung ihres Betrags kann nach +Gleichung :eq:`eqn-schweredruck` für den Schweredruck :math:`p_1` bzw. +:math:`p_2` wiederum :math:`p_1 = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h _1` bzw. +:math:`p_2 = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot h_2` eingesetzt werden, wobei +:math:`\rho` die Dichte der Flüssigkeit bezeichnet: .. math:: - F _{\rm{A}} = \Delta F &= A \cdot (p _{\rm{2}} - p _{\rm{1}}) \\&= A \cdot \left( \rho \cdot g - \cdot h _{\rm{2}} - \rho \cdot g \cdot h _{\rm{1}} \right) \\ &= A \cdot \rho \cdot g - \cdot (h _{\rm{2}} - h _{\rm{1}}) + F_{\mathrm{A}} = \Delta F &= A \cdot (p_2 - p_1) \\ + &= A \cdot \left( \rho \cdot g \cdot h_2 - \rho \cdot g \cdot h_1 \right) \\ + &= A \cdot \rho \cdot g \cdot (h_2 - h_1) -Hierbei bezeichnen :math:`h _{\rm{1}}` und :math:`h _{\rm{2}}` die +Hierbei bezeichnen :math:`h_1` und :math:`h_2` die Eintauchtiefen der Ober- bzw. Unterseite des Körpers, ihre Differenz -:math:`\Delta h = h _{\rm{2}} - h _{\rm{1}}` entspricht der Höhe :math:`h -_{\rm{k}}` des Körpers. Mit :math:`V _{\rm{k}} = A \cdot h _{\rm{k}}` ergibt +:math:`\Delta h = h_2 - h_1` entspricht der Höhe :math:`h +_{\mathrm{k}}` des Körpers. Mit :math:`V_{\mathrm{k}} = A \cdot h_{\mathrm{k}}` ergibt sich für die Auftriebskraft folgende Formel: .. math:: :label: eqn-auftriebskraft - F _{\rm{A}} = \rho \cdot g \cdot V _{\rm{k}} + F _{\mathrm{A}} = \rho \cdot g \cdot V_{\mathrm{k}} Der Betrag der Auftriebskraft hängt somit ausschließlich von der Dichte -:math:`\rho = \rho _{\rm{Fl}}` der Flüssigkeit und dem Volumen :math:`V -_{\rm{k}}` des eintauchenden Körpers ab. +:math:`\rho = \rho_{\mathrm{Fl}}` der Flüssigkeit und dem Volumen :math:`V +_{\mathrm{k}}` des eintauchenden Körpers ab. .. Das Volumen des eingetauchten Körpers entspricht dem Volumen der .. verdrängeten Flüssigkeit @@ -513,65 +513,65 @@ _{\rm{k}}` des eintauchenden Körpers ab. .. index:: Archimedisches Prinzip Da jeder Festkörper beim Eintauchen genau so viel Volumen an Flüssigkeit -verdrängt wie er selbst an Volumen besitzt, gilt :math:`V _{\rm{fl}} = V -_{\rm{k}}`; man kann also auf den Index verzichten und einfach :math:`V` für das -Volumen des eintauchenden Körpers bzw. der verdrängten Flüssigkeit schreiben. -Dieser empirisch gefundene Sachverhalt wird nach seinem Entdecker `Archimedes -`_ auch als "Archimedisches Prinzip" -bezeichnet. Die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}` ist somit gleich der -Gewichtskraft :math:`\rho \cdot V \cdot g = m \cdot g` der verdrängten -Flüssigkeit. Allgemein gilt: +verdrängt wie er selbst an Volumen besitzt, gilt :math:`V_{\mathrm{fl}} = +V_{\mathrm{k}}`; man kann also auf den Index verzichten und einfach :math:`V` +für das Volumen des eintauchenden Körpers bzw. der verdrängten Flüssigkeit +schreiben. Dieser empirisch gefundene Sachverhalt wird nach seinem Entdecker +`Archimedes `_ auch als +"Archimedisches Prinzip" bezeichnet. Die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}` +ist somit gleich der Gewichtskraft :math:`\rho \cdot V \cdot g = m \cdot g` der +verdrängten Flüssigkeit. Allgemein gilt: .. math:: - \frac{F _{\rm{A}}}{F _{\rm{G}}} = \frac{\rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot - V}{\rho _{\rm{K}} \cdot g \cdot V} = \frac{\rho _{\rm{Fl}}}{\rho _{\rm{K}}} + \frac{F_{\mathrm{A}}}{F_{\mathrm{G}}} = \frac{\rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot + V}{\rho_{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V} = \frac{\rho_{\mathrm{Fl}}}{\rho_{\mathrm{K}}} Dieser Zusammenhang kann genutzt werden, um mittels einer Messung der -Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` eines Körpers in Luft und der verringerten -Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}^{*} = F _{\rm{G}} - F _{\rm{A}}` in Wasser -einerseits die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}` und gleichzeitig, da die -Dichte :math:`\rho _{\rm{Wasser}} = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}}` bekannt ist, auch -die Dichte :math:`\rho _{\rm{K}}` des Körpers zu berechnen: +Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` eines Körpers in Luft und der verringerten +Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}^{*} = F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}}` in +Wasser einerseits die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}` und gleichzeitig, da +die Dichte :math:`\rho_{\mathrm{Wasser}} = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}}` bekannt +ist, auch die Dichte :math:`\rho_{\mathrm{K}}` des Körpers zu berechnen: .. math:: - \rho _{\rm{K}} = \frac{F _{\rm{G}}}{F _{\rm{G}} - F _{\rm{G}}^{*}} \cdot - \rho _{\rm{Fl}} = \frac{F _{\rm{G}}}{F _{\rm{A}}} \cdot \rho _{\rm{Fl}} + \rho_{\mathrm{K}} = \frac{F_{\mathrm{G}}}{F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{G}}^{*}} \cdot + \rho_{\mathrm{Fl}} = \frac{F_{\mathrm{G}}}{F_{\mathrm{A}}} \cdot \rho_{\mathrm{Fl}} .. _Schwimmen, Sinken und Schweben: -Die Dichte :math:`\rho _{\rm{K}}` des Körpers hat keine Auswirkung auf die +Die Dichte :math:`\rho_{\mathrm{K}}` des Körpers hat keine Auswirkung auf die Auftriebskraft, entscheidet aber darüber, ob er in der Flüssigkeit aufsteigt (schwimmt), unverändert an gleicher Stelle bleibt (schwebt) oder sich nach unten bewegt (sinkt). -* Ist :math:`\rho _{\rm{K}} > \rho _{\rm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft - :math:`F _{\rm{G}} = \rho _{\rm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers größer als - die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}`, die der Körper durch das Eintauchen in +* Ist :math:`\rho_{\mathrm{K}} > \rho_{\mathrm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft + :math:`F_{\mathrm{G}} = \rho_{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers größer als + die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}`, die der Körper durch das Eintauchen in die Flüssigkeit erfährt. In diesem Fall sinkt der Körper nach unten. Die resultierende Kraft (seine - "scheinbare" Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}^{*}`) ist gleich der Differenz + "scheinbare" Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}^{*}`) ist gleich der Differenz aus Gewichts- und Auftriebskraft, also: .. math:: - F _{\rm{G}}^{*} = | F _{\rm{G}} - F _{\rm{A}} | = | \rho _{\rm{K}} - \rho - _{\rm{Fl}} | \cdot g \cdot V + F_{\mathrm{G}}^{*} = | F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} | = + | \rho_{\mathrm{K}} - \rho _{\mathrm{Fl}} | \cdot g \cdot V .. Uebungsaufgabe Scheinbarer Verlust eines Teils der Gewichtskraft. -* Ist :math:`\rho _{\rm{K}} = \rho _{\rm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft - :math:`F _{\rm{G}} = \rho _{\rm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers gleich der - Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}}`. +* Ist :math:`\rho_{\mathrm{K}} = \rho_{\mathrm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft + :math:`F_{\mathrm{G}} = \rho_{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers gleich der + Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}`. In diesem Fall "schwebt" der Körper, behält also seine Position bei. -* Ist :math:`\rho _{\rm{K}} < \rho _{\rm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft - :math:`F _{\rm{G}} = \rho _{\rm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers kleiner als - die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot V.` +* Ist :math:`\rho_{\mathrm{K}} < \rho_{\mathrm{Fl}}`, so ist die Gewichtskraft + :math:`F_{\mathrm{G}} = \rho_{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V` des Körpers kleiner als + die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V.` In diesem Fall schwimmt der Körper an der Oberfläche bzw. steigt nach oben. Auch in diesem Fall ist die resultierende Kraft gleich der Differenz aus @@ -580,8 +580,8 @@ bewegt (sinkt). .. math:: - F _{\rm{G}}^{*} = | F _{\rm{G}} - F _{\rm{A}} | = | \rho _{\rm{Fl}} - \rho - _{\rm{K}} | \cdot g \cdot V + F_{\mathrm{G}}^{*} = | F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} | = | \rho_{\mathrm{Fl}} - \rho + _{\mathrm{K}} | \cdot g \cdot V Ein schwimmender Körper befindet sich zum Teil über, zum Teil in der Flüssigkeit. Er taucht soweit ein, bis sich ein Gleichgewicht zwischen seiner @@ -590,18 +590,18 @@ bewegt (sinkt). .. math:: - F_{\mathrm{G}} = F_{\mathrm{A}} \quad \Longleftrightarrow \quad \rho - _{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K,ges}} = \rho _{\mathrm{Fl}} \cdot - g \cdot V _{\mathrm{K,nass}} + F_{\mathrm{G}} = F_{\mathrm{A}} \quad \Longleftrightarrow \quad + \rho_{\mathrm{K}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K,ges}} = \rho_{\mathrm{Fl}} + \cdot g \cdot V_{\mathrm{K,nass}} Hierbei kann man den Ortsfaktor :math:`g`, der auf beiden Seiten der Gleichung auftritt, kürzen. Löst man die verbleibende Gleichung nach dem eintauchenden - Volumen-Anteil :math:`V _{\mathrm{K,nass}}` des Körpers auf, so folgt: + Volumen-Anteil :math:`V_{\mathrm{K,nass}}` des Körpers auf, so folgt: .. math:: - \frac{V _{\mathrm{k,nass}}}{V _{\mathrm{K}}} = \frac{\rho - _{\mathrm{K}}}{\rho _{\mathrm{Fl}}} + \frac{V_{\mathrm{k,nass}}}{V_{\mathrm{K}}} = + \frac{\rho_{\mathrm{K}}}{\rho_{\mathrm{Fl}}} Der eintauchende Anteil des Körpervolumens :math:`V_{\mathrm{K,nass}}` entspricht also dem Verhältnis @@ -629,14 +629,9 @@ bewegt (sinkt). enthält. Je geringer die Dichte der Flüssigkeit ist, desto tiefer taucht das Aräometer in die Flüssigkeit ein. - -.. der restliche Teil -.. :math:`V_{\mathrm{K,trocken}}` des Körpers schwimmt oberhalb der -.. Flüssigkeitsoberfläche. [#]_ - -.. Dichte von Fluessigkeiten: Aus der Eintauchtiefe des oberen, zylinderförmigen +.. Dichte von Flüssigkeiten: Aus der Eintauchtiefe des oberen, zylinderförmigen .. Teils eines Aräometers kann man die Dichte einer Flüssigkeit sehr genau bestimmen, da -.. \rho _{\rm{Fl}} = \rho _{\rm{K}} \cdot (V _{\rm{K}}/ V _{\rm{Fl}}) = konst / VFl. +.. \rho_{\mathrm{Fl}} = \rho_{\mathrm{K}} \cdot (V_{\mathrm{K}}/ V_{\mathrm{Fl}}) = konst / VFl. Die genannte Form des Auftriebs wird "statischer" Auftrieb genannt. Es gilt @@ -644,14 +639,16 @@ sowohl, wenn sich der eintauchende Körper und die Flüssigkeit relativ zueinand bewegen als auch wenn sich Körper und Flüssigkeit in der Ruhelage befinden. .. index:: Bernoulli-Gleichung -.. _Die Bernoulli-Gleichung: +.. _Kontinuitäts-Gleichung: +.. _Bernoulli-Gleichung: +.. _Volumenstrom: -Die Bernoulli-Gleichung ------------------------ +Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung +------------------------------------- Fließt eine Flüssigkeit kontinuierlich durch ein Rohrleitungssystem ohne Speichermöglichkeiten, so strömt in jedes beliebige Volumenelement immer genauso -viel Masse hinein wie auch wieder heraus strömt (Kontinuitätsbedingung). Kann +viel Masse hinein wie auch wieder heraus strömt ("Kontinuitätsbedingung"). Kann die Reibung vernachlässigt werden und ist die Flüssigkeit inkompressibel, so muss damit an engen Stellen des Rohrsystems eine höhere Strömungsgeschwindigkeit auftreten als an Bereichen mit weitem Rohrquerschnitt. @@ -667,7 +664,6 @@ auftreten als an Bereichen mit weitem Rohrquerschnitt. .. only:: html - :download:`SVG: Kontinuitätsbediung <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kontinuitaetsbedingung-bernoulli.svg>` @@ -686,9 +682,9 @@ Strecke :math:`s` beschreiben. Somit gilt: \cdot A \cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} = \rho \cdot A \cdot v Durch zwei benachbarte Rohrstücke mit den Querschnitten :math:`A_1` und -:math:`A_2` fließt aufgrund der Kontinuitätsbedingung stets ein gleicher -Massenstrom. Für die Strömungsgeschwindigkeiten :math:`v_1` und :math:`v_2` in -den Rohrstücken gilt also: +:math:`A_2` fließt aufgrund der Kontinuitätsbedingung stets ein gleicher Massen- +beziehungsweise Volumenstrom. Für die Strömungsgeschwindigkeiten :math:`v_1` und +:math:`v_2` in den Rohrstücken gilt also: .. math:: @@ -699,52 +695,55 @@ Bei einer reibungslosen Flüssigkeit verhalten sich die Strömungsgeschwindigkeiten somit umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt. Überprüft man mit einem Manometer an verschiedenen Stellen der Rohrleitung den -statischen Druck :math:`p _{\rm{st}}` der Flüssigkeit, so zeigt sich, dass an +statischen Druck :math:`p_{\mathrm{st}}` der Flüssigkeit, so zeigt sich, dass an den engen Stellen mit größeren Geschwindigkeiten *geringere* statische Druckwerte gemessen werden. Diese zunächst etwas verblüffend wirkende Tatsache wird als "hydrodynamisches Paradoxon" bezeichnet; sie kann dadurch erklärt werden, dass an allen Stellen der Flüssigkeit ein gleich großer Gesamtdruck -:math:`p _{\rm{ges}}` vorliegt. Dieser Gesamtdruck wiederum ist gleich der Summe -des statischen Drucks :math:`p _{\rm{st}} = \rho \cdot g \cdot h` und des -dynamischen Drucks ("Staudruck") :math:`p _{\rm{dyn}} = \frac{1}{2}\cdot \rho -\cdot v^2` der Flüssigkeit: +:math:`p_{\mathrm{ges}}` vorliegt. Dieser Gesamtdruck wiederum ist gleich der Summe +des statischen Drucks :math:`p_{\mathrm{st}} = \rho \cdot g \cdot h` und des +dynamischen Drucks ("Staudruck") :math:`p_{\mathrm{dyn}} = \frac{1}{2}\cdot \rho +\cdot v^2` der Flüssigkeit: [#]_ .. math:: :label: eqn-bernoulli - p _{\rm{ges}} = p _{\rm{st}} + p _{\rm{dyn}} = \rho \cdot g \cdot h + + p_{\mathrm{ges}} = p_{\mathrm{st}} + p_{\mathrm{dyn}} = \rho \cdot g \cdot h + \frac{1}{2}\cdot \rho \cdot v^2 = \text{konst} -Dieser Zusammenhang wird als Bernoulli-Gleichung bezeichnet. Nimmt der +Dieser Zusammenhang wird als Bernoulli-Gleichung bezeichnet: Nimmt der dynamische Druck aufgrund einer zunehmenden Strömungsgeschwindigkeit zu, so muss dafür der statische Druck abnehmen. Der statische Druck :math:`p -_{\rm{st}}` wirkt gleichmäßig in alle Richtungen, der dynamische Druck -:math:`p _{\rm{dyn}}` hingegen ausschließlich auf Flächen, die senkrecht zur +_{\mathrm{st}}` wirkt gleichmäßig in alle Richtungen, der dynamische Druck +:math:`p_{\mathrm{dyn}}` hingegen ausschließlich auf Flächen, die senkrecht zur Strömungsrichtung stehen. Die Bernoulli-Gleichung wird in zahlreichen technischen Bereichen genutzt: * Bei einer Wasserstrahlpumpe lässt man Wasser durch eine sich verengendes - Rohrstück strömen. Mit der zunehmenden Wassergeschwindigkeit an der - offenen Engstelle nimmt der statische Druck ab. Als Folge davon wird Luft - (oder ein anderes Fluid) durch den Seitenstutzen angesaugt. + Rohrstück strömen. Mit der zunehmenden Wassergeschwindigkeit an der offenen + Engstelle nimmt der ausschließlich in Strömungsrichtung wirkende dynamische + Druck :math:`p_{\mathrm{dyn}}` zu, der allseitig wirkende statische Druck + :math:`p_{\mathrm{st}}` hingegen ab. Als Folge davon wird Luft (oder ein + anderes Fluid) durch den Seitenstutzen "angesaugt". .. TODO pics z.B. Haas 78f. * Zerstäuber in Sprayflaschen funktionieren auf ähnliche Weise: Vor der Düse sorgt eine schnelle Luftströmung für eine Reduzierung des statischen - (Luft-)Drucks und damit für ein Ansaugen der Flüssigkeit in dem - Zerstäuberrohr. + Luftdrucks und damit für ein "Ansaugen" der Flüssigkeit in dem Zerstäuberrohr. * Mit einer so genannten Messblende kann die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids in einer Röhre bestimmt werden. +.. Bunsen-Brenner + Das obige Bernoulli-Prinzip gilt nicht nur für Flüssigkeiten, sondern auch für Gase, wobei es für die Flugfähigkeit von Körpern von entscheidender Bedeutung -ist ("dynamischer Auftrieb"). In beiden Fällen müssen bei kleinen -Rohrdurchmessern und/oder hohen Strömungsgeschwindigkeiten Reibungseffekte -und Turbulenzen berücksichtigt werden. +ist ("dynamischer Auftrieb"). In beiden Fällen müssen allerdings bei kleinen +Rohrdurchmessern und/oder hohen Strömungsgeschwindigkeiten Reibungseffekte und +Turbulenzen berücksichtigt werden. .. Ursache von Strömungen: Druckdifferenz oder Höhenunterschied; Strömung .. findet von Steller mit hohem zu Stelle mit niedrigem Druck statt. @@ -782,7 +781,7 @@ entlang der Grundfläche, so ist zum Aufrechthalten der Bewegung eine Kraft Glases, zur Geschwindigkeit :math:`v` der Bewegung und zur Viskosität :math:`\eta` der Flüssigkeit; zudem ist die Kraft umgekehrt proportional zur Dicke :math:`s` der Flüssigkeitsschicht. Insgesamt gilt also für diese zur -Überwindung der Reibung nötige Kraft :math:`F \rm{:}` +Überwindung der Reibung nötige Kraft :math:`F \mathrm{:}` .. math:: @@ -801,8 +800,8 @@ ausgedrückt werden: .. math:: - [\eta] = \unit[]{\frac{N \cdot m}{m^2 \cdot \frac{m}{s}}} = \unit[]{\frac{N - \cdot s}{m^2}} = \unit[]{Pa \cdot s} + [\eta] = \unit{\frac{N \cdot m}{m^2 \cdot \frac{m}{s}}} = \unit{\frac{N + \cdot s}{m^2}} = \unit{Pa \cdot s} Viskositäten von Flüssigkeiten werden üblicherweise bei einer Temperatur von :math:`\unit[20]{\degree C}` angegeben, da sie stark temperaturabhängig sind. @@ -823,7 +822,7 @@ in Tabellen allgemein oft in Millipaskalsekunden angeben. [#]_ :name: tab-viskositaeten * - Substanz - - Viskosität :math:`\eta` in :math:`\unit[]{mPa \cdot s}` + - Viskosität :math:`\eta` in :math:`\unit{mPa \cdot s}` * - Aceton - :math:`0,32` * - Benzol @@ -844,9 +843,57 @@ in Tabellen allgemein oft in Millipaskalsekunden angeben. [#]_ - :math:`0,80` .. index:: Viskosimeter +.. _Messung der Viskosität einer Flüssigkeit: + +.. rubric:: Messung der Viskosität einer Flüssigkeit + +Experimentell kann die Viskosität einer Flüssigkeit mit folgenden Methoden +bestimmt werden: + +* Bei Kugelfall-Viskosimetern lässt man eine Kugel mit einem Radius + :math:`r_{\mathrm{K}}` und einer Dichte :math:`\rho_{\mathrm{K}}` in einem + Behälter absinken, der mit der zu untersuchenden Flüssigkeit gefüllt ist. + + .. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kugelfall-viskosimeter.png + :name: fig-viskositaet-kugelfall + :alt: fig-viskositaet-kugelfall + :align: center + :width: 30% + + Prinzip eines Kugelfall-Viskosimeters: Die Kugel sinkt aufgrund des + Kräfte-Gleichgewichts mit konstanter Geschwindigkeit + + .. only:: html + -Experimentell wird die Viskosität einer Flüssigkeit üblicherweise mit einem -Rotations- oder Kapillarviskosimeter bestimmt: + :download:`SVG: Kugelfall-Viskosimeter + <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kugelfall-viskosimeter.svg>` + + Die Kugel erfährt in diesem Fall eine von ihrer Geschwindigkeit :math:`v` + abhängige Reibungskraft, für die `George Stokes + `_ folgende Formel fand: + + .. math:: + + F_{\mathrm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v + + Mit einer zunehmenden Sink-Geschwindigkeit der Kugel wird auch die wirkende + Reibungskraft größer, bis sich ein Kräfte-Gleichgewicht zwischen der + Stokeschen Reibungskraft, der Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` der Kugel + und der Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}}` einstellt: + + .. math:: + + F_{\mathrm{R}} &= F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} \\[6pt] + 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r_{\mathrm{K}}\cdot v &= (\rho_{\mathrm{K}} - + \rho_{\mathrm{Fl}}) \cdot V_{\mathrm{K}} \cdot g \\[6pt] + \eta &= \frac{(\rho_{\mathrm{K}} - \rho_{\mathrm{Fl}}) \cdot + V_{\mathrm{K}} \cdot g}{6 \cdot \pi \cdot r_{\mathrm{K}} \cdot v} + \\[6pt] + + Die Viskosität der Flüssigkeit kann also unmittelbar berechnet werden, wenn + die Dichten der Flüssigkeit und der Kugel sowie der Kugelradius bekannt sind + und die Geschwindigkeit der konstant sinkenden Kugel gemessen wird. * Bei Rotationsviskosimetern wird ein Zylinder in ein ebenfalls zylindrisches Messgefäß mit einem etwas größeren Durchmesser getaucht. Zwischen beide @@ -864,6 +911,7 @@ Rotations- oder Kapillarviskosimeter bestimmt: berechnet werden, indem man diese mit der Dichte :math:`\rho` der Flüssigkeit und einer für den Apparat angegebenen Konstanten :math:`K` multipliziert. + .. index:: single: Strömung single: Strömung; laminare Strömung @@ -900,9 +948,9 @@ hin zu. Die Strömungsgeschwindigkeit von Fluiden wird häufig durch den so genannten Volumenstrom :math:`\dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t}` beschrieben. Für eine laminare Strömung eines Fluids durch ein Rohr mit einem Radius :math:`r` und -einer Länge :math:`l` haben der Ingenieur `Gotthilf Hagen -`_ und der Arzt -`Jean Poiseuille `_ +einer Länge :math:`l` haben `Gotthilf Hagen +`_ und `Jean +Poiseuille `_ folgende Formel entdeckt, die auch die Viskosität :math:`\eta` der Flüssigkeit berücksichtigt: @@ -925,7 +973,7 @@ folgende Bedingungen zumindest näherungsweise erfüllt sind: #. Die Flüssigkeitsteilchen an der Rohrwand sind in Ruhe, für sie gilt also :math:`v = 0`. Haftet die Flüssigkeit nicht an der Rohrwand, so wird dies vom Hagen-Poiseuilleschen Gesetz nicht berücksichtigt. -#. Die Dichte :math:`\rho _{\rm{Fl}}` der Flüssigkeit ist konstant, sie ändert +#. Die Dichte :math:`\rho_{\mathrm{Fl}}` der Flüssigkeit ist konstant, sie ändert sich also mit zunehmendem Druck nicht. Eine solche Inkompressibilität gilt in sehr guter Näherung für Flüssigkeiten, bei Gasen nur bei nicht zu hohen Strömungsgeschwindigkeiten. @@ -963,22 +1011,22 @@ genutzt werden. Setzt man die Druck die Druckdifferenz :math:`\Delta p` zwischen Anfang und Ende einer Rohrleitung in Relation zum Volumenstrom :math:`\dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t}`, so erhält man den so genannten Strömungswiderstand :math:`R -_{\rm{s}}`. Es gilt also: +_{\mathrm{s}}`. Es gilt also: .. math:: :label: eqn-stroemungswiderstand - R _{\rm{s}} = \frac{\Delta p}{\dot{V}} + R_{\mathrm{s}} = \frac{\Delta p}{\dot{V}} Der Strömungswiderstand ist nicht nur abhängig von der Geometrie des Rohres, -sondern auch noch von der Zähigkeit der durchströmenden Flüssigkeit. Der -Strömungswiderstand wird in der Einheit :math:`\unit{\frac{N \cdot s}{m^5}}` -angegeben; sein Kehrwert wird "Leitwert" einer Kapillare genannt: +sondern auch noch von der Zähigkeit der durchströmenden Flüssigkeit; er wird in +der Einheit :math:`\unit{\frac{N \cdot s}{m^5}}` angegeben. Der Kehrwert des +Strömungswiderstands wird "Leitwert" einer Kapillare genannt: .. math:: :label: eqn-leitwert-einer-stroemung - L = \frac{1}{R _{\rm{s}}} + L = \frac{1}{R_{\mathrm{s}}} Setzt man das Hagen-Poiseuillesche Gesetz :eq:`eqn-hagen-poiseuille` in die Definition des Strömungswiderstand ein, so ergibt sich mit :math:`A = \pi \cdot @@ -987,22 +1035,28 @@ Strömungswiderstand in einem Rohr mit runder Querschnittsfläche: .. math:: - R _{\rm{s}} = \frac{8 \cdot \pi \cdot \eta \cdot l}{A^2} + R_{\mathrm{s}} = \frac{8 \cdot \pi \cdot \eta \cdot l}{A^2} Je geringer der Strömungswiderstand einer Newtonschen Flüssigkeit in einem Gefäß ist, desto steiler verläuft die Gerade im obigen -Volumenstromstärke-Druckdifferenz-Diagramm. +Volumenstromstärke-Druckdifferenz-Diagramm. Da der Strömungswiderstand sowohl +proportional zur Druckdifferenz :math:`\Delta p` als auch proportional zur Länge +:math:`l` des Rohres ist, ergibt sich auch ein direkt proportionaler +Zusammenhang zwischen :math:`\Delta p` und :math:`\rho`: Bei konstantem +Durchmesser nimmt der Druck linear mit der Länge :math:`l` des Rohres ab. + +.. pic Muss eine Flüssigkeit mehrere Gefäße mit den Strömungswiderständen :math:`R_1,\, R_2,\, \ldots` nacheinander durchlaufen, so ist der insgesamt -auftretende Strömungswiderstand :math:`R _{\rm{Ges}}` gleich der Summe aller +auftretende Strömungswiderstand :math:`R_{\mathrm{Ges}}` gleich der Summe aller Teilwiderstände. Für eine "Reihenschaltung" mehrerer Strömungswiderstände gilt also: .. math:: - R _{\rm{Ges}} = R_1 + R_2 + \ldots + R_{\mathrm{Ges}} = R_1 + R_2 + \ldots Können im umgekehrten Fall mehrere Kapillaren parallel durchlaufen werden, so addieren sich die Kehrwerte der Strömungswiderstände zum Kehrwert des @@ -1014,8 +1068,8 @@ Für eine "Parallelschaltung" mehrerer Strömungswiderstände gilt somit: .. math:: - {\color{white}bzw. \quad }\frac{1}{R _{\rm{Ges}}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots \quad - \text{bzw.} \\[8pt] L _{\rm{Ges}} &= L_1 + L_2 + \ldots + {\color{white}bzw. \quad }\frac{1}{R_{\mathrm{Ges}}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots \quad + \text{bzw.} \\[8pt] L_{\mathrm{Ges}} &= L_1 + L_2 + \ldots Bei einer Reihenschaltung ist der Gesamt-Strömungswiderstand somit größer als der größte Teilwiderstand, bei einer Parallelschaltung geringer als der kleinste @@ -1055,59 +1109,55 @@ der herznahen Aorta bei einer Strömungsgeschwindigkeit von :math:`\unit[50 Venenentzündungen, können allerdings ebenfalls Wirbelbildungen begünstigen und zur Entstehung von Thrombosen führen. -.. - Die Formel ist analog zum Ohmschen Gesetz der Elektrizitätslehre. Es - entsprechen sich dabei: +.. Die Formel ist analog zum Ohmschen Gesetz der Elektrizitätslehre. Es +.. entsprechen sich dabei: - * Rohrsystem <=> Stromkreis - * Druckdifferenz \Delta p <=> Spannung U - * Stromstärke i (Volumen) <=> Stromstärke I - * Strömungswiderstand W <=> Elektrischer Widerstand R +.. * Rohrsystem <=> Stromkreis +.. * Druckdifferenz \Delta p <=> Spannung U +.. * Stromstärke i (Volumen) <=> Stromstärke I +.. * Strömungswiderstand W <=> Elektrischer Widerstand R - Bei Serienschaltung gilt: +.. Bei Serienschaltung gilt: - Der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung wird immer größer als der größte - Einzelwiderstand. +.. Der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung wird immer größer als der größte +.. Einzelwiderstand. - Verlaufen mehrere Rohre parallel zueinander, so gilt: +.. Verlaufen mehrere Rohre parallel zueinander, so gilt: - .. math:: +.. .. math:: - \frac{1}{R _{\rm{s}}} = \frac{1}{R_S1} + \frac{1 }{R _{\rm{s2}}} + - \ldots +.. \frac{1}{R_{\mathrm{s}}} = \frac{1}{R_S1} + \frac{1 }{R_{\mathrm{s2}}} + +.. \ldots - Der Gesamtwiderstand eine Parallelschaltung wird immer kleiner als der kleinste - Einzelwiderstand. +.. Der Gesamtwiderstand eine Parallelschaltung wird immer kleiner als der kleinste +.. Einzelwiderstand. -.. - Das Stokessche Gesetz bezieht sich wieder auf Kräfte, die durch die innere - Reibung der Gas- oder Flüssigkeitsschichten entstehen; Es gilt nur für +.. Das Stokessche Gesetz bezieht sich wieder auf Kräfte, die durch die innere +.. Reibung der Gas- oder Flüssigkeitsschichten entstehen; Es gilt nur für - Reibungskraft :math:`F _{\rm{R}}`: Sie ist immer der Bewegung - entgegengerichtet und ihr Betrag berechnet sich nach der STOKES'schen - Formel: +.. Reibungskraft :math:`F_{\mathrm{R}}`: Sie ist immer der Bewegung +.. entgegengerichtet und ihr Betrag berechnet sich nach der STOKES'schen +.. Formel: - .. math:: +.. .. math:: - F _{\rm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v +.. F_{\mathrm{R}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v -.. - .. [#] Der Volumenstrom :math:`\dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t}` kann ebenso - als Produkt der Querschnittsfläche :math:`A` der Rohrleitung und der - mittleren Strömungsgeschwindigkeit :math:`\bar{v}` der Flüssigkeit - beschrieben werden: +.. .. [#] Der Volumenstrom :math:`\dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t}` kann ebenso +.. als Produkt der Querschnittsfläche :math:`A` der Rohrleitung und der +.. mittleren Strömungsgeschwindigkeit :math:`\bar{v}` der Flüssigkeit +.. beschrieben werden: - .. math:: +.. .. math:: - \dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t} = A \cdot \bar{v} +.. \dot{V} = \frac{\Delta V}{\Delta t} = A \cdot \bar{v} -.. - .. [#SDA] In Flüssigkeiten spielt im Vergleich zu Gasen häufig der statische - Auftrieb eine wichtigere Rolle, da die Relativgeschwindigkeiten von - Flüssigkeit und Körper meist nur gering sind, dafür aber erhebliche - Dichteunterschiede auftreten können. In Gasen nimmt hingegen aufgrund - des geringeren Strömungswiderstands die auftretenden - Relativgeschwindigkeiten oftmals größer. +.. .. [#SDA] In Flüssigkeiten spielt im Vergleich zu Gasen häufig der statische +.. Auftrieb eine wichtigere Rolle, da die Relativgeschwindigkeiten von +.. Flüssigkeit und Körper meist nur gering sind, dafür aber erhebliche +.. Dichteunterschiede auftreten können. In Gasen nimmt hingegen aufgrund +.. des geringeren Strömungswiderstands die auftretenden +.. Relativgeschwindigkeiten oftmals größer. .. _Oberflächenspannung und Kapillarität: @@ -1193,12 +1243,17 @@ benetzend. :download:`SVG: Benetzbarkeit <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/benetzbarkeit.svg>` -Je enger ein Gefäß ist, desto deutlicher lassen sich Adhäsionskräfte -beobachten. In sehr engen Röhren ("Kapillaren") kann der Effekt so stark sein, -dass das Flüssigkeitsniveau je nach Benetzbarkeit höher oder niedriger sein -kann als es bei miteinander verbundenen Gefäßen normalerweise der Fall wäre. +Je enger ein Gefäß ist, desto deutlicher lassen sich Adhäsionskräfte beobachten. +In sehr engen Röhren ("Kapillaren") kann der Effekt so stark sein, dass das +Flüssigkeitsniveau je nach Benetzbarkeit höher oder niedriger sein kann als es +bei miteinander verbundenen Gefäßen normalerweise der Fall wäre. Beispielsweise +kann Wasser in einer Glasröhre mit einem Radius von :math:`\unit[1,0]{mm}` bis +zu :math:`\unit[15]{mm}` nach oben gezogen werden, bei einem Radius von nur +:math:`\unit[0,5]{mm}` sind sogar Steighöhen von bis zu :math:`\unit[30]{mm}` +möglich. + Bei dieser so genannten "Kapillarität" herrscht ein Gleichgewicht zwischen dem -Schweredruck :math:`p _{\rm{s}}= \rho \cdot g \cdot h` und dem durch die +Schweredruck :math:`p_{\mathrm{s}}= \rho \cdot g \cdot h` und dem durch die Kohäsionskräfte ausgeübten Druck in einer Flüssigkeitskugel. Für die kapillare Steighöhe bzw. Sinktiefe :math:`h` gilt dabei: @@ -1234,19 +1289,25 @@ Oberflächenspannung einer Flüssigkeit zu bestimmen. angegeben. Die mechanischen Spannungen im Inneren des Festkörpers können in unterschiedlichen Richtungen verschieden groß sein. -.. [#] Beispielsweise taucht Eis, das eine Dichte von :math:`\rho _{\rm{Eis}} +.. [#] Der umgangsprachliche Begriff "Staudruck" sollte nicht verwendet werden, + da er irreführend ist. Beispielsweise müssen die Mauern von Staudämmen + aufgrund des (in alle Richtungen wirkenden) Schweredrucks + :math:`p_{\mathrm{s}}` unten dicker sein als oben. Dies gilt auch, wenn sich + das gestaute Wasser nicht bewegt, also kein dynamischer Druck vorliegt. + +.. [#] Beispielsweise taucht Eis, das eine Dichte von :math:`\rho_{\mathrm{Eis}} \approx \unit[910]{\frac{kg}{m^3}}` hat, zu :math:`91\%` in Wasser (Dichte - :math:`\rho _{\rm{Fl}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}`) ein, nur die "Spitze + :math:`\rho_{\mathrm{Fl}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}`) ein, nur die "Spitze des Eisbergs" (:math:`9\%`) bleibt über Wasser sichtbar. Styropor hingegen hat eine Dichte von etwa :math:`\rho \approx \unit[50]{\frac{kg}{m^3}}`; es - taucht somit nur zu :math:`\frac{\rho _{\rm{K}}}{\rho _{\rm{Fl}}} = + taucht somit nur zu :math:`\frac{\rho_{\mathrm{K}}}{\rho_{\mathrm{Fl}}} = \frac{\unit[50]{\frac{kg}{m^3}}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}} = 0,05 = 5\%` in Wasser ein; :math:`95\%` des Styropors schwimmen oberhalb der Wasseroberfläche. Wird die Dichte in :math:`\unit{\frac{g}{cm^3}}` angegeben, so hat Wasser eine Dichte von :math:`\unit[1]{\frac{g}{cm^3}}`. In diesem Fall kann man - bei Materialien mit :math:`\rho < \rho _{\rm{Wasser}}` unmittelbar am + bei Materialien mit :math:`\rho < \rho_{\mathrm{Wasser}}` unmittelbar am Dichtewert den Prozentsatz ablesen, der sich beim Schwimmen unterhalb der Wasseroberfläche befindet. @@ -1277,8 +1338,8 @@ Oberflächenspannung einer Flüssigkeit zu bestimmen. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/gase.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/gase.rst index 7363e65..ffe99e1 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/gase.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/gase.rst @@ -6,11 +6,65 @@ Mechanik der Gase In der Ärodynamik werden die mechanischen Eigenschaften von Gasen, insbesondere von Luft, untersucht. +.. _Druck und Volumen: + +Druck und Volumen +----------------- + +Ein wesentlicher Unterschied zwischen Gasen und Flüssigkeiten besteht darin, +dass Gase verhältnismäßig leicht komprimierbar sind; ihr Volumen :math:`V` nimmt +also ab, wenn von außen ein erhöhter Druck :math:`p` auf einen verformbaren +Gasbehälter (beispielsweise einen Luftballon) ausgeübt wird. Lässt der Druck +wieder nach, so nimmt entsprechend auch das Volumen des Gases wieder zu. + +Bleibt die Temperatur des Gases während eines Kompressions- beziehungsweise +Expansionsvorgangs konstant, so gilt: [#]_ + +.. math:: + :label: eqn-boyle-mariotte + + p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 + +*Wichtig:* Für :math:`p_1` und :math:`p_2` müssen bei Verwendung dieser Formel +stets **absolute** Druckwerte eingesetzt werden; zu einem mittels eines +Manometers gemessenen Druckwert muss also stets der Luftdruck (rund +:math:`\unit[1]{bar}`) hinzu addiert werden. + +Die Volumina eines Gases verhalten sich sich also indirekt proportional zu den +jeweils vorherrschenden Druckwerten. Grafisch kann dieser Zusammenhang +mittels eines :math:`p(V)`-Diagramms dargestellt werden: + +.. figure:: ../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.png + :name: fig-boyle-mariotte + :alt: fig-boyle-mariotte + :align: center + :width: 50% + + Das Boyle-Mariottesche Gesetz: Indirekte Proportionalität zwischen Druck und + Volumen. + + .. only:: html + + :download:`SVG: Diagramm Boyle-Mariotte + <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.svg>` -.. _Der Luftdruck: -Der Luftdruck -------------- +Die Kurve im :math:`p(V)`-Diagramm entspricht wegen :math:`p \propto +\frac{1}{V}` einer :ref:`Hyperbel `; man kann erkennen, dass das +Volumen des Gases auch bei sehr hohem Druck nicht gleich Null werden kann, und +umgekehrt durch eine zunehmende "Verdünnung" der Luft ebenso immer ein Restdruck +verbleibt. Mittels so genannten Vakuumpumpen, die im Gegensatz zu Kompressoren +die Luft lediglich immer weiter verdünnen, kann somit kein echtes Vakuum erzeugt +werden, sondern nur ein sich asymptotisch an :math:`p=\unit[0]{Pa}` annähernder +Druckwert. + + +.. _Luftdruck: +.. _Barometrische Höhenformel: +.. _Luftdruck und Barometrische Höhenformel: + +Luftdruck und Barometrische Höhenformel +--------------------------------------- Gase haben -- im Verhältnis zu Flüssigkeiten -- eine nur sehr geringe Masse. Während ein Liter Wasser ein Kilogramm schwer ist, wiegt ein Liter Luft unter @@ -19,22 +73,9 @@ unserem Planeten das Gewicht der Luft, ähnlich wie beim :ref:`Schweredruck in Flüssigkeiten `, einen so genannten Luftdruck, der umso größer ist, je weiter unten man sich in dem die Erde umgebenden "Luftmeer" befindet. -Im Unterschied zu Flüssigkeiten sind Gase jedoch stark komprimierbar, d.h. ihr -Volumen :math:`V` nimmt stark ab, wenn von außen ein erhöhter Druck :math:`p` -auf den Gasbehälter ausgeübt wird. Lässt der Druck nach, so nimmt entsprechend -auch das Volumen des Gases wieder zu. Hierbei gilt: [#]_ - -.. math:: - :label: eqn-boyle-mariotte - - p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} = p _{\rm{2}} \cdot V _{\rm{2}} - -Bei Standardbedingungen, das heißt einem Luftdruck von :math:`p _{\rm{0}} = -\unit[1,01325]{bar}` und einer Temperatur von :math:`T _{\rm{0}} = -\unit[0]{\degree C}` nehmen fast alle Gase ein Volumen von :math:`V _{\rm{0}} = -\unit[22,4]{l}` ein. Der "normale" Luftdruck :math:`p _0` in Bodennähe -resultiert aus dem Gewicht der darüber liegenden Luftschichten. Da -:math:`\unit[1]{bar} = \unit[10^5]{Pa} = \unit[10^5]{\frac{N}{m}}` gilt, +Der "normale" Luftdruck :math:`p_0 \approx \unit[1,0]{bar}` in Bodennähe +resultiert aus dem Gewicht der darüber liegenden Luftschichten. Da für +:math:`\unit[1]{bar} = \unit[10^5]{Pa} = \unit[10^5]{\frac{N}{m^2}}` gilt, entspricht der durch die Luft ausgeübte Druck in Bodennähe rund einem Gewicht von :math:`\unit[10]{t}` je Quadratmeter beziehungsweise :math:`\unit[1]{kg}` je Quadrat-Zentimeter. [#]_ @@ -52,9 +93,13 @@ Quadrat-Zentimeter. [#]_ :download:`SVG: Die Größe des Luftdrucks <../../pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/luftdruck.svg>` -Da die Masse eines Gases in einem geschlossenen System unabhängig vom Druck -gleich bleibt, bewirkt eine Veränderung des Gasvolumens :math:`V` auch eine -Veränderung der Gasdichte :math:`\rho`. Es gilt: [#]_ +Bei Standardbedingungen, das heißt einem Luftdruck von :math:`p_0 = +\unit[1,01325]{bar}` und einer Temperatur von :math:`T_0 = \unit[0]{\degree C}` +nimmt ein Mol eines beliebigen Gases ein Volumen von :math:`V_0 = +\unit[22,4]{l}` ein (:ref:`"Normalvolumen" `). Da die +Masse eines Gases in einem geschlossenen System gleich bleibt, bewirkt eine +Veränderung des Gasvolumens :math:`V` neben einer Veränderung des Drucks auch +eine Veränderung der Gasdichte :math:`\rho`. Es gilt: [#]_ .. math:: :label: eqn-gas-dichte @@ -214,8 +259,8 @@ Luft mit zunehmender Höhe abnimmt. .. math:: - \int_{p_0}^{p} \frac{\mathrm{d} p}{p} = \int_{0}^{h} -\frac{\rho_0}{p_0} \cdot g - \cdot \mathrm{d} h + \int_{p_0}^{p} \frac{\mathrm{d} p}{p} = \int_{0}^{h} -\frac{\rho_0}{p_0} + \cdot g \cdot \mathrm{d} h Auf der linken Seite wurden die Integralgrenzen gemäß einer :ref:`Integration durch Substitution ` @@ -260,3 +305,15 @@ Luft mit zunehmender Höhe abnimmt. beispielsweise Magdeburger Halbkugeln oder Fallröhren reicht dieser Druck bereits aus. +.. raw:: html + +
+ +.. hint:: + + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + +.. :ref:`Experimente ` und + + diff --git a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/loesungen.rst b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/loesungen.rst index 55507a3..4a7c3fe 100644 --- a/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/loesungen.rst +++ b/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-gase/loesungen.rst @@ -1,23 +1,46 @@ -.. _Lösungen zu Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: +.. _Lösungen Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase: -Lösungen zur Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase -============================================================ +Mechanik der Festkörper, Flüssigkeiten und Gase +=============================================== -.. Lösungen zur Mechanik der Festkörper +.. _Lösungen Mechanik der Festkörper: -.. _Lösungen zur Mechanik der Flüssigkeiten: +Mechanik der Festkörper +----------------------- -Lösungen zur Mechanik der Flüssigkeiten ---------------------------------------- +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Festkörper `. -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` + +---- + + +.. _Lösungen Mechanik der Flüssigkeiten: + +Mechanik der Flüssigkeiten +-------------------------- + +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten `. +.. rubric:: Statischer Druck + ---- -.. _Kolbendruck-01-Lösung: +.. _flfd01l: * Der auf den Kolben ausgeübte Druck :math:`p` ist gleich dem Quotienten aus der einwirkenden Kraft :math:`F` und der Querschnittsfläche :math:`A` des Kolbens: @@ -30,62 +53,67 @@ Mechanik der Flüssigkeiten>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten Im Gleichgewichtsfall, also bei einem sich nicht bewegenden Kolben, herrscht im Fluid innerhalb des Zylinders ein ebenso hoher Druck. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Schweredruck-01-Lösung: +.. _flfd02l: * Wasser hat eine Dichte von :math:`\rho = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[1 \cdot 10^3]{\frac{kg}{m^3}}`. In einer Leitung kann es so weit steigen, bis - der sich ergebende Schweredruck :math:`p _{\rm{st}} = \rho \cdot g \cdot h` + der sich ergebende Schweredruck :math:`p_{\mathrm{st}} = \rho \cdot g \cdot h` mit :math:`h` als Steighöhe ebenso groß ist wie in der Leitung herrschende Wasserdruck :math:`p = \unit[6]{bar} = \unit[6 \cdot 10^5]{Pa}` in Bodenhöhe: .. math:: - p &= \rho \cdot g \cdot h \quad \Longleftrightarrow \quad h = \frac{p}{\rho - \cdot g} \\[6pt] + p &= \rho \cdot g \cdot h \quad \Longleftrightarrow \quad h = + \frac{p}{\rho \cdot g} \\[6pt] h &= \frac{\unit[6 \cdot 10^5]{Pa}}{\unit[1 \cdot 10^3]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}}} \approx \unit[61,2]{m} Das Wasser kann somit rund :math:`\unit[61]{m}` hoch steigen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Auftrieb-01-Lösung: +.. rubric:: Statischer Auftrieb + +---- + +.. _flfa01l: * Bei einem Volumen von :math:`V=\unit[80\,]{l}` und einer durchschnittlichen - Dichte von :math:`\rho _{\rm{K}}= \unit[1050]{\frac{kg}{m^3}} = + Dichte von :math:`\rho_{\mathrm{K}}= \unit[1050]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,05]{\frac{kg}{dm^3}}` hat der badende Mensch eine Masse von :math:`m = \rho \cdot V = \unit[1,05]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[80]{l} = \unit[84]{kg}` und damit eine Gewichtskraft von :math:`m \cdot g = \unit[80]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \approx \unit[824]{N}`. - Die Auftriebskraft :math:`F _{\rm{A}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot V - _{\rm{K}}` ist abhängig vom Volumen des eintauchenden Körpers, jedoch nicht - von dessen Dichte. Für reines Wasser ist :math:`\rho _{\rm{Fl}} = - \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,00]{\frac{kg}{dm^3}}`, die Auftriebskraft - beträgt somit: + Die Auftriebskraft :math:`F_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot + V_{\mathrm{K}}` ist abhängig vom Volumen des eintauchenden Körpers, jedoch + nicht von dessen Dichte. Für reines Wasser ist :math:`\rho_{\mathrm{Fl}} = + \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,00]{\frac{kg}{dm^3}}`, die + Auftriebskraft beträgt somit: .. math:: - F _{\rm{A,W}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot V _{\rm{K}} = + F_{\mathrm{A,W}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K}} = \unit[1,00]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[80]{l} \approx \unit[785]{N}. In normalem Wasser hat der badende Mensch somit ein scheinbares Gewicht von - :math:`F _{\rm{G}} - F _{\rm{A}} \approx \unit[39]{N}`; ohne Schwimmbewegungen - würde der Körper also sinken. + :math:`F_{\mathrm{G}} - F_{\mathrm{A}} \approx \unit[39]{N}`; ohne + Schwimmbewegungen würde der Körper also sinken. - In gesättigtem Salzwasser gilt mit :math:`\rho _{\rm{Fl}} = \rho _{\rm{SW}} = - \unit[1120]{\frac{kg}{m^3}} = \unit[1,12]{\frac{kg}{dm^3}}`: + In gesättigtem Salzwasser gilt mit :math:`\rho_{\mathrm{Fl}} = + \rho_{\mathrm{SW}} = \unit[1120]{\frac{kg}{m^3}} = + \unit[1,12]{\frac{kg}{dm^3}}`: .. math:: - F _{\rm{A,SW}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g \cdot V _{\rm{K}} = + F_{\mathrm{A,SW}} = \rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g \cdot V_{\mathrm{K}} = \unit[1,12]{\frac{kg}{l}} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot \unit[80]{l} \approx \unit[879]{N}. @@ -93,11 +121,11 @@ Mechanik der Flüssigkeiten>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten :math:`\unit[55]{N}` größer als seine Gewichtskraft; der Körper schwimmt also auch ohne Schwimmbewegungen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Auftrieb-02-Lösung: +.. _flfa02l: * Um unterzutauchen, muss der Dichtewert eines Körpers größer sein als die Dichte der Flüssigkeit. Um abzutauchen, muss ein Fisch somit seinen Dichtewert @@ -110,18 +138,22 @@ Mechanik der Flüssigkeiten>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten geflutet und zum Auftauchen mittels Pressluft entleert werden. Auf diese Weise kann ebenfalls die durchschnittliche Dichte des Bootes gesteuert werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + +---- + +.. rubric:: Bernoulli-Gleichung ---- -.. _Bernoulli-01-Lösung: +.. _flfb01l: * Mit der ersten Röhre wird nur der statische Druck, mit der hinteren der Gesamtdruck gemessen. Der in der hinteren Röhre zusätzlich auftretende dynamische Druck bewirkt einen stärkeren Anstieg der Flüssigkeitssäule. - Im Gleichgewichtsfall entspicht der dynamische Druck :math:`p _{\rm{dyn}}` + Im Gleichgewichtsfall entspicht der dynamische Druck :math:`p_{\mathrm{dyn}}` der strömenden Flüssigkeit dem zusäzlichen statischen Druck - :math:`\Delta p _{\rm{stat}}` in der hinteren Flüssigkeitssäule: + :math:`\Delta p_{\mathrm{stat}}` in der hinteren Flüssigkeitssäule: .. math:: @@ -136,67 +168,70 @@ Mechanik der Flüssigkeiten>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Flüssigkeiten \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} \cdot \unit[0,1]{m}} \approx \unit[1,4]{\frac{m}{s}} - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur Mechanik der Gase: +.. _Lösungen Mechanik der Gase: -Lösungen zur Mechanik der Gase ------------------------------- +Mechanik der Gase +----------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Gase `. ---- -.. _Dynamischer-Druck-01-Lösung: +.. _flg01l: * Sowohl bei Flüssigkeiten als auch bei Gasen gilt für den dynamischen Druck - :math:`p _{\rm{dyn}}`: + :math:`p_{\mathrm{dyn}}`: .. math:: - p _{\rm{dyn}} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + p_{\mathrm{dyn}} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 - Setzt man hier :math:`p _{\rm{dyn}} = \unit[10]{kPa} = \unit[10 \cdot - 10^3]{Pa}` und für die Dichte :math:`\rho` des Fluids :math:`\rho - _{\rm{Wasser}} = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}` - beziehungsweise :math:`\rho _{\rm{Luft}} = \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}` ein, - so folgt: + Setzt man hier :math:`p_{\mathrm{dyn}} = \unit[10]{kPa} = \unit[10 \cdot + 10^3]{Pa}` und für die Dichte :math:`\rho` des Fluids + :math:`\rho_{\mathrm{Wasser}} = \unit[1]{\frac{g}{cm^3}} = + \unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}` beziehungsweise :math:`\rho_{\mathrm{Luft}} = + \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}` ein, so folgt: .. math:: - v _{\rm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot p _{\rm{dyn}}}{\rho _{\rm{Wasser}}}} = - \sqrt{ \frac{2 \cdot \unit[10 \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}}}} - \approx \unit[4,47]{\frac{m}{s}} + v_{\mathrm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot + p_{\mathrm{dyn}}}{\rho_{\mathrm{Wasser}} }} = \sqrt{ \frac{2 \cdot + \unit[10 \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} }} \approx + \unit[4,47]{\frac{m}{s}} Die Einheit ergibt sich, da :math:`\unit{Pa} = \unit{\frac{N}{m^2}}` und :math:`\unit{N} = \unit{kg \cdot \frac{m}{s^2}}` gilt; somit folgt: .. math:: - \unit{\sqrt{\frac{Pa}{\frac{kg}{m^3}}}} = \unit{\sqrt{\frac{Pa \cdot m^3}{kg}}}= - \unit{\sqrt{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot m^3}{kg}}}=\unit{\sqrt{\frac{N\cdot m}{kg}}} - =\unit{\sqrt{\frac{(kg \cdot \frac{m}{s^2})\cdot m}{kg}}} = \unit{\sqrt{\frac{m^2}{s^2}}} + \unit{\sqrt{\frac{Pa}{\frac{kg}{m^3}} }} = \unit{\sqrt{\frac{Pa \cdot + m^3}{kg}} }= \unit{\sqrt{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot + m^3}{kg}} }=\unit{\sqrt{\frac{N\cdot m}{kg}} } =\unit{\sqrt{\frac{(kg \cdot + \frac{m}{s^2})\cdot m}{kg}}} = \unit{\sqrt{\frac{m^2}{s^2}} } Für die nötige Strömungsgeschwindigkeit von Luft gilt entsprechend: .. math:: - v _{\rm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot p _{\rm{dyn}}}{\rho _{\rm{Luft}}}} = - \sqrt{ \frac{2 \cdot \unit[10 \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}}} - \approx \unit[4,47]{\frac{m}{s}} \approx \unit[124,5]{\frac{m}{s}} + v_{\mathrm{Wasser}} = \sqrt{\frac{2 \cdot + p_{\mathrm{dyn}}}{\rho_{\mathrm{Luft}} }} = \sqrt{ \frac{2 \cdot \unit[10 + \cdot 10^3]{Pa}}{\unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}} }} \approx + \unit[4,47]{\frac{m}{s}} \approx \unit[124,5]{\frac{m}{s}} Die zur Erzeugung des gleichen dynamischen Drucks nötige Strömungsgeschwindigkeit ist bei Luft somit wesentlich höher als bei Wasser. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Bernoulli-02-Lösung: +.. _flg02l: * Da aufgrund der Kontinuitätsbedingung der Volumenstrom an allen Stellen gleich ist, gilt für die Geschwindigkeiten :math:`v_1` und :math:`v_2` im @@ -206,10 +241,10 @@ Mechanik der Gase>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Gase `. \dot{V} = A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 - Setzt man für den Volumenstrom :math:`\dot{V} = \unit[1,5 \cdot 10 - ^{-2}]{\frac{m^3}{min}} = \unit[2,5 \cdot 10 ^{-4}]{\frac{m^3}{s}}` ein, so - folgt mit :math:`A_1 = \unit[2]{cm^2} = \unit[2 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}` und :math:`A_2 = - \unit[0,5]{cm^2} = \unit[0,5 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}`: + Setzt man für den Volumenstrom :math:`\dot{V} = \unit[1,5 \cdot + 10^{-2}]{\frac{m^3}{min}} = \unit[2,5 \cdot 10 ^{-4}]{\frac{m^3}{s}}` ein, so + folgt mit :math:`A_1 = \unit[2]{cm^2} = \unit[2 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}` und + :math:`A_2 = \unit[0,5]{cm^2} = \unit[0,5 \cdot 10 ^{-4}]{m^2}`: .. math:: @@ -221,54 +256,49 @@ Mechanik der Gase>` zum Abschnitt :ref:`Mechanik der Gase `. \unit[5,0]{\frac{m}{s}} \\ Nachdem die Strömungsgeschwindigkeiten bekannt sind, können nun die - zugehörigen dynamischen Drücke :math:`p _{\rm{dyn,1}}` und :math:`p - _{\rm{dyn,2}}` im weiten und engen Rohrstück berechnet werden: + zugehörigen dynamischen Drücke :math:`p_{\mathrm{dyn,1}}` und :math:`p + _{\mathrm{dyn,2}}` im weiten und engen Rohrstück berechnet werden: .. math:: - p _{\rm{dyn,1}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot - \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot + p_{\mathrm{dyn,1}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} + \cdot \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \left(\unit[1,25]{\frac{m}{s}}\right)^2 \approx \unit[1,03]{Pa} \\ - p _{\rm{dyn,2}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot - \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot + p_{\mathrm{dyn,2}} &= \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} + \cdot \unit[1,32]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \left(\unit[5,0\phantom{5}]{\frac{m}{s}}\right)^2 \approx \unit[16,5]{Pa} Da nach der Bernoulli-Gleichung der Gesamtdruck in beiden Rohrteilen gleich ist, muss im ersten, weiteren Rohrteil der statische Druck um :math:`\Delta p - = _{\rm{dyn,2}} - p _{\rm{dyn,1}}` höher sein als im zweiten. Der statische - "Überdruck", der am linken Ende des U-Rohrs anliegt, wird im + = p_{\mathrm{dyn,2}} - p_{\mathrm{dyn,1}}` höher sein als im zweiten. Der + statische "Überdruck", der am linken Ende des U-Rohrs anliegt, wird im Gleichgewichtsfall durch zusätzlichen statischen Druck ausgeglichen, der sich durch die zusätzliche Füllhöhe im rechten Teil des U-Rohrs ergibt. Es gilt also: .. math:: - \Delta p = p _{\rm{dyn,2}} - p _{\rm{dyn,1}} = \rho _{\rm{Fl}} \cdot g - \cdot \Delta h + \Delta p = p_{\mathrm{dyn,2}} - p_{\mathrm{dyn,1}} = \rho_{\mathrm{Fl}} + \cdot g \cdot \Delta h Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe :math:`\Delta h` aufgelöst werden: .. math:: - \Delta h = \frac{p _{\rm{dyn,2}}- p _{\rm{dyn,1}}}{\rho _{\rm{Fl}} \cdot - g} = \frac{\unit[16,5]{Pa} - + \Delta h = \frac{p_{\mathrm{dyn,2}}- + p_{\mathrm{dyn,1}}}{\rho_{\mathrm{Fl}} \cdot g} = \frac{\unit[16,5]{Pa} - \unit[1,03]{Pa}}{\unit[1000]{\frac{kg}{m^3}} \cdot \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}} \approx \unit[1,6 \cdot 10 ^{-3}]{m} Der Höhenunterschied der Wasserstände im U-Rohr beträgt somit rund :math:`\unit[1,6]{mm}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - - -.. raw:: latex + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-aufgaben.rst b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-aufgaben.rst index 56a4ec1..7916243 100644 --- a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-aufgaben.rst +++ b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-aufgaben.rst @@ -1,51 +1,47 @@ -.. _Aufgaben zu Impuls und Drehimpuls: +.. _Aufgaben Impuls und Drehimpuls: -Aufgaben zu Impuls und Drehimpuls ---------------------------------- +Impuls und Drehimpuls +===================== Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Impuls und Drehimpuls `. ---- -.. _Impuls-01: +.. _imp01: -* (\*) Wie groß ist der Impuls einer :math:`m=\unit[20]{g}` schweren Schwalbe, wenn - sie :math:`v= \unit[75]{km/h}` schnell fliegt? +* (\*) Wie groß ist der Impuls einer :math:`m = \unit[20]{g}` schweren Schwalbe, wenn + sie :math:`v = \unit[75]{km/h}` schnell fliegt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Impuls-02: +.. _imp02: * (\*) Ein Eisenbahnwagen koppelt mit :math:`v = \unit[3]{m/s}` an vier stehende, Eisenbahnwagen gleicher Bauart an. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Wagen anschließend weiter, wenn die Reibung vernachlässigt werden kann? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Impuls-03: +.. _imp03: * (\**) Zwei Fahrzeuge mit :math:`m_1 = \unit[1000]{kg}` und :math:`m_2 = - \unit[2000]{kg}` prallen unelastisch mit :math:`v_1 = + \unit[50]{km/h}` und - :math:`v_2 = -\unit[50]{km/h}` frontal aufeinander. Welche Beschleunigung + \unit[2000]{kg}` prallen unelastisch mit :math:`v_1 = \unit[+50]{km/h}` und + :math:`v_2 = \unit[-50]{km/h}` frontal aufeinander. Welche Beschleunigung wirken auf die Fahrer der beiden Fahrzeuge ein, wenn für beide Fahrzeuge eine "Knautschzone" von :math:`s = \unit[0,5]{m}` angenommen werden kann? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-experimente.rst b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-experimente.rst index 3e3dc72..3520192 100644 --- a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-experimente.rst +++ b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-experimente.rst @@ -1,8 +1,8 @@ -.. _Experimente zu Impuls und Drehimpuls: +.. _Experimente Impuls und Drehimpuls: -Experimente zu Impuls und Drehimpuls -==================================== +Impuls und Drehimpuls +===================== Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Impuls und Drehimpuls `. @@ -30,13 +30,9 @@ Drehimpuls `. fallen. Was stellst Du fest? Wie lässt sich Deine Beobachtung mittels des Impulserhaltungsatzes erklären? -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-loesungen.rst b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-loesungen.rst index d3d14f6..1390e9a 100644 --- a/mechanik/impuls-und-drehimpuls-loesungen.rst +++ b/mechanik/impuls-und-drehimpuls-loesungen.rst @@ -1,7 +1,7 @@ -.. _Lösungen zu Impuls und Drehimpuls: +.. _Lösungen Impuls und Drehimpuls: -Lösungen zu Impuls und Drehimpuls -================================= +Impuls und Drehimpuls +===================== Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Impuls und Drehimpuls `. ---- -.. _Impuls-01-Lösung: +.. _imp01l: * Der Impuls :math:`\vec{p}` eines Körpers ist definiert als Produkt aus seiner Masse :math:`m` und seiner Geschwindigkeit :math:`\vec{v}`. Eine Taube mit einer @@ -24,12 +24,12 @@ Drehimpuls>`. Der Impuls der Taube beträgt also rund :math:`\unit[0,42]{\frac{kg \cdot m}{s}}` - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Impuls-02-Lösung: +.. _imp02l: * Wenn der Eisenbahnwagen an die stehenden Wagen ankoppelt, bewegen sie sich, -- wie bei jedem unelastischen Stoß -- anschließend mit einer gemeinsamen @@ -50,12 +50,12 @@ Drehimpuls>`. Die Wagen bewegen sich nach dem Ankoppeln also gemeinsam mit :math:`u = \unit[0,75]{m/s}` weiter. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Impuls-03-Lösung: +.. _imp03l: * Vor dem (unelastischen) Zusammenprall haben die beiden Fahrzeuge mit den Massen :math:`m_1 = \unit[1000]{kg}` und :math:`m_2 = \unit[2000]{kg}` und @@ -65,8 +65,8 @@ Drehimpuls>`. .. math:: p = (m_1 \cdot v_2 + m_2 \cdot v_2) = \unit[1000]{kg} \cdot - \unit[13,9]{\frac{m}{s}} + \unit[2000]{kg} \cdot (\unit[-13,9]{\frac{m}{s}}) - = - \unit[13\,900]{\frac{kg \cdot m}{s}} + \unit[13,9]{\frac{m}{s}} + \unit[2000]{kg} \cdot + (\unit[-13,9]{\frac{m}{s}}) = \unit[-13\,900]{\frac{kg \cdot m}{s}} Dieser Impuls bleibt nach dem Zusammenprall erhalten. Die Geschwindigkeit :math:`u`, mit der sich beide Fahrzeuge nach dem Stoß gemeinsam @@ -75,7 +75,8 @@ Drehimpuls>`. .. math:: - p = (m_1 + m_2) \cdot u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{p}{m_1 + m_2} \\[4pt] + p = (m_1 + m_2) \cdot u \quad \Leftrightarrow \quad u = \frac{p}{m_1 + + m_2} \\[4pt] \Rightarrow u = \frac{\unit[-13\,900]{\frac{kg \cdot m}{s}}}{\unit[1000]{kg} + \unit[2000]{kg}} \approx @@ -89,12 +90,11 @@ Drehimpuls>`. von :math:`\Delta s = \unit[0,5]{m}` (der Knautschzone) eine Geschwindigkeitsänderung :math:`\unit[+50]{km/h}` auf :math:`\unit[-16,7]{km/h}`, das heißt :math:`\Delta v_1 = \unit[-67,7]{km/h} - \approx \unit[18,5]{m/s}`. Entsprechend beträgt die - Geschwindigkeitsänderung, die der Fahrer des schweren Fahrzeugs erfährt, - :math:`\Delta v_2 = \unit[+16,7]{km/h} - \unit[50]{km/h} = \unit[33,3]{km/h} - \approx \unit[9,3]{m/s}`. Für die beiden Beschleunigungen :math:`a_1` und - :math:`a_2` gilt damit (vergleiche Aufgabe :ref:`"Gegen die Wand" - `): + \approx \unit[18,5]{m/s}`. Entsprechend beträgt die Geschwindigkeitsänderung, + die der Fahrer des schweren Fahrzeugs erfährt, :math:`\Delta v_2 = + \unit[+16,7]{km/h} - \unit[50]{km/h} = \unit[33,3]{km/h} \approx + \unit[9,3]{m/s}`. Für die beiden Beschleunigungen :math:`a_1` und :math:`a_2` + gilt damit (vergleiche Aufgabe :ref:`"Gegen die Wand" `): .. math:: @@ -121,17 +121,14 @@ Drehimpuls>`. sich "Fair-Play"-Regelungen, wonach für schwere Fahrzeuge striktere Regeln bezüglich Knautschzonen gelten müssen, bislang nicht durchsetzen.. -.. Jeder Zentner Mehrgewicht kostet im Schnitt 0,2 Liter Kraftstoff auf 100 Kilometer. +.. Jeder Zentner Mehrgewicht kostet im Schnitt 0,2 Liter Kraftstoff auf 100 +.. Kilometer. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/impuls-und-drehimpuls.rst b/mechanik/impuls-und-drehimpuls.rst index 8eb68ef..b9782aa 100644 --- a/mechanik/impuls-und-drehimpuls.rst +++ b/mechanik/impuls-und-drehimpuls.rst @@ -407,7 +407,7 @@ Erhaltung der Energie einen der wichtigsten Erhaltungssätze der Mechanik dar. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kinematik/aufgaben.rst b/mechanik/kinematik/aufgaben.rst index 01c3fd6..b90f6d3 100644 --- a/mechanik/kinematik/aufgaben.rst +++ b/mechanik/kinematik/aufgaben.rst @@ -1,22 +1,23 @@ -.. _Aufgaben zur Kinematik: +.. _Aufgaben Kinematik: -Aufgaben zur Kinematik -====================== +Kinematik +========= -.. _Aufgaben zu geradlinigen Bewegungen: -Aufgaben zu geradlinigen Bewegungen ------------------------------------ +.. _Aufgaben Geradlinige Bewegungen: + +Geradlinige Bewegungen +---------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Geradlinige Bewegungen `. -.. rubric:: Aufgaben zu geradlinigen Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit +.. rubric:: Geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit ---- -.. _kin-01: +.. _king01: * (\*) Bei den folgenden Aufgaben geht es jeweils um durchschnittliche Geschwindigkeiten oder Bewegungsvorgänge mit konstanter Geschwindigkeit: @@ -41,37 +42,39 @@ Bewegungen `. Welche Zeit benötigt das Licht von der Sonne zur Erde? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _kin-02: +.. _king02: * (*) Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt ca. :math:`v = \unit[330]{m/s}`. Ein Wanderer steht gegenüber einer großen Felswand und ruft laut "Haallooo!!". Erst nach einer Zeit von :math:`t = \unit[5]{s}` hört er ein Echo. Wie weit ist die Felswand vom Wanderer entfernt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _kin-03: +.. _king03: * (\*) Bewegung ist relativ. Konkret bedeutet das: - *"Eine Bewegung ist die Änderung der Lage eines Körpers gegenüber einem - anderen Körper. Wenn ein Körper seine Lage gegenüber einem anderen Körper - nicht ändert, dann ist er in Ruhe gegenüber diesem Körper."* + .. epigraph:: + + "Eine Bewegung ist die Änderung der Lage eines Körpers gegenüber einem + anderen Körper. Wenn ein Körper seine Lage gegenüber einem anderen Körper + nicht ändert, dann ist er in Ruhe gegenüber diesem Körper." Wie verhält sich dies bezüglich der Lage eines sitzenden Fahrgasts in einem sich bewegenden Schnellzug? Ist der Fahrgast in Ruhe, oder bewegt er sich? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _kin-04: +.. _king04: * (**) Bei einem "Verfolgungsrennen" startet zunächst eine Gruppe an Läufern; nach einer Zeit von :math:`\Delta t = \unit[30]{min}` startet ein Fahrzeug am @@ -83,11 +86,11 @@ Bewegungen `. :math:`\Delta t` holt das Fahrzeug einen Läufer ein, dessen durchschnittliche Geschwindigkeit :math:`v _{\mathrm{L}} = \unit[15]{\frac{km}{h}}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _kin-05: +.. _king05: .. Idee nach Brenneke S.271 @@ -98,27 +101,27 @@ Bewegungen `. angenommen werden, ihre Länge beträgt :math:`s = \unit[100]{km}`. An welcher Stelle treffen sich die beiden Fahrzeuge? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. rubric:: Aufgaben zur geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung +.. rubric:: Geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung ---- -.. _Beschleunigung-01: +.. _kinb01: * (*) Welche durchschnittliche Beschleunigung erreicht ein Radfahrer, der aus dem Stand (:math:`v _{\rm{0}} = \unit[0]{m/s}`) in einer Zeit von :math:`t = \unit[8,0]{s}` eine Geschwindigkeit von :math:`v = \unit[30]{\frac{km}{h}}` erreicht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigung-02: +.. _kinb02: * (*) Wie groß ist die Beschleunigung eines Fahrzeugs, das in :math:`\unit[10]{s}` von :math:`\unit[0]{km/h}` auf :math:`\unit[100]{km/h}` beschleunigt? Welche @@ -126,14 +129,14 @@ Bewegungen `. :math:`\unit[10]{s}` von :math:`\unit[100]{km/h}` auf :math:`\unit[0]{km/h}` abbremst? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` .. Aufgabe: v-t-diagramm konstante Beschleunigung. Zurückgelegte Wegstrecke? ---- -.. _Beschleunigung-03: +.. _kinb03: * (*) Wie groß ist die Beschleunigung :math:`a` eines Fahrzeugs, das in :math:`t = \unit[5,0]{s}` von :math:`v _{\rm{1}} = \unit[20,0]{m/s}` auf @@ -142,11 +145,11 @@ Bewegungen `. \unit[9,81]{m/s^2})`, und welche Wegstrecke legt das Fahrzeug während des Beschleunigungsvorgangs zurück? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigung-04: +.. _kinb04: * (\**) Ein PKW fährt innerorts mit :math:`v_0 = \unit[40]{\frac{km}{h}}`. Plötzlich bemerkt der Fahrer in :math:`\Delta s = \unit[25]{m}` Entfernung ein @@ -155,11 +158,11 @@ Bewegungen `. :math:`a=\unit[-4,5]{\frac{m}{s^2}}` ab. Kommt der Wagen noch rechtzeitig vor dem Hindernis zum Stillstand? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigung-05: +.. _kinb05: * (\**) Ein Badegast eines Schwimmbades springt aus einer Höhe von :math:`h=\unit[5,0]{m}` ins Wasser. Der Luftwiderstand kann hierbei @@ -167,11 +170,11 @@ Bewegungen `. \unit[9,81]{m/s^2}`. Wie lange dauert seine Flugzeit, und welche Geschwindigkeit hat er in dem Moment, in dem er ins Wasser eintaucht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigung-06: +.. _kinb06: * (\**) Ein Stein, der in einen Brunnen fallen gelassen wird, erfährt durch die Erdanziehung eine Beschleunigung von :math:`(g = \unit[9,81]{m/s^2})`. @@ -181,11 +184,11 @@ Bewegungen `. wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann? Welche Strecke legt er bis zum Aufprall zurück? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Beschleunigung-07: +.. _kinb07: * (\**) Wie groß ist die Beschleunigung, die ein Fahrer bei frontalem Aufprall eines Fahrzeugs gegen eine Mauer erfährt, wenn die Knautschzone :math:`\Delta @@ -198,64 +201,87 @@ Bewegungen `. Wie groß ist die Beschleunigung, wenn die Aufprallgeschwindigkeit bei :math:`\unit[50]{km/h}` oder :math:`\unit[100]{km/h}` liegt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` + +---- + + +.. _Aufgaben Zusammengesetzte Bewegungen: + +Zusammengesetzte Bewegungen +--------------------------- + +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zusammengesetzte +Bewegungen `. + +---- + +.. _kinz01: + +* (\*) Ein Schwimmer bewegt sich mit :math:`v_y=\unit[0,5]{\frac{m}{s}}` quer zur + Strömung eines Flusses. Er wird um :math:`s_x=\unit[35]{m}` abgetrieben, bis + er das :math:`s_y = \unit[100]{m}` entfernte Ufer erreicht. Wie groß ist die + mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Flusses? + + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu kreisförmigen Bewegungen: -Aufgaben zu kreisförmigen Bewegungen ------------------------------------- +.. _Aufgaben Kreisförmige Bewegungen: + +Kreisförmige Bewegungen +----------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen `. ---- -.. _Kreisbewegung-01: +.. _kink01: * (\*) Ein Stein wird an eine Schnur gebunden und im Kreis geschleudert; plötzlich reißt die Schnur. In welcher Richtung fliegt der Stein weiter? Um was für einen Bewegungstyp handelt es sich folglich bei einer kreisförmigen Bewegung? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Kreisbewegung-02: +.. _kink02: * (\*) Ein Fahrradreifen mit einem Durchmesser von :math:`d=\unit[72]{cm}` dreht sich in einer Sekunde :math:`1,8` mal. Wie groß ist dabei die Umlaufzeit :math:`T`? Welche Winkelgeschwindigkeit und welche Bahngeschwindigkeit hat ein Kieselstein, der sich im Profil des Mantels festgesetzt hat? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Kreisbewegung-03: +.. _kink03: * (\*) Ein PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von :math:`\unit[90 ]{\frac{km}{h}}`. Wie groß sind die Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` und die Drehzahl :math:`n` der Räder, wenn deren Durchmesser :math:`d=\unit[45]{cm}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Radialbeschleunigung-01: +.. _kink04: * (\*) Wie groß ist die Radialbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi}}` einer Zentrifuge mit Radius :math:`r = \unit[1,00]{cm}`, wenn sie eine Drehzahl von :math:`n = \unit[3\,000]{\frac{U}{min}}` aufweist? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Radialbeschleunigung-02: +.. _kink05: * (\**) Welche Radialbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi}}` erfährt ein Körper, der auf Höhe des Äquators mit der Erde (Radius :math:`r _{\rm{E}} = @@ -263,37 +289,11 @@ Bewegungen `. Körper, der sich auf Höhe des 45. nördlichen Breitengrades bzw. am Nordpol befindet? - :ref:`Lösung ` - ----- - -.. _Aufgaben zu zusammengesetzten Bewegungen: - -Aufgaben zu zusammengesetzten Bewegungen ----------------------------------------- - -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zusammengesetzte -Bewegungen `. + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Zusammengesetzte-Bewegung-01: - -* (\*) Ein Schwimmer bewegt sich mit :math:`v_y=\unit[0,5]{\frac{m}{s}}` quer zur - Strömung eines Flusses. Er wird um :math:`s_x=\unit[35]{m}` abgetrieben, bis - er das :math:`s_y = \unit[100]{m}` entfernte Ufer erreicht. Wie groß ist die - mittlere Strömungsgeschwindigkeit des Flusses? - - :ref:`Lösung ` - - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/kinematik/experimente.rst b/mechanik/kinematik/experimente.rst index 1e3b5e0..b3c3fcd 100644 --- a/mechanik/kinematik/experimente.rst +++ b/mechanik/kinematik/experimente.rst @@ -1,13 +1,13 @@ -.. _Experimente zur Kinematik: +.. _Experimente Kinematik: -Experimente zur Kinematik -========================= +Kinematik +========= -.. _Experimente zu geradlinigen Bewegungen: +.. _Experimente Geradlinige Bewegungen: -Experimente zu geradlinigen Bewegungen --------------------------------------- +Geradlinige Bewegungen +---------------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Geradlinige Bewegungen `. @@ -31,19 +31,18 @@ Bewegungen `. * Stoppuhr * Messtabelle -.. figure:: - ../../pics/mechanik/kinematik/murmelbahn-gerade.png +.. image:: ../../pics/mechanik/kinematik/murmelbahn-gerade.png :align: center :width: 50% - :name: fig-murmelbahn-gerade - :alt: fig-murmelbahn-gerade - Laufzeiten einer Kugel auf einer geraden Murmelbahn. +.. only:: html - .. only:: html + .. centered:: :download:`SVG: Murmelbahn (gerade) + <../../pics/mechanik/kinematik/murmelbahn-gerade.svg>` - :download:`SVG: Murmelbahn (gerade) - <../../pics/mechanik/kinematik/murmelbahn-gerade.svg>` +.. :name: fig-murmelbahn-gerade +.. :alt: fig-murmelbahn-gerade +.. Laufzeiten einer Kugel auf einer geraden Murmelbahn. *Durchführung:* @@ -64,6 +63,7 @@ Bewegungen `. schneller: Wenn sie das steile Teilstück vor dem flachen, oder wenn sie das flache Teilstück vor dem steilen durchläuft? +---- .. .. _Experimente zu kreisförmigen Bewegungen: .. @@ -71,13 +71,7 @@ Bewegungen `. .. ------------------------------------ -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/kinematik/geradlinige-bewegungen.rst b/mechanik/kinematik/geradlinige-bewegungen.rst index c9e23e8..8d11056 100644 --- a/mechanik/kinematik/geradlinige-bewegungen.rst +++ b/mechanik/kinematik/geradlinige-bewegungen.rst @@ -1,6 +1,7 @@ .. index:: single: Bewegung; Geradlinige Bewegung single: Geradlinige Bewegung +.. _Geradlinige Bewegung: .. _Geradlinige Bewegungen: Geradlinige Bewegungen @@ -9,8 +10,9 @@ Geradlinige Bewegungen Eine geradlinige Bewegung verläuft stets entlang einer einzigen Raumrichtung, sie ist eindimensional. Als Koordinatensystem genügt eine einzelne Achse, sofern diese mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt. In welcher Entfernung sich der -beobachtete Körper befindet, kann -- in Abhängigkeit von der Zeit :math:`t` -- -durch Angabe eines Punktes :math:`s (t)` auf dieser Achse bestimmt werden. +beobachtete Körper vom Nullpunkt der Koordinatenachse befindet, kann -- in +Abhängigkeit von der Zeit :math:`t` -- durch Angabe eines Punktes :math:`s (t)` +auf dieser Achse bestimmt werden. .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/geradlinige-bewegung.png :name: fig-geradlinige-bewegung @@ -48,7 +50,7 @@ in gleichen Zeitabschnitten die jeweils gleiche Wegstrecke zurück. v = \frac{\Delta s}{\Delta t} -.. = \frac{s _{\rm{2}} - s _{\rm{1}}}{t _{\rm{2}} - t _{\rm{1}}} +.. = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} *Einheit:* @@ -58,7 +60,7 @@ in gleichen Zeitabschnitten die jeweils gleiche Wegstrecke zurück. *Beispiele:* -* Licht legt in einer Sekunde 300 000 Kilometer zurück. Die +* Licht legt in einer Sekunde :math:`\unit[300\,000]{km}` zurück. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt somit :math:`\unit[300\,000\,000]{m/s}`. * Eine Schnecke legt in einer Sekunde etwa :math:`\unit[0,8]{mm}` zurück. "Schneckentempo" entspricht somit ungefähr :math:`\unit[0,0008]{m/s}`. @@ -126,23 +128,23 @@ Die :ref:`Steigung ` der Geraden im * Umso größer die Geschwindigkeit ist, desto steiler ist der Verlauf der Geraden im :math:`s(t)`-Diagramm. -* Ist die Geschwindigkeit eines Körpers konstant gleich null, so bleibt seine +* Ist die Geschwindigkeit eines Körpers konstant gleich Null, so bleibt seine Entfernung vom Beobachter unverändert -- egal, ob sich der beobachtete Körper - an der Position des Beobachters oder in einer Entfernung :math:`s _{\rm{0}}` + an der Position des Beobachters oder in einer Entfernung :math:`s_0` vom Beobachter entfernt liegt. In beiden Fällen entspricht zeitliche Verlauf des zurückgelegten Weges einer waagrechten Geraden. * Das Vorzeichen der Geschwindigkeit gibt an, ob die Gerade im :math:`s(t)`-Diagramm steigt oder fällt. Eine negative Steigung bedeutet hierbei, dass sich der beobachtete Körper entgegen der ursprünglich als "positiv" festgelegten Raumrichtung bewegt -- egal, ob die Bewegung vom - Beobachter oder von einer um die Strecke :math:`s _{\rm{0}}` entfernten + Beobachter oder von einer um die Strecke :math:`s_0` entfernten Stelle aus beginnt. Der Wert, den die Ortsfunktion :math:`s(t) = v \cdot t` zu einer bestimmten Zeit :math:`t` annimmt, entspricht jeweils der Fläche zwischen der entsprechen -Geschwindigkeits-Zeit-Linie und der :math:`t`-Achse im :math:`v(t)`-Diagramm. -Gegebenenfalls muss das Vorzeichen berücksichtigt werden und die anfängliche -Entfernung :math:`s _{\rm{0}}` zum Ergebnis hinzu addiert werden. +Geschwindigkeits-Zeit-Linie und der :math:`t`-Achse im :math:`v(t)`-Diagramm; +gegebenenfalls muss das Vorzeichen berücksichtigt werden und die anfängliche +Entfernung :math:`s_0` zum Ergebnis hinzu addiert werden. .. index:: @@ -152,9 +154,9 @@ Entfernung :math:`s _{\rm{0}}` zum Ergebnis hinzu addiert werden. .. rubric:: Umrechnung von km/h in m/s -Sowohl :math:`\unit[]{km/h}` als auch :math:`\unit[]{m/s}` sind als -Geschwindigkeits-Einheiten üblich. Um sie ineinander umzurechnen, muss man -bedenken, dass gilt: +Sowohl :math:`\unit{km/h}` als auch :math:`\unit{m/s}` sind als +Geschwindigkeits-Einheiten üblich. Um sie ineinander umzurechnen, kann man +folgende Zusammenhänge nutzen: .. math:: @@ -194,24 +196,23 @@ kann man trotzdem eine durchschnittliche Geschwindigkeit angeben. *Definition:* Die Durchschnittsgeschwindigkeit :math:`\bar{v}` eines Körpers ist gleich - dem Verhältnis aus der Wegstrecke :math:`s _{\rm{ges.}}`, die er insgesamt - zurücklegt, und der dazu benötigten Zeit :math:`t _{\rm{ges.}}`: + dem Verhältnis aus der Wegstrecke :math:`s_{\mathrm{ges}}`, die er insgesamt + zurücklegt, und der dazu benötigten Zeit :math:`t_{\mathrm{ges}}`: .. math:: - \bar{v} = \frac{s _{\rm{ges.}}}{t _{\rm{ges.}}} - + \bar{v} = \frac{s_{\mathrm{ges}}}{t_{\mathrm{ges}}} *Beispiel:* -* Ein Radrennfahrer legt eine Etappe von :math:`\unit[200]{km}` in einer Zeit +* Ein Radrennfahrer legt eine Etappe von :math:`\unit[175]{km}` in einer Zeit von :math:`\unit[5]{h}` zurück. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt somit: .. math:: - \bar{v} = \frac{s _{\rm{ges.}}}{t _{\rm{ges.}}} = \frac{\unit[200]{km} - }{\unit[5]{h} } = \unit[40]{\frac{km}{h} } + \bar{v} = \frac{s_{\mathrm{ges}}}{t_{\mathrm{ges}}} = + \frac{\unit[175]{km}}{\unit[5]{h}} = \unit[35]{\frac{km}{h} } .. index:: Relativgeschwindigkeit @@ -224,12 +225,12 @@ Geschwindigkeiten :math:`v_1` und :math:`v_2` in die gleiche Richtung, so entspricht ihre gegenseitige Entfernung der Differenz der zurückgelegten Wegstrecken; die Körper entfernen sich also mit zunehmender Zeit voneinander. Die wachsende Entfernung kann durch die so genannte Relativgeschwindigkeit -:math:`v _{\rm{rel}}` ausgedrückt werden: +:math:`v_{\mathrm{rel}}` ausgedrückt werden: .. math:: :label: eqn-relativgeschwindigkeit - v _{\rm{rel}} = v_2 - v_1 + v_{\mathrm{rel}} = v_2 - v_1 Diese Gleichung gibt die Relativgeschwindigkeit des zweiten Körpers relativ zum ersten Körper an; umgekehrt gibt :math:`v_1 - v_2` die Geschwindigkeit des @@ -246,7 +247,8 @@ Geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung ---------------------------------------------------- Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung nimmt die Geschwindigkeit eines -Körpers in gleichen Zeitabschnitten um den jeweils gleichen Betrag zu bzw. ab. +Körpers in gleichen Zeitabschnitten um den jeweils gleichen Betrag zu +beziehungsweise ab. *Definition:* @@ -267,15 +269,13 @@ Körpers in gleichen Zeitabschnitten um den jeweils gleichen Betrag zu bzw. ab. *Einheit:* - Die Beschleunigung wird in Meter je Quadratsekunde :math:`(\unit[]{m/s^2})` + Die Beschleunigung wird in Meter je Quadratsekunde :math:`(\unit{m/s^2})` angegeben. *Beispiele:* -* :math:`\unit[1]{m/s^2}` ist die Beschleunigung eines Körpers, dessen Geschwindigkeit - sich in :math:`\unit[1]{s}` um :math:`\unit[1]{m/s}` ändert. - -.. . +* :math:`\unit[1]{m/s^2}` ist die Beschleunigung eines Körpers, dessen + Geschwindigkeit sich in :math:`\unit[1]{s}` um :math:`\unit[1]{m/s}` ändert. * Ein Fahrzeug, das in einer Zeit von :math:`t=\unit[10]{s}` von :math:`\unit[0]{km/h}` auf :math:`\unit[100]{km/h} = \unit[27,8]{m/s}` @@ -288,14 +288,17 @@ Körpers in gleichen Zeitabschnitten um den jeweils gleichen Betrag zu bzw. ab. * Die Beschleunigung die ein Körper im freier Fall auf der Erde erfährt ("Erdbeschleunigung"), beträgt rund :math:`\unit[9,81]{m/s^2}`. Häufig wird diese Beschleunigung, die bei vielerlei physikalischen Vorgängen eine Rolle - spielt, mit dem Buchstaben :math:`g` bezeichnet und :ref:`Ortsfaktor - ` genannt. + spielt, mit dem Buchstaben :math:`g=\unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}` bezeichnet und + :ref:`Ortsfaktor ` genannt. Bei längeren Bewegungsvorgängen können aufeinander folgende Zeitabschnitte unterschiedliche Beschleunigungen aufweisen. Beispielsweise beschleunigt ein Sprinter zunächst gleichmäßig, bis er seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, hält diese Geschwindigkeit (möglichst) konstant bis zum Ziel, und -bremst nach der Ziellinie wieder gleichmäßig ab. +bremst nach der Ziellinie wieder gleichmäßig ab. Derartige Bewegungsvorgänge +lassen sich oftmals abschnittsweise durch jeweils konstante +(Durchschnitts-)Beschleunigungen beschreiben. + .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/a-t-diagramm-konstante-beschleunigung.png :name: fig-a-t-diagramm-konstante-beschleunigung @@ -335,26 +338,26 @@ Die Steigung der Geschwindigkeit-Zeit-Linie hat folgende Bedeutung: * Umso steiler die Geschwindigkeit-Zeit-Gerade ist, desto größer ist die Beschleunigung. -* Ist die Beschleunigung des beobachteten Körpers gleich null, so entspricht die +* Ist die Beschleunigung des beobachteten Körpers gleich Null, so entspricht die Geschwindigkeit-Zeit-Linie einer waagrechten Geraden. Dies gilt gleichermaßen - für ruhende und sich mit konstanter Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}` + für ruhende und sich mit konstanter Geschwindigkeit :math:`v_0` bewegende Körper. * Eine Beschleunigung entgegen der ursprünglich als "positiv" festgelegten Raumrichtung erhält ein negatives Vorzeichen -- egal, ob der beobachtete - Körper ruht oder sich mit einer konstanten Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}` - fortbewegt. Dies hat -- je nach Wert der Anfangsgeschwindigkeit :math:`v - _{\rm{0}}` -- eine Beschleunigung "in Gegenrichtung" oder ein kontinuierliches - Abbremsen zur Folge. + Körper ruht oder sich mit einer konstanten Geschwindigkeit :math:`v_0` + fortbewegt. Dies hat -- je nach Wert der Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` -- + eine Beschleunigung "in Gegenrichtung" oder ein kontinuierliches Abbremsen zur + Folge. .. _Wegstrecke bei konstanter Beschleunigung: Der zeitliche Verlauf der zurückgelegten Wegstrecke hat bei einer beschleunigten Bewegung :math:`(a \ne 0)` einen parabelförmigen Verlauf, der von der -Anfangsgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}` und der anfänglichen Entfernung -:math:`s _{\rm{0}}` des Körpers vom Beobachter (Koordinatenursprung) abhängt. -Der Übersicht halber wird an dieser Stelle davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt -:math:`t=0` der Ort des beobachteten Körpers mit dem Koordinatenursprung -übereinstimmt, d.h. :math:`s _{\rm{0}} = 0` gilt. [#]_ +Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` und der anfänglichen Entfernung :math:`s_0` +des Körpers vom Beobachter (Koordinatenursprung) abhängt. Der Übersicht halber +wird an dieser Stelle davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt :math:`t=0` der Ort +des beobachteten Körpers mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, also +:math:`s_0 = 0` gilt. [#]_ .. figure:: ../../pics/mechanik/kinematik/s-t-diagramm-konstante-beschleunigung.png :name: fig-s-t-diagramm-konstante-beschleunigung @@ -373,8 +376,8 @@ Der Übersicht halber wird an dieser Stelle davon ausgegangen, dass zum Zeitpunk :download:`SVG: s(t)-Diagramm: Konstante Beschleunigung <../../pics/mechanik/kinematik/s-t-diagramm-konstante-beschleunigung.svg>` -Die Abhängigkeit der (Halb-)Parabel von der Anfangsgeschwindigkeit :math:`v -_{\rm{0}}` lässt sich folgendermaßen beschreiben: +Die Abhängigkeit der (Halb-)Parabel von der Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` +lässt sich folgendermaßen beschreiben: * Gilt für die konstante Beschleunigung :math:`a > 0`, so nimmt die Geschwindigkeit :math:`v` linear und die zurückgelegte Wegstrecke :math:`s` @@ -383,47 +386,128 @@ _{\rm{0}}` lässt sich folgendermaßen beschreiben: .. math:: :label: eqn-konstante-beschleunigung-wegstrecke - s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - Gegebenenfalls muss noch eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}` - berücksichtigt bzw. deren Beitrag :math:`s=v _{\rm{0}} \cdot t` zur + Gegebenenfalls muss noch eine Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` + berücksichtigt bzw. deren Beitrag :math:`s = v_0 \cdot t` zur Gesamtwegstrecke hinzu addiert werden. +.. index:: Freier Fall + +.. _Freier Fall: + * Gilt für die konstante Beschleunigung :math:`a < 0`, so ist die (Halb-)Parabel - nach unten hin geöffnet. Ohne Anfangsgeschwindigkeit :math:`(v _{\rm{0}}=0)` - findet eine beschleunigte Bewegung in negative :math:`s`-Richtung statt. Mit - einer Anfangsgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}} > 0` ergibt sich ein - kontinuierliches Abbremsen, wobei der Scheitel der Halbparabel den Bremsweg - angibt. [#]_ + nach unten hin geöffnet. Ohne Anfangsgeschwindigkeit :math:`(v_0=0)` findet + eine beschleunigte Bewegung in negative :math:`s`-Richtung statt. Mit einer + Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0 > 0` ergibt sich ein kontinuierliches + Abbremsen, wobei der Scheitel der Halbparabel den Bremsweg angibt: + + .. math:: + + s(t) = v_{\mathrm{0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + + + Bleibt nach einem vollständigen Abbremsen -- wie bei einem senkrechten Wurf + nach oben -- die Beschleunigung :math:`a<0` weiterhin bestehen, so findet + anschließend eine beschleunigte Bewegung in negativer :math:`s`-Richtung + statt. Kann der Luftwiderstand vernachlässigt werden, so spricht man bei + diesem Vorgang von einem "freien Fall" mit + :math:`|g|=\unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}` und :math:`v_0 = 0`. + +*Beispiel:* + +* Der Schacht eines Brunnens hat eine Tiefe von :math:`h=\unit[-40]{m}`. Wie + lange dauert es, bis aus der Höhe :math:`h_0 = \unit[0]{m}` fallender ein + Stein im freien Fall (ohne Luftwiderstand) am Grund des Schachtes ankommt? Wie + groß ist seine Geschwindigkeit :math:`v` beim Aufprall? + + Die Bewegung des Steins entspricht einem freien Fall mit der Beschleunigung + :math:`|g|=\unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}` und der Anfangsgeschwindigkeit + :math:`v_0=0`. Für die vom Stein zurückgelegte Wegstrecke :math:`s` gilt + dabei: + + .. math:: + + s = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + + Der Vorgang endet, wenn eine Strecke von :math:`s=\unit[-40]{m}` durchlaufen + wurde (das negative Vorzeichen ergibt sich, wenn eine Bewegung nach oben als + "positiv" deklariert wird). Für die Fallzeit :math:`t` gilt also: + + .. math:: + + t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{-g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot + (\unit[-40]{m})}{\unit[-9,81]{\frac{m}{s^2}}}} \approx \unit[2,86]{s} + + In dieser Zeit erreicht der Stein folgende Geschwindigkeit: + + .. math:: + + v = -g \cdot t = -\unit[9,81]{\frac{m}{s^2}} \cdot \unit[2,86]{s} \approx + \unit[28,0]{\frac{m}{s}} + + Der Stein erreicht beim Aufprall unter Vernachlässigung des Luftwiderstands + somit eine Geschwindigkeit von rund :math:`\unit[28]{\frac{m}{s}}`; das + entspricht rund :math:`\unit[100]{\frac{km}{h}}`. + +Beschleunigungen treten bei geradlinigen Bewegungen allgemein dann auf, wenn +eine resultierende Kraft :math:`F_{\mathrm{res}}` auf einen Gegenstand einwirkt; +für die Beschleunigung gilt dabei :math:`a = \frac{F}{m}`, wobei :math:`m` für +die Masse des Gegenstands steht. Kennt man also die auf einen Gegenstand +einwirkenden Kräfte, so kann mittels der obigen Formeln auch dessen Bewegung +vorhergesagt werden. + .. index:: Bremsformel, Bremsweg .. _Bremsformel: +.. _Anhalteweg: +.. _Die Bremsformel und der Anhalteweg: -* Für Bremsvorgänge gibt es eine weitere nützliche Formel, die sich aus - der obigen Gleichung :eq:`eqn-konstante-beschleunigung-wegstrecke` herleiten - lässt. [#]_ Mit einer Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` gilt für den - Zusammenhang zwischen :math:`v`, :math:`a` und :math:`s`: +.. rubric:: Die "Bremsformel" und der Anhalteweg: - .. math:: - :label: eqn-bremsformel +Insbesondere für Bremsvorgänge gibt es eine weitere nützliche Formel, die sich +aus der obigen Gleichung :eq:`eqn-konstante-beschleunigung-wegstrecke` +herleiten lässt. [#]_ Mit einer Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0` gilt für +den Zusammenhang zwischen :math:`v`, :math:`a` und :math:`s`: + +.. math:: + :label: eqn-bremsformel + + v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s + +Diese Gleichung wird häufig "Bremsformel" genannt; im Fall :math:`v=0` lässt +sich damit der Bremsweg :math:`s = \frac{v_0^2}{2 \cdot |a|}` bei bekannter +Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung unmittelbar berechnen. + +Die Gleichung :eq:`eqn-bremsformel` kann selbstverständlich auch zur +Beschreibung anderer Beschleunigungsvorgänge genutzt werden, wenn ein +zeitunabhängiger Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten, der wirkenden +Beschleunigung und der zurückgelegten Wegstrecke gesucht ist. + +Um die gesamte Strecke zu berechnen, die ein Fahrzeug zum Anhalten benötigt, +muss neben dem Bremsweg auch die Wegstrecke berücksichtigt werden, die der +Fahrer während der Reaktionszeit zurücklegt. es gilt also: - v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s +.. math:: + + s_{\mathrm{Anhalte}} = s_{\mathrm{Brems}} + s_{\mathrm{Reaktion}} + +Während der Reaktionszeit, die oftmals vereinfacht als "Schrecksekunde" +angenommen wird, bewegt sich das Fahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit +:math:`v_0` weiter. Es ergibt sich somit mit :math:`t_{\mathrm{Reaktion}} +\stackrel{\wedge}= \unit[1]{s}`: + +.. math:: - Diese Gleichung wird auch "Bremsformel" genannt; im Fall :math:`v=0` lässt - sich damit der Bremsweg :math:`s = \frac{v_0^2}{2 \cdot |a|}` bei bekannter - Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung unmittelbar berechnen. Der Bremsweg - nimmt bei gleicher Bremskraft quadratisch mit der Geschwindigkeit zu, was - beispielsweise ein maßgebliches Kriterium für die Geschwindigkeitsbegrenzungen - in Ortschaften ist. + s_{\mathrm{Anhalte}} = \frac{v_0^2}{2 \cdot |a|} + v_0 \cdot \unit[1]{s} -.. todo:: Anhalteweg +.. todo:: Pic / Diagramm! -.. todo:: Beispiel Freier Fall +Der Bremsweg (und somit auch der Anhalteweg) nimmt bei der gleichen +Bremsbeschleunigung quadratisch mit der Geschwindigkeit zu; aus diesem Grund +sind in Ortschaften sowie an unübersichtlichen Stellen +Geschwindigkeitsbegrenzungen sinnvoll. -.. - Brunnenschacht 80 m Tief, Fallzeit :math:`t = \sqrt{\frac{2 \cdot s}{g}} - \approx \unit[4]{s}`, :math:`v = a \cdot t = g \cdot t \approx - unit[40]{\frac{m}{s}}`. .. raw:: html @@ -439,14 +523,16 @@ _{\rm{0}}` lässt sich folgendermaßen beschreiben: :math:`\vec{s}` und die Geschwindigkeiten :math:`\vec{v}` als Vektoren behandelt. -.. [#] Eine anfängliche Entfernung :math:`s _{\rm{0}}` des sich bewegenden +.. [#] Eine anfängliche Entfernung :math:`s_0` des sich bewegenden Körpers vom Beobachter hat lediglich eine senkrechte Verschiebung der - (Halb-)Parabel zur Folge: Für :math:`s _{\rm{0}} > 0` ist die Parabel - nach oben, für :math:`s _{\rm{0}} <0` nach unten verschoben. + (Halb-)Parabel zur Folge: Für :math:`s_0 > 0` ist die Parabel + nach oben, für :math:`s_0 <0` nach unten verschoben. -.. [#] Bleibt -- wie bei einem senkrechten Wurf -- die Beschleunigung - :math:`a<0` bestehen, so findet anschließend eine beschleunigte Bewegung - in negative :math:`s`-Richtung statt. + Die Funktion :math:`s(t)` gibt also die tatsächliche Entfernung des sich + bewegenden Objekts zum Ort des Beobachters beziehungsweise dem Ursprung des + Koordinatensystems an; die zurückgelegte Wegstrecke :math:`\Delta s = + s_{\mathrm{end}} - s_{\mathrm{anfang}}` hingegen ist unabhängig vom Ort des + Beobachters. .. [#] Die Bremsformel :eq:`eqn-bremsformel` lässt sich durch folgende Umformungen auf die ursprünglichen Gleichungen @@ -467,6 +553,6 @@ _{\rm{0}}` lässt sich folgendermaßen beschreiben: .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kinematik/index.rst b/mechanik/kinematik/index.rst index 2e7c3f5..9d6a0b0 100644 --- a/mechanik/kinematik/index.rst +++ b/mechanik/kinematik/index.rst @@ -5,7 +5,7 @@ Kinematik ========= Die Kinematik ist das Teilgebiet der Physik, in dem unterschiedliche Bewegungen, -d.h. Ortsveränderungen von Körpern gegenüber einem Bezugspunkt, untersucht +also Ortsveränderungen von Körpern gegenüber einem Bezugspunkt, untersucht werden. .. toctree:: @@ -13,6 +13,6 @@ werden. raumkurve-und-massenpunkt.rst geradlinige-bewegungen.rst - kreisfoermige-bewegungen.rst zusammengesetzte-bewegungen.rst + kreisfoermige-bewegungen.rst diff --git a/mechanik/kinematik/kreisfoermige-bewegungen.rst b/mechanik/kinematik/kreisfoermige-bewegungen.rst index 6c929eb..f44c353 100644 --- a/mechanik/kinematik/kreisfoermige-bewegungen.rst +++ b/mechanik/kinematik/kreisfoermige-bewegungen.rst @@ -70,8 +70,7 @@ zurückgelegte Strecke :math:`s = 2 \cdot \pi \cdot r`. <../../pics/mechanik/kinematik/kreisbewegung-uhrenzeiger.svg>` -.. index:: - single: Geschwindigkeit; Winkelgeschwindigkeit +.. index:: Winkelgeschwindigkeit, Geschwindigkeit; Winkelgeschwindigkeit .. _Winkelgeschwindigkeit: .. rubric:: Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl @@ -106,7 +105,7 @@ in gleichen Zeitabschnitten einen jeweils gleichen Winkel. *Einheit:* Die Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` wird in Radiant je Sekunde - :math:`(\unit[]{rad/s})` angegeben (:math:`\unit[1]{rad} \approx 57,3 + :math:`(\unit{rad/s})` angegeben (:math:`\unit[1]{rad} \approx 57,3 \degree`). Die Winkelgeschwindigkeit ist, wie auch die Bahngeschwindigkeit, eine @@ -182,8 +181,8 @@ gleicher Winkelgeschwindigkeit zurück. *Einheit:* - Die Bahngeschwindigkeit :math:`v` in Meter je Sekunde :math:`(\unit[]{m/s})` - oder in Kilometer je Stunde :math:`(\unit[]{km/h})` angegeben. + Die Bahngeschwindigkeit :math:`v` in Meter je Sekunde :math:`(\unit{m/s})` + oder in Kilometer je Stunde :math:`(\unit{km/h})` angegeben. .. Beispiel: Sonne um Erde (Winkel- und Bahngeschwindigkeit), Fahrzeug im @@ -196,30 +195,30 @@ gleicher Winkelgeschwindigkeit zurück. .. rubric:: Radialbeschleunigung Da sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit eines mit konstanter -Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` bzw. konstanter Bahngeschwindigkeit -:math:`v` umlaufenden Punktes ständig ändert, erfährt jeder Körper auf einer -Kreisbahn eine zeitlich konstante Radialbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi -}}` in Richtung des Kreismittelpunktes. +Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` beziehungsweise konstanter +Bahngeschwindigkeit :math:`v` umlaufenden Punktes ständig ändert, erfährt jeder +Körper auf einer Kreisbahn eine zeitlich konstante Radialbeschleunigung +:math:`a_{\mathrm{\varphi }}` in Richtung des Kreismittelpunktes. *Definition:* - Die Radialbeschleunigung :math:`a _{\rm{rad}}` ist direkt proportional + Die Radialbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{rad}}` ist direkt proportional zum Quadrat der Bahngeschwindigkeit :math:`v` und umgekehrt proportional zum Kreisradius :math:`r`: .. math:: :label: eqn-radialbeschleunigung - a _{\rm{rad }} = \frac{v^2}{r} + a_{\mathrm{rad}} = \frac{v^2}{r} *Einheit:* - Die Zentripetalbeschleunigung :math:`a _{\rm{rad}}` wird in Meter je - Quadratsekunde :math:`(\unit[]{m/s^2})` angegeben. + Die Zentripetalbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{rad}}` wird in Meter je + Quadratsekunde :math:`(\unit{m/s^2})` angegeben. Die obige Formel für die Radialbeschleunigung lässt sich herleiten, wenn man in -einer schematischen Abbildung zu den zwei Ortspunkten :math:`\rm{P}_1` und -:math:`\rm{P}_2` eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körpers die +einer schematischen Abbildung zu den zwei Ortspunkten :math:`\mathrm{P}_1` und +:math:`\mathrm{P}_2` eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körpers die zugehörigen Bahngeschwindigkeiten :math:`\vec{v}_1` und :math:`\vec{v}_2` einzeichnet. Diese ändern aufgrund der Radialbeschleunigung zwar ihre Richtung, jedoch nicht ihren Betrag, so dass :math:`v_1 = v_2` gilt. Beide @@ -240,7 +239,7 @@ weiter, so dreht sich auch sein Geschwindigkeitsvektor um den gleichen Winkel. :download:`SVG: Radialbeschleunigung <../../pics/mechanik/kinematik/radialbeschleunigung.svg>` -Da der Abstand :math:`r_1=r_2` der Punkte :math:`\rm{P}_1` und :math:`\rm{P}_2` +Da der Abstand :math:`r_1=r_2` der Punkte :math:`\mathrm{P}_1` und :math:`\mathrm{P}_2` vom Kreismittelpunkt gleich ist, haben das grün dargestellte Orts-Dreieck und das blau dargestellte Geschwindigkeits-Dreieck neben dem gleichen Winkel :math:`\varphi` zudem ein gleiches Längenverhältnis zweier Seiten, denn es gilt @@ -259,14 +258,15 @@ Gleichung :eq:`eqn-radialbeschleunigung` für die Radialbeschleunigung: .. math:: - a _{\rm{rad}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta - t} \cdot \frac{v}{r} = v \cdot \frac{v}{r} = \frac{v^2}{r} + a_{\mathrm{rad}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta s}{\Delta t} + \cdot \frac{v}{r} = v \cdot \frac{v}{r} = \frac{v^2}{r} Auch bei einer konstanten Bahngeschwindigkeit ist eine Kreisbewegung stets eine beschleunigte Bewegung: Es ändert sich zwar nicht der Betrag :math:`v = | \vec{v} |` der Geschwindigkeit, dafür aber kontinuierlich ihre Richtung. +.. index:: Winkelbeschleunigung .. _Kreisförmige Bewegung mit konstanter Beschleunigung: Kreisförmige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung @@ -327,10 +327,14 @@ geradlinigen Bewegung: \Delta \varphi = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot (\Delta t)^2 + \varphi_0 -Hierbei gibt :math:`\varphi _0` den anfänglichen Winkel der kreisförmigen +Hierbei gibt :math:`\varphi_0` den anfänglichen Winkel der kreisförmigen Bewegung an. -.. todo:: Beispiel +An einem rotierfähigen Gegenstand treten Winkelbeschleunigungen immer dann auf, +wenn ein resultierendes :ref:`Drehmoment ` :math:`M_{\mathrm{res}}` +auf den Gegenstand einwirkt; für die Winkelbeschleunigung gilt dabei +:math:`\alpha = \frac{M_{\mathrm{res}}}{I}`, wobei :math:`I` für das +:ref:`Trägheitsmoment ` des Gegenstands steht. .. raw:: html @@ -356,6 +360,5 @@ Bewegung an. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kinematik/loesungen.rst b/mechanik/kinematik/loesungen.rst index df24a5f..a496019 100644 --- a/mechanik/kinematik/loesungen.rst +++ b/mechanik/kinematik/loesungen.rst @@ -1,27 +1,27 @@ -.. _Lösungen zur Kinematik: +.. _Lösungen Kinematik: -Lösungen zur Kinematik -====================== +Kinematik +========= -.. _Lösungen zu geradlinigen Bewegungen: +.. _Lösungen Geradlinige Bewegungen: -Lösungen zu geradlinigen Bewegungen ------------------------------------ +Geradlinige Bewegungen +---------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Geradlinige Bewegungen ` zum Abschnitt :ref:`Geradlinige Bewegungen `. -.. rubric:: Lösungen zu geradlinigen Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit +.. rubric:: Geradlinige Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit ---- -.. _kin-01l: +.. _king01l: * Alle Teil-Aufgaben können mittels der Formel :math:`v = \frac{\Delta s}{\Delta - t}` beziehungsweise :math:`\bar{v} = \frac{s _{\mathrm{ges}}}{t + t}` beziehungsweise :math:`\bar{v} = \frac{s_{\mathrm{ges}}}{t _{\mathrm{ges}}}` berechnet werden: - Der Läufer legt eine Wegstrecke von :math:`s_{\mathrm{ges}} = \unit[8,0]{km}` in @@ -119,11 +119,11 @@ Bewegungen>`. Das Licht benötigt für seinen Weg zur Erde somit etwas mehr als :math:`8` Minuten. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _kin-02l: +.. _king02l: * Um den vom Schall zurückgelegten Weg zu berechnen, muss die Geschwindigkeitsformel :math:`v = \frac{s}{t}` nach der Wegstrecke :math:`s` @@ -145,11 +145,11 @@ Bewegungen>`. beträgt :math:`\unit[1650]{m}`. Die Entfernung der Felswand vom Wanderer ist gleich der Hälfte dieser Strecke, also rund :math:`\unit[0,8]{km}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _kin-03l: +.. _king03l: * Je nach Betrachtungsweise sind zwei Aussagen möglich: @@ -160,8 +160,8 @@ Bewegungen>`. 2. Der Fahrgast ändert nicht seine Lage gegenüber dem Abteil, in dem er sitzt. Der Fahrgast ist in Ruhe gegenüber dem Abteil. - Übrigens soll Einstein einmal einen Schaffner gefragt haben: *"Wann hält - denn Ulm an diesem Zug?"* + Übrigens soll Albert Einstein einmal einen Schaffner gefragt haben: + *"Wann hält denn Ulm an diesem Zug?"* Die Wahl eines Bezugpunktes, gegenüber dem die weiteren Bewegungen beschrieben werden, ist frei und ändert nichts an den physikalischen @@ -169,25 +169,25 @@ Bewegungen>`. Objekte als feste Bezugspunkte an, obwohl sich die Erde selbst mit ca. :math:`\unit[30]{km/s}` um die Sonne bewegt! - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _kin-04l: +.. _king04l: * Wenn das Fahrzeug einen Läufer einholt, so ist die gleichbedeutend damit, dass zu diesem Zeitpunkt beide die gleiche Wegstrecken zurückgelegt haben, also - :math:`\Delta s_{\mathrm{F}} = \Delta s _{\mathrm{L}}` ist. + :math:`\Delta s_{\mathrm{F}} = \Delta s_{\mathrm{L}}` ist. Bis das Fahrzeug nach :math:`\Delta t = \unit[30]{min} = \unit[0,5]{h}` - startet, hat sich der Läufer mit :math:`v _{\mathrm{L}} = + startet, hat sich der Läufer mit :math:`v_{\mathrm{L}} = \unit[15]{\frac{km}{h}}` einen "Vorsprung" von :math:`\unit[15]{\frac{km}{h}} \cdot \unit[0,5]{h} = \unit[7,5]{km}` erkämpft. Für den Treffpunkt muss damit gelten: .. math:: - \Delta s_{\mathrm{F}} &= \Delta s _{\mathrm{L}} \\ + \Delta s_{\mathrm{F}} &= \Delta s_{\mathrm{L}} \\ v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t &= v_{\mathrm{L}} \cdot \Delta t + \unit[7,5]{km} \\ @@ -197,12 +197,13 @@ Bewegungen>`. .. math:: - v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t - V _{\mathrm{L}} \cdot \Delta t &= \unit[7,5]{km} \\ - (v_{\mathrm{F}} - v _{\mathrm{L}}) \cdot \Delta t &= \unit[7,5]{km} \\ + v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t - V_{\mathrm{L}} \cdot \Delta t &= + \unit[7,5]{km} \\ (v_{\mathrm{F}} - v_{\mathrm{L}}) \cdot \Delta t &= + \unit[7,5]{km} \\ .. math:: - \Delta t &= \frac{\unit[7,5]{km}}{v_{\mathrm{F}} - v _{\mathrm{L}}} = + \Delta t &= \frac{\unit[7,5]{km}}{v_{\mathrm{F}} - v_{\mathrm{L}}} = \frac{\unit[7,5]{km}}{\unit[(35-15)]{\frac{km}{h}}} = \unit[0,375]{h}\\ Das Fahrzeug ist bis zum Treffpunkt :math:`\Delta t = \unit[0,375]{h}` @@ -211,7 +212,7 @@ Bewegungen>`. .. math:: - \Delta s = v _{\mathrm{F}} \cdot \Delta t = \unit[35]{\frac{km}{h}} \cdot + \Delta s = v_{\mathrm{F}} \cdot \Delta t = \unit[35]{\frac{km}{h}} \cdot \unit[0,375]{h} = \unit[13,125]{km} In dieser Entfernung vom Startpunkt treffen sich der Läufer und das Fahrzeug @@ -228,8 +229,8 @@ Bewegungen>`. .. math:: - s_{\mathrm{F}} &= s _{\mathrm{L}} \\ - v _{\mathrm{F}} \cdot t - \unit[17,5]{km} &= v _{\mathrm{L}} \cdot t \\ + s_{\mathrm{F}} &= s_{\mathrm{L}} \\ + v_{\mathrm{F}} \cdot t - \unit[17,5]{km} &= v_{\mathrm{L}} \cdot t \\ Hierbei bezeichnet :math:`t` die insgesamt verstrichene Zeit, da beide Fahrzeuge zum gleichen Zeitpunkt starten. Die Gleichung kann wiederum nach @@ -245,22 +246,22 @@ Bewegungen>`. \\ Bei dieser Formulierung wird berücksichtigt, dass das Fahrzeug insgesamt um - :math:`\Delta t = \unit[30]{min} = \unit[0,5]{h}` weniger lang unterwegs ist. + :math:`\Delta t = \unit[30]{min} = \unit[0,5]{h}` weniger lang unterwegs ist. Löst man die Gleichung nach :math:`t` auf, erhält man wiederum :math:`t= \unit[0,875]{h}` als Ergebnis. - - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _kin-05l: +.. _king05l: -* Der Treffpunkt :math:`s _{\rm{T}}` beider Fahrzeuge lässt sich bestimmen, +* Der Treffpunkt :math:`s_{\mathrm{T}}` beider Fahrzeuge lässt sich bestimmen, indem man die jeweiligen Ortsfunktionen aufstellt gleichsetzt. Wählt man ein - Koordinatensystem so, dass der Ort :math:`\rm{A}` mit dem Koordinatenursprung - zusammenfällt und bezeichnet man die Richtung von :math:`\rm{A}` nach - :math:`\rm{B}` als "positiv", so lauten die Ortsfunktionen der beiden - Fahrzeuge: + Koordinatensystem so, dass der Ort :math:`\mathrm{A}` mit dem + Koordinatenursprung zusammenfällt und bezeichnet man die Richtung von + :math:`\mathrm{A}` nach :math:`\mathrm{B}` als "positiv", so lauten die + Ortsfunktionen der beiden Fahrzeuge: .. math:: @@ -295,7 +296,7 @@ Bewegungen>`. Beide Fahrzeuge treffen sich also nach :math:`t=\unit[1,25]{Stunden}`. Um die Entfernung :math:`s` zu bestimmen, die beide Fahrzeuge zu diesem - Zeitpunkt vom Korrdinatenursprung (dem Ort :math:`\rm{A}`) haben, kann man + Zeitpunkt vom Korrdinatenursprung (dem Ort :math:`\mathrm{A}`) haben, kann man diese Zeit in die Gleichung :math:`s_1 = v_1 \cdot t` einsetzen und erhält: .. math:: @@ -304,24 +305,24 @@ Bewegungen>`. \unit[1,25]{h} = \unit[37,5]{km} Beide Fahrzeuge treffen sich somit :math:`s=\unit[37,5]{km}` vom Ort - :math:`\rm{A}` entfernt. + :math:`\mathrm{A}` entfernt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. rubric:: Lösungen zu geradlinigen Bewegungen mit konstanter Beschleunigung +.. rubric:: Geradlinige Bewegungen mit konstanter Beschleunigung ---- -.. _Beschleunigung-01-Lösung: +.. _kinb01l: * Die Beschleunigung des Radfahrers ist gleich dem Verhältnis aus der Veränderung seiner Geschwindigkeit :math:`\Delta v = \unit[30]{\frac{km}{h}} - \approx \unit[8,33]{\frac{m}{s}}` und der dafür benötigten Zeit - :math:`\Delta t = \unit[8,0]{s}` + \approx \unit[8,33]{\frac{m}{s}}` und der dafür benötigten Zeit :math:`\Delta + t = \unit[8,0]{s}` .. math:: @@ -331,11 +332,11 @@ Bewegungen>`. Die Beschleunigung des Radfahrers entspricht somit rund :math:`\unit[1,0]{m/s^2 }`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-02-Lösung: +.. _kinb02l: * Die Geschwindigkeitsänderung :math:`\Delta v` Fahrzeugs beträgt :math:`\unit[100]{km/h} \approx \unit[27,28]{m/s}`, die dafür benötigte @@ -354,20 +355,20 @@ Bewegungen>`. Bremsvorgang ein negatives Vorzeichen, denn ein Abbremsen entspricht einer Beschleunigung in die entgegengesetzte Richtung. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-03-Lösung: +.. _kinb03l: * Die Geschwindigkeitsänderung des Fahrzeugs ergibt sich aus der Differenz - zwischen der Endgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{2}} = \unit[36,5]{m/s}` + zwischen der Endgeschwindigkeit :math:`v_2 = \unit[36,5]{m/s}` (entspricht :math:`\unit[131,4]{km/h}`) und der Anfangsgeschwindigkeit - :math:`v _{\rm{1}} = \unit[20,0]{m/s}` (entspricht :math:`\unit[72,0]{km/h}`): + :math:`v_1 = \unit[20,0]{m/s}` (entspricht :math:`\unit[72,0]{km/h}`): .. math:: - \Delta v = v _{\rm{2}} - v _{\rm{1}} = \unit[36,5]{\frac{m}{s} } - + \Delta v = v_2 - v_1 = \unit[36,5]{\frac{m}{s} } - \unit[20,0]{\frac{m}{s} } = \unit[16,5]{\frac{m}{s} } Teilt man diesen Wert durch die für die Geschwindigkeitsänderung @@ -398,11 +399,11 @@ Bewegungen>`. Das Fahrzeug benötigt somit für den Beschleunigungsvorgang rund :math:`\unit[41]{m}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-04-Lösung: +.. _kinb04l: * Während der Reaktionszeit von :math:`\Delta t = \unit[1,0]{s}` bewegt sich der PKW mit seiner Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0=\unit[40]{\frac{km}{h}} @@ -410,7 +411,7 @@ Bewegungen>`. .. math:: - s _{\mathrm{Reaktion}} = v_0 \cdot \Delta t = \unit[11,1]{\frac{m}{s}} + s_{\mathrm{Reaktion}} = v_0 \cdot \Delta t = \unit[11,1]{\frac{m}{s}} \cdot \unit[1,0]{s} = \unit[11,1]{m} Der anschließende Bremsweg kann mittels der :ref:`Bremsformel ` @@ -421,18 +422,18 @@ Bewegungen>`. - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s_{\mathrm{Brems}} \quad \Longleftrightarrow \quad s_{\mathrm{Brems}} = \frac{-v_0^2}{2 \cdot a} \\[5pt] - s _{\mathrm{Brems}} = \frac{-(\unit[11,1]{\frac{m}{s}})^2}{2 \cdot + s_{\mathrm{Brems}} = \frac{-(\unit[11,1]{\frac{m}{s}})^2}{2 \cdot (\unit[-4,5]{\frac{m}{s^2}})} \approx \unit[13,69]{m} Der PKW kommt somit nach einem Anhalteweg von rund - :math:`s_{\mathrm{Reaktion}} + s _{\mathrm{Brems}} = \unit[(11,1 + 13,69)]{m} + :math:`s_{\mathrm{Reaktion}} + s_{\mathrm{Brems}} = \unit[(11,1 + 13,69)]{m} = \unit[24,8]{m}` gerade noch rechtzeitig vor dem Hindernis zum Stehen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-05-Lösung: +.. _kinb05l: * Während des Sprungs wird der Badegast durch die Erdanziehung :math:`a = g = \unit[9,81]{m/s^2}` konstant beschleunigt. Um die Flugzeit zu bestimmen, @@ -462,11 +463,11 @@ Bewegungen>`. Die Geschwindigkeit des Badegastes beim Eintauchen beträgt somit rund :math:`\unit[9,9]{m/s}` (entspricht :math:`\unit[35,7]{km/h}`). - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-06-Lösung: +.. _kinb06l: * Der Stein wird, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann, mit der konstanten Beschleunigung :math:`a = g = \unit[9,81]{m/s^2}` @@ -491,11 +492,11 @@ Bewegungen>`. Der Brunnen ist somit (mindestens) :math:`\unit[14]{m}` tief. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Beschleunigung-07-Lösung: +.. _kinb07l: * Um die beim Aufprall wirkende Beschleunigung :math:`a` anhand des Bremsweges (der "Knautschzone") :math:`\Delta s = \unit[0,5]{m}` zu ermitteln, kann die @@ -519,11 +520,11 @@ Bewegungen>`. kann ein Mensch noch überleben, wenn auch mit erheblichen Verletzungen und sogar Bewusstlosigkeit gerechnet werden muss. - Trifft der Wagen nicht auf eine Mauer, sondern ein identsches und mit - gleicher Geschwindigkeit entgegenkommendes Fahrzeug, so tritt die gleiche - Beschleunigung auf. Beide Fahrzeuge kommen genau in der Mitte zwischen - beiden zum Stillstand und haben somit den gleichen Bremsweg, als würden sie - gegen eine an dieser Stelle angebrachte Wand fahren. Sind die Fahrzeuge + Trifft der Wagen nicht auf eine Mauer, sondern ein identsches und mit gleicher + Geschwindigkeit entgegenkommendes Fahrzeug, so tritt die gleiche + Beschleunigung auf. Beide Fahrzeuge kommen genau in der Mitte zwischen beiden + zum Stillstand und haben somit den gleichen Bremsweg, als würden sie gegen + eine an dieser Stelle angebrachte Wand fahren. Sind die Fahrzeuge unterschiedlich schwer oder unterschiedlich schnell, so haben beide unterschiedliche Beschleunigungen, die mit Hilfe des :ref:`Impulserhaltungssatzes ` berechnet werden können. @@ -545,40 +546,77 @@ Bewegungen>`. Diese Beschleunigungen entsprechen rund :math:`\unit[20]{g}` beziehungsweise :math:`\unit[79]{g}` und sind somit lebensgefährlich bzw. tödlich. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + +---- + + +.. _Lösungen Zusammengesetzte Bewegungen: + +Zusammengesetzte Bewegungen +--------------------------- + +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Zusammengesetzte Bewegungen +`. ---- +.. _kinz01l: + +* Um den :math:`s_y = \unit[100]{m}` breiten Fluss mit einer Geschwindigkeit von + :math:`v_y = \unit[0,5]{\frac{m}{s}}` zu überqueren, ist folgende Zeit + nötig: + + .. math:: + + v_y = \frac{s_y}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{s_y}{v_y} = + \frac{\unit[100]{m}}{\unit[0,5]{\frac{m}{s}}} = \unit[200]{s} + + In dieser Zeit wird der Schwimmer durch die Strömung um + :math:`s_x=\unit[35]{m}` abgetrieben. Die Strömungsgeschwindigkeit des + Flusses beträgt somit: + + .. math:: + + v_x = \frac{s_x}{t} = \frac{\unit[35]{m}}{\unit[200]{s}} = + \unit[0,175]{\frac{m}{s}} + + Dies entspricht einer (mittleren) Strömungsgeschwindigkeit von etwa + :math:`\unit[0,63]{\frac{km}{h}}`. + + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + -.. _Lösungen zu kreisförmigen Bewegungen: +.. _Lösungen Kreisförmige Bewegungen: -Lösungen zu kreisförmigen Bewegungen ------------------------------------- +Kreisförmige Bewegungen +----------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen `. ---- -.. _Kreisbewegung-01-Lösung: +.. _kink01l: * Wenn die Schnur reißt, fliegt der Stein geradlinig in Richtung seiner Momentangeschwindigkeit :math:`\vec{v}` weiter, also senkrecht zu der Richtung, welche die Schnur zum Zeitpunkt des Reißens hatte. - .. pic! + .. todo:: pic! Bei der kreisförmigen Bewegung handelt es sich somit um eine beschleunigte Bewegung: Auch wenn sich der Wert seiner Geschwindigkeit nicht ändert, so ändert sich auf einer Kreisbahn doch kontinuierlich die Richtung. Die dazu nötige (Radial-)Kraft wird mittels der Schnur auf den Stein übertragen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kreisbewegung-02-Lösung: +.. _kink02l: * Die Umlaufzeit des Kieselsteins kann anhand seiner Kreisfrequenz :math:`f = \unit[1,8]{s}` berechnet werden: @@ -609,11 +647,11 @@ kreisförmigen Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen Der Kieselstein hat somit eine Bahngeschwindigkeit von ca. :math:`\unit[4,1]{m/s} \approx \unit[15]{km/h}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Kreisbewegung-03-Lösung: +.. _kink03l: * Der PKW bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von :math:`v = \unit[90]{\frac{km}{h}} = \unit[25]{\frac{m}{s}}`; mit dem Radius :math:`r = @@ -636,16 +674,16 @@ kreisförmigen Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen Das Rad führt in je Sekunde somit rund :math:`17,7` Umdrehungen aus. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Radialbeschleunigung-01-Lösung: +.. _kink04l: * Die Bahngeschwindigkeit :math:`v = \omega \cdot r` der Zentrifuge lässt sich - mit :math:`n = \unit[3000]{\frac{U}{min}}` und :math:`r = - \unit[0,0100]{m}` folgendermaßen berechnen: + mit :math:`n = \unit[3000]{\frac{U}{min}}` und :math:`r = \unit[0,0100]{m}` + folgendermaßen berechnen: .. math:: @@ -653,66 +691,66 @@ kreisförmigen Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen \cdot \pi \cdot \unit[0,0100]{m}}{\unit[60]{s}} \approx \unit[3,14]{\frac{m}{s}} - Damit folgt für die Radialbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi}}`: + Damit folgt für die Radialbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}`: .. math:: - a _{\rm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = - \frac{\left(\unit[3,14]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[0,01]{m}} \approx \unit[986]{\frac{m}{s^2}} + a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = + \frac{\left(\unit[3,14]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[0,01]{m}} \approx + \unit[986]{\frac{m}{s^2}} Die Radialbeschleunigung in der Zentrifuge beträgt bei der angegebenen Drehzahl rund :math:`\unit[986]{\frac{m}{s^2}}`; dies entspricht etwa dem :math:`100`-fachen der Erdbeschleungigung :math:`g`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Radialbeschleunigung-02-Lösung: +.. _kink05l: -* Um die Radialbeschleunigung zu bestimmen, welche die Erde auf einen Körper - am Äquator ausübt, sollte zunächst die Bahngeschwindigkeit :math:`v = \omega - \cdot r` eines auf der Erdoberfläche mitrotierenden Körpers berechnet werden. - Auf Höhe des Äquators gilt mit :math:`r _{\rm{E}} = \unit[6370]{km}`: +* Um die Radialbeschleunigung zu bestimmen, welche die Erde auf einen Körper + am Äquator ausübt, sollte zunächst die Bahngeschwindigkeit :math:`v = \omega + \cdot r` eines auf der Erdoberfläche mitrotierenden Körpers berechnet werden. + Auf Höhe des Äquators gilt mit :math:`r_{\mathrm{E}} = \unit[6370]{km}`: - .. math:: + .. math:: - v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} = \frac{2 \cdot \pi - \cdot \unit[6370]{km}}{\unit[1]{d}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot - \unit[6370 \cdot 10^3]{m}}{\unit[24 \cdot 60 \cdot 60]{s}} \approx - \unit[463]{\frac{m}{s}} + v = \omega \cdot r = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} = \frac{2 \cdot \pi + \cdot \unit[6370]{km}}{\unit[1]{d}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot + \unit[6370 \cdot 10^3]{m}}{\unit[24 \cdot 60 \cdot 60]{s}} \approx + \unit[463]{\frac{m}{s}} - Damit gilt für die Radialkraftbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi}}`: + Damit gilt für die Radialkraftbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}`: - .. math:: + .. math:: - a _{\rm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = - \frac{\left(\unit[463]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[6370 \cdot 10^3]{m}} - \approx \unit[0,033]{\frac{m}{s^2}} + a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = + \frac{\left(\unit[463]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[6370 \cdot 10^3]{m}} + \approx \unit[0,033]{\frac{m}{s^2}} Die Radialbeschleunigung beträgt am Äquator somit rund :math:`\unit[0,033]{\frac{m}{s^2}}`. Auf einem nördlich bzw. südlich vom Äquator gelegenen Punkt auf der Erde bewegt sich ein mit der Erde mitrotierender Körper auf einer Kreisbahn mit - einem Radius :math:`r`, der kleiner als der Erdradius :math:`r _{\rm{E}}` + einem Radius :math:`r`, der kleiner als der Erdradius :math:`r_{\mathrm{E}}` ist. Für :math:`r` gilt in Abhängigkeit vom Breitengrad :math:`\varPhi`: .. math:: - \cos{\varPhi} = \frac{r}{r _{\rm{E}}} \quad \Leftrightarrow \quad r = r - _{\rm{E}} \cdot \cos{\varPhi} + \cos{\varPhi} = \frac{r}{r_{\mathrm{E}}} \quad \Leftrightarrow \quad r = r + _{\mathrm{E}} \cdot \cos{\varPhi} Für den 45. Breitengrad :math:`(\varPhi = 45\degree)` ergibt sich damit für Rotationsradius :math:`r`: .. math:: - r = r _{\rm{E}} \cdot \cos{45\degree} \approx \unit[4\,505]{km} + r = r_{\mathrm{E}} \cdot \cos{45\degree} \approx \unit[4\,505]{km} Für die Bahngeschwindigkeit :math:`v=\omega \cdot r` des rotierenden Körpers - und die Radialkraftbeschleunigung :math:`a _{\rm{\varphi}}` gilt somit: + und die Radialkraftbeschleunigung :math:`a_{\mathrm{\varphi}}` gilt somit: .. math:: @@ -723,14 +761,14 @@ kreisförmigen Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen .. math:: - a _{\rm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = + a_{\mathrm{\varphi}} = \frac{v^2}{r} = \frac{\left(\unit[328]{\frac{m}{s}}\right)^2}{\unit[4505 \cdot 10^3]{m}} \approx \unit[0,024]{\frac{m}{s^2}} Die Radialbeschleunigung durch die Erdrotation beträgt am 45. Breitengrad somit rund nur noch :math:`\unit[0,024]{\frac{m}{s^2}}`. Am Nordpol verschwindet sie völlig, da in diesem Fall :math:`\cos{\varPhi} = \cos{90 - \degree} = 0` und somit :math:`r = r _{\rm{E}} \cdot \cos{\varPhi} = 0` gilt. + \degree} = 0` und somit :math:`r = r_{\mathrm{E}} \cdot \cos{\varPhi} = 0` gilt. Die Werte der Radialbeschleunigungen an den verschiedenen Stellen der Erde bewirken eine Verringerung der Erdbeschleunigung :math:`g`. An den Polen ist @@ -739,58 +777,14 @@ kreisförmigen Bewegungen>` zum Abschnitt :ref:`Kreisförmige Bewegungen Äquator ist :math:`g \approx \unit[9,78]{\frac{m}{s^2}}`. Obwohl die Unterschiede nur gering sind, so hatten sie doch im Laufe der Erdgeschichte eine leichte Abplattung der Erde zu den Polen hin zur Folge: Am Äquator - beträgt der Erdradius :math:`r _{\rm{E}} \approx \unit[6378]{km}`, am Nord- + beträgt der Erdradius :math:`r_{\mathrm{E}} \approx \unit[6378]{km}`, am Nord- bzw. Südpol hingegen "nur" :math:`\unit[6370]{km}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - ----- - - -.. _Lösungen zu zusammengesetzten Bewegungen: - -Lösungen zu zusammengesetzten Bewegungen ----------------------------------------- - -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Zusammengesetzte Bewegungen -`. + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Zusammengesetzte-Bewegung-01-Lösung: - -* Um den :math:`s_y = \unit[100]{m}` breiten Fluss mit einer Geschwindigkeit von - :math:`v_y = \unit[0,5]{\frac{m}{s}}` zu überqueren, ist folgende Zeit - nötig: - - .. math:: - - v_y = \frac{s_y}{t} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \frac{s_y}{v_y} = - \frac{\unit[100]{m}}{\unit[0,5]{\frac{m}{s}}} = \unit[200]{s} - - In dieser Zeit wird der Schwimmer durch die Strömung um - :math:`s_x=\unit[35]{m}` abgetrieben. Die Strömungsgeschwindigkeit des - Flusses beträgt somit: - - .. math:: - - v_x = \frac{s_x}{t} = \frac{\unit[35]{m}}{\unit[200]{s}} = - \unit[0,175]{\frac{m}{s}} - - Dies entspricht einer (mittleren) Strömungsgeschwindigkeit von etwa - :math:`\unit[0,63]{\frac{km}{h}}`. - - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - - -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/kinematik/zusammengesetzte-bewegungen.rst b/mechanik/kinematik/zusammengesetzte-bewegungen.rst index 4130ba2..b6904d8 100644 --- a/mechanik/kinematik/zusammengesetzte-bewegungen.rst +++ b/mechanik/kinematik/zusammengesetzte-bewegungen.rst @@ -3,9 +3,9 @@ Zusammengesetzte Bewegungen =========================== -In manchen Situationen finden zwei (oder mehrere) Bewegungen eines Körpers -gleichzeitig statt. Hierbei addieren sich alle auftretenden Geschwindigkeiten zu -einer resultierenden Geschwindigkeit auf. +Körper bewegen sich häufig nicht geradlinig in eine einzige Richtung, sondern +gleichzeitig in zwei oder drei Raumrichtungen. Hierbei können die Bewegungen in +die einzelnen Raumrichtungen getrennt betrachtet werden. .. _Überlagerung zweier Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit: @@ -13,19 +13,16 @@ einer resultierenden Geschwindigkeit auf. Überlagerung zweier Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit ------------------------------------------------------------- -Überlagerungen zweier Bewegungen mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten -:math:`v _{\rm{1}}` und :math:`v _{\rm{2}}` treten in alltäglichen Situationen -verhältnismäßig häufig auf. Verlaufen beide Bewegungen geradlinig entlang -einer gemeinsamen Linie, so genügt eine einfache Addition der beiden -Geschwindigkeitsbeträge :math:`v _{\rm{1}}` und :math:`v _{\rm{2}}`, um die -resultierende Geschwindigkeit zu erhalten. +Verlaufen zwei Bewegungen geradlinig entlang einer gemeinsamen Linie, so genügt +eine einfache Addition der beiden Geschwindigkeitsbeträge :math:`v_1` und +:math:`v_2`, um die resultierende Geschwindigkeit zu erhalten. *Beispiele:* -* Eine Person bewegt sich mit einer Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{1}}` auf - einem Laufband entgegen der Laufbandgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{2}}`. Sind - beide Geschwindigkeiten gleich groß, so bleibt die Person an der gleichen - Stelle -- die resultierende Geschwindigkeit :math:`v` ist gleich null. +* Eine Person bewegt sich mit einer Geschwindigkeit :math:`v_1` auf einem + Laufband entgegen der Laufbandgeschwindigkeit :math:`v_2`. Sind beide + Geschwindigkeiten gleich groß, so bleibt die Person an der gleichen Stelle -- + die resultierende Geschwindigkeit :math:`v` ist gleich null. Sind beide Geschwindigkeiten unterschiedlich groß, so bewegt sich die Person in Richtung der größeren Geschwindigkeit. [#]_ @@ -33,11 +30,11 @@ resultierende Geschwindigkeit zu erhalten. * Stimmt die Bewegungsrichtung der Person mit der Richtung der Laufbandgeschwindigkeit überein, so addieren sich die Beträge beider Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit :math:`v` der Person (relativ zum - Erdboden) ist somit gleich :math:`v _{\rm{1}} + v _{\rm{2}}`. + Erdboden) ist somit gleich :math:`v_1 + v_2`. Die Addition der auftretenden Geschwindigkeiten ist auch möglich, wenn diese in einem beliebigen Winkel zueinander stehen. Zeichnerisch stellt man dazu die -beiden Geschwindigkeiten :math:`\vec{v} _{\rm{1}}` und :math:`\vec{v} _{\rm{2}}` +beiden Geschwindigkeiten :math:`\vec{v}_1` und :math:`\vec{v}_2` als Pfeile dar, deren Richtungen mit denen der beiden Geschwindigkeiten übereinstimmen und deren Längen die Beträge beider Geschwindigkeiten abbilden. Nach den Regeln der :ref:`Vektor-Addition ` -:math:`\vec{v} \cdot \vec{e} _{\rm{x}}`, :math:`\vec{v} \cdot \vec{e} _{\rm{y}}` -und :math:`\vec{v} \cdot \vec{e} _{\rm{z}}` mit den Einheitsvektoren der -jeweiligen Richtungen bildet und diese nach den gesuchten Winkeln auflöst. - +:math:`\vec{v} \cdot \vec{e}_{\mathrm{x}}`, :math:`\vec{v} \cdot \vec{e}_{\mathrm{y}}` und +:math:`\vec{v} \cdot \vec{e}_{\mathrm{z}}` mit den Einheitsvektoren der jeweiligen +Richtungen bildet und diese nach den gesuchten Winkeln auflöst. .. index:: Wurf @@ -185,7 +180,7 @@ anhand von Wurfvorgängen näher beschrieben. Wird ein Gegenstand, beispielsweise ein Ball, senkrecht nach oben geworfen, so bewegt er sich zunächst mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit :math:`v -_{\rm{0}}` entlang der :math:`z`-Achse nach oben. Durch die Erdbeschleunigung +_{\mathrm{0}}` entlang der :math:`z`-Achse nach oben. Durch die Erdbeschleunigung :math:`g = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}`, die entgegen der :math:`z`-Achse wirkt, wird der Gegenstand in die umgekehrte Richtung konstant beschleunigt (der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden). @@ -200,47 +195,47 @@ der Zeit :math:`t`: .. math:: - \vec{v} = v _{\rm{z}} = v _{\rm{0}} - g \cdot t + \vec{v} = v_{\mathrm{z}} = v_0 - g \cdot t Für den zeitlichen Verlauf der zurückgelegten Wegstrecke gilt entsprechend: .. math:: - {\color{white}.\;\;\,}\vec{s} = v _{\rm{0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + {\color{white}.\;\;\,}\vec{s} = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 Mit den beiden obigen Gleichungen lässt sich die maximale Steighöhe :math:`s -_{\rm{max}}` sowie die Zeit :math:`t _{\rm{max}}`, welche der Gegenstand zum -Erreichen dieser Höhe benötigt, berechnen. Die Zeit :math:`t _{\rm{max}}` lässt +_{\mathrm{max}}` sowie die Zeit :math:`t_{\mathrm{max}}`, welche der Gegenstand zum +Erreichen dieser Höhe benötigt, berechnen. Die Zeit :math:`t_{\mathrm{max}}` lässt sich anhand der ersten Gleichung bestimmen; an diesem Punkt ist nämlich die Geschwindigkeit des Gegenstands gleich Null. Somit gilt: .. math:: - v _{\rm{0}} - g \cdot t _{\rm{max}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t - _{\rm{max}} = \frac{v _{\rm{0}}}{g} + v_{\mathrm{0}} - g \cdot t_{\mathrm{max}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad + t_{\mathrm{max}} = \frac{v_0}{g} -Setzt man die so bestimmte Zeit :math:`t _{\rm{max}}` in die zweite Gleichung -ein, so kann man entsprechend die maximale Steighöhe :math:`s _{\rm{max}}` +Setzt man die so bestimmte Zeit :math:`t_{\mathrm{max}}` in die zweite Gleichung +ein, so kann man entsprechend die maximale Steighöhe :math:`s_{\mathrm{max}}` berechnen: .. math:: - {\color{white}\ldots \qquad \quad \;}s _{\rm{max}} &= v _{\rm{0}} \cdot t - _{\rm{max}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t _{\rm{max}}^2 \\ - &= v _{\rm{0}} \cdot \frac{v _{\rm{0}}}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot - \left( \frac{v _{\rm{0}}}{g}\right)^2 \\ - &= \frac{\phantom{..} v _{\rm{0}}^2 \phantom{.}}{g} - \frac{1}{2} \cdot - \frac{\phantom{..}v _{\rm{0}}^2 \phantom{.}}{g} \\[6pt] \Rightarrow s - _{\rm{max}} &= \frac{v _{\rm{0}}^2}{2 \cdot g} + {\color{white}\ldots \qquad \quad \;}s_{\mathrm{max}} &= v_0 \cdot + t_{\mathrm{max}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{\mathrm{max}}^2 \\ + &= v_{\mathrm{0}} \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2} \cdot g + \cdot \left( \frac{v_0}{g}\right)^2 \\ + &= \frac{\phantom{..} v_0^2 \phantom{.}}{g} - \frac{1}{2} \cdot + \frac{\phantom{..}v_0^2 \phantom{.}}{g} \\[6pt] + \Rightarrow s_{\mathrm{max}} &= \frac{v_0^2}{2 \cdot g} -Nach der doppelten Zeit, also :math:`2 \cdot t _{\rm{max}}`, kommt der +Nach der doppelten Zeit, also :math:`2 \cdot t_{\mathrm{max}}`, kommt der Gegenstand wieder auf dem Boden an. Dies lässt sich einerseits überprüfen, indem man in die Weg-Zeit-Gleichung :math:`s = 0` setzt und die Gleichung nach :math:`t` auflöst. Andererseits kann auch die Symmetrie der Parabel als Begründung dienen: Die Wegstrecke wird beim Herunterfallen in der gleichen Weise durchlaufen wie beim Hochwerfen, nur zeitlich umgekehrt. Entsprechend ist auch die Geschwindigkeit des Gegenstands, sofern kein Luftwiderstand auftritt, vor -Aufprall wieder gleich der ursprünglichen Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}`. +Aufprall wieder gleich der ursprünglichen Geschwindigkeit :math:`v_0`. .. _Senkrechter Wurf nach unten: @@ -250,43 +245,39 @@ Aufprall wieder gleich der ursprünglichen Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}`. Kann ein geworfener Gegenstand -- beispielsweise im Anschluss an einen senkrechten Wurf nach oben -- nach dem Erreichen seiner Ausgangslage weiter herab fallen, so führt ab diesem diesem Zeitpunkt einen so genannten senkrechten -Wurf nach unten aus; seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt dabei :math:`-v -_{\rm{0}}`. +Wurf nach unten aus; seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt dabei :math:`-v_0`. Für die Geschwindigkeit :math:`\vec{v}` des Gegenstands gilt in Abhängigkeit von der Zeit :math:`t`: .. math:: - \vec{v} = v _{\rm{z}} = -v _{\rm{0}} - g \cdot t + \vec{v} = v_{\mathrm{z}} = -v_0 - g \cdot t Für den zeitlichen Verlauf der zurückgelegten Wegstrecke gilt entsprechend: .. math:: - {\color{white}.}\vec{s} = -v _{\rm{0}} \cdot t -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + {\color{white}.}\vec{s} = -v_0 \cdot t -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 Das Koordinatensystem wurde ursprünglich so festgelegt, dass sich der Nullpunkt -der :math:`z`-Achse in Höhe der Abwurfstelle, also in einer Höhe :math:`z -_{\rm{0}}` über dem Boden befindet. Der Gegenstand kann beim senkrechten Wurf -nach unten somit maximal die Wegstrecke :math:`s _{\rm{max}} = -z _{\rm{0}}` -zurücklegen. Die dafür benötigte Zeit kann durch Umstellen der letzten Gleichung -bestimmt werden: +der :math:`z`-Achse in Höhe der Abwurfstelle, also in einer Höhe :math:`z_0` +über dem Boden befindet. Der Gegenstand kann beim senkrechten Wurf nach unten +somit maximal die Wegstrecke :math:`s_{\mathrm{max}} = -z_0` zurücklegen. Die dafür +benötigte Zeit kann durch Umstellen der letzten Gleichung bestimmt werden: .. math:: - - z _{\rm{0}} = -v _{\rm{0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \quad - \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v _{\rm{0}} \cdot t - - z _{\rm{0}} = 0 + -z_0 = -v_0 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \quad \Leftrightarrow + \quad \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t - z_0 = 0 -Diese quadratische Gleichung für :math:`t _{\rm{max}}` kann mit Hilfe der +Diese quadratische Gleichung für :math:`t_{\mathrm{max}}` kann mit Hilfe der :ref:`Mitternachtsformel ` gelöst werden. Ihre Lösung lautet: .. math:: - t _{\rm{max}} = \frac{-v _{\rm{0}} + \sqrt{v _{\rm{0}}^2 + 2 \cdot g \cdot z - _{\rm{0}}}}{g} + t_{\mathrm{max}} = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot z_0}}{g} Setzt man diese Zeit :math:`t` in die Geschwindigkeit-Zeit-Gleichung ein, so folgt für die Geschwindigkeit :math:`v` des Gegenstands unmittelbar vor dem @@ -294,15 +285,15 @@ Aufprall auf den Boden: .. math:: - v _{\rm{max}} &= -v _{\rm{0}} - g \cdot \left(\frac{-v _{\rm{0}} + \sqrt{v - _{\rm{0}}^2 + 2 \cdot g \cdot z _{\rm{0}}}}{g}\right) \\[5pt] - &= -v _{\rm{0}} \;\;\; - \;\; \big( -v _{\rm{0}} + \sqrt{v _{\rm{0}}^2 + 2 - \cdot g \cdot z _{\rm{0}}}\big) \\[8pt] - &= - \sqrt{v _{\rm{0}}^2 + 2 \cdot g \cdot z _{\rm{0}}} + v_{\mathrm{max}} &= -v_0 - g \cdot \left(\frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g + \cdot z_0}}{g}\right) \\[5pt] + &= -v_0 \;\;\; - \;\; \big( -v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot z_0}\big) + \\[8pt] + &= - \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot z_0} -Gilt im Speziellen für die Anfangsgeschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}} = 0`, so -entspricht das Ergebnis :math:`v = \sqrt{2 \cdot g \cdot z _{\rm{0}}}` der -Geschwindigkeit des Gegenstands beim freien Fall. +Gilt im Speziellen für die Anfangsgeschwindigkeit :math:`v_0 = 0`, so entspricht +das Ergebnis :math:`v = \sqrt{2 \cdot g \cdot z_0}` der Geschwindigkeit des +Gegenstands beim freien Fall. .. Mit dieser Geschwindigkeit kann der Gegenstand beispielsweise nach einem elastischen .. Aufprall auf dem Boden, wieder maximal die ursprüngliche Ausgangslage erreichen @@ -314,10 +305,10 @@ Geschwindigkeit des Gegenstands beim freien Fall. .. rubric:: Der waagrechte Wurf -Wird ein Gegenstand, von einer erhöhten Position :math:`z _0` aus waagrecht geworfen, +Wird ein Gegenstand, von einer erhöhten Position :math:`z_0` aus waagrecht geworfen, so bewegt er sich -- unter Vernachlässigung des Luftwiderstands -- entlang der horizontalen :math:`x`-Richtung mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit -:math:`v _{\rm{0}}` fort. In der vertikalen Richtung hingegen findet eine +:math:`v_{\mathrm{0}}` fort. In der vertikalen Richtung hingegen findet eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung entgegen der :math:`z`-Achse statt, bedingt durch die Erdbeschleunigung :math:`g = \unit[9,81]{\frac{m}{s^2}}`. @@ -326,34 +317,35 @@ Abhängigkeit von der Zeit :math:`t`: [#]_ .. math:: - \vec{v} = \begin{pmatrix} v _{\rm{x}} \\ v _{\rm{z}} \\ \end{pmatrix} = + \vec{v} = \begin{pmatrix} v_{\mathrm{x}} \\ v_{\mathrm{z}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \\ - g \cdot t \end{pmatrix}{\color{white}\ldots} Für den zeitlichen Verlauf der zurückgelegten Wegstrecke gilt entsprechend: .. math:: - {\color{white}\ldots \quad \; }\vec{s} = \begin{pmatrix} s _{\rm{x}} \\ s - _{\rm{z}} \\ \end{pmatrix} = + {\color{white}\ldots \quad \; }\vec{s} = \begin{pmatrix} s_{\mathrm{x}} \\ + s_{\mathrm{z}} \\ + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_0 \cdot t \\[3pt] - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + z_0 \end{pmatrix} -Die maximale Flugzeit :math:`t _{\rm{max}}` lässt sich aus der -:math:`z`-Komponente des zurückgelegten Weges bestimmen. Gilt nämlich :math:`s -_{\rm{z}} = 0`, so ist der Gegenstand auf dem Boden aufgekommen. Für die -zugehörige Zeit :math:`t _{\rm{max}}` gilt somit: +Die maximale Flugzeit :math:`t_{\mathrm{max}}` lässt sich aus der +:math:`z`-Komponente des zurückgelegten Weges bestimmen. Gilt nämlich +:math:`s_{\mathrm{z}} = 0`, so ist der Gegenstand auf dem Boden aufgekommen. Für +die zugehörige Zeit :math:`t_{\mathrm{max}}` gilt somit: .. math:: - - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t _{\rm{max}} + z _{\rm{0}} = 0 \quad - \Leftrightarrow \quad t _{\rm{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot z _{\rm{0}}}{g}} + - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_{\mathrm{max}} + z_0 = 0 \quad + \Leftrightarrow \quad t_{\mathrm{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot z_0}{g}} -Damit lässt sich ebenso die maximale Wurfweite :math:`s _{\rm{x,max}}` bestimmen: +Damit lässt sich ebenso die maximale Wurfweite :math:`s_{\mathrm{x,max}}` bestimmen: .. math:: - s _{\rm{x,max}} = v _{\rm{0}} \cdot t _{\rm{max}} = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2 - \cdot z _{\rm{0}}}{g}} + s _{\mathrm{x,max}} = v_{\mathrm{0}} \cdot t_{\mathrm{max}} = v_0 \cdot \sqrt{\frac{2 + \cdot z_{\mathrm{0}}}{g}} .. index:: Wurf; schief @@ -362,26 +354,26 @@ Damit lässt sich ebenso die maximale Wurfweite :math:`s _{\rm{x,max}}` bestimme .. rubric:: Der schiefe Wurf Wird ein Gegenstand gegenüber der Horizontalen in einem Winkel :math:`\alpha` -abgeworfen :math:`(0 < \alpha < 90\degree)`, so spricht man von einem schiefen Wurf. -Die Bewegung hat dabei, sofern der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann, -stets einen parabelförmigen Verlauf. Um dies zu erklären, kann man sich die -Bewegung als zwei unabhängig voneinander stattfindende Teilbewegungen +abgeworfen :math:`(0 < \alpha < 90\degree)`, so spricht man von einem schiefen +Wurf. Die Bewegung hat dabei, sofern der Luftwiderstand vernachlässigt werden +kann, stets einen parabelförmigen Verlauf. Um dies zu erklären, kann man sich +die Bewegung als zwei unabhängig voneinander stattfindende Teilbewegungen vorstellen: Eine geradlinige Bewegung mit einer konstanter Geschwindigkeit -:math:`v _{\rm{x}}` in horizontaler Richtung und eine geradlinige Bewegung mit -der konstanten Beschleunigung :math:`g` in vertikaler Richtung. +:math:`v_{\mathrm{x}}` in horizontaler Richtung und eine geradlinige Bewegung mit der +konstanten Beschleunigung :math:`g` in vertikaler Richtung. -Für die Komponenten :math:`v _{\rm{0x}}` und :math:`v _{\rm{0z}}` der -Geschwindigkeit :math:`v _{\rm{0}}` des Gegenstands beim Abwurf gilt: +Für die Komponenten :math:`v_{\mathrm{\mathrm{0x}}}` und :math:`v_{\mathrm{0z}}` +der Geschwindigkeit :math:`v_0` des Gegenstands beim Abwurf gilt: .. math:: :label: eqn-schiefer-wurf-start - \vec{v} _{\rm{0}} = \begin{pmatrix} - v _{\rm{0x}} \\ - v _{\rm{0z}} \\ + \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} + v_{\mathrm{\mathrm{0x}}} \\ + v_{\mathrm{0z}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - v _{\rm{0}} \cdot \cos{\alpha}\\ - v _{\rm{0}} \cdot \sin{\alpha}\\ + v_0 \cdot \cos{(\alpha)}\\ + v_0 \cdot \sin{(\alpha})\\ \end{pmatrix} Ohne Luftwiderstand bleibt die horizontale Komponente der Geschwindigkeit @@ -394,81 +386,77 @@ gilt somit in Abhängigkeit von der Zeit :math:`t`: :label: eqn-schiefer-wurf-geschwindigkeit \vec{v} = \begin{pmatrix} - v _{\rm{x}}\\ - v _{\rm{z}} \\ + v_{\mathrm{x}}\\ + v_{\mathrm{z}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - v _{\rm{0x}} \\ - v _{\rm{0z}} - g \cdot t + v_{\mathrm{\mathrm{0x}}} \\ + v_{\mathrm{0z}} - g \cdot t \end{pmatrix} Es findet also eine Überlagerung einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in :math:`x`-Richtung und einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung in :math:`z`-Richtung statt. Für die in beiden Richtungen zurückgelegten -Wegstrecken :math:`s _{\rm{x}}` und :math:`s _{\rm{y}}` gilt: +Wegstrecken :math:`s_{\mathrm{x}}` und :math:`s_{\mathrm{y}}` gilt: .. math:: :label: eqn-schiefer-wurf-wegstrecke \vec{s} = \begin{pmatrix} - s _{\rm{x}}\\ - s _{\rm{z}} \\ + s_{\mathrm{x}}\\ + s_{\mathrm{z}} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - v _{\rm{0x}} \cdot t \\ - v _{\rm{0z}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + v_{\mathrm{0x}} \cdot t \\ + v_{\mathrm{0z}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \end{pmatrix} -Hierbei wurde angenommen, dass der Gegenstand aus einer Höhe :math:`s -_{\rm{0z}} = \unit[0]{m}` geworfen wurde. Ist :math:`s _{\rm{0z}} \ne 0`, so -muss diese Höhe zur :math:`z`-Komponente addiert werden. +Hierbei wurde angenommen, dass der Gegenstand aus einer Höhe :math:`s_{\mathrm{0z}} = +\unit[0]{m}` geworfen wurde. Ist :math:`s_{\mathrm{0z}} \ne 0`, so muss diese Höhe zur +:math:`z`-Komponente addiert werden. Wie beim senkrechten Wurf gilt für die Zeit :math:`t`, in welcher der Körper die -maximale Steighöhe :math:`s _{\rm{z,max}}` erreicht: +maximale Steighöhe :math:`s_{\mathrm{z,max}}` erreicht: .. math:: - v _{\rm{0z}} - g \cdot t _{\rm{z,max}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad t - _{\rm{z,max}} = \frac{v _{\rm{0z}}}{g} + v_{\mathrm{0z}} - g \cdot t_{\mathrm{z,max}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad + t_{\mathrm{z,max}} = \frac{v_{\mathrm{0z}}}{g} Setzt man diese Zeit in die Bewegungsgleichung für die :math:`z`-Komponente -ein, so folgt für die maximale Steighöhe :math:`s _{\rm{z,max}}`: +ein, so folgt für die maximale Steighöhe :math:`s_{\mathrm{z,max}}`: .. math:: :label: eqn-schiefer-wurf-wurfhoehe - s _{\rm{z,max}} = v _{\rm{0z}} \cdot \frac{v _{\rm{0z}}}{g} - \frac{1}{2} - \cdot g \cdot \left( \frac{v _{\rm{0z}}}{g} \right)^2 = \frac{v - _{\rm{0z}}^2}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{v _{\rm{0z}}^2}{g^2} = - \frac{v _{\rm{0z}}^2}{2 \cdot g} - + s_{z,\mathrm{max}} = v_{\mathrm{0z}} \cdot \frac{v_{\mathrm{0z}}}{g} - \frac{1}{2} + \cdot g \cdot \left( \frac{v_{\mathrm{0z}}}{g} \right)^2 = \frac{v_{\mathrm{0z}}^2}{g} - + \frac{1}{2} \cdot g \cdot \frac{v_{\mathrm{0z}}^2}{g^2} = \frac{v_{\mathrm{0z}}^2}{2 \cdot g} .. Wird der Gegenstand aus einer Höhe :math:`h=0` abgeworfen, so ist die Wurfweite -.. am höchsten, wenn :math:`\alpha = 45\degree` ist. Die Wurfweite :math:`s _{\rm{x}}` +.. am höchsten, wenn :math:`\alpha = 45\degree` ist. Die Wurfweite :math:`s_{\mathrm{x}}` .. beträgt in diesem Fall -Die Wurfweite kann man für den obigen Fall :math:`(s _{\rm{0z}} = 0)` einfach +Die Wurfweite kann man für den obigen Fall :math:`(s_{\mathrm{0z}} = 0)` einfach berechnen, indem man bedenkt, dass die Wurfbahn parabelförmig und damit symmetrisch ist; die Zeit bis zum Aufprall auf dem Boden muss somit doppelt so -lang sein wie die Zeit :math:`t _{\rm{z,max}}` zum Erreichen der maximalen +lang sein wie die Zeit :math:`t_{\mathrm{z,max}}` zum Erreichen der maximalen Steighöhe. In dieser Zeit bewegt sich der Gegenstand in horizontaler Richtung um folgende Wegstrecke: .. math:: :label: eqn-schiefer-wurf-wurfweite - s _{\rm{x,max}} = v _{\rm{0x}} \cdot (2 \cdot t _{\rm{z,max}}) = v_0 \cdot + s_{\mathrm{x,max}} = v_{\mathrm{0x}} \cdot (2 \cdot t_{\mathrm{z,max}}) = v_0 \cdot \cos{\alpha} \cdot 2 \cdot \frac{v_0 \cdot \sin{\alpha}}{g} = \frac{v_0^2 - \cdot 2 \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha}}{g} = \frac{v _{\rm{0}}^2 + \cdot 2 \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha}}{g} = \frac{v_{\mathrm{0}}^2 \cdot \sin{(2 \cdot \alpha)}}{g} Hierbei wurde im letzten Rechenschritt das Additionstheorem für Sinus-Funktionen genutzt. [#]_ Die Wurfweite ist also -- ebenfalls wie die Wurfhöhe -- vom Wurfwinkel :math:`\alpha` abhängig. Für :math:`\alpha = 45\degree` ist im -obigen Fall :math:`\sin{(2 \cdot \alpha)} = \sin{90 \degree} = 1` und somit die -Wurfweite maximal :math:`(s _{\rm{x,max,45\degree}} = \frac{v_0^2}{g})`. - -.. todo:: Übungsaufgaben zusammengesetzte Bewegung! +obigen Fall :math:`\sin{(2 \cdot \alpha)} = \sin{(90 \degree)} = 1` und somit die +Wurfweite maximal :math:`(s_{\mathrm{x \, max,45\degree}} = \frac{v_0^2}{g})`. .. raw:: html @@ -481,16 +469,16 @@ Wurfweite maximal :math:`(s _{\rm{x,max,45\degree}} = \frac{v_0^2}{g})`. .. [#] Definiert man die Bewegungsrichtung der Person (nach rechts) als positiv, so kann der Betrag der resultierenden Geschwindigkeit als Differenz beider - Geschwindigkeiten :math:`v _{\rm{1}} - v _{\rm{2}}` berechnet werden. Gilt - :math:`v _{\rm{2}} > v _{\rm{1}}`, so ist die resultierende Geschwindigkeit - "negativ", sie verläuft somit von rechts nach links. + Geschwindigkeiten :math:`v_1 - v_2` berechnet werden. Gilt :math:`v_2 > + v_1`, so ist die resultierende Geschwindigkeit "negativ", sie verläuft + somit von rechts nach links. - Schreibt man die Differenz :math:`v _{\rm{1}} - v _{\rm{2}}` als Summe - :math:`v _{\rm{1}} + (-v _{\rm{2}} )`, so zeigt sich, dass auch in diesem - Fall -- unter Berücksichtigung der Bewegungsrichtungen -- die resultierende - Geschwindigkeit gleich der Summe der Einzelgeschwindigkeiten ist. + Schreibt man die Differenz :math:`v_1 - v_2` als Summe :math:`v_1 + + (-v_2)`, so zeigt sich, dass auch in diesem Fall -- unter Berücksichtigung + der Bewegungsrichtungen -- die resultierende Geschwindigkeit gleich der + Summe der Einzelgeschwindigkeiten ist. -.. [#] Die :math:`y`-Komponente der Bewegung ist in diesem Fall konstant gleich +.. [#] Die :math:`y`-Komponente der Bewegung ist in diesem Fall konstant gleich Null und kann kann daher weggelassen werden, sofern die :math:`x`-Achse in Wurfrichtung zeigt. In der Tat handelt es sich bei einem Wurf um eine zweidimensionale Bewegung innerhalb der :math:`xz`-Ebene. @@ -499,10 +487,20 @@ Wurfweite maximal :math:`(s _{\rm{x,max,45\degree}} = \frac{v_0^2}{g})`. .. math:: - \sin{(\alpha _1 + \alpha_2)} = \sin{\alpha_1} \cdot \cos{\alpha_2} + - \cos{\alpha_1} \cdot \sin{\alpha_2} + \sin{(\alpha_1 + \alpha_2)} = \sin{(\alpha_1)} \cdot \cos{(\alpha_2)} + + \cos{(\alpha_1)} \cdot \sin{(\alpha_2)} + + Mit :math:`\alpha = \alpha_1 = \alpha_2` folgt somit :math:`\sin{(2 \cdot + \alpha)} = 2 \cdot \sin{(\alpha)} \cdot \cos{(\alpha)}`. + + +.. raw:: html + +
- Mit :math:`\alpha = \alpha _1 = \alpha_2` folgt somit :math:`\sin{(2 \cdot - \alpha)} = 2 \cdot \sin{\alpha} \cdot \cos{\alpha}`. +.. hint:: + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. +.. :ref:`Experimente ` und diff --git a/mechanik/koerpereigenschaften-aufgaben.rst b/mechanik/koerpereigenschaften-aufgaben.rst index cbdbffe..8ef313a 100644 --- a/mechanik/koerpereigenschaften-aufgaben.rst +++ b/mechanik/koerpereigenschaften-aufgaben.rst @@ -1,80 +1,77 @@ -.. _Aufgaben zu Körpereigenschaften: +.. _Aufgaben Körpereigenschaften: -Aufgaben zu Körpereigenschaften -=============================== +Körpereigenschaften +=================== -.. _Aufgaben zu Volumenberechnungen: +.. _Aufgaben Volumen: -Aufgaben zu Volumenberechnungen -------------------------------- +Volumen +------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Volumen -`. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Volumen `. ---- -.. _Volumen-01: +.. _kvo01: * (*) Auf dem Etikett eines Wandfarbe-Eimers ist angegeben, dass :math:`V = \unit[1,0]{l}` der Farbe zum Anstreichen einer Fläche von :math:`A = \unit[6,0]{m^2}` genügt. Mit welcher Schichtdicke muss dazu die Farbe aufgetragen werden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Volumen-02: +.. _kvo02: -* (*) Eine Blechtafel der Größe :math:`\unit[1,50]{m} \times \unit[1,20]{m}` soll - beidseitig mit einer :math:`\unit[0,1]{mm}` dicken Lackschicht überzogen - werden. Wie viel :math:`\unit[]{dm^3}` Lack werden benötigt? +* (*) Eine Blechtafel der Größe :math:`\unit[1,50]{m} \times \unit[1,20]{m}` + soll beidseitig mit einer :math:`\unit[0,1]{mm}` dicken Lackschicht überzogen + werden. Wie viel :math:`\unit{dm^3}` Lack werden benötigt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- +.. _Aufgaben Dichte: -.. _Aufgaben zu Dichteberechnungen: +Dichte +------ -Aufgaben zu Dichteberechnungen ------------------------------- - -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Dichte -`. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Dichte `. ---- -.. _Dichte-01: +.. _kdi01: -* (*) Warum haben Kork und Styropor -- im Vergleich zu anderen Festkörpern -- eine - so geringe Dichte? +* (*) Warum haben Kork und Styropor -- im Vergleich zu anderen Festkörpern -- + eine so geringe Dichte? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-02: +.. _kdi02: * (*) Welche Dichte hat ein Würfel, wenn sein Volumen gleich :math:`V = \unit[20]{cm^3}` ist und seine Masse :math:`m = \unit[178]{g}` beträgt? Aus welchem Stoff besteht er wohl? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-03: +.. _kdi03: * (*) Kann man :math:`\unit[6]{kg}` Quecksilber mit einer Dichte: von :math:`\rho = \unit[13,6]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[13,6]{\frac{kg}{dm^3}}`) in eine Flasche mit einem Volumen von :math:`V = \unit[0,50]{l}` füllen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-04: +.. _kdi04: * (**) Glaswolle besteht im Wesentlichen aus einem Glasgemisch und Luft. Bei bei einem Volumen von :math:`V = \unit[1]{m^3}` beträgt ihre Masse rund :math:`m = @@ -83,49 +80,45 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Dichte \unit[2500]{kg/m^3}` beträgt und die Masse der Luft vernachlässigt werden kann? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-05: +.. _kdi05: -* (**) Um die Dichte einer :math:`m _{\rm{Holz}} = \unit[27,5]{g}` schweren Holzprobe - zu bestimmen, wird diese an einem Bleistück der Masse :math:`m _{\rm{Pb}} = - \unit[400]{g}` (Dichte: :math:`\rho _{\rm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}`) - befestigt und in einem mit Wasser gefüllten Überlaufgefäß versenkt. Es - fließen :math:`\unit[75,0]{cm^3}` Wasser heraus. Welche Dichte hat das Holz? +* (**) Um die Dichte einer :math:`m_{\mathrm{Holz}} = \unit[27,5]{g}` schweren + Holzprobe zu bestimmen, wird diese an einem Bleistück der Masse + :math:`m_{\mathrm{Pb}} = \unit[400]{g}` (Dichte: :math:`\rho_{\mathrm{Pb}} = + \unit[11,3]{g/cm^3}`) befestigt und in einem mit Wasser gefüllten + Überlaufgefäß versenkt. Es fließen :math:`\unit[75,0]{cm^3}` Wasser heraus. + Welche Dichte hat das Holz? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-06: +.. _kdi06: * (*) Welche Masse hat ein :math:`l = \unit[100]{m}` langer Kupferdraht mit einem Durchmesser von :math:`d = \unit[2,0]{mm}`? (Die Dichte von Kupfer - beträgt :math:`\rho _{\rm{Cu}} = \unit[8,9]{g/cm^3}`.) + beträgt :math:`\rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[8,9]{g/cm^3}`.) - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Dichte-07: +.. _kdi07: * (*) Auf einem Garagendach, das :math:`l=\unit[3,00]{m}` lang und :math:`b=\unit[2,00]{m}` breit ist, liegt eine :math:`h=\unit[0,25]{m}` hohe Schneedecke; die Dichte des Schnees beträgt :math:`\rho = \unit[200]{\frac{kg}{m^3}}`. Wie groß ist die Masse :math:`m` der Schneelast? - :ref:`Lösung ` - - -.. raw:: latex + :ref:`Lösung ` - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/koerpereigenschaften-experimente.rst b/mechanik/koerpereigenschaften-experimente.rst index dc70d65..d9ab5b0 100644 --- a/mechanik/koerpereigenschaften-experimente.rst +++ b/mechanik/koerpereigenschaften-experimente.rst @@ -1,17 +1,19 @@ -.. _Experimente zu Körpereigenschaften: +.. _Experimente Körpereigenschaften: -Experimente zu Körpereigenschaften -================================== +Körpereigenschaften +=================== Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Körpereigenschaften `. -.. todo:: Höhenbestimmung mit Geodreieck und Entfernungsmesser +.. todo:: Höhenbestimmung mit Geodreieck und Entfernungsmesser! ---- .. _Volumenbestimmung im Standzylinder: +.. Quelle: Dorn-Bader S.9 + .. rubric:: Volumenbestimmung im Standzylinder *Material:* @@ -25,23 +27,23 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt * Wasser * Öl und/oder Glycerin (optional) -.. figure:: +.. image:: ../pics/mechanik/experiment-volumenbestimmung.png - :name: fig-experiment-volumenbestimmung - :alt: fig-experiment-volumenbestimmung :align: center :width: 40% - Volumenbestimmung eines (beliebig geformten) Körpers. +.. only:: html - .. only:: html + .. centered:: :download:`SVG: Volumenbestimmung + <../pics/mechanik/experiment-volumenbestimmung.svg>` - :download:`SVG: Volumenbestimmung - <../pics/mechanik/experiment-volumenbestimmung.svg>` +.. :name: fig-volumenbestimmung-standzylinder +.. :alt: fig-volumenbestimmung-standzylinder +.. Volumenbestimmung eines (beliebig geformten) Körpers. *Durchführung:* -- Fülle einen Standzylinder etwa zur Hälfte mit Wasser und markiere den +- Fülle einen Standzylinder etwa zur Hälfte mit Wasser und markiere den Füllstand mit einem Filzstift. - Tauche einen Quader, Würfel, oder einen anderen regelmäßig geformten Körper in das Wasser ein. Beobachte dabei, wie sich der Füllstand im Standzylinder @@ -51,8 +53,6 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt die der Standzylinder nun weiter gefüllt ist. - Wiederhole das Experiment mit verschiedenen Flüssigkeiten. Was stellst Du fest? -.. Quelle: Dorn-Bader S.9 - ---- .. _Dichtebestimmung nach Archimedes: @@ -74,25 +74,24 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt * Mehrere kleine Probekörper aus verschiedenen Materialien * Taschenrechner und Dichtetabelle -.. figure:: - ../pics/mechanik/experiment-dichtebestimmung-archimedes.png - :name: fig-experiment-dichtebestimmung-archimedes - :alt: fig-experiment-dichtebestimmung-archimedes +.. image:: ../pics/mechanik/experiment-dichtebestimmung-archimedes.png :align: center :width: 40% - Dichtebestimmung eines (beliebig geformten) Körpers nach dem Archimedischen - Prinzip. +.. only:: html - .. only:: html + .. centered:: :download:`SVG: Dichtebestimmung + <../pics/mechanik/experiment-dichtebestimmung-archimedes.png>` - :download:`SVG: Dichtebestimmung - <../pics/mechanik/experiment-dichtebestimmung-archimedes.png>` +.. :name: fig-experiment-dichtebestimmung-archimedes +.. :alt: fig-experiment-dichtebestimmung-archimedes +.. Dichtebestimmung eines (beliebig geformten) Körpers nach dem Archimedischen +.. Prinzip. *Durchführung:* - Stelle ein Überlaufgefäß auf einen Labortisch oder eine ähnliche - Unterlage, so dass die Überlauf-öffnung knapp über den Messzylinder hinaus + Unterlage, so dass die Überlauf-Öffnung knapp über den Messzylinder hinaus ragt. Fülle das Überlaufgefäß dann randvoll mit Wasser. - Entleere gegebenenfalls den Messzylinder. Versenke dann einen Probekörper im Überlaufgefäß und notiere, wie viel Wasser dabei in den Messzylinder @@ -106,13 +105,9 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt handelt es sich? - Wiederhole das Experiment mit unterschiedlichen Materialproben. -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/koerpereigenschaften-loesungen.rst b/mechanik/koerpereigenschaften-loesungen.rst index e322b7c..7ed7814 100644 --- a/mechanik/koerpereigenschaften-loesungen.rst +++ b/mechanik/koerpereigenschaften-loesungen.rst @@ -1,214 +1,214 @@ -.. _Lösungen zu Körpereigenschaften: +.. _Lösungen Körpereigenschaften: -Lösungen zu Körpereigenschaften -=============================== +Körpereigenschaften +=================== -.. _Lösungen zu Volumenberechnungen: +.. _Lösungen Volumen: -Lösungen zu Volumenberechnungen -------------------------------- +Volumen +------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Volumen `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Volumen `. ---- -.. _Volumen-01-Lösung: +.. _kvo01l: -* Wird die Farbe gleichmäßig aufgetragen, so gilt für das zum Anstreichen - einer Fläche :math:`A` mit einer Schichtdicke :math:`h` benötigte - Farbvolumen: +* Wird die Farbe gleichmäßig aufgetragen, so gilt für das zum Anstreichen + einer Fläche :math:`A` mit einer Schichtdicke :math:`h` benötigte + Farbvolumen: - .. math:: + .. math:: - V = A \cdot h + V = A \cdot h - Umgekehrt kann aus dieser Formel die Dicke :math:`h` der Farbschicht - berechnet werden, wenn das Volumen :math:`V` und die Fläche :math:`A` - bekannt sind. Dazu muss nur berücksichtigt werden, dass ein Liter einem - Kubik-Dezimeter entspricht: + Umgekehrt kann aus dieser Formel die Dicke :math:`h` der Farbschicht + berechnet werden, wenn das Volumen :math:`V` und die Fläche :math:`A` + bekannt sind. Dazu muss nur berücksichtigt werden, dass ein Liter einem + Kubik-Dezimeter entspricht: - .. math:: + .. math:: - \unit[1]{l} \equiv \unit[1]{dm^3} = \unit[\frac{1}{1000} ]{m^3} + \unit[1]{l} \equiv \unit[1]{dm^3} = \unit[\frac{1}{1000} ]{m^3} - Somit gilt: + Somit gilt: - .. math:: + .. math:: - h = \frac{V}{A} = \frac{\unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}}{\unit[6]{m^2}} \approx - \unit[0,00017]{m} = \unit[0,17]{mm} + h = \frac{V}{A} = \frac{\unit[\frac{1}{1000} ]{m^3}}{\unit[6]{m^2}} + \approx \unit[0,00017]{m} = \unit[0,17]{mm} - Bei der Etikettenangabe wird somit davon ausgegangen, dass die Farbe mit - einer Schichtdicke von knapp :math:`\unit[0,2]{mm}` aufgetragen wird. + Bei der Etikettenangabe wird somit davon ausgegangen, dass die Farbe mit + einer Schichtdicke von knapp :math:`\unit[0,2]{mm}` aufgetragen wird. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Volumen-02-Lösung: +.. _kvo02l: -* Die Fläche :math:`A` der (rechteckigen) Blechtafel ist gleich dem Produkt aus ihrer - Länge :math:`l` und Breite :math:`b`: +* Die Fläche :math:`A` der (rechteckigen) Blechtafel ist gleich dem Produkt + aus ihrer Länge :math:`l` und Breite :math:`b`: - .. math:: + .. math:: - A = l \cdot b = \unit[1,50]{m} \cdot \unit[1,20]{m} = \unit[1,80]{m^2} + A = l \cdot b = \unit[1,50]{m} \cdot \unit[1,20]{m} = \unit[1,80]{m^2} - Das Volumen :math:`V` der nötigen Lackschicht kann damit als Produkt der - Fläche :math:`A` und der (gleichmäßigen) Schichtdicke :math:`h = - \unit[0,1]{mm} = \unit[0,000\,1]{m}` berechnet werden: + Das Volumen :math:`V` der nötigen Lackschicht kann damit als Produkt der + Fläche :math:`A` und der (gleichmäßigen) Schichtdicke :math:`h = + \unit[0,1]{mm} = \unit[0,000\,1]{m}` berechnet werden: - .. math:: + .. math:: - V = A \cdot h = \unit[1,8]{m^2} \cdot \unit[0,000\,1]{m} = - \unit[0,000\,18]{m^3} = \unit[0,18]{dm^3} + V = A \cdot h = \unit[1,8]{m^2} \cdot \unit[0,000\,1]{m} = + \unit[0,000\,18]{m^3} = \unit[0,18]{dm^3} - Zum Streichen der Fläche mit der angegebenen Schichtdicke sind somit rund - :math:`\unit[0,2]{dm^3} = \unit[0,2]{l}` Lack nötig. + Zum Streichen der Fläche mit der angegebenen Schichtdicke sind somit rund + :math:`\unit[0,2]{dm^3} = \unit[0,2]{l}` Lack nötig. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Dichteberechnungen: +.. _Lösungen Dichte: -Lösungen zu Dichteberechnungen ------------------------------- +Dichte +------ -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Dichte `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Dichte `. ---- -.. _Dichte-01-Lösung: +.. _kdi01l: -* In Kork und Styropor ist verhältnismäßig viel Luft eingelagert. Körper aus - Kork oder Styropor nehmen daher bei einer bestimmten Masse :math:`m` ein großes - Volumen :math:`V` ein. Die Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V}` ist somit gering. +* In Kork und Styropor ist verhältnismäßig viel Luft eingelagert. Körper aus + Kork oder Styropor nehmen daher bei einer bestimmten Masse :math:`m` ein großes + Volumen :math:`V` ein. Die Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V}` ist somit gering. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-02-Lösung: +.. _kdi02l: -* Die Formel für die Dichte :math:`\rho` eines Körpers lautet :math:`\rho - =\frac{m}{V}`. Die Masse :math:`m` und das Volumen :math:`V` des Würfels - sind bekannt. Eingesetzt ergibt sich: +* Die Formel für die Dichte :math:`\rho` eines Körpers lautet :math:`\rho + =\frac{m}{V}`. Die Masse :math:`m` und das Volumen :math:`V` des Würfels + sind bekannt. Eingesetzt ergibt sich: - .. math:: + .. math:: - \rho = \frac{m}{V} = \frac{\unit[178]{g} }{\unit[20]{cm^3} } = 8,9 - \unit[]{\frac{g}{cm^3} } + \rho = \frac{m}{V} = \frac{\unit[178]{g} }{\unit[20]{cm^3} } = 8,9 + \unit[]{\frac{g}{cm^3} } - Die Dichte des Würfels beträgt :math:`\unit[8,9]{g/cm^3}`. Da Kupfer die gleiche - Dichte besitzt, handelt es sich wahrscheinlich um einen Würfel aus Kupfer. + Die Dichte des Würfels beträgt :math:`\unit[8,9]{g/cm^3}`. Da Kupfer die gleiche + Dichte besitzt, handelt es sich wahrscheinlich um einen Würfel aus Kupfer. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-03-Lösung: +.. _kdi03l: -* Eine mögliche Lösung besteht darin zu überlegen, dass Kubick-Dezimeter - gerade einem Liter entspricht: +* Eine mögliche Lösung besteht darin zu überlegen, dass Kubick-Dezimeter + gerade einem Liter entspricht: - .. math:: + .. math:: - \unit[1]{dm^3} = \unit[1]{l} + \unit[1]{dm^3} = \unit[1]{l} - Quecksilber hat eine Dichte von :math:`\unit[13,6]{kg/dm^3}`, d.h. es passen - :math:`m = \unit[13,6]{kg}` in ein Volumen :math:`V = \unit[1]{l}`. Nun - steht in der :math:`0,5`-Liter-Flasche nur die Hälfte dieses Volumens zur Verfügung, - so dass auch nur die Hälfte dieser Masse hinein passt -- das sind - :math:`\unit[6,8]{kg}`. Quecksilber der Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` füllt - die Flasche somit nicht aus. + Quecksilber hat eine Dichte von :math:`\unit[13,6]{kg/dm^3}`, d.h. es passen + :math:`m = \unit[13,6]{kg}` in ein Volumen :math:`V = \unit[1]{l}`. Nun steht + in der :math:`0,5`-Liter-Flasche nur die Hälfte dieses Volumens zur Verfügung, + so dass auch nur die Hälfte dieser Masse hinein passt -- das sind + :math:`\unit[6,8]{kg}`. Quecksilber der Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` füllt + die Flasche somit nicht aus. - Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, indem man berechnet, welches Volumen - die sechs Kilogramm Quecksilber einnehmen: + Ein anderer Lösungsweg ergibt sich, indem man berechnet, welches Volumen + die sechs Kilogramm Quecksilber einnehmen: - Aus der gegebenen Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V} = \unit[13,6]{kg/dm^3}` - des Quecksilbers und seiner Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` lässt sich das - Volumen des Quecksilbers bestimmen: + Aus der gegebenen Dichte :math:`\rho = \frac{m}{V} = \unit[13,6]{kg/dm^3}` + des Quecksilbers und seiner Masse :math:`m = \unit[6]{kg}` lässt sich das + Volumen des Quecksilbers bestimmen: - .. math:: + .. math:: - \rho = \frac{m}{V} \qquad \Leftrightarrow \qquad V = \frac{m }{\rho } + \rho = \frac{m}{V} \qquad \Leftrightarrow \qquad V = \frac{m }{\rho } - .. math:: + .. math:: - V = \frac{m}{\rho } = \frac{\unit[6]{kg}}{ \unit[13,6]{{\frac{kg}{dm^3}} - }} = \unit[0,441]{dm^3} = \unit[0,441]{l} + V = \frac{m}{\rho } = \frac{\unit[6]{kg}}{ \unit[13,6]{{\frac{kg}{dm^3}} + }} = \unit[0,441]{dm^3} = \unit[0,441]{l} - Dieses Volumen ist kleiner als :math:`0,5` Liter, also kann man es in die - Flasche füllen. + Dieses Volumen ist kleiner als :math:`0,5` Liter, also kann man es in die + Flasche füllen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-04-Lösung: +.. _kdi04l: -* Würde Glaswolle ausschließlich aus dem Glasgemisch bestehen, so würde sich - aus der Dichte :math:`\rho = \unit[2,5]{g/cm^3} = \unit[2500]{kg/m^3}` bei - einem Volumen von :math:`V = \unit[1]{m^3}` eine Masse von :math:`m = - \unit[2500]{kg}` ergeben: +* Würde Glaswolle ausschließlich aus dem Glasgemisch bestehen, so würde sich + aus der Dichte :math:`\rho = \unit[2,5]{g/cm^3} = \unit[2500]{kg/m^3}` bei + einem Volumen von :math:`V = \unit[1]{m^3}` eine Masse von :math:`m = + \unit[2500]{kg}` ergeben: - .. math:: + .. math:: - \rho = \frac{m}{V} \quad \Leftrightarrow \quad m = \rho \cdot V \\ - m = \unit[2500]{\frac{kg}{m^3} } \cdot \unit[1]{m^3} = \unit[2500]{kg} + \rho = \frac{m}{V} \quad \Leftrightarrow \quad m = \rho \cdot V \\ + m = \unit[2500]{\frac{kg}{m^3} } \cdot \unit[1]{m^3} = \unit[2500]{kg} - Tatsächlich wiegt ein Kubickmeter Glaswolle jedoch nur - :math:`\unit[100]{kg}`. Das Glasgemisch kann somit -- das Gewicht der Luft - wird an dieser Stelle vernachlässigt -- den entsprechenden Bruchteil des - Volumens ausmachen: + Tatsächlich wiegt ein Kubickmeter Glaswolle jedoch nur + :math:`\unit[100]{kg}`. Das Glasgemisch kann somit -- das Gewicht der Luft + wird an dieser Stelle vernachlässigt -- den entsprechenden Bruchteil des + Volumens ausmachen: - .. math:: + .. math:: - \frac{V _{\rm{Glasgemisch}}}{V _{\rm{gesamt}}} = \frac{100}{2500} = 0,04 = 4\% + \frac{V_{\mathrm{Glasgemisch}}}{V_{\mathrm{gesamt}}} = \frac{100}{2500} = 0,04 = 4\% - Der Anteil des Glasgemisches am Gesamtvolumen begrägt somit :math:`4\%`. + Der Anteil des Glasgemisches am Gesamtvolumen begrägt somit :math:`4\%`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-05-Lösung: +.. _kdi05l: * Das Volumen :math:`V = \unit[75,0]{cm^3}` an Wasser, das aus dem Überlaufgefäß heraus fließt, entspricht dem Volumen des Holz-Blei-Klotzes. - Das Bleistück mit der Masse :math:`m _{\rm{Pb}} = \unit[400]{g}` und der - Dichte :math:`\rho _{\rm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}` hat alleine folgendes + Das Bleistück mit der Masse :math:`m_{\mathrm{Pb}} = \unit[400]{g}` und der + Dichte :math:`\rho_{\mathrm{Pb}} = \unit[11,3]{g/cm^3}` hat alleine folgendes Volumen: .. math:: - V _{\rm{Pb}} = \frac{m _{\rm{Pb}}}{V _{\rm{Pb}}} = + V_{\mathrm{Pb}} = \frac{m_{\mathrm{Pb}}}{V_{\mathrm{Pb}}} = \frac{\unit[400]{g}}{\unit[11,3]{\frac{g}{cm^3} }} = \unit[35,4]{cm^3} - Das restliche Volumen :math:`V - V _{\rm{Pb}} = \unit[75,0]{cm^3} - + Das restliche Volumen :math:`V - V_{\mathrm{Pb}} = \unit[75,0]{cm^3} - \unit[35,4]{cm^3} = \unit[39,6]{cm^3}` entspricht somit dem Volumen :math:`V - _{\rm{Holz}}` des Holzstücks. Da die Masse :math:`m _{\rm{Holz}} = + _{\mathrm{Holz}}` des Holzstücks. Da die Masse :math:`m_{\mathrm{Holz}} = \unit[27,5]{g}` des Holzstücks ebenfalls bekannt ist, kann seine Dichte durch Einsetzen der Werte in die Dichte-Formel berechnet werden: .. math:: - \rho _{\rm{Holz}} = \frac{m _{\rm{Holz}}}{V _{\rm{Holz}}} = + \rho_{\mathrm{Holz}} = \frac{m_{\mathrm{Holz}}}{V_{\mathrm{Holz}}} = \frac{\unit[27,5]{g}}{\unit[39,6]{cm^3}} \approx \unit[0,69]{\frac{g}{cm^3} } Bei der Holzprobe könnte es sich nach Tabelle :ref:`Dichte einiger Festkörper ` somit um Buche handeln. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-06-Lösung: +.. _kdi06l: * Das Volumen des Drahts (:math:`r = \unit[1,00]{mm} = \unit[0,10]{cm}`; :math:`l = \unit[100]{m} = \unit[10\,000]{cm}`) kann mit Hilfe der @@ -216,18 +216,18 @@ Dichteberechnungen>` zum Abschnitt :ref:`Dichte `. .. math:: - V _{\rm{Draht}} = \pi \cdot r^2 \cdot l = \pi \cdot \unit[0,01]{cm^2} \cdot + V_{\mathrm{Draht}} = \pi \cdot r^2 \cdot l = \pi \cdot \unit[0,01]{cm^2} \cdot \unit[10\,000]{cm} \approx \unit[314]{cm^3} - Die Masse des Kupferdrahts :math:`m _{\rm{Draht}} = V _{\rm{Draht}} \cdot - \rho _{\rm{Cu}} = \unit[314]{cm^3} \cdot \unit[8,9]{\frac{g}{cm^3}} = + Die Masse des Kupferdrahts :math:`m_{\mathrm{Draht}} = V_{\mathrm{Draht}} \cdot + \rho_{\mathrm{Cu}} = \unit[314]{cm^3} \cdot \unit[8,9]{\frac{g}{cm^3}} = \unit[2795]{g}` beträgt somit rund :math:`\unit[2,8]{kg}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Dichte-07-Lösung: +.. _kdi07l: * Die Masse des Schnees ist gleich dem Produkt aus seinem Volumen und seiner Dichte: @@ -239,16 +239,11 @@ Dichteberechnungen>` zum Abschnitt :ref:`Dichte `. Die Schneelast hat somit eine Masse von :math:`\unit[300]{kg}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/koerpereigenschaften.rst b/mechanik/koerpereigenschaften.rst index 0142425..a2da047 100644 --- a/mechanik/koerpereigenschaften.rst +++ b/mechanik/koerpereigenschaften.rst @@ -137,11 +137,11 @@ man den Wert der Masse durch den Wert des Volumen, so erhält man die Dichte des Körpers. .. list-table:: - :name: tab-dichte-beispiele-festkörper + :name: tab-dichte-beispiele-festkoerper :widths: 50 50 * - Stoff - - Dichte in :math:`\unit[]{kg/m^3}` + - Dichte in :math:`\unit{kg/m^3}` * - Aluminium - :math:`2700` * - Blei @@ -232,7 +232,18 @@ Aggregatzustand auftreten können, unterscheidet man auch feste Körper (Festkörper), Flüssigkeiten und Gase. Je nach Aggregatzustand zeigen Körper ein unterschiedliches Volumen- und -Formverhalten. +Formverhalten: + +- Im festen Zustand sind die Atome einer Substanz in Kristallgittern oder + Makro-Molekülen fest an ihre Plätze gebunden und können nur Schwingungen um + ihre jeweilige Position ausführen. + +- Im flüssigen Zustand können sich die einzelnen Atome beziehungsweise Moleküle + innerhalb der Flüssigkeit frei bewegen. Der Austritt aus der Flüssigkeit wird + jedoch durch zwischenmolekulare Kräfte stark erschwert. + +- Im gasförmigen Zustand spielen zwischenmolekulare Kräfte so gut wie keine + Rolle; die Atome beziehungsweise Moleküle können sich frei bewegen. .. list-table:: Aggregatzustände und ihre Eigenschaften :name: tab-aggregatzustände-eigenschaften @@ -267,13 +278,17 @@ Formverhalten. - Sehr gering - Sehr groß +In welchem Aggregatzustand ein Material vorliegt, hängt vom Druck und von der +Temperatur ab; im Abschnitt :ref:`Phasenübergänge ` wird +hierauf näher eingegangen. + .. raw:: html
.. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/aufgaben.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/aufgaben.rst index 0fbe629..2215648 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/aufgaben.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/aufgaben.rst @@ -1,29 +1,28 @@ -.. _Aufgaben zu Kraftwandlern und Getrieben: +.. _Aufgaben Kraftwandler und Getriebe: -Aufgaben zu Kraftwandlern und Getrieben -======================================= +Kraftwandler und Getriebe +========================= -.. _Aufgaben zu Hebeln: +.. _Aufgaben Hebel: -Aufgaben zu Hebeln ------------------- +Hebel +----- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Hebel -`. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Hebel `. ---- -.. _Hebel-01: +.. _kgh01: * (\*) Funktioniert eine Balkenwaage auch auf dem Mond? Gilt das gleiche auch für eine Federkraftwaage? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hebel-02: +.. _kgh02: * (\*) Weshalb ist weniger Kraft nötig, um Deckel einer Farbdose mit Hilfe eines Schraubenziehers zu öffnen, wenn dieser unter dem Deckelrand angesetzt wird? @@ -33,22 +32,22 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Hebel vom Dosenrand zum Deckel :math:`s_2=\unit[0,01]{m}` und die am Griff angreifende Kraft :math:`F_1 = \unit[5]{N}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hebel-03: +.. _kgh03: -* (\*) An einer Balkenwaage hängt im Abstand :math:`s _{\rm{1}} = \unit[10]{cm}` - eine Last :math:`m _{\rm{1}} = \unit[2]{kg}`. In welchem Abstand zur Drehachse - muss man ein Gegengewicht mit einer Masse von :math:`m _{\rm{2}} = +* (\*) An einer Balkenwaage hängt im Abstand :math:`s_1 = \unit[10]{cm}` + eine Last :math:`m_1 = \unit[2]{kg}`. In welchem Abstand zur Drehachse + muss man ein Gegengewicht mit einer Masse von :math:`m_2 = \unit[500]{g}` anbringen, damit die Waage im Gleichgewicht ist? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hebel-04: +.. _kgh04: * (\*) Eine Person hält ein :math:`m = \unit[2]{kg}` schweres Gewicht mit horizontal gehaltenem Unterarm in der Hand (der Oberarm hängt dabei lose nach unten). Der @@ -57,58 +56,58 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Hebel :math:`s_2 = \unit[35]{cm}`. Welche Kraft :math:`F_1` muss der Muskel aufbringen, um den Unterarm in horizontaler Position zu halten? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Hebel-05: +.. _kgh05: * (\**) An der linken Seite eines zweiseitigen Hebels sind zwei Gewichte :math:`F - _{\rm{1}} = \unit[3,5]{N}` und :math:`m _{\rm{2}} = \unit[5]{N}` im Abstand - :math:`s _{\rm{1}} = \unit[0,2]{m}` bzw. :math:`s _{\rm{2}} = \unit[0,1]{m}` + _{\mathrm{1}} = \unit[3,5]{N}` und :math:`m_2 = \unit[5]{N}` im Abstand + :math:`s_1 = \unit[0,2]{m}` bzw. :math:`s_2 = \unit[0,1]{m}` von der Drehachse befestigt. Am rechten Arm sind zwei Gewichte :math:`F - _{\rm{3}} = \unit[1,5]{N}` und :math:`m _{\rm{4}} = \unit[4]{N}` im Abstand - :math:`s _{\rm{3}} = \unit[0,6]{m}` bzw. :math:`s _{\rm{4}} = \unit[0,075]{m}` + _{\mathrm{3}} = \unit[1,5]{N}` und :math:`m_4 = \unit[4]{N}` im Abstand + :math:`s_3 = \unit[0,6]{m}` bzw. :math:`s_4 = \unit[0,075]{m}` angebracht. Befindet sich der Hebel im Gleichgewicht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur schiefen Ebene: +.. _Aufgaben Schiefe Ebene: -Aufgaben zur schiefen Ebene ---------------------------- +Schiefe Ebene +------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. ---- -.. _Schiefe-Ebene-01: +.. _kgs01: * (\*) Eine Schubkarre mit einer Gewichtskraft von :math:`\unit[600]{N}` wird entlang einer schiefen Ebene verschoben. Die schiefe Ebene ist - :math:`\unit[2,4]{m}` lang, ihre Höhe beträgt :math:`\unit[0,6]{m}`. Wie - groß ist die zum (reibungsfreien) Schieben der Schubkarre notwendige Kraft + :math:`\unit[2,4]{m}` lang, ihre Höhe beträgt :math:`\unit[0,6]{m}`. Wie groß + ist die zum (reibungsfreien) Schieben der Schubkarre notwendige Kraft :math:`F`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu Flaschenzügen und Rollen: +.. _Aufgaben Flaschenzüge und Rollen: -Aufgaben zu Flaschenzügen und Rollen ------------------------------------- +Flaschenzüge und Rollen +----------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Flaschenzügen und Rollen `. ---- -.. _Flaschenzug-01: +.. _kgf01: * (\*) Mit einem Flaschenzug aus vier losen und und vier festen Rollen wird eine Last der Masse :math:`m=\unit[200]{kg}` um eine Höhe von :math:`h = @@ -116,28 +115,28 @@ Rollen `. :math:`\unit[5]{kg}`. Wie groß ist die Zugkraft :math:`F`, wie lang die Zugstrecke :math:`s`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Flaschenzug-02: +.. _kgf02: * (\*) Welche Masse kann eine Person, die selbst :math:`\unit[50]{kg}` wiegt, durch ihre Gewichtskraft mit Hilfe eines Flaschenzugs aus zwei festen und zwei losen Rollen anheben, wenn das Gewicht des Flaschenzugs und die in den Rollen auftretende Reibung vernachlässigt werden können? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Flaschenzug-03: +.. _kgf03: -* (\**) Eine Anordnung, wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt ist, heißt - "Potenzflaschenzug". Mit welcher Kraft :math:`F` muss am losen Seilende - mindestens gezogen werden, um eine Last mit einem Gewicht von :math:`F - _{\rm{G}} = \unit[800]{N}` anzuheben? Mit welcher Kraft muss man am losen - Seilende ziehen, wenn man die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G,R}} = +* (\**) Eine Anordnung, wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt ist, + heißt "Potenzflaschenzug". Mit welcher Kraft :math:`F` muss am losen Seilende + mindestens gezogen werden, um eine Last mit einem Gewicht von + :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[800]{N}` anzuheben? Mit welcher Kraft muss man am + losen Seilende ziehen, wenn man die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G,R}} = \unit[20]{N}` jeder einzelnen Rolle berücksichtigt? (Der Einfluss von Reibungskräften wird bei dieser Aufgabe nicht berücksichtigt.) @@ -145,7 +144,7 @@ Rollen `. :align: center :width: 33% - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` .. Inwiefern findet das Flaschenzug-Prinzip auch bei Schnürsenkeln Anwendung? .. Wieso ist in diesem Fall die Reibung an den Oesen nicht unerwünscht? @@ -153,17 +152,17 @@ Rollen `. ---- -.. _Aufgaben zu Zahnrädern und Getrieben: +.. _Aufgaben Zahnräder und Getriebe: -Aufgaben zu Zahnrädern und Getrieben ------------------------------------- +Zahnräder und Getriebe +---------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Zahnräder und Getriebe `. ---- -.. _Ketten-Getriebe-01: +.. _kgz01: * (\**) An einem Fahrrad wird die Kraft von den Pedalen mittels dem Pedal und der Kurbel, dem vorderen Zahnrad, der Kette und schließlich dem hinteren Zahnrad @@ -189,15 +188,11 @@ Getriebe `. wenn der Fahrer vorne auf einen kleineren Zahnkranz mit Radius :math:`r_2 = \unit[0,05]{m}` herunter schaltet und die gleiche Kraft auf das Pedal ausübt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/experimente.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/experimente.rst index 2b0728a..4dd04e1 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/experimente.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/experimente.rst @@ -1,12 +1,12 @@ -.. _Experimente zu Kraftwandlern und Getrieben: +.. _Experimente Kraftwandlern und Getrieben: -Experimente zu Kraftwandlern und Getrieben -========================================== +Kraftwandler und Getriebe +========================= -.. _Experimente zu Hebeln: +.. _Experimente Hebel: -Experimente zu Hebeln ---------------------- +Hebel +----- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Hebel `. @@ -131,10 +131,10 @@ getestet und geübt werden. ---- -.. _Experimente zur schiefen Ebene: +.. _Experimente Schiefe Ebene: -Experimente zur schiefen Ebene ------------------------------- +Schiefe Ebene +------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. @@ -200,10 +200,10 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. @@ -222,18 +222,19 @@ Rollen `. * Zwei runde, stabile Holzstangen (z.B. Besenstile) * Ein ca. :math:`\unit[4]{m}` langes, zugfestes Seil -.. figure:: ../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/stangen-flaschenzug.png - :width: 60% +.. image:: ../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/stangen-flaschenzug.png :align: center - :name: fig-stangen-flaschenzug - :alt: fig-stangen-flaschenzug + :width: 60% - Das Prinzip eines Flaschenzugs mittels zweier Besen. +.. only:: html - .. only:: html + .. centered:: :download:`SVG: Stangen-Flaschenzug + <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/stangen-flaschenzug.svg>` - :download:`SVG: Stangen-Flaschenzug - <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/stangen-flaschenzug.svg>` +.. :name: fig-stangen-flaschenzug +.. :alt: fig-stangen-flaschenzug + +.. Das Prinzip eines Flaschenzugs mittels zweier Besen. *Durchführung:* @@ -245,17 +246,13 @@ Rollen `. - Was passiert, wenn das Seil noch öfters um die beiden Holzstangen gewickelt wird? Wie könnten Reibungseffekte verringert werden? -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} +---- -.. raw:: html +.. zahnrad-wellrad-kurbel.rst -
+.. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript ` -.. zahnrad-wellrad-kurbel.rst - diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/flaschenzuege-und-rollen.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/flaschenzuege-und-rollen.rst index 6913887..e5039c8 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/flaschenzuege-und-rollen.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/flaschenzuege-und-rollen.rst @@ -1,4 +1,3 @@ - .. _Flaschenzüge und Rollen: Flaschenzüge und Rollen @@ -110,14 +109,14 @@ Seilstücken ergibt sich folgende Kraftreduzierung: .. math:: :label: eqn-flaschenzug - {\color{white}\ldots\quad}F _{\rm{Zug}} = \frac{1}{n} \cdot F _{\rm{G}} + {\color{white}\ldots\quad}F_{\mathrm{Zug}} = \frac{1}{n} \cdot F_{\mathrm{G}} Entsprechend muss jedoch das Zugseil um eine :math:`n`-fache Länge gegenüber der Hubhöhe :math:`h` angezogen werden: .. math:: - s _{\rm{Zug}} = n \cdot h + s_{\mathrm{Zug}} = n \cdot h .. figure:: ../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/flaschenzug-vierfach.png @@ -160,6 +159,6 @@ für die Wirkungsweise eines Flaschenzugs ohne Bedeutung. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/hebel.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/hebel.rst index 64b1eb0..8ee6b09 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/hebel.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/hebel.rst @@ -1,7 +1,4 @@ - -.. index:: - single: Hebel - single: Kraftwandler; Hebel +.. index:: Hebel, Kraftwandler; Hebel .. _Hebel: Hebel @@ -29,17 +26,15 @@ Die Stelle, an der eine Kraft :math:`\vec{F}` am Hebel wirkt, heißt Angriffspun Kraft, der Abstand ihrer Wirkungslinie zur Drehachse wird Kraftarm :math:`s` genannt. -Wirken auf einen Hebel zwei Kräfte :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` und :math:`\vec{F} -_{\rm{2}}`, so ist der Hebel dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt ersten -Kraft :math:`\vec{F} _{\rm{1}}` mit ihrem Kraftarm :math:`\vec{s} _{\rm{1}}` -gleich dem Produkt der zweiten Kraft :math:`\vec{F} _{\rm{2}}` mit ihrem -Kraftarm :math:`\vec{s} _{\rm{2}}` ist: +Wirken auf einen Hebel zwei Kräfte :math:`\vec{F}_1` und :math:`\vec{F}_2`, so +ist der Hebel dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt ersten Kraft +:math:`\vec{F}_1` mit ihrem Kraftarm :math:`\vec{s}_1` gleich dem Produkt der +zweiten Kraft :math:`\vec{F}_2` mit ihrem Kraftarm :math:`\vec{s}_2` ist: .. math:: :label: eqn-hebel - \vec{s} _{\rm{1}} \times \vec{F} _{\rm{1}} = \vec{s} _{\rm{2}} \times - \vec{F} _{\rm{2}} + \vec{s}_1 \times \vec{F}_1 = \vec{s}_2 \times \vec{F}_2 Die obige Formel, die formal eine Gleichheit zweier :ref:`Drehmomente ` beschreibt, wird auch als Hebelgesetz bezeichnet. Es gilt für alle @@ -69,12 +64,11 @@ Drehachse aus betrachtet, auf verschiedenen Seiten des Hebels. :download:`SVG: Balkenwaage als Hebel mit gleicher Kraftarm-Länge. <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/hebel-balkenwaage.svg>` -Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn das Drehmoment :math:`\vec{s} _{\rm{1}} -\times \vec{F} _{\rm{1}}` auf der linken Seite des Hebels dem Drehmoment -:math:`\vec{s} _{\rm{2}} \times \vec{F} _{\rm{2}}` auf der rechten Seite des -Hebels entspricht. [#HZ]_ Ist das wirkende Drehmoment auf der einen Seite größer als -auf der anderen, so führt die Hebelstange eine entsprechende Rotation um die -Drehachse aus. +Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn das Drehmoment :math:`\vec{s}_1 \times +\vec{F}_1` auf der linken Seite des Hebels dem Drehmoment :math:`\vec{s}_2 +\times \vec{F}_2` auf der rechten Seite des Hebels entspricht. [#HZ]_ Ist das +wirkende Drehmoment auf der einen Seite größer als auf der anderen, so führt die +Hebelstange eine entsprechende Rotation um die Drehachse aus. .. index:: @@ -138,11 +132,10 @@ einseitigen oder zweiseitigen Hebel. :download:`SVG: Winkelhebel (Nageleisen) <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/winkelhebel-nageleisen.svg>` -Das Hebelgesetz :math:`\vec{s} _{\rm{1}} \times \vec{F} _{\rm{1}} = \vec{s} -_{\rm{2}} \times \vec{F} _{\rm{2}}` gilt auch bei einem Winkelhebel unverändert. -Ist das linksdrehende Drehmoment gleich dem rechtsdrehenden, so herrscht ein -Hebel-Gleichgewicht; andernfalls tritt eine entsprechende Rotation um die -Drehachse auf. +Das Hebelgesetz :math:`\vec{s}_1 \times \vec{F}_1 = \vec{s}_2 \times \vec{F}_2` +gilt auch bei einem Winkelhebel unverändert. Ist das linksdrehende Drehmoment +gleich dem rechtsdrehenden, so herrscht ein Hebel-Gleichgewicht; andernfalls +tritt eine entsprechende Rotation um die Drehachse auf. .. index:: @@ -177,17 +170,16 @@ dass im Gleichgewichtsfall wiederum das allgemeine Hebelgesetz gilt: .. math:: - \vec{s} _{\rm{1}} \times \vec{F} _{\rm{1}} = \vec{s} _{\rm{2}} \times \vec{F} - _{\rm{2}} + \vec{s}_1 \times \vec{F}_1 = \vec{s}_2 \times \vec{F}_2 -Dabei entsprechen die Wegstrecken :math:`| \vec{s} _{\rm{1}} |` und :math:`| -\vec{s} _{\rm{2}} |` den Radien der beiden Räder. Betraglich ist die -Kraftverstärkung, die bei einer Drehung des äußeren Rades gegenüber dem inneren -Rad auftritt, gleich dem Verhältnis der Radien beider Räder: +Dabei entsprechen die Wegstrecken :math:`|\vec{s}_1|` und :math:`|\vec{s}_2|` +den Radien der beiden Räder. Betraglich ist die Kraftverstärkung, die bei einer +Drehung des äußeren Rades gegenüber dem inneren Rad auftritt, gleich dem +Verhältnis der Radien beider Räder: .. math:: - F _{\rm{1}} = \frac{s _{\rm{2}}}{s1} \cdot F _{\rm{2}} + F_1 = \frac{s_2}{s1} \cdot F_2 Eine kleine Kraft am großen Rad hat somit eine große Kraft am kleinen Rad zur Folge. Nach dem gleichen Prinzip funktioniert auch eine Kurbel. Diese kann man @@ -197,16 +189,16 @@ sich als einzelne, massive Speiche eines Wellrades vorstellen. *Beispiel:* -* Eine Kurbel mit einem Radius von :math:`r _{\rm{2}} = \unit[25]{cm}` wird mit - einer Kraft von :math:`F _{\rm{2}} = \unit[100]{N}` angetrieben. Die Kraft, - die dadurch auf ein Antriebsrad mit Radius :math:`r _{\rm{1}} = \unit[5]{cm}` +* Eine Kurbel mit einem Radius von :math:`r_2 = \unit[25]{cm}` wird mit + einer Kraft von :math:`F_2 = \unit[100]{N}` angetrieben. Die Kraft, + die dadurch auf ein Antriebsrad mit Radius :math:`r_1 = \unit[5]{cm}` wirkt, beträgt somit: .. math:: - F _{\rm{1}} \cdot r _{\rm{1}} = F _{\rm{2}} \cdot r _{\rm{2}} \quad - \Leftrightarrow \quad F _{\rm{1}} = \frac{F _{\rm{2}} \cdot r _{\rm{2}}}{r _{\rm{1}}} \\[5pt] - F _{\rm{1}} = \frac{\unit[100]{N} \cdot \unit[0,25]{m}}{\unit[0,05]{m}} = + F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \quad + \Leftrightarrow \quad F_1 = \frac{F_2 \cdot r_2}{r_1} \\[5pt] + F_1 = \frac{\unit[100]{N} \cdot \unit[0,25]{m}}{\unit[0,05]{m}} = \unit[500]{N} Auch in diesem Fall bewirkt eine kleine Kraft an der langen Pedalstange eine @@ -241,6 +233,6 @@ große Kraft am kleinen Antriebsrad. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/loesungen.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/loesungen.rst index 6bcdb86..73478d5 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/loesungen.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/loesungen.rst @@ -1,20 +1,20 @@ -.. _Lösungen zu Kraftwandlern und Getrieben: +.. _Lösungen Kraftwandler und Getriebe: -Lösungen zu Kraftwandlern und Getrieben -======================================= +Kraftwandler und Getriebe +========================= -.. _Lösungen zu Hebeln: +.. _Lösungen Hebel: -Lösungen zu Hebeln ------------------- +Hebel +----- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. ---- -.. _Hebel-01-Lösung: +.. _kgh01l: * Das Funktionsprinzip einer Balkenwaage beruht darauf, eine unbekannte Masse mit einer oder mehreren Massen bekannter Größe zu vergleichen. Da die @@ -29,11 +29,11 @@ Hebeln>` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. jedoch gleich bleibt, zeigt eine Federkraftwaage auf dem Mond einen "falschen" Wert an -- die Skala müsste neu kalibriert werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hebel-02-Lösung: +.. _kgh02l: * Beim Öffnen einer Farbdose dient ein Schraubenzieher als Hebel. Die Länge des Kraftarms ist gleich der Strecke zwischen der Drehachse und dem Griff @@ -50,52 +50,50 @@ Hebeln>` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. \unit[5]{N}` am Griff eine Kraft von :math:`F_2 = \frac{s_1}{s_2} \cdot F_1 = 16 \cdot \unit[5]{N} = \unit[80]{N}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hebel-03-Lösung: +.. _kgh03l: -* Damit die Balkenwaage als zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht ist, müssen - die auf der linken und auf der rechten Seite wirkenden Drehmomente :math:`M - _{\rm{1}} = s _{\rm{1}} \cdot F _{\rm{1}}` und :math:`M _{\rm{2}} = s - _{\rm{2}} \cdot F _{\rm{2}}` gleich groß sein: +* Damit die Balkenwaage als zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht ist, müssen die + auf der linken und auf der rechten Seite wirkenden Drehmomente :math:`M_1 = + s_1 \cdot F_1` und :math:`M_2 = s_2 \cdot F_2` gleich groß sein: .. math:: - M _{\rm{1}} &= M _{\rm{2}} \\[4pt] - s _{\rm{1}} \cdot F _{\rm{1}} &= s _{\rm{2}} \cdot F _{\rm{2}} + M_1 &= M_2 \\[4pt] + s_1 \cdot F_1 &= s_2 \cdot F_2 - Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe :math:`s _{\rm{2}}` aufgelöst + Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe :math:`s_2` aufgelöst werden: .. math:: - s _{\rm{1}} \cdot F _{\rm{1}} = s _{\rm{2}} \cdot F _{\rm{2}} \quad - \Longleftrightarrow \quad s _{\rm{2}} = \frac{s _{\rm{1}} \cdot F _{\rm{1}} }{F _{\rm{2}} } + s_1 \cdot F_1 = s_2 \cdot F_2 \quad + \Longleftrightarrow \quad s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1 }{F_2 } - Die beiden wirkenden Kräfte :math:`F _{\rm{1}}` und :math:`F _{\rm{2}}` - entsprechen jeweils den Gewichtskräften :math:`F _{\rm{G}} = m \cdot g` der - beiden an der Balkenwaage hängenden Lasten. Eingesetzt ergibt sich mit - :math:`m _{\rm{1}} = \unit[2]{kg} ,\; m _{\rm{2}} = \unit[500]{g} = - \unit[0,5]{kg}` und :math:`s _{\rm{1}} = \unit[10]{cm} = \unit[0,1]{m}`: + Die beiden wirkenden Kräfte :math:`F_1` und :math:`F_2` entsprechen jeweils + den Gewichtskräften :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` der beiden an der + Balkenwaage hängenden Lasten. Eingesetzt ergibt sich mit :math:`m_1 = + \unit[2]{kg} ,\; m_2 = \unit[500]{g} = \unit[0,5]{kg}` und :math:`s_1 = + \unit[10]{cm} = \unit[0,1]{m}`: .. math:: - s _{\rm{2}} = \frac{s _{\rm{1}} \cdot F _{\rm{1}} }{F _{\rm{2}} } = - \frac{ \unit[0,1]{m} \cdot \unit[2]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} - \cdot }{\unit[0,5]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} } = - \unit[0,4]{m} = \unit[40]{cm} + s_2 = \frac{s_1 \cdot F_1}{F_2} = \frac{ \unit[0,1]{m} \cdot + \unit[2]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} \cdot }{\unit[0,5]{kg} \cdot + \unit[9,81]{\frac{N}{kg}} } = \unit[0,4]{m} = \unit[40]{cm} Die zweite Last, deren Masse nur ein Viertel der ersten Last beträgt, muss somit vier mal so weit entfernt von der Drehachse aufgehängt werden, damit die Balkenwaage im Gleichgewicht ist. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hebel-04-Lösung: +.. _kgh04l: * Beim Unterarm handelt es sich um einen einseitigen Hebel. Das in der Hand im Abstand :math:`s_2 = \unit[0,35]{m}` vom Ellenbogen gehaltene Gewicht hat eine @@ -119,11 +117,11 @@ Hebeln>` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. grössere Kraft aufbringen, als wenn das gleiche Gewicht bei vertikal gehaltenem Unterarm getragen würde. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Hebel-05-Lösung: +.. _kgh05l: * Damit sich der Hebel im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der Drehmomente auf der linken Seite gleich der Summe der Drehmomente auf der @@ -133,32 +131,31 @@ Hebeln>` zum Abschnitt :ref:`Hebel `. .. math:: - M _{\rm{links}} = F _{\rm{1}} \cdot s _{\rm{1}} + F _{\rm{2}} \cdot s - _{\rm{2}} = \unit[3,5]{N} \cdot \unit[0,2]{m} + \unit[5]{N} \cdot - \unit[0,1]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} \\[4pt] - M _{\rm{rechts}} = F _{\rm{3}} \cdot s _{\rm{3}} + F _{\rm{4}} \cdot s - _{\rm{4}} = \unit[1,5]{N} \cdot \unit[0,6]{m} + \unit[4]{N} \cdot - \unit[0,075]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} + M_{\mathrm{links}} = F_1 \cdot s_1 + F_2 \cdot s_2 = \unit[3,5]{N} \cdot + \unit[0,2]{m} + \unit[5]{N} \cdot \unit[0,1]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} + \\[4pt] + M_{\mathrm{rechts}} = F_3 \cdot s_3 + F_4 \cdot s_4 = \unit[1,5]{N} \cdot + \unit[0,6]{m} + \unit[4]{N} \cdot \unit[0,075]{m} = \unit[1,2]{N \cdot m} Die Drehmomente auf der linken und auf der rechten Seite sind gleich groß, der Hebel befindet sich somit im Gleichgewicht. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur schiefen Ebene: +.. _Lösungen Schiefe Ebenen: -Lösungen zur schiefen Ebene ---------------------------- +Schiefe Ebene +------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. ---- -.. _Schiefe-Ebene-01-Lösung: +.. _kgs01l: * Entlang einer schiefen Ebene gilt als Kraftverhältnis: @@ -166,108 +163,108 @@ schiefen Ebene>` zum Abschnitt :ref:`Schiefe Ebene `. .. math:: - \frac{F}{F _{\rm{G}}} = \frac{h}{l} + \frac{F}{F_{\mathrm{G}}} = \frac{h}{l} Die Höhe :math:`h=\unit[0,4]{m}` der schiefen Ebene sowie ihre Länge :math:`l= \unit[2,4]{m}` sind gegeben, auch die Gewichtskraft :math:`F - _{\rm{G}}=\unit[600]{N}` der Schubkarre ist bekannt. Löst man die obige + _{\mathrm{G}}=\unit[600]{N}` der Schubkarre ist bekannt. Löst man die obige Gleichung nach der Kraft :math:`F` auf, so erhält man nach Einsetzen der gegeben Werte die gesuchte Kraft. .. math:: - F = \frac{F _{\rm{G}} \cdot h}{l} = \frac{\unit[600]{N} \cdot + F = \frac{F_{\mathrm{G}} \cdot h}{l} = \frac{\unit[600]{N} \cdot \unit[0,6]{m}}{\unit[2,4]{m}} = \unit[150]{N} Die zum Schieben der Schubkarre nötige Kraft beträgt somit :math:`\unit[150]{N}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Flaschenzügen und Rollen: +.. _Lösungen Flaschenzüge und Rollen: -Lösungen zu Flaschenzügen und Rollen ------------------------------------- +Flaschenzüge und Rollen +----------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Flaschenzüge und Rollen +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Flaschenzüge und Rollen `. ---- -.. _Flaschenzug-01-Lösung: +.. _kgf01l: * Bei einem Flaschenzug mit :math:`4` losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf - :math:`n = 8` Seilstücke verteilt. Die nötige Zugkraft :math:`F _{\rm{Zug}}` + :math:`n = 8` Seilstücke verteilt. Die nötige Zugkraft :math:`F_{\mathrm{Zug}}` am losen Seilende beträgt, von Reibungskräften abgesehen, folglich auch nur - :math:`1/8` der Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}} = m \cdot g` der Last. Zur + :math:`1/8` der Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}} = m \cdot g` der Last. Zur Masse :math:`m = \unit[200]{kg}` der Last muss allerdings die Masse :math:`m = \unit[4 \cdot 5]{kg}` der losen Rollen hinzu addiert werden, da diese ebenfalls mit angehoben werden. .. math:: - F _{\rm{Zug}} = \frac{F _{\rm{G}}}{n} = \frac{m \cdot g}{n} = + F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{G}}}{n} = \frac{m \cdot g}{n} = \frac{\unit[220]{kg} \cdot \unit[9,81]{\frac{N}{kg} }}{8} = \unit[269,8]{N} - Anstelle :math:`F _{\rm{G}} = \unit[200]{kg} \cdot \unit[9,81]{N/kg } = + Anstelle :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[200]{kg} \cdot \unit[9,81]{N/kg } = \unit[1962]{N}` muss somit nur etwas mehr als ein Achtel des Kraftwertes, d.h. :math:`\unit[269,8]{N}`, aufgewendet werden. Gleichzeitig muss das Seil um die :math:`8`-fache Weglänge, d.h. um :math:`8 \cdot \unit[3]{m} = \unit[24]{m}`, angehoben werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Flaschenzug-02-Lösung: +.. _kgf02l: * Bei einem Flaschenzug mit :math:`2` losen Rollen wird die Last gleichmäßig auf :math:`n=4` tragende Seilstücke verteilt. Die Zugkraft :math:`F - _{\rm{Zug}} = m _{\rm{Person}} \cdot g` am losen Seilende kann entsprechend, + _{\mathrm{Zug}} = m_{\mathrm{Person}} \cdot g` am losen Seilende kann entsprechend, wenn keine Reibungskräfte auftreten und das Gewicht des Flaschenzugs - vernachlässigbar ist, auch eine :math:`4`-fach höhere Last :math:`F _{\rm{L}} - = m _{\rm{Last}} \cdot g` anheben. + vernachlässigbar ist, auch eine :math:`4`-fach höhere Last :math:`F_{\mathrm{L}} + = m_{\mathrm{Last}} \cdot g` anheben. .. math:: - F _{\rm{Zug}} = \frac{F _{\rm{Last}}}{n} \quad &\Longleftrightarrow \quad F - _{\rm{Last}} = n \cdot F _{\rm{Zug}} \\[8pt] - m_{\rm{Last}} \cdot g &= n \cdot m _{\rm{Person}} \cdot g \\[6pt] - m _{\rm{Last}} = n \cdot m _{\rm{Person}} &= 4 \cdot \unit[50]{kg} = - \unit[200]{kg} + F_{\mathrm{Zug}} = \frac{F_{\mathrm{Last}}}{n} \quad &\Longleftrightarrow + \quad F_{\mathrm{Last}} = n \cdot F_{\mathrm{Zug}} \\[8pt] + m_{\mathrm{Last}} \cdot g &= n \cdot m_{\mathrm{Person}} \cdot g \\[6pt] + m_{\mathrm{Last}} = n \cdot m_{\mathrm{Person}} &= 4 \cdot \unit[50]{kg} + = \unit[200]{kg} Eine :math:`\unit[50]{kg}` schwere Person kann somit mit Hilfe des Flaschenzugs eine Last mit einer Masse von maximal :math:`\unit[200]{kg}` anheben. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Flaschenzug-03-Lösung: +.. _kgf03l: * Bei einem Potenzflaschenzug wird die zum Anheben der Last nötige Kraft an jeder losen Rolle halbiert. Bei :math:`n=3` Rollen ist -- sofern man ihr Eigengewicht und die Reibung vernachlässigen kann -- zum Anheben einer Last - mit einem Gewicht von :math:`F _{\rm{G}} = \unit[800]{kg}` somit nur folgende + mit einem Gewicht von :math:`F_{\mathrm{G}} = \unit[800]{kg}` somit nur folgende Kraft :math:`F` nötig: .. math:: - F = \frac{1}{2^n} \cdot F _{\rm{G}} = \frac{1}{2^3} \cdot \unit[800]{N} = + F = \frac{1}{2^n} \cdot F_{\mathrm{G}} = \frac{1}{2^3} \cdot \unit[800]{N} = \frac{1}{8} \cdot \unit[800]{N} = \unit[100]{N} Die zum Anheben nötige Kraft beträgt also mindestens :math:`F=\unit[100]{N}`. - Berücksichtigt man das Eigengewicht :math:`F _{\rm{G,R}} = \unit[20]{N}` der - einzelnen Rollen, so muss dieser Betrag an jeder losen Rolle zur jeweiligen Last - hinzuaddiert werden. + Berücksichtigt man das Eigengewicht :math:`F_{\mathrm{G,R}} = \unit[20]{N}` + der einzelnen Rollen, so muss dieser Betrag an jeder losen Rolle zur + jeweiligen Last hinzuaddiert werden. .. figure:: ../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/potenzflaschenzug-loesung.png :name: fig-potenzflaschenzug-loesung @@ -285,22 +282,22 @@ Flaschenzügen und Rollen>` zum Abschnitt :ref:`Flaschenzüge und Rollen Zum Anheben der Last ist in diesem Fall, wie in der obigen Abbildung gezeigt, eine Kraft von :math:`F = \unit[117,5]{N}` nötig. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Zahnrädern und Getrieben: +.. _Lösungen Zahnräder und Getriebe: -Lösungen zu Zahnrädern und Getrieben ------------------------------------- +Zahnräder und Getriebe +---------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Zahnräder und Getriebe ` zum Abschnitt :ref:`Zahnräder und Getriebe `. ---- -.. _Ketten-Getriebe-01-Lösung: +.. _kgz01l: * Die Kurbel und das vordere Zahnrad sind fest miteinander verbunden, ebenso das hintere Zahnrad und die Felge des Hinterrads. In beide Teilekombinationen sind @@ -357,7 +354,7 @@ und Getriebe>`. und folglich auch die Kraft auf die Felge doppelt so groß wird, also :math:`F_4 \approx \unit[28,6]{N}` gilt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` .. raw:: latex diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene.rst index c33c49f..3f3c54e 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene.rst @@ -6,17 +6,17 @@ Schiefe Ebenen ============== Wird ein Körper auf eine schiefe Ebene gestellt, so wird er aufgrund seiner -Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` entlang der schiefen Ebene hangabwärts +Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` entlang der schiefen Ebene hangabwärts beschleunigt. Dies lässt sich erklären, wenn man die Gewichtskraft in zwei Teilkräfte (entlang der schiefen Ebene und senkrecht zu ihr) zerlegt denkt: -* Die Kraft senkrecht zur schiefen Ebene wird Normalkraft :math:`F _{\rm{N}}` +* Die Kraft senkrecht zur schiefen Ebene wird Normalkraft :math:`F_{\mathrm{N}}` genannt. Dieser Kraftanteil würde ein Einsinken des Körpers in die schiefe Ebene bewirken, jedoch wirkt bei einem festen Untergrund der Boden aufgrund seiner Starrheit dagegen. * Die Kraft parallel zur schiefen Ebene wird Hangabtriebskraft :math:`F - _{\rm{HA}}` genannt. Dieser Kraftanteil bewirkt eine Beschleunigung des + _{\mathrm{HA}}` genannt. Dieser Kraftanteil bewirkt eine Beschleunigung des Körpers entlang der schiefen Ebene. Ist die Hangabtriebskraft groß genug, um die zwischen Körper und schiefer Ebene @@ -35,8 +35,8 @@ wirkende Reibungskraft zu überwinden, so beginnt der Körper zu gleiten. :download:`SVG: Schlittenfahren (Schiefe Ebene) <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene-schlittenfahren.svg>` -Auf einer waagrechten Ebene ist die Gewichtskraft :math:`\vec{F} _{\rm{G}}` -gleich der Normalkraft :math:`\vec{F} _{\rm{N}}`, der Betrag der +Auf einer waagrechten Ebene ist die Gewichtskraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{G}}` +gleich der Normalkraft :math:`\vec{F} _{\mathrm{N}}`, der Betrag der Hangabtriebskraft ist gleich Null. Umgekehrt ist entlang einer vertikalen Wand die Hangabtriebskraft gleich der Gewichtskraft, und die (anpressende) Normalkraft ist gleich Null. Bei einem beliebigen Winkel :math:`\alpha` der @@ -46,11 +46,11 @@ Zusammenhänge: .. math:: :label: eqn-schiefe-ebene-kraftanteile - F _{\rm{HA}} &= F _{\rm{G}} \cdot \sin{\alpha }\\[6pt] - F _{\rm{N\phantom{A}}} &= F _{\rm{G}} \cdot \cos{\alpha } + F_{\mathrm{HA}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot \sin{\alpha }\\[6pt] + F_{\mathrm{N\phantom{A}}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot \cos{\alpha } Hierbei wurde die genutzt, dass der Winkel zwischen der Gewichtskraft :math:`F -_{\rm{G}}` und Normalkraft :math:`F _{\rm{N}}` gleich dem Winkel :math:`\alpha` +_{\mathrm{G}}` und Normalkraft :math:`F_{\mathrm{N}}` gleich dem Winkel :math:`\alpha` der schiefen Ebene ist, da es sich um zwei :ref:`senkrecht zueinander stehende Winkel ` handelt. Bezeichnet man zusätzlich mit :math:`l` die Länge der schiefen Ebene, so ergibt sich aufgrund der @@ -61,7 +61,7 @@ Schlittens: .. math:: :label: eqn-schiefe-ebene-kraftverhaeltnis - \frac{F _{\rm{H}}}{G} = \frac{h}{l} + \frac{F_{\mathrm{H}}}{G} = \frac{h}{l} Je länger also die schiefe Ebene ist, desto kleiner ist die entlang der Ebene wirkende Hangabtriebskraft. Aus diesem Grund werden in Gebirgen Straßen und Wege @@ -116,7 +116,7 @@ zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt denkt. <../../pics/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/schiefe-ebene-keilwirkung.svg>` Die Kraft :math:`F`, die auf den Keil ausgeübt wird, kann in zwei Normalkräfte -:math:`F _{\rm{N,1}}` und :math:`F _{\rm{N,2}}` senkrecht zu den Keilflächen +:math:`F_{\mathrm{N,1}}` und :math:`F_{\mathrm{N,2}}` senkrecht zu den Keilflächen zerlegt werden. Bezeichnet man die Breite des Keilrückens mit :math:`h`, die Länge einer schrägen Keilflächen mit :math:`l` und den halben Keilwinkel als :math:`\alpha`, @@ -124,7 +124,7 @@ so gilt: .. math:: - \frac{F _{\rm{N}}}{F} = \frac{s}{b} \quad \Leftrightarrow \quad F _{\rm{N}} + \frac{F_{\mathrm{N}}}{F} = \frac{s}{b} \quad \Leftrightarrow \quad F_{\mathrm{N}} = \frac{s}{b} \cdot F Da die Länge :math:`s` der schrägen Flächen üblicherweise länger ist als @@ -133,7 +133,7 @@ die auf den Keil wirkende Kraft :math:`F`. .. .. math:: - .. F _{\rm{N}} = F \cdot \frac{s}{r} = \frac{F}{2 \cdot \sin{\alpha}} + .. F_{\mathrm{N}} = F \cdot \frac{s}{r} = \frac{F}{2 \cdot \sin{\alpha}} .. TODO Schraube als schiefe Ebene: Deutung als schiefe Ebene, die um eine Achse .. gewickelt wurde. @@ -160,6 +160,6 @@ die auf den Keil wirkende Kraft :math:`F`. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` - und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` + und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/zahnraeder-und-getriebe.rst b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/zahnraeder-und-getriebe.rst index 4f02fd6..607224d 100644 --- a/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/zahnraeder-und-getriebe.rst +++ b/mechanik/kraftwandler-und-getriebe/zahnraeder-und-getriebe.rst @@ -29,10 +29,10 @@ Mittels dieser Zahnungen kann ein Zahnrad ein wirkendes :ref:`Drehmoment Werden mehrere Zahnräder miteinander kombiniert, so bezeichnet man die Konstruktion als Getriebe. Zwei Räder wirken dabei stets mit gleich großer Kraft -:math:`F` aufeinander ein. Sind allerdings die Radien :math:`r _{\rm{1}}` und -:math:`r _{\rm{2}}` der Zahnräder unterschiedlich groß, so sind jeweils auch die -wirkenden Drehmomente :math:`M _{\rm{1}} = r _{\rm{1}} \cdot F` und :math:`M -_{\rm{2}} = r _{\rm{2}} \cdot F` verschieden. +:math:`F` aufeinander ein. Sind allerdings die Radien :math:`r_1` und +:math:`r_2` der Zahnräder unterschiedlich groß, so sind jeweils auch die +wirkenden Drehmomente :math:`M_1 = r_1 \cdot F` und :math:`M_2 = r_2 \cdot F` +verschieden. .. index:: Übersetzungsverhältnis @@ -44,7 +44,7 @@ Verhältnis der wirkenden Drehmomente, gilt die folgende Formel: [#USV]_ .. math:: :label: eqn-übersetzungsverhältnis - \frac{M _{\rm{1}}}{M _{\rm{2}}} = \frac{r _{\rm{1}}}{r _{\rm{2}}} + \frac{M_1}{M_2} = \frac{r_1}{r_2} Die wirkenden Drehmomente stehen somit im gleichen Größenverhältnis zeinander wie die Radien der aufeinander einwirkenden Zahnräder. @@ -55,31 +55,29 @@ gleichen Weg zurück. Dies hat zweierlei Konsequenzen: * Die Zahnungen von zueinander passenden Zahnrädern müssen stets gleich groß sein. Bei einem Zahnrad mit einem Vielfachen an Zahnungen muss somit auch der - Radius um ein entsprechendes Vielfaches größer sein. [#ZR1]_ Sind :math:`n - _{\rm{1}}` und :math:`n _{\rm{2}}` die Anzahl an Zahnungen zweier Zahnräder - aufeinander folgender Zahnräder und :math:`r _{\rm{1}}` und :math:`r - _{\rm{2}}` die zugehörigen Radien, so gilt: + Radius um ein entsprechendes Vielfaches größer sein. [#ZR1]_ Sind :math:`n_1` + und :math:`n_2` die Anzahl an Zahnungen zweier Zahnräder aufeinander folgender + Zahnräder und :math:`r_1` und :math:`r_2` die zugehörigen Radien, so gilt: .. math:: :label: eqn-zahnräder-zahnungen - \frac{n _{\rm{1}}}{n _{\rm{2}}} = \frac{r _{\rm{1}}}{r - _{\rm{2}}}{\color{white}\,\;\ldots} + \frac{n_1}{n_2} = \frac{r_1}{r + _2}{\color{white}\,\;\ldots} Die Anzahl der Zahnungen ist somit direkt proportional zum Radius der Zahnräder. * Kleine Zahnräder müssen sich in einem Getriebe entsprechend "schneller", d.h. mit einer höheren Winkelgeschwindigkeit :math:`\omega` drehen als große - Zahnräder. Sind :math:`\omega _{\rm{1}}` und :math:`\omega _{\rm{2}}` die - Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinander folgender Zahnräder und :math:`r - _{\rm{1}}` und :math:`r _{\rm{2}}` die zugehörigen Radien, so gilt: [#ZR2]_ + Zahnräder. Sind :math:`\omega_1` und :math:`\omega_2` die + Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinander folgender Zahnräder und :math:`r_1` + und :math:`r_2` die zugehörigen Radien, so gilt: [#ZR2]_ .. math:: :label: eqn-zahnräder-winkelgeschwindigkeiten - \frac{\omega _{\rm{1}}}{\omega _{\rm{2}}} = \frac{r _{\rm{2}}}{r - _{\rm{1}}}{\color{white}\,\;\ldots} + \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{r_2}{r_1}{\color{white}\,\;\ldots} Die Winkelgeschwindigkeiten sind somit umgekehrt proportional zu den Radien der Zahnräder. @@ -90,7 +88,7 @@ anhand der gestrichelten blauen Pfeile zu erkennen). Ist eine Umkehrung der Drehrichtung nicht beabsichtigt, so kann ein drittes Zahnrad mit beliebiger Größe dazwischen angeordnet werden. -.. todo:: Pic/Beispiel +.. todo Pic/Beispiel .. Doppelter Radius -> zweifache Drehgeschwindigkeit des kleineren Zahnrads. Allgemein: n-facher Radius -> n-faches Drehmoment. @@ -132,8 +130,8 @@ des Riemens eine Kraft von der einen Riemenscheibe auf die andere übertragen. Die übertragene Kraft :math:`F` ist an allen Stellen des Riemens und auch an den Angriffspunkten der Riemenscheiben gleich groß; bei unterschiedlichen -Radien :math:`r _{\rm{1}}` und :math:`r _{\rm{2}}` der Scheiben sind jedoch die -wirkenden Drehmomente :math:`M _{\rm{1}}` und :math:`M _{\rm{2}}` verschieden +Radien :math:`r_1` und :math:`r_2` der Scheiben sind jedoch die +wirkenden Drehmomente :math:`M_1` und :math:`M_2` verschieden groß. Erfolgt die Kraftübertragung von der kleineren Riemenscheibe auf die größere, so @@ -182,13 +180,13 @@ werden, ohne dass ein Schlupf der Kette auftreten kann. .. rubric:: Anmerkungen: .. [#USV] Die Formel für das Übersetzungsverhältnis zweier Zahnräder kann - anhand der Formeln für die wirkenden Drehmomente :math:`M _{\rm{1}}` und - :math:`M _{\rm{2}}` hergeleitet werden: + anhand der Formeln für die wirkenden Drehmomente :math:`M_1` und + :math:`M_2` hergeleitet werden: .. math:: - r _{\rm{1}} \cdot F &= M _{\rm{1}} {\color{white}\ldots}\\ - r _{\rm{2}} \cdot F &= M _{\rm{2}} + r_1 \cdot F &= M_1 {\color{white}\ldots}\\ + r_2 \cdot F &= M_2 Da an zwei Zahnrädern paarweise stets die gleiche Kraft wirkt, können die beiden obigen Gleichungen jeweils nach :math:`F` aufgelöst und anschließend @@ -197,20 +195,20 @@ werden, ohne dass ein Schlupf der Kette auftreten kann. .. math:: \left.\begin{aligned} - F = \frac{M _{\rm{1}}}{r _{\rm{1}}} \\[4pt] - F = \frac{M _{\rm{2}}}{r _{\rm{2}}} + F = \frac{M_1}{r_1} \\[4pt] + F = \frac{M_2}{r_2} \end{aligned} \; \right\} - \quad \Rightarrow \quad \frac{M _{\rm{1}}}{r _{\rm{1}}} = \frac{M - _{\rm{2}}}{r _{\rm{2}}}{\color{white}.} + \quad \Rightarrow \quad \frac{M_1}{r_1} = \frac{M + _2}{r_2}{\color{white}.} - Stellt man diese Gleichung mittels Multiplikation mit :math:`r _{\rm{1}}` - und Division durch :math:`M _{\rm{2}}` um, so erhält man die Formel + Stellt man diese Gleichung mittels Multiplikation mit :math:`r_1` + und Division durch :math:`M_2` um, so erhält man die Formel :eq:`eqn-übersetzungsverhältnis` für das Übersetzungsverhältnis zweier aufeinander folgender Zahnräder. .. .. math:: - .. \frac{M _{\rm{1}}}{M _{\rm{2}}} = \frac{r _{\rm{1}}}{r _{\rm{2}}}{\color{white}.} + .. \frac{M_1}{M_2} = \frac{r_1}{r_2}{\color{white}.} .. [#ZR1] Allgemein muss der Umfang eines Zahnrads stets einem Vielfachen der @@ -224,21 +222,21 @@ werden, ohne dass ein Schlupf der Kette auftreten kann. .. [#ZR2] Die aufeinander einwirkenden Zahnungen haben zwar eine gleiche Bahngeschwindigkeit :math:`v`. Bei unterschiedlichen Radien :math:`r - _{\rm{1}}` und :math:`r _{\rm{2}}` der Zahnräder sind jedoch die - Winkelgeschwindigkeiten :math:`\omega _{\rm{1}}` und :math:`\omega - _{\rm{2}}` der beiden Zahnräder verschieden groß. Es gilt: + _1` und :math:`r_2` der Zahnräder sind jedoch die + Winkelgeschwindigkeiten :math:`\omega_1` und :math:`\omega + _2` der beiden Zahnräder verschieden groß. Es gilt: .. math:: {\color{white}\ldots}\left.\begin{aligned} - v = \omega _{\rm{1}} \cdot r _{\rm{1}} \\[4pt] - v = \omega _{\rm{2}} \cdot r _{\rm{2}} + v = \omega_1 \cdot r_1 \\[4pt] + v = \omega_2 \cdot r_2 \end{aligned} \; \right\} - \quad \Rightarrow \quad \omega _{\rm{1}} \cdot r _{\rm{1}} = \omega - _{\rm{2}} \cdot r _{\rm{2}} + \quad \Rightarrow \quad \omega_1 \cdot r_1 = \omega + _2 \cdot r_2 - Stellt man diese Gleichung mittels Division durch :math:`r _{\rm{1}}` und - :math:`\omega _{\rm{2}}` um, so erhält man die Formel + Stellt man diese Gleichung mittels Division durch :math:`r_1` und + :math:`\omega_2` um, so erhält man die Formel :eq:`eqn-zahnräder-winkelgeschwindigkeiten` für das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zweier aufeinander folgender Zahnräder. @@ -249,7 +247,7 @@ werden, ohne dass ein Schlupf der Kette auftreten kann. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/mechanik/schwingungen-und-wellen/harmonische-schwingungen.rst b/mechanik/schwingungen-und-wellen/harmonische-schwingungen.rst index 927fa58..4702f46 100644 --- a/mechanik/schwingungen-und-wellen/harmonische-schwingungen.rst +++ b/mechanik/schwingungen-und-wellen/harmonische-schwingungen.rst @@ -25,9 +25,9 @@ Das Federpendel In guter Näherung werden diese Bedingungen von einem Pendelkörper, der an einer hängenden Schraubenfeder befestigt ist, erfüllt. Bei einer Auslenkung :math:`s` -aus der Ruhelage ist die rücktreibende Kraft gleich der Spannkraft :math:`F -_{\rm{S}}` der Schraubenfeder. Diese hängt von der Federhärte :math:`D` ab und -ist der Auslenkung entgegengesetzt: +aus der Ruhelage ist die rücktreibende Kraft gleich der Spannkraft +:math:`F_{\mathrm{S}}` der Schraubenfeder. Diese hängt von der Federhärte +:math:`D` ab und ist der Auslenkung entgegengesetzt: .. math:: @@ -181,10 +181,10 @@ Fadenlänge, so spricht man von einem mathematischen Pendel. <../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/fadenpendel.svg>` Die rücktreibend wirkende Kraft einer Pendelschwingung lässt sich bestimmen, -indem man die Gewichtskraft :math:`F _{\rm{G}}` des Pendelkörpers in zwei +indem man die Gewichtskraft :math:`F_{\mathrm{G}}` des Pendelkörpers in zwei :ref:`Teilkräfte ` (längs und quer zur -Schwingungsrichtung) zerlegt: Die Teilkraft :math:`F _{\rm{S}}` in Seilrichtung -hält den Faden gespannt, die Teilkraft :math:`F _{\rm{R}}` in +Schwingungsrichtung) zerlegt: Die Teilkraft :math:`F_{\mathrm{S}}` in +Seilrichtung hält den Faden gespannt, die Teilkraft :math:`F_{\mathrm{R}}` in Schwingungsrichtung entspricht der rücktreibenden Kraft. Ist der Auslenkungswinkel :math:`\varphi` klein, so ist die Länge :math:`s ^{*}` des Kreisbogens näherungsweise gleich dem waagrechten Abstand :math:`s` des @@ -192,13 +192,13 @@ Pendelkörpers von der Ruhelage. [#]_ .. index:: Richtgröße -Für die rücktreibende Kraft :math:`F _{\rm{R}}` gilt mit :math:`\sin{(\varphi)} -= \frac{s}{l}`: +Für die rücktreibende Kraft :math:`F_{\mathrm{R}}` gilt mit +:math:`\sin{(\varphi)} = \frac{s}{l}`: .. math:: - F _{\rm{R}} &= F _{\rm{G}} \cdot \sin{(\varphi)} = m \cdot g \cdot \frac{s}{l} - = \frac{m \cdot g}{l} \cdot s + F_{\mathrm{R}} &= F_{\mathrm{G}} \cdot \sin{(\varphi)} = m \cdot g \cdot + \frac{s}{l} = \frac{m \cdot g}{l} \cdot s Der Term :math:`\frac{m \cdot g}{l}` hat somit die gleiche Bedeutung für das Fadenpendel wie die Federhärte :math:`D` für das Federpendel. Man bezeichnet @@ -254,14 +254,14 @@ Luftwiderstands ebenfalls als harmonische Schwingungen beschrieben werden. <../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/physikalisches-pendel.svg>` Die rücktreibende Größe ist in diesem Fall das Drehmoment :math:`\vec{M} = -\vec{s} \times \vec{F} _{\rm{G}}` des Körperschwerpunkts bezüglich der Drehachse; +\vec{s} \times \vec{F} _{\mathrm{G}}` des Körperschwerpunkts bezüglich der Drehachse; dabei bezeichnet :math:`s` den horizontalen Abstand des Schwerpunkts von der Ruhelage. Bei einem kleinen Auslenkungswinkel :math:`\varphi` kann für den Betrag des Drehmoments folgendes geschrieben werden: .. math:: - M = - s \cdot F _{\rm{G}} = - s \cdot m \cdot g \approx - (l \cdot \varphi) \cdot + M = - s \cdot F_{\mathrm{G}} = - s \cdot m \cdot g \approx - (l \cdot \varphi) \cdot m \cdot g = - l \cdot m \cdot g \cdot \varphi Hierbei wurde die Näherung :math:`s = l \cdot \sin{(\varphi)} \approx l \cdot @@ -308,11 +308,11 @@ stärksten ausgeprägt. In den obigen Gleichungen wurde mit :math:`J` jeweils das Trägheitsmoment des physikalischen Pendels um seinen Aufhängepunkt bezeichnet. Nach dem :ref:`Satz -von Steiner ` gilt für dieses :math:`J = J _{\mathrm{S}} + m -\cdot a^2`, wobei :math:`J _{\mathrm{S}}` für das Trägheitsmoment des +von Steiner ` gilt für dieses :math:`J = J_{\mathrm{S}} + m +\cdot a^2`, wobei :math:`J_{\mathrm{S}}` für das Trägheitsmoment des Gegenstands bei einer Rotation um seinen Schwerpunkt und :math:`a` für den Abstand des Schwerpunkts von der Drehachse steht. Mit :math:`a=l` ergibt sich -damit folgende Gleichung für das Trägheitsmoment :math:`J _{\mathrm{S}}` des +damit folgende Gleichung für das Trägheitsmoment :math:`J_{\mathrm{S}}` des schwingenden Gegenstands: .. math:: @@ -326,7 +326,7 @@ Gleichung: .. math:: - J _{\mathrm{S}} &= \frac{m \cdot g \cdot l}{\omega^2} - m \cdot l^2 \\ + J_{\mathrm{S}} &= \frac{m \cdot g \cdot l}{\omega^2} - m \cdot l^2 \\ &= m \cdot \left(\frac{g \cdot l}{\frac{4 \cdot \pi^2}{T^2}} - l^2\right)\\ &= m \cdot l^2 \cdot \left(\frac{g \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot l} - 1\right) @@ -380,12 +380,12 @@ Differentialrechnung hergeleitet werden, wenn man die Energiebilanz der Schwingung betrachtet. Nach dem Energie-Erhaltungssatz ist die maximale kinetische Energie (beim Durchgang durch die Ruhelage) gleich der maximalen potentiellen Energie (am Umkehrpunkt). Bei einem Federpendel ist :math:`E -_{\mathrm{pot}} = E _{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2`, wobei +_{\mathrm{pot}} = E_{\mathrm{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2`, wobei :math:`D` die Federhärte und :math:`s` die Auslenkung bezeichnet. Es gilt also: .. math:: - E _{\mathrm{kin,max}} &= E _{\mathrm{pot,max}} \\ + E_{\mathrm{kin,max}} &= E_{\mathrm{pot,max}} \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &= \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 \\ \Rightarrow v &= \sqrt{\frac{D}{m}} \cdot s @@ -436,7 +436,7 @@ Setzt man diesen Ausdruck für :math:`h` in die Energiegleichung ein, erhält ma .. math:: - E _{\mathrm{kin,max}} &= E _{\mathrm{pot,max}} \\ + E_{\mathrm{kin,max}} &= E_{\mathrm{pot,max}} \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot h \\ \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 &= m \cdot g \cdot \frac{s^2}{2\cdot l} \\ \Rightarrow v &= \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot s @@ -460,7 +460,7 @@ mittels der Sinus-Funktion beschrieben werden: .. math:: - s(t) = s _{\mathrm{max }} \cdot \sin{(\varphi)} = s _{\mathrm{max }} \cdot + s(t) = s_{\mathrm{max }} \cdot \sin{(\varphi)} = s_{\mathrm{max }} \cdot \sin{(\omega \cdot t)} Hierbei ist wiederum die Vorstellung entscheidend, dass jede harmonische @@ -471,7 +471,7 @@ Winkel von :math:`\varphi_0` berücksichtigt werden. Es gilt also allgemein: .. math:: - s(t) = s _{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\omega \cdot t + \varphi_0)} + s(t) = s_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\omega \cdot t + \varphi_0)} Ist im Speziellen :math:`\varphi_0 = 90 \degree = \frac{\pi}{2}`, so ist die verschobene Sinus-Funktion mit der entsprechenden Cosinus-Funktion identisch: @@ -530,12 +530,12 @@ am Winkel des jeweiligen Zeigers zu erkennen. .. Kenngrößen: (Herr 238) .. Dämpfungsproportionale :math:`b` in :math:`\unit{\frac{kg}{s}}`: -.. Entspricht Reibungskraft je Geschwindigkeit: :math:`b = \frac{F _{\mathrm{R}}}{v}` +.. Entspricht Reibungskraft je Geschwindigkeit: :math:`b = \frac{F_{\mathrm{R}}}{v}` .. Abklingkoeffizient :math:`\delta` in :math:`\unit{\frac{1}{s}}`: .. :math:`\delta = \frac{b}{2 \cdot m}` .. Beschreibt Verringerung der Amplitude und Abnahme der Kreisfrequenz -.. :math:`\omega _{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega_^2 - \delta^2}` +.. :math:`\omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega_^2 - \delta^2}` .. Dämpfungsgrad :math:`\vartheta` (ohne Einheit): .. Verhältnis aus Abklingkoeffizient und ungedämpfter Kreisfrequenz: diff --git a/mechanik/schwingungen-und-wellen/schwingungen.rst b/mechanik/schwingungen-und-wellen/schwingungen.rst index be0c943..bf02c14 100644 --- a/mechanik/schwingungen-und-wellen/schwingungen.rst +++ b/mechanik/schwingungen-und-wellen/schwingungen.rst @@ -23,9 +23,10 @@ Vorgänge, bei denen sich ein Körper regelmäßig um eine Gleichgewichtslage <../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/schaukel.svg>` Bei jedem Durchlauf ändern sich dabei der Abstand von der Gleichgewichtslage -bzw. der Auslenkwinkel :math:`\varphi` , die Beschleunigung :math:`a`, die -Geschwindigkeit :math:`v` und die damit verbundene Lage- und Bewegungsenergie -:math:`E _{\rm{pot}}` und :math:`E _{\rm{kin}}` in regelmäßiger Weise. +beziehungsweise der Auslenkwinkel :math:`\varphi` , die Beschleunigung +:math:`a`, die Geschwindigkeit :math:`v` und die damit verbundene Lage- und +Bewegungsenergie :math:`E_{\mathrm{pot}}` und :math:`E_{\mathrm{kin}}` in +regelmäßiger Weise. .. figure:: ../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/pendel.png :name: fig-pendel @@ -99,7 +100,7 @@ Jede Schwingung kann durch folgende Größen beschrieben werden: * Die Auslenkung :math:`y` (auch "Elongation" genannt) gibt den momentanen Abstand des schwingenden Körpers von der Gleichgewichtslage an. Die maximale - Auslenkung :math:`y _{\rm{max}}` wird als Amplitude bezeichnet. + Auslenkung :math:`y_{\mathrm{max}}` wird als Amplitude bezeichnet. .. index:: Schwingungsdauer @@ -165,7 +166,7 @@ exponentiell mit der Zeit ab. Für die Amplitude :math:`y` zum Zeitpunkt <../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/gedaempfte-schwingung.svg>` .. nach Herr S.237: -.. konstante Dämpfung: :math:`\Delta y = 4 \cdot \frac{F _{\mathrm{Reib}}}{D}` +.. konstante Dämpfung: :math:`\Delta y = 4 \cdot \frac{F_{\mathrm{Reib}}}{D}` Ebenfalls möglich ist eine konstante dämpfende Kraft, beispielsweise infolge von (Gleit-)Reibung. In diesem Fall ist die Differenz zweier benachbarter Amplituden @@ -191,16 +192,16 @@ Wird ein schwingendes System einmalig angeregt und dann sich selbst überlassen, so führt es Schwingungen mit seiner Eigenfrequenz :math:`f_0` aus. Wird die Energie jedoch über einen längeren Zeitraum hinweg periodisch zugeführt, so führt das schwingende System -- nach einer nach einer kurzen Übergangszeit -- so -genannte "erzwungene" Schwingungen mit der Frequenz :math:`f _{\rm{a}}` des +genannte "erzwungene" Schwingungen mit der Frequenz :math:`f_{\mathrm{a}}` des anregenden Systems aus. .. index:: single: Schwingung; resonant single: Resonanz -Die Amplitude der angeregten Schwingungen ist von der Erregerfrequenz :math:`f -_{\rm{E}}` abhängig. Stimmt diese mit der Eigenfrequenz :math:`f_0` des -angeregten Systems überein, so spricht man von Resonanz. Die Amplitude +Die Amplitude der angeregten Schwingungen ist von der Erregerfrequenz +:math:`f_{\mathrm{E}}` abhängig. Stimmt diese mit der Eigenfrequenz :math:`f_0` +des angeregten Systems überein, so spricht man von Resonanz. Die Amplitude :math:`A` des angeregten Systems wird in diesem Fall maximal. .. figure:: ../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/resonanz.png diff --git a/mechanik/schwingungen-und-wellen/wellen.rst b/mechanik/schwingungen-und-wellen/wellen.rst index 74938db..fe31d8c 100644 --- a/mechanik/schwingungen-und-wellen/wellen.rst +++ b/mechanik/schwingungen-und-wellen/wellen.rst @@ -101,6 +101,7 @@ Zusätzlich sind zwei weitere Begriffe für die Beschreibung von Wellen nützlic <../../pics/mechanik/schwingungen-und-wellen/wellenfront-und-ausbreitungsrichtung.svg>` .. index:: Wellenformel +.. _Wellenformel: Die Geschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Wellenfronten ausbreiten, wird als Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit :math:`v` der Welle bezeichnet. @@ -126,9 +127,9 @@ Schrittfrequenz haben. In der Akustik breiten sich entsprechend alle Schallwellen mit unterschiedlicher Frequenz (Tonhöhe) in den meisten Materialien gleich schnell aus, in der Optik breiten gilt das gleiche für Lichtwellen unterschiedlicher Frequenz (Farbe). -Für die Schallgeschwindigkeit in Luft gilt dabei :math:`c_0 = v _{\rm{Schall}} +Für die Schallgeschwindigkeit in Luft gilt dabei :math:`c_0 = v_{\mathrm{Schall}} \approx \unit[330]{\frac{m}{s}}`, für die Lichtgeschwindigkeit gilt :math:`c_0 -= v _{\rm{Licht}} \approx \unit[3 \cdot 10^8]{\frac{m}{s}}`. Kennt man += v_{\mathrm{Licht}} \approx \unit[3 \cdot 10^8]{\frac{m}{s}}`. Kennt man die Frequenz oder die Wellenlänge einer Licht- oder Schallwelle, so kann man mittels Gleichung :eq:`eqn-frequenz-und-wellenlaenge` unmittelbar die zugehörige fehlende Größe berechnen: @@ -140,8 +141,8 @@ zugehörige fehlende Größe berechnen: .. math:: - v _{\rm{Schall}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = - \frac{v _{\rm{Schall}}}{f} = + v_{\mathrm{Schall}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad \lambda = + \frac{v_{\mathrm{Schall}}}{f} = \frac{\unit[330]{\frac{m}{s}}}{\unit[100]{\frac{1}{s}}} = \unit[3,3]{m} {\color{white}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad 1} @@ -154,8 +155,8 @@ zugehörige fehlende Größe berechnen: .. math:: - v _{\rm{Licht}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad f = \frac{v - _{\rm{Licht}}}{\lambda} = \frac{\unit[\;\;\;3 \cdot 10 + v_{\mathrm{Licht}} = \lambda \cdot f \quad \Leftrightarrow \quad f = \frac{v + _{\mathrm{Licht}}}{\lambda} = \frac{\unit[\;\;\;3 \cdot 10 ^{+8}]{\frac{m}{s}}}{\unit[500 \cdot 10 ^{-9}]{m}} = \unit[600 \cdot 10 ^{12}]{\frac{1}{s}} = \unit[600]{THz} @@ -166,15 +167,15 @@ zugehörige fehlende Größe berechnen: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit :math:`v` von Wellen hängt Materialeigenschaften des Wellenträgers ab. Beispielsweise gelten folgende Zusammenhänge: -* Bei Longitudinalvellen in Flüssigkeiten gilt :math:`v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}`, +* Bei Longitudinalwellen in Flüssigkeiten gilt :math:`v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}`, wobei :math:`K` für den Kompressionsmodul der Flüssigkeit und :math:`\rho` für ihre Dichte steht. -* Bei Longitudinalvellen in Gasen gilt :math:`v = \sqrt{\frac{\kappa \cdot +* Bei Longitudinalwellen in Gasen gilt :math:`v = \sqrt{\frac{\kappa \cdot \pi}{\rho}}`, wobei :math:`\kappa` für den Adiabatenexponenten, :math:`p` für den Druck im Gas und :math:`\rho` für dessen Dichte steht. -* Bei Longitudinalvellen in festen Stäben gilt :math:`v = +* Bei Longitudinalwellen in festen Stäben gilt :math:`v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}`, wobei :math:`E` für den Elastizitätsmodul des Festkörpers und :math:`\rho` für dessen Dichte steht. @@ -281,7 +282,7 @@ Dauer der Schwebung. Für die Frequenz der Schwebung gilt: .. math:: :label: eqn-frequenz-schwebung - f _{\mathrm{s}} = \Delta f = |f_2 - f_1| + f_{\mathrm{s}} = \Delta f = |f_2 - f_1| Schwebungen werden beispielsweise genutzt, um Klaviere oder Gitarren zu stimmen: Verklingt die Schwebung nicht schneller als die angeschlagenen Töne des @@ -499,6 +500,8 @@ allerdings wegen :math:`v = \lambda \cdot f` beziehungsweise :math:`f = auf dem Wellenträger ab. +.. _Mathematische Beschreibung von Wellen: + Mathematische Beschreibung von Wellen ===================================== @@ -529,7 +532,8 @@ durch folgende Formel charakterisiert werden: .. math:: :label: eqn-auslenkung-welle - y(x) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{\lambda}\right)} + y(x) = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot + \frac{x}{\lambda}\right)} Hierbei bezeichnet :math:`y_{\mathrm{max}}` die Amplitude der Welle. Ist :math:`x` ein ganzzahliges Vielfaches von :math:`\lambda`, so wird das Argument @@ -561,7 +565,7 @@ Für die "Verschiebung" der Welle um :math:`\Delta x` gilt: .. math:: - \Delta x = v _{\mathrm{welle}} \cdot \Delta t + \Delta x = v_{\mathrm{welle}} \cdot \Delta t Diese Beziehung ist nützlich, um den Auslenkungszustand einer sinus-förmigen Welle an jedem beliebigen Ort *und* zu jeder beliebigen Zeit zu bestimmen: Zum @@ -580,7 +584,7 @@ gleiche Auslenkung, die sie zum Zeitpunkt :math:`t_0=0` an der Stelle :math:`x_0 Hierbei wurde vereinfacht :math:`t` für die Differenz :math:`\Delta t` zwischen dem Zeitpunkt :math:`t` und dem Startpunkt :math:`t_0=0` geschrieben. Die -Gleichung kann weiter umgeformt werden, wenn man für :math:`v _{\mathrm{welle}}` +Gleichung kann weiter umgeformt werden, wenn man für :math:`v_{\mathrm{welle}}` die Wellenbeziehung :math:`v_{\mathrm{welle}} = \lambda \cdot f` einsetzt: .. math:: @@ -600,7 +604,7 @@ der Welle deutlich: y(x,t) &= y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{\left(2 \cdot \pi \cdot \left(\frac{x}{\lambda}- \frac{t}{T}\right)\right)} -Die Welle fängt immer wieder dan von Neuem an, wenn :math:`x` ein Vielfaches der +Die Welle fängt immer wieder dann von Neuem an, wenn :math:`x` ein Vielfaches der Wellenlänge :math:`\lambda` ist (räumliche Periode), oder wenn :math:`t` ein Vielfaches der Schwingungsdauer :math:`T` ist (zeitliche Periode). @@ -646,7 +650,7 @@ Größenordnung von über :math:`10\,000` je :math:`\unit{cm}`. .. .. math:: -.. y _{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0)} = y _{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0 + 2 \cdot \pi \cdot \frac{t}{T})} +.. y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0)} = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0 + 2 \cdot \pi \cdot \frac{t}{T})} .. Nach einer ganzen Schwingungsdauer :math:`(t=T_0)` beginnt die Schwingung wieder .. von vorne. Nach dem gleichen Prinzip kann die räumliche Periodizität beschrieben @@ -654,7 +658,7 @@ Größenordnung von über :math:`10\,000` je :math:`\unit{cm}`. .. .. math:: -.. y _{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0)} = y _{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0 + \frac{2 \cdot \pi \cdot s}{\lambda})} +.. y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0)} = y_{\mathrm{max}} \cdot \sin{(\varphi_0 + \frac{2 \cdot \pi \cdot s}{\lambda})} .. Für :math:`s=\lambda`, also nach einer ganzen Wellenlänge, zeigt die Welle .. erneut den gleichen Auslenkungszustand. @@ -681,7 +685,7 @@ Größenordnung von über :math:`10\,000` je :math:`\unit{cm}`. .. \frac{s}{\lambda} \right)\right)} .. Die maximale Geschwindigkeit, die ein Teilchen aufgrund der sich ausbreitenden -.. Schwingung erreichen kann, beträgt somit :math:`v _{\mathrm{max}} = \frac{2 +.. Schwingung erreichen kann, beträgt somit :math:`v_{\mathrm{max}} = \frac{2 .. \cdot \pi}{T} \cdot y_{\mathrm{max}}`. .. ... to be continued ... :-) @@ -711,7 +715,7 @@ Größenordnung von über :math:`10\,000` je :math:`\unit{cm}`. .. Bereits aus drei harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz erhält man .. in guter Näherung eines Dreiecksschwingung. -.. Der Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph de Fourier +.. Jean Baptiste Joseph de Fourier .. wies nach, dass sich jede periodische Schwingung bzw. Welle beliebiger Form als .. eine Überlagerung von harmonischen (sinusförmigen) Teilschwingungen bzw. .. Teilwellen darstellen lässt. Das Verfahren, mit dem man die Amplituden und die @@ -724,18 +728,19 @@ Größenordnung von über :math:`10\,000` je :math:`\unit{cm}`. .. Sie wird als Grundschwingung bezeichnet. Die Frequenzen der übrigen Teilwellen .. sind ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundschwingung. Analysiert man die .. Klänge von Musikinstrumenten, dann ergibt sich: -.. - Jeder Klang setzt sich aus sinusförmigen Schwin- gungen verschiedener Frequenz - .. zusammen. -.. - Die Grundschwingung ist diejenige, die die Tonhöhe bestimmt. Dabei ist zu - .. beachten, dass häufig von einem bestimmten Ton eines Instruments gesprochen - .. wird, damit aber manchmal die harmonische Grundschwingung und manchmal der - .. Klang gemeint ist. -.. - Die übrigen Teilschwingungen haben Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der - .. Frequenz der Grundschwingung sind. Sie werden als Obertöne bezeichnet. -.. - Bei gleicher Grundschwingung (Tonhöhe) können die Oberschwingungen und damit - .. die Klangfarbe sehr unterschiedlich sein ( z S. 159). Das kann man hören, wenn - .. der gleichen Ton auf verschiedenen Instrumenten gespielt wird. Dann nehmen wir - .. ihn unterschiedlich wahr. + +.. - Jeder Klang setzt sich aus sinusförmigen Schwin- gungen verschiedener Frequenz +.. zusammen. +.. - Die Grundschwingung ist diejenige, die die Tonhöhe bestimmt. Dabei ist zu +.. beachten, dass häufig von einem bestimmten Ton eines Instruments gesprochen +.. wird, damit aber manchmal die harmonische Grundschwingung und manchmal der +.. Klang gemeint ist. +.. - Die übrigen Teilschwingungen haben Frequenzen, die ganzzahlige Vielfache der +.. Frequenz der Grundschwingung sind. Sie werden als Obertöne bezeichnet. +.. - Bei gleicher Grundschwingung (Tonhöhe) können die Oberschwingungen und damit +.. die Klangfarbe sehr unterschiedlich sein ( z S. 159). Das kann man hören, wenn +.. der gleichen Ton auf verschiedenen Instrumenten gespielt wird. Dann nehmen wir +.. ihn unterschiedlich wahr. diff --git a/optik/aufgaben.rst b/optik/aufgaben.rst index 6eddcbc..30411a9 100644 --- a/optik/aufgaben.rst +++ b/optik/aufgaben.rst @@ -8,45 +8,46 @@ Aufgaben zur Optik ================== -.. _Aufgaben zur Ausbreitung des Lichts: +.. _Aufgaben Ausbreitung des Lichts: -Aufgaben zur Ausbreitung des Lichts ------------------------------------ +Ausbreitung des Lichts +---------------------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausbreitung des Lichts -`. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausbreitung des +Lichts `. ---- -.. _Lichtausbreitung-01: +.. _oau01: * (\*) Weshalb trifft nur ein kleiner Anteil des Sonnenlichts auf die Erde? Wieso erscheint uns das Weltall als dunkel? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtausbreitung-02: +.. _oau02: * (\*) Weshalb kann Licht nicht -- ähnlich wie Wasser -- in einem Behälter eingefangen und aufbewahrt werden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur Reflexion von Licht: +.. _Aufgaben Reflexion von Licht: -Aufgaben zur Reflexion von Licht --------------------------------- +Reflexion von Licht +------------------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Reflexion von Licht `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Reflexion von Licht +`. ---- -.. _Lichtreflexion-01: +.. _ore01: * (\*) Welche der Stoffe aus der folgenden Tabelle eignen sich dazu, Licht direkt (wie ein Spiegel) zu reflektieren? Welche Eigenschaft müssen ihre Oberflächen @@ -88,61 +89,62 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Reflexion von Licht \end{tabular} \end{center} - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtstreuung-01: +.. _ore02: * (\*) Weshalb können wir nachts Sterne sehen, die unvorstellbar weit entfernt sind, aber auf der Erde eine Lichtquelle kaum :math:`\unit[50]{km}` weit sehen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur Lichtbrechung: +.. _Aufgaben Lichtbrechung: -Aufgaben zur Lichtbrechung --------------------------- +Lichtbrechung +------------- -Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Lichtbrechung +`. ---- -.. _Lichtbrechung-01: +.. _obr01: * (\*) Ein optisches Medium hat eine Brechzahl von :math:`n=1,48`. Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit :math:`c` in diesem optischen Medium? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtbrechung-02: +.. _obr02: * (\*) Licht breitet sich sich in einem optischen Medium mit :math:`c=\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s}` aus. Wie groß ist die Brechzahl :math:`n` des optischen Mediums? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtbrechung-03: +.. _obr03: * (\**) Ein Lichtstrahl, der sich zunächst in Luft :math:`(n_1=1)` ausbreitet, fällt in einem Winkel :math:`\alpha = 30,0\degree` auf die Oberfläche eines transparenten Materials mit einer Brechzahl :math:`n_2=1,45` Lichtstrahl. Wie groß ist der Winkel :math:`\beta` des gebrochenen Lichtstrahls? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` .. Ablenkungswinkel :math:`\beta`? ---- -.. _Lichtbrechung-04: +.. _obr04: * (\**) Ein Lichtstrahl geht von Quarzglas :math:`(n_1 = 1,46)` in Flintglas :math:`(n_2 = 1,70)` über. Wie groß ist hierbei die relative Brechzahl @@ -150,42 +152,42 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Lichtbrechung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtbrechung-05: +.. _obr05: * (\**) Ein Lichtstrahl, der sich zunächst in Luft :math:`(n_1=1)` ausbreitet, fällt - in einem Winkel :math:`\alpha _1= 50,0\degree` auf die Oberfläche eines + in einem Winkel :math:`\alpha_1= 50,0\degree` auf die Oberfläche eines transparenten Materials. Der Winkel des gebrochenen Lichtstrahls beträgt - :math:`\beta _1= 30,9\degree`. Im gleichen Winkel :math:`\alpha _2 = \beta _1` + :math:`\beta_1= 30,9\degree`. Im gleichen Winkel :math:`\alpha_2 = \beta_1` trifft der Lichtstrahl auf ein zweites transparentes Material, wobei der - Winkel des zum zweiten mal gebrochenen Lichtstrahls :math:`\beta _2 = 33,6\degree` + Winkel des zum zweiten mal gebrochenen Lichtstrahls :math:`\beta_2 = 33,6\degree` beträgt. Wie groß sind die beiden Brechzahlen :math:`n_2` und :math:`n_3` beider Materialien? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtbrechung-06: +.. _obr06: -* (\**) Wie groß ist der Grenzwinkel :math:`\alpha _{\rm{max}}`, wenn ein Lichtstrahl - von Diamant :math:`(n _1 = 2,4)` in Luft :math:`(n_2 = 1)` übergeht? Was - passiert, wenn für den Einfallswinkel :math:`\alpha > \alpha _{\rm{max}}` +* (\**) Wie groß ist der Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}`, wenn ein Lichtstrahl + von Diamant :math:`(n_1 = 2,4)` in Luft :math:`(n_2 = 1)` übergeht? Was + passiert, wenn für den Einfallswinkel :math:`\alpha > \alpha_{\mathrm{max}}` gilt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Lichtbrechung-07: +.. _obr07: * (\*) In welchen zwei möglichen Fällen wird Licht, das von einem durchsichtigen Medium in ein anderes übergeht, *nicht* gebrochen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` .. * Ein Lichtstrahl geht von Luft in Glycerin über. Wie groß ist der @@ -197,92 +199,89 @@ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. +Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Linsensysteme +`. ---- -.. _Linsensysteme-01: +.. _oli01: -* (\*) Eine Sammellinse hat eine Brennweite von :math:`f=\unit[150]{mm}`. Wie groß ist - ihre Brechkraft :math:`D`? +* (\*) Eine Sammellinse hat eine Brennweite von :math:`f=\unit[150]{mm}`. Wie + groß ist ihre Brechkraft :math:`D`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Linsensysteme-02: +.. _oli02: -* (\*) Eine Zerstreuungslinse hat eine Brechkraft von :math:`D=\unit[-4,0]{dpt}`. Wie - groß ist ihre Brennweite :math:`f`? +* (\*) Eine Zerstreuungslinse hat eine Brechkraft von + :math:`D=\unit[-4,0]{dpt}`. Wie groß ist ihre Brennweite :math:`f`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Linsensysteme-03: +.. _oli03: -* (\*) Welche Brennweite :math:`f _{\rm{ges}}` hat eine Kombination zweier +* (\*) Welche Brennweite :math:`f_{\mathrm{ges}}` hat eine Kombination zweier Sammellinsen, deren Brennweiten :math:`f_1 = \unit[50]{mm}` und :math:`f_2 = \unit[75]{mm}` betragen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Linsensysteme-04: +.. _oli04: * (\**) Die Brechkraft einer dünnen Linse beträgt :math:`D = \unit[5,0]{dpt}`. Ein Gegenstand befindet sich im Abstand :math:`g = \unit[60]{cm}` vor der Linse. In welcher Entfernung :math:`b` von der Linse befindet sich das Bild des Gegenstands? Wie groß ist der Abbildungsmaßstab :math:`\tilde{\beta}`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Linsensysteme-05: +.. _oli05: -* (\**) Eine Zerstreuungslinse hat eine Brechkraft von :math:`\unit[-8,0]{dpt}`. Wie - groß ist die Brennweite des der Linse, und an welcher Stelle :math:`b` +* (\**) Eine Zerstreuungslinse hat eine Brechkraft von :math:`\unit[-8,0]{dpt}`. + Wie groß ist die Brennweite des der Linse, und an welcher Stelle :math:`b` befindet sich das eines Gegenstands, der sich in :math:`g=\unit[9,0]{cm}` Entfernung von der Linse befindet? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu optischen Geräten: +.. _Aufgaben Optische Geräte: -Aufgaben zu optischen Geräten ------------------------------ +Optische Geräte +--------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Optische Geräte `. ---- -.. _Kepler-Fernrohr-01: +.. _oge01: -* (\*) Ein Kepler-Fernrohr hat ein Objektiv mit einer Brennweite von :math:`f - _{\rm{Obj}} = \unit[32]{cm}` und ein Okular mit einer Brennweite von :math:`f - _{\rm{Ok}} = \unit[4]{cm}`. Welche Vergrößerung hat das Fernrohr insgesamt? +* (\*) Ein Kepler-Fernrohr hat ein Objektiv mit einer Brennweite von + :math:`f_{\mathrm{Obj}} = \unit[32]{cm}` und ein Okular mit einer Brennweite + von :math:`f_{\mathrm{Ok}} = \unit[4]{cm}`. Welche Vergrößerung hat das + Fernrohr insgesamt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` +---- -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
+.. foo .. only:: html diff --git a/optik/experimente.rst b/optik/experimente.rst index 38e96d7..dbac539 100644 --- a/optik/experimente.rst +++ b/optik/experimente.rst @@ -4,15 +4,18 @@ Experimente zur Optik ===================== -.. _Experimente zur Ausbreitung des Lichts: +.. _Experimente Ausbreitung des Lichts: -Experimente zur Ausbreitung des Lichts --------------------------------------- +Ausbreitung des Lichts +---------------------- -.. _Licht im Nebel: +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausbreitung des +Lichts `. ---- +.. _Licht im Nebel: + .. rubric:: Licht im Nebel *Material:* @@ -112,15 +115,18 @@ Experimente zur Ausbreitung des Lichts ---- -.. _Experimente zur Reflexion von Licht: +.. _Experimente Reflexion von Licht: -Experimente zur Reflexion von Licht ------------------------------------ +Reflexion von Licht +------------------- -.. _Spiegelbild einer Kerze 1: +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Reflexion von +Licht `. ---- +.. _Spiegelbild einer Kerze 1: + .. rubric:: Spiegelbild einer Kerze 1 *Material:* @@ -154,7 +160,6 @@ Experimente zur Reflexion von Licht kannst Du beobachten? - Wie lässt sich die Beobachtung mit Hilfe des Reflexionsgesetzes erklären? - ---- .. _Spiegelbild einer Kerze 2: @@ -278,15 +283,18 @@ Experimente zur Reflexion von Licht .. - Gilt das Reflexionsgesetz auch für farbiges Licht? -.. _Experimente zur Lichtbrechung: +.. _Experimente Lichtbrechung: -Experimente zur Lichtbrechung ------------------------------ +Lichtbrechung +------------- -.. _Tief im Wald die hohe Eiche: +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Lichtbrechung +`. ---- +.. _Tief im Wald die hohe Eiche: + .. rubric:: Tief im Wald, die hohe Eiche.. *Material:* @@ -352,14 +360,12 @@ Experimente zur Lichtbrechung - Lege eine kleine Münze, beispielsweise einen Cent, unter ein Trinkglas. Überprüfe, ob Du es von allen Seiten aus sehen kannst. +---- -.. todo:: Versuche zu optischen Geräten -.. todo:: Farben-Versuche +.. todo Versuche zu optischen Geräten +.. todo Farben-Versuche -.. raw:: html - -
.. only:: html @@ -369,10 +375,6 @@ Experimente zur Lichtbrechung mit Hilfe eines runden Gegenstandes, Karton, Alufolie und Klebeband selbst hergestellt werden. -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - .. raw:: html
diff --git a/optik/lichtausbreitung.rst b/optik/lichtausbreitung.rst index 94ce0bf..af89e54 100644 --- a/optik/lichtausbreitung.rst +++ b/optik/lichtausbreitung.rst @@ -46,11 +46,13 @@ Weltall erscheint uns deshalb schwarz). * *Selbstleuchtende* Körper: - Sonne, Sterne, Feuer, Glüh- und Leuchtstofflampen, Kerzen, Glühwürmchen, LEDs usw. + Sonne, Sterne, Feuer, Glüh- und Leuchtstofflampen, Kerzen, Glühwürmchen, + LEDs usw. * *Beleuchtete* Körper: - Erde und Mond, Planeten, Gegenstände (Satelliten, Reflektoren, Staubkörnchen usw.) + Erde und Mond, Planeten, Gegenstände (Satelliten, Reflektoren, + Staubkörnchen usw.) Das Licht breitet sich von der Lichtquelle -- solange es auf kein Hindernis trifft -- geradlinig und in alle Richtungen aus: @@ -128,21 +130,21 @@ Lichtstärke. *Definition und Einheit:* -Die Lichtstärke :math:`I _{\rm{\nu}}` ist eine Basisgröße des internationalen -Einheitensystems. Ihre Einheit ist das Candela :math:`(\unit[]{cd})`. +Die Lichtstärke :math:`I_{\mathrm{\nu}}` ist eine Basisgröße des internationalen +Einheitensystems. Ihre Einheit ist das Candela :math:`(\unit{cd})`. *Beispiele:* * Eine Kerzenflamme hat eine Lichtstärke von etwa :math:`\unit[1]{cd}`. * Glühlampen haben eine Lichtstärke (je nach Bauart) von :math:`\unit[15]{cd}` bis :math:`\unit[150 ]{cd}`. -* Autoscheinwerfer haben eine Lichtstärke von rund :math:`\unit[50 000 ]{cd}`. +* Autoscheinwerfer haben eine Lichtstärke von rund :math:`\unit[50 000]{cd}`. .. index:: Beleuchtungsstärke -Während die Lichtstärke :math:`I _{\rm{\nu}}` eine Eigenschaft der Lichtquelle -ist, gibt die Beleuchtungsstärke :math:`E _{\rm{\nu}}` an, welcher Anteil des +Während die Lichtstärke :math:`I_{\mathrm{\nu}}` eine Eigenschaft der Lichtquelle +ist, gibt die Beleuchtungsstärke :math:`E_{\mathrm{\nu}}` an, welcher Anteil des Lichts auf eine bestimmte Fläche trifft. .. figure:: @@ -170,15 +172,15 @@ in gleichem Maß ab, wie die Oberfläche der mit Licht durchfluteten *Formel und Einheit:* - Die Beleuchtungsstärke :math:`E _{\nu}` ist umso größer, je größer die Lichtstärke - :math:`I _{\nu}` der Lichtquelle ist. Gleichzeitig nimmt die Beleuchtungsstärke + Die Beleuchtungsstärke :math:`E_{\nu}` ist umso größer, je größer die Lichtstärke + :math:`I_{\nu}` der Lichtquelle ist. Gleichzeitig nimmt die Beleuchtungsstärke quadratisch mit dem Abstand :math:`r` von der Lichtquelle ab. Insgesamt gilt: .. math:: - E _{\nu} = \frac{I _{\nu}}{r^2} + E_{\nu} = \frac{I_{\nu}}{r^2} - Die Beleuchtungsstärke wird in Lux :math:`(\unit[]{lx})` angegeben. + Die Beleuchtungsstärke wird in Lux :math:`(\unit{lx})` angegeben. .. Ein Lux entspricht derjenigen Beleuchtungsstärke, die eine Lichtquelle der .. Lichtstärke :math:`\unit[1]{cd}` bei senkrechtem Lichteinfall im Abstand von @@ -359,6 +361,6 @@ Lampe angestrahlt wird. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/optik/lichtbrechung.rst b/optik/lichtbrechung.rst index dec8f7b..38cdcd6 100644 --- a/optik/lichtbrechung.rst +++ b/optik/lichtbrechung.rst @@ -40,8 +40,8 @@ Brechungswinkel :math:`\beta` genannt. .. rubric:: Brechzahl und Brechungsgesetz -Die Sinus-Werte der Einfallswinkel und Brechungswinkel, :math:`\sin{\alpha }` -und :math:`\sin{\beta }`, stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die +Die Sinus-Werte der Einfallswinkel und Brechungswinkel, :math:`\sin{\alpha}` +und :math:`\sin{\beta}`, stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die Geschwindigkeiten :math:`c_1` und :math:`c_2`, die das Licht in den jeweiligen Stoffen erreichen kann. Breitet sich das Licht zunächst in Luft bzw. Vakuum aus und trifft auf ein transparentes Material, so ergibt das Verhältnis der @@ -51,11 +51,11 @@ Winkelgrößen einen konstanten, vom Material abhängigen Wert, der als .. math:: :label: eqn-brechzahl-absolut - n = \frac{\sin{\alpha} }{\sin{\beta} } + n = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} Die (absolute) Brechzahl :math:`n` gegenüber dem Vakuum ist eine für jeden Stoff charakteristische Materialeigenschaft. [#]_ Sie gibt gleichzeitig das -Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum :math:`(c _{\rm{0}} = \unit[3,0 +Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum :math:`(c_0 = \unit[3,0 \cdot 10^8]{\frac{m}{s}})` zur die Lichtgeschwindigkeit :math:`c` im jeweiligen Stoff an: @@ -64,7 +64,7 @@ Stoff an: n = \frac{c_0}{c} -Für die Brechzahl von Vakuum gilt nach der obigen Formel :math:`n _{\rm{0}}=1`, +Für die Brechzahl von Vakuum gilt nach der obigen Formel :math:`n_0=1`, für die Brechzahl von Luft in sehr guter Näherung ebenfalls. [#]_ In allen optischen Medien breitet sich das Licht mit geringerer Geschwindigkeit aus, so dass die (absoluten) Brechzahlen aller Materialien :math:`n \ge 1` gilt. @@ -79,7 +79,7 @@ Versuchen zur Materialbestimmung genutzt werden. :name: tab-brechzahlen * - Stoff - - Brechzahl :math:`n _{\rm{0}}` + - Brechzahl :math:`n_{\mathrm{0}}` * - Eis - :math:`1,31` * - Wasser @@ -107,13 +107,13 @@ des Einfalls- und Brechungswinkels stehen: *Beispiel:* * Licht breitet sich in Glas oder Wasser langsamer aus als in Luft. Das - Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in Luft :math:`c _{\rm{Luft}}` zu der in - Lichtgeschwindigkeit in Wasser :math:`c _{\rm{Wasser}}` ist daher größer als + Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in Luft :math:`c_{\mathrm{Luft}}` zu der in + Lichtgeschwindigkeit in Wasser :math:`c_{\mathrm{Wasser}}` ist daher größer als :math:`1`: .. math:: - n _{\mathrm{Luft \rightarrow Wasser}} = \frac{c _{\rm{Luft}}}{c _{\rm{Wasser}}} = + n_{\mathrm{Luft \rightarrow Wasser}} = \frac{c_{\mathrm{Luft}}}{c_{\mathrm{Wasser}}} = \frac{\unit[300 000]{\frac{km}{s} } }{\unit[225 000]{\frac{km}{s} } } = 1,33 Das bedeutet nichts anderes, als dass der Einfallswinkel :math:`\alpha` des @@ -137,7 +137,7 @@ diesem Fall größer als der Einfallswinkel :math:`\alpha`. Konkret gilt: .. math:: :label: eqn-totalreflexion-1 - \sin{\alpha } = \frac{n _{\rm{2}}}{n _{\rm{1}}} \cdot \sin{\beta } + \sin{\alpha } = \frac{n_2}{n_1} \cdot \sin{\beta } .. figure:: ../pics/optik/lichtbrechung-2.png @@ -154,15 +154,15 @@ diesem Fall größer als der Einfallswinkel :math:`\alpha`. Konkret gilt: :download:`SVG: Lichtbrechung 2 <../pics/optik/lichtbrechung-2.svg>` Bei einem bestimmten, von den beiden Materialien abhängigen Einfallswinkel -:math:`\alpha _{\rm{max}}` nimmt der Brechungswinkel :math:`\beta` den Wert +:math:`\alpha_{\mathrm{max}}` nimmt der Brechungswinkel :math:`\beta` den Wert :math:`90\degree` an. In diesem Fall kann der einfallende Lichtstrahl nicht mehr aus dem optisch dichteren Medium in das optisch dünnere Medium übergehen, sondern -wird reflektiert bzw. verläuft längs der Grenzfläche beider Medien. Da hierbei -:math:`\sin{90\degree} = 1` gilt, vereinfacht sich die obige Gleichung -:eq:`eqn-totalreflexion-1` zu folgender Formel: +wird reflektiert beziehungsweise verläuft längs der Grenzfläche beider Medien. +Da hierbei :math:`\sin{90\degree} = 1` gilt, vereinfacht sich die obige +Gleichung :eq:`eqn-totalreflexion-1` zu folgender Formel: .. math:: - \sin{\alpha _{\rm{max}}} = \frac{n _{\rm{2}}}{n _{\rm{1}}} + \sin{\alpha_{\mathrm{max}}} = \frac{n_2}{n_1} .. figure:: ../pics/optik/lichtbrechung-totalreflexion.png @@ -181,13 +181,13 @@ wird reflektiert bzw. verläuft längs der Grenzfläche beider Medien. Da hierbe Mit Hilfe eines Taschenrechners kann die Umkehrfunktion :math:`\text{asin}` des Sinus ("Arcus-Sinus") und somit der Grenzwinkel :math:`\alpha` für das Auftreten -von Totalreflexion anhand der beiden Brechzahlen :math:`n _{\rm{1}}` und -:math:`n _{\rm{2}}` berechnet werden: [#]_ +von Totalreflexion anhand der beiden Brechzahlen :math:`n_1` und +:math:`n_2` berechnet werden: [#]_ .. math:: :label: eqn-totalreflexion-2 - \alpha _{\rm{max}} = \text{sin}^{-1} \left(\frac{n _{\rm{2}}}{n _{\rm{1}}} + \alpha_{\mathrm{max}} = \text{sin}^{-1} \left(\frac{n_2}{n_1} \right) Hierbei ist zu beachten, dass bei der Totalreflexion :math:`n_1` die Brechzahl @@ -200,23 +200,23 @@ Andernfalls kann keine Totalreflexion stattfinden. *Beispiel:* -* Für den Übergang eines Lichtstrahls von Wasser in Luft ist :math:`n _{\rm{1}} - = 1,33` und :math:`n _{\rm{2}} = 1`. Somit ergibt :math:`\frac{n _{\rm{2}} }{n - _{\rm{1}} } \approx 0,752` und :math:`\alpha = \text{sin} ^{-1}(0,752) \cdot - \frac{360 \degree}{2 \cdot \pi} \approx 48,75\degree`. +* Für den Übergang eines Lichtstrahls von Wasser in Luft ist :math:`n_1 = 1,33` + und :math:`n_2 = 1`. Somit ergibt :math:`\frac{n_2}{n_1} \approx 0,752` und + :math:`\alpha = \text{sin} ^{-1}(0,752) \cdot \frac{360 \degree}{2 \cdot \pi} + \approx 48,75\degree`. -* Für den Übergang eines Lichtstrahls von Quarzglas in Wasser ist :math:`n - _{\rm{1}} = 1,46` und :math:`n _{\rm{2}} = 1,33`. Somit ergibt :math:`\frac{n - _{\rm{2}} }{n _{\rm{1}} } \approx 0,911` und :math:`\alpha = \text{sin} - ^{-1}(0,911) \cdot \frac{360 \degree}{2 \cdot \pi} \approx 65,64\degree`. +* Für den Übergang eines Lichtstrahls von Quarzglas in Wasser ist :math:`n_1 = + 1,46` und :math:`n_2 = 1,33`. Somit ergibt :math:`\frac{n_2}{n_1} \approx + 0,911` und :math:`\alpha = \text{sin} ^{-1}(0,911) \cdot \frac{360 \degree}{2 + \cdot \pi} \approx 65,64\degree`. -Je größer der Unterschied der Brechzahlen :math:`n _{\rm{1}}` und :math:`n -_{\rm{2}}` ist, desto kleiner ist der Grenzwinkel :math:`\alpha _{\rm{max}}`, ab -dem Totalreflexion auftritt. Ist der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel -:math:`(\alpha > \alpha _{\rm{max}})`, so wird der Lichtstrahl an der -Grenzfläche vollständig gemäß dem :ref:`Reflexionsgesetz ` -zurückgeworfen. Diese Eigenschaft wird zur Konstruktion von optischen Glasfaser- -bzw. Kunstfaserkabeln als so genannte "Lichtleiter" genutzt. +Je größer der Unterschied der Brechzahlen :math:`n_1` und :math:`n_2` ist, desto +kleiner ist der Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}`, ab dem Totalreflexion +auftritt. Ist der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel :math:`(\alpha > +\alpha_{\mathrm{max}})`, so wird der Lichtstrahl an der Grenzfläche vollständig +gemäß dem :ref:`Reflexionsgesetz ` zurückgeworfen. Diese +Eigenschaft wird zur Konstruktion von optischen Glasfaser- bzw. Kunstfaserkabeln +als so genannte "Lichtleiter" genutzt. .. figure:: ../pics/optik/lichtleiter.png @@ -361,10 +361,10 @@ Spiegeln `: * Parallelstrahlen: Alle Strahlen, die parallel zur optischen Achse auf eine optische Linse - treffen, heißen Parallelstrahlen. Sie werden durch die Linse gesammelt bzw. - zerstreut und schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt hinter bzw. vor der - Linse. Dieser Punkt auf der optischen Achse wird Brennpunkt :math:`F` - genannt. + treffen, heißen Parallelstrahlen. Sie werden durch die Linse gesammelt + beziehungsweise zerstreut und schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt + hinter bzw. vor der Linse. Dieser Punkt auf der optischen Achse wird + Brennpunkt :math:`F` genannt. Der Abstand zwischen Linsenmittelpunkt und einem Brennpunkt wird Brennweite :math:`f` genannt. Die Brennweite einer optischen Linse ist umso größer, @@ -520,6 +520,6 @@ Mittelpunktstrahl zwischen dem Gegenstand und der Linse. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/optik/lichtreflexion.rst b/optik/lichtreflexion.rst index 552b44e..0d33ed3 100644 --- a/optik/lichtreflexion.rst +++ b/optik/lichtreflexion.rst @@ -89,11 +89,11 @@ Reflexionsgesetzes (am besten mit Lineal und Winkelmesser) konstruieren. :download:`SVG: Ebener Spiegel <../pics/optik/ebener-spiegel.svg>` -Lichtstrahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes :math:`\rm{G}`, ausgehen, +Lichtstrahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes :math:`\mathrm{G}`, ausgehen, treffen unter verschiedenen Einfallswinkeln auf den Spiegel und werden nach dem Reflexionsgesetz zurückgeworfen. Ein Teil der Strahlen gelangt in das Auge des Beobachters. Verlängert man diese Strahlen geradlinig nach hinten, so schneiden -sie sich in einem Bildpunkt :math:`\rm{B}` hinter dem Spiegel. Für den Betrachter +sie sich in einem Bildpunkt :math:`\mathrm{B}` hinter dem Spiegel. Für den Betrachter scheint das ins Auge fallende Licht von diesem Punkt auszugehen. .. figure:: @@ -115,8 +115,8 @@ Insgesamt gilt somit für ebene Spiegel: * Der Gegenstand und sein Bild liegen symmetrisch zur Spiegelfläche. * Das Bild ist ebenso groß wie der Gegenstand. -Jeder Bildpunkt :math:`\rm{B}` liegt daher ebenso weit hinter dem Spiegel, wie der -passende Gegenstandspunkt :math:`\rm{G}` vor ihm liegt. +Jeder Bildpunkt :math:`\mathrm{B}` liegt daher ebenso weit hinter dem Spiegel, +wie der passende Gegenstandspunkt :math:`\mathrm{G}` vor ihm liegt. .. index:: @@ -187,7 +187,8 @@ verwendet man folgende Begriffe: * Scheitelpunkt: - Der Mittelpunkt der spiegelnden Fläche wird Scheitelpunkt :math:`\rm{S}` genannt. + Der Mittelpunkt der spiegelnden Fläche wird Scheitelpunkt :math:`\mathrm{S}` + genannt. .. index:: Optische Achse @@ -203,23 +204,23 @@ verwendet man folgende Begriffe: Alle auf den Spiegel treffenden Parallelstrahlen werden so reflektiert, dass sie sich in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt liegt auf der optischen - Achse und heißt Brennpunkt (Fokus) :math:`\rm{F}`. + Achse und heißt Brennpunkt (Fokus) :math:`\mathrm{F}`. Der Abstand des Brennpunkts zum Scheitelpunkt wird Brennweite :math:`f` genannt. Bei einem kugelförmigen Hohlspiegel ist die Brennweite :math:`f` - gleich der Hälfte der Strecke zwischen dem Mittelpunkt :math:`\rm{M}` und - dem Scheitelpunkt :math:`\rm{S}`: + gleich der Hälfte der Strecke zwischen dem Mittelpunkt :math:`\mathrm{M}` + und dem Scheitelpunkt :math:`\mathrm{S}`: .. math:: - f = \frac{\overline{\rm{MS}}}{2} + f = \frac{\overline{\mathrm{MS}}}{2} .. Diese Laenge entspricht dem halben Radius :math:`r` der zum Spiegel passenden Kugel. * Mittelpunkt: - Der Mittelpunkt :math:`\rm{M}` des Kreises, aus dem man sich den Wölbspiegel + Der Mittelpunkt :math:`\mathrm{M}` des Kreises, aus dem man sich den Wölbspiegel herausgeschnitten denken kann, liegt ebenfalls auf der optischen Achse. Strahlen, die auf der Innenseite des Kreises durch den Mittelpunkt gehen, werden stets auf sich selbst abgebildet. @@ -270,10 +271,10 @@ Gegenstände werden von Wölbspiegeln so abgebildet, als würden sie in kleinere Maßstab im Inneren des Spiegels befinden. Um den Ort eines Bildpunktes zu bestimmen, zeichnet man die vom entsprechenden Gegenstandspunkt ausgehenden Bildstrahlen auf der Rückseite des Spiegels weiter. Dabei muss man beachten, -dass parallel einfallende Strahlen stets zum Brennpunkt :math:`\rm{F}` hin -abgelenkt werden und Strahlen durch den Mittelpunkt :math:`\rm{M}` den Spiegel -geradlinig durchlaufen. Die Lage des Bildes, das sich bei Betrachtung des -Wölbspiegels ergibt, entspricht dem Schnittpunkt des Brennpunkt- und +dass parallel einfallende Strahlen stets zum Brennpunkt :math:`\mathrm{F}` hin +abgelenkt werden und Strahlen durch den Mittelpunkt :math:`\mathrm{M}` den +Spiegel geradlinig durchlaufen. Die Lage des Bildes, das sich bei Betrachtung +des Wölbspiegels ergibt, entspricht dem Schnittpunkt des Brennpunkt- und Mittelpunktstrahls. Da die Abbildungen eines Wölbspiegels nicht nur aufrecht und verkleinert, @@ -317,10 +318,9 @@ Spiegels ab: Zur Konstruktion des Bildes zeichnet man die von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Bildstrahlen in der umgekehrten Richtung weiter. Dabei muss man beachten, dass Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen werden und - Mittelpunktstrahlen stets senkrecht auf den Spiegel treffen und somit auf - sich selbst abgebildet werden. Die Lage des Bildes entspricht dem - Schnittpunkt des verlängerten Parallel- bzw. Mittelpunktstrahls auf der - Rückseite des Spiegels. + Mittelpunktstrahlen stets senkrecht auf den Spiegel treffen und somit auf sich + selbst abgebildet werden. Die Lage des Bildes entspricht dem Schnittpunkt des + verlängerten Parallel- bzw. Mittelpunktstrahls auf der Rückseite des Spiegels. Aufgrund ihrer vergrößernden Wirkung werden flache Hohlspiegel (mit einer großen Brennweite) unter anderem als Kosmetikspiegel verwendet. @@ -355,6 +355,6 @@ Spiegels ab: .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und - :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und + :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/optik/linsensysteme.rst b/optik/linsensysteme.rst index 916f554..7d1fa50 100644 --- a/optik/linsensysteme.rst +++ b/optik/linsensysteme.rst @@ -15,14 +15,14 @@ folgenden Abschnitt näher beschrieben. Brennweite und Brechkraft eines Linsensystems --------------------------------------------- -Soll die Brennweite :math:`f _{\rm{ges}}` eines solchen Systems mehrerer Linsen +Soll die Brennweite :math:`f_{\mathrm{ges}}` eines solchen Systems mehrerer Linsen bestimmt werden, so kann man die Kehrwerte der Brennweiten aller Linsen addieren, um den Kehrwert der Gesamtbrennweite zu erhalten: .. math:: :label: eqn-brennweite-linsensystem - \frac{1}{f _{\rm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \ldots + \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \ldots Die Brennweiten von Sammellinsen werden dabei positiv, die von Zerstreuungslinsen negativ gezählt. @@ -35,8 +35,8 @@ Zerstreuungslinsen negativ gezählt. .. math:: - \frac{1}{f _{\rm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,1]{m}} + - \frac{1}{\unit[0,15]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f _{\rm{ges}} = + \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,1]{m}} + + \frac{1}{\unit[0,15]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,1]{m}} + \frac{1}{\unit[0,15]{m}}} = \unit[0,06]{m} @@ -49,8 +49,8 @@ Zerstreuungslinsen negativ gezählt. .. math:: - \frac{1}{f _{\rm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,3]{m}} - - \frac{1}{\unit[0,1]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f _{\rm{ges}} = + \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{\unit[0,3]{m}} - + \frac{1}{\unit[0,1]{m}} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,3]{m}} - \frac{1}{\unit[0,1]{m}}} = -\unit[0,15]{m} @@ -91,15 +91,15 @@ und somit auch ihre Dioptrienzahl; beispielsweise entspricht eine Brennweite von eine Brennweite von :math:`\unit[\frac{1}{4}]{m}` einer Brechkraft von :math:`\unit[4]{dpt}`. -Die Dioptrienzahl :math:`D _{\rm{ges}}` eines Linsensystems ist gleich der Summe -der Dioptrienzahlen der einzelnen Linsen; die Brechkraft von Sammellinsen erhält -dabei wiederum ein positives, die von Zerstreuungslinsen ein negatives +Die Dioptrienzahl :math:`D_{\mathrm{ges}}` eines Linsensystems ist gleich der +Summe der Dioptrienzahlen der einzelnen Linsen; die Brechkraft von Sammellinsen +erhält dabei wiederum ein positives, die von Zerstreuungslinsen ein negatives Vorzeichen. Es gilt also: .. math:: :label: eqn-brechkraft-linsensystem - D _{\rm{ges}} = D_1 + D_2 + \ldots + D_{\mathrm{ges}} = D_1 + D_2 + \ldots .. _Linsenfehler und Abhilfen: @@ -117,7 +117,7 @@ werden. Es gilt: .. math:: - f _{\rm{Rand}} < f _{\rm{Mitte}} + f_{\mathrm{Rand}} < f_{\mathrm{Mitte}} Die Verschiebung des Brennpunkts bei Randstrahlen wird als sphärische Abberation bezeichnet. Um diesen Linsenfehler zu verhindern, gibt es grundsätzlich zwei @@ -141,7 +141,7 @@ wird als chromatische Abberation bezeichnet. Es gilt: .. math:: - f _{\rm{rot}} < f _{\rm{violett}} + f_{\mathrm{rot}} < f_{\mathrm{violett}} .. Die chromatische Abberation kann nie vollstaendig @@ -151,8 +151,8 @@ wird als chromatische Abberation bezeichnet. Es gilt: Der Abbildungsmaßstab und die Linsengleichung --------------------------------------------- -Das vergrößerte bzw. verkleinerte Bild, das sich bei einer Abbildung durch -eine optische Linse ergibt, kann nicht nur durch geometrische Konstruktion +Das vergrößerte beziehungsweise verkleinerte Bild, das sich bei einer Abbildung +durch eine optische Linse ergibt, kann nicht nur durch geometrische Konstruktion sondern auch rechnerisch bestimmt werden. .. figure:: @@ -171,9 +171,8 @@ sondern auch rechnerisch bestimmt werden. Wendet man den :ref:`2. Strahlensatz ` auf die obige Abbildung an, so erkennt man, dass die Größe :math:`G` des Gegenstands im -gleichen Verhältnis zur Entfernung :math:`g` des Gegenstands von der Linse -steht wie die Größe des Bildes :math:`B` zu seiner Entfernung :math:`b` von -der Linse: +gleichen Verhältnis zur Entfernung :math:`g` des Gegenstands von der Linse steht +wie die Größe des Bildes :math:`B` zu seiner Entfernung :math:`b` von der Linse: .. math:: @@ -188,9 +187,9 @@ Abbildung durch die Linse ergibt: \tilde{\beta} = \frac{B}{G} = \frac{b}{g} {\color{white}\;\;\; .} -Der Abbildungsmaßstab :math:`\tilde{\beta}` hat keine Einheit, sondern ist ein reines -Zahlenverhältnis. Sein Wert ist kleiner als Eins im Fall einer Verkleinerung und -größer als Eins im Fall einer Vergrößerung. +Der Abbildungsmaßstab :math:`\tilde{\beta}` hat keine Einheit, sondern ist ein +reines Zahlenverhältnis. Sein Wert ist kleiner als Eins im Fall einer +Verkleinerung und größer als Eins im Fall einer Vergrößerung. Häufig lassen sich im praktischen Anwendungsfall die Gegenstandsgröße :math:`G` sowie die Gegenstandsweite :math:`g` durch eine gewöhnliche Längenmessung @@ -256,9 +255,8 @@ Bildgröße :math:`B` und damit den Abbildungsmaßstab. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. -.. :ref:`Versuche ` und +.. :ref:`Experimente ` und diff --git a/optik/loesungen.rst b/optik/loesungen.rst index 1125e51..b16aa5a 100644 --- a/optik/loesungen.rst +++ b/optik/loesungen.rst @@ -1,65 +1,65 @@ - .. _Lösungen zur Optik: Lösungen zur Optik ================== -.. _Lösungen zu Ausbreitung des Lichts: -Lösungen zur Ausbreitung des Lichts ------------------------------------ +.. _Lösungen Ausbreitung des Lichts: + +Ausbreitung des Lichts +---------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Ausbreitung des Lichts `. ---- -.. _Lichtausbreitung-01-Lösung: +.. _oau01l: -* Licht breitet sich von der Sonne geradlinig in alle Richtungen unseres - Sonnensystems aus. Nur der schmale Lichtkegel, der dabei auf die Erde - trifft, wird von uns direkt wahrgenommen. Zusätzlich können wir das - Sonnenlicht wahrnehmen, wenn es auf andere Himmelskörper (v.a. Planeten und - Kometen) trifft. +* Licht breitet sich von der Sonne geradlinig in alle Richtungen unseres + Sonnensystems aus. Nur der schmale Lichtkegel, der dabei auf die Erde + trifft, wird von uns direkt wahrgenommen. Zusätzlich können wir das + Sonnenlicht wahrnehmen, wenn es auf andere Himmelskörper (v.a. Planeten und + Kometen) trifft. - Da das übrige Sonnenlicht unser Auge nicht erreicht, erscheint uns das - restliche Weltall als dunkel. + Da das übrige Sonnenlicht unser Auge nicht erreicht, erscheint uns das + restliche Weltall als dunkel. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtausbreitung-02-Lösung: +.. _oau02l: -* Die Zeit, die Licht zum Durchqueren eines Zimmers benötigt, beträgt weniger - als :math:`\unit[\frac{1}{10\,000\,000}]{s}`. Zwar wird Licht beim Durchqueren von - verschiedenen "optisch dichten" Stoffen (z.B. Wasser) etwas abgebremst, doch - ist es stets so schnell, dass es für eine konstante Beleuchtung ständig - von einer Lichtquelle neu erzeugt werden muss. +* Die Zeit, die Licht zum Durchqueren eines Zimmers benötigt, beträgt weniger + als :math:`\unit[\frac{1}{10\,000\,000}]{s}`. Zwar wird Licht beim Durchqueren von + verschiedenen "optisch dichten" Stoffen (z.B. Wasser) etwas abgebremst, doch + ist es stets so schnell, dass es für eine konstante Beleuchtung ständig + von einer Lichtquelle neu erzeugt werden muss. - Das "Einfangen" von winzigen Lichtmengen in einem lichtundurchlässigen - Behältnis ist zwar möglich, doch können wir es dann nicht sehen -- dafür - müsste das Licht ja aus dem Behältnis entweichen und in unsere Augen - gelangen.. + Das "Einfangen" von winzigen Lichtmengen in einem lichtundurchlässigen + Behältnis ist zwar möglich, doch können wir es dann nicht sehen -- dafür + müsste das Licht ja aus dem Behältnis entweichen und in unsere Augen + gelangen.. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur Reflexion von Licht: +.. _Lösungen Reflexion von Licht: -Lösungen zur Reflexion von Licht --------------------------------- +Reflexion von Licht +------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Reflexion von Licht `. ---- -.. _Lichtreflexion-01-Lösung: +.. _ore01l: * Nur diejenigen Stoffe, die eine *glatte* Oberfläche besitzen, können Licht direkt reflektieren -- beispielsweise Diamant, Fensterglas, Flüssigkeiten, @@ -70,11 +70,11 @@ Licht>`. streuend, reflektieren. Das reflektierte Licht erscheint dann als "matt", d.h. es treten keine Glanzstellen auf. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtstreuung-01-Lösung: +.. _ore02l: * Das Licht, das von Sternen zur Erde gelangt, trifft auf seinem Weg durch das Weltall auf kein Hindernis; es breitet sich daher geradlinig und "verlustfrei" @@ -91,22 +91,22 @@ Licht>`. weit sehen; bei nebligem Wetter wird die Sichtweite nochmals erheblich verkürzt. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur Lichtbrechung: +.. _Lösungen Lichtbrechung: -Lösungen zur Lichtbrechung --------------------------- +Lichtbrechung +------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. ---- -.. _Lichtbrechung-01-Lösung: +.. _obr01l: * Die Lichtgeschwindigkeit :math:`c` in dem optischen Medium lässt sich berechnen, indem man die Lichtgeschwindigkeit :math:`c_0 = \unit[3,0 \cdot @@ -121,11 +121,11 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. Die Lichtgeschwindigkeit in dem optischen Medium beträgt somit rund :math:`\unit[2,03 \cdot 10^8]{m/s}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-02-Lösung: +.. _obr02l: * Die (absolute) Brechzahl :math:`n` des optischen Mediums lässt sich mittels der angegebenen Lichtgeschwindigkeit :math:`c=\unit[2,29 \cdot 10^8]{m/s}` @@ -141,11 +141,11 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. Vergleich mit tabellarischen Werten lässt vermuten, dass es sich bei dem Medium um Eis handelt.) - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-03-Lösung: +.. _obr03l: * Trifft ein Lichtstrahl von einem optisch dünnen Medium (Luft, :math:`n_1=1`) auf ein optisch dichteres Medium (z.B. Glycerin, :math:`n_2 = 1,45`), so wird @@ -167,14 +167,11 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. Der Winkel des gebrochenen Strahls beträgt etwa :math:`20,2\degree`. -.. Gradmaß und Bogenmaß? - - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-04-Lösung: +.. _obr04l: * Die relative Brechzahl :math:`\frac{n_2}{n_1}` für den Übergang eines Lichtsrahls von Medium 1 (Quarzglas, :math:`n_1 = 1,46`) in Medium 2 @@ -203,13 +200,13 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. Der Winkel :math:`\beta` des gebrochenen Lichtstrahls beträgt somit rund :math:`17\degree`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-05-Lösung: +.. _obr05l: -* Da der im Winkel :math:`\alpha _1= 50,0\degree` einfallende Lichtstrahl an der +* Da der im Winkel :math:`\alpha_1= 50,0\degree` einfallende Lichtstrahl an der Grenzfläche zur Senkrechten hin gebrochen wird (:math:`\beta = 30,9`), muss für die Brechzahlen beider Medien :math:`n_2 > n_1` gelten. Mit :math:`n_1 = 1` folgt aus dem Brechungsgesetz: @@ -219,7 +216,7 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. n_2 = \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} \cdot n_1 = \frac{\sin{50,0}}{\sin{30,9\degree}} \cdot 1 \approx 1,49 - Beim zweiten Übergang :math:`(\alpha _2 = 30,9\degree,\, \beta _2 = 33,6\degree)` wird + Beim zweiten Übergang :math:`(\alpha_2 = 30,9\degree,\, \beta_2 = 33,6\degree)` wird der Lichtstrahl von der Senkrechten weg gebrochen, folglich muss :math:`n_3 < n_2` gelten. Mit :math:`n_2 \approx 1,49` folgt: @@ -232,34 +229,34 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. :math:`n_2 = 1,49` (beispielsweise Plexiglas oder Leinöl) und :math:`n_3 = 1,38` (beispielsweise Wasser mit 1 mol/l Saccharose). - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-06-Lösung: +.. _obr06l: -* Geht ein Lichtstrahl von Diamant :math:`(n _1 = 2,4)` in Luft :math:`(n_2 = - 1)` über, so gilt für den Grenzwinkel :math:`\alpha _{\rm{max}}`: +* Geht ein Lichtstrahl von Diamant :math:`(n_1 = 2,4)` in Luft :math:`(n_2 = + 1)` über, so gilt für den Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}`: .. math:: - \sin{\alpha _{\rm{max}}} &= \frac{n_2}{n_1} \quad \Leftrightarrow \quad - \alpha _{\rm{max}} = \text{asin}\left( \frac{n_2}{n_1}\right) \\[4pt] - \alpha _{\rm{max}} &= \text{asin}\left( \frac{1}{2,4}\right) \approx 24,6\degree + \sin{\alpha_{\mathrm{max}}} &= \frac{n_2}{n_1} \quad \Leftrightarrow \quad + \alpha_{\mathrm{max}} = \text{asin}\left( \frac{n_2}{n_1}\right) \\[4pt] + \alpha_{\mathrm{max}} &= \text{asin}\left( \frac{1}{2,4}\right) \approx 24,6\degree - Der Grenzwinkel :math:`\alpha _{\rm{max}}` beim Übergang eines Lichtstrahls + Der Grenzwinkel :math:`\alpha_{\mathrm{max}}` beim Übergang eines Lichtstrahls von Diamant in Luft beträgt somit rund :math:`24,6\degree`. Trifft ein Lichstrahl mit einem größeren Winkel auf die Grenzfläche, so tritt Totalreflexion ein. Der Lichtstrahl kann den Diamanten (an dieser Stelle) also nicht mehr verlassen, sondern wird anstelle dessen gemäß des Reflexionsgesetzes in den Diamanten zurück reflektiert. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lichtbrechung-07-Lösung: +.. _obr07l: * Die zwei möglichen Fälle, in denen Licht beim Übergang von einem transparenten Medium in ein anderes nicht gebrochen wird, lassen sich gut @@ -279,21 +276,22 @@ Lichtbrechung>` zum Abschnitt :ref:`Lichtbrechung `. Oberfläche der Grenzschicht verläuft. In allen anderen Fällen tritt Lichtbrechung auf. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Linsensystemen: -Lösungen zu Linsensystemen --------------------------- +.. _Lösungen Linsensystemen: -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. +Linsensysteme +------------- + +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. ---- -.. _Linsensysteme-01-Lösung: +.. _oli01l: * Die Brechkraft :math:`D` einer Sammellinse mit einer Brennweite von :math:`f = \unit[150]{mm} = \unit[0,150]{m}` beträgt: @@ -304,11 +302,11 @@ Linsensystemen>` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. Die Linse hat also eine Brechkraft von rund :math:`\unit[6,67]{dpt}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Linsensysteme-02-Lösung: +.. _oli02l: * Die Brennweite :math:`f` einer Zerstreuungslinse mit einer Brechkraft von :math:`D = \unit[-4,0]{dpt}` lässt sich folgendermaßen berechnen: @@ -325,26 +323,26 @@ Linsensystemen>` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. Die Brennweite der Zerstreuungslinse beträgt also rund :math:`\unit[-25]{cm}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Linsensysteme-03-Lösung: +.. _oli03l: -* Die Brennweite :math:`f _{\rm{ges}}` des Linsensystems erhält man, indem man - die Kehrwerte der Brennweiten beider Linsen addiert und anschließend den +* Die Brennweite :math:`f_{\mathrm{ges}}` des Linsensystems erhält man, indem + man die Kehrwerte der Brennweiten beider Linsen addiert und anschließend den Kehrwert von diesem Ergebnis bildet. Mit :math:`f_1 = \unit[50]{mm} = \unit[0,050]{m}` und :math:`f_2 = \unit[75]{mm}= \unit[0,075]{m}` folgt: .. math:: - \frac{1}{f _{\rm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \quad - \Leftrightarrow \quad f _{\rm{ges}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{f_1} + + \frac{1}{f_{\mathrm{ges}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \quad + \Leftrightarrow \quad f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\right)} .. math:: - f _{\rm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,050]{m}} + + f_{\mathrm{ges}} = \frac{1}{\frac{1}{\unit[0,050]{m}} + \frac{1}{\unit[0,075]{m}}} = \unit[0,03]{m} Die Brennweite des Linsensystems beträgt somit insgesamt @@ -357,19 +355,20 @@ Linsensystemen>` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. D_1 &= \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\unit[0,050]{m}} = \unit[20,0]{dpt} \\ D_2 &= \frac{1}{f_2} = \frac{1}{\unit[0,075]{m}} = \unit[13,3]{dpt} \\ - D _{\rm{ges}} &= D_1 + D_2 = \unit[20,0]{dpt} + \unit[13,3]{dpt} = + D_{\mathrm{ges}} &= D_1 + D_2 = \unit[20,0]{dpt} + \unit[13,3]{dpt} = \unit[33,3]{dpt} \\ - f _{\rm{ges}} &= \frac{1}{D _{\rm{ges}}} = \frac{1}{\unit[33,3]{dpt}} = - \frac{1}{\unit[33,3]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,03]{m} + f_{\mathrm{ges}} &= \frac{1}{D_{\mathrm{ges}}} = + \frac{1}{\unit[33,3]{dpt}} = \frac{1}{\unit[33,3]{\frac{1}{m}}} = + \unit[0,03]{m} Auch mit diesem Rechenweg erhält man eine Gesamt-Brennweite von :math:`\unit[30]{mm}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Linsensysteme-04-Lösung: +.. _oli04l: * Um die Entfernung :math:`b` des Bildes von der Linse zu berechnen, muss man die gegebenen Größen :math:`D = \frac{1}{f} = \unit[5,0]{dpt} = @@ -383,24 +382,26 @@ Linsensystemen>` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. .. math:: - b = \frac{1}{D - \frac{1}{g}} = \frac{1}{\unit[5]{\frac{1}{m}} - \frac{1}{\unit[0,6]{m}}} - = \frac{1}{\unit[3,33]{\frac{1}{m}}} = \unit[0,3]{m} + b = \frac{1}{D - \frac{1}{g}} = \frac{1}{\unit[5]{\frac{1}{m}} - + \frac{1}{\unit[0,6]{m}}} = \frac{1}{\unit[3,33]{\frac{1}{m}}} = + \unit[0,3]{m} Das Bild befindet sich also im Abstand von :math:`\unit[30]{cm}` hinter der Linse. Für den Abbildungsmaßstab :math:`\tilde{\beta}` folgt somit: .. math:: - \tilde{\beta} = \frac{b}{g} = \frac{\unit[0,3]{m}}{\unit[0,6]{m}} = \frac{1}{2} + \tilde{\beta} = \frac{b}{g} = \frac{\unit[0,3]{m}}{\unit[0,6]{m}} = + \frac{1}{2} Der Gegenstand wird bei der Abbildung durch die Linse somit um die Hälfte verkleinert. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Linsensysteme-05-Lösung: +.. _oli05l: * Wenn die Brechkraft einer Zerstreuungslinse :math:`D = \unit[-8,0]{dpt}` beträgt, so entspricht dies einer Brennweite von :math:`f = \frac{1}{D} = @@ -416,48 +417,46 @@ Linsensystemen>` zum Abschnitt :ref:`Linsensysteme `. .. math:: b = \frac{1}{\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{g}\right)} = \frac{1}{\left( - \frac{1}{\unit[-0,125]{m}} - \frac{1}{\unit[0,090]{m}}\right)} = \unit[-0,052]{m} + \frac{1}{\unit[-0,125]{m}} - \frac{1}{\unit[0,090]{m}}\right)} = + \unit[-0,052]{m} Das Bild des Gegenstands befindet sich somit in einem Abstand von :math:`\unit[5,2]{cm}` vor (!) der Zerstreuungslinse. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu optischen Geräte: +.. _Lösungen Optische Geräte: -Lösungen zu optischen Geräten ------------------------------ +Optische Geräte +--------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Optische Geräte `. +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Optische Geräte `. ---- -.. _Kepler-Fernrohr-01-Lösung: +.. _oge01l: * Die Vergrößerung :math:`V` des Kepler-Fernrohrs entspricht dem Verhältnis der - Brennweiten :math:`f _{\rm{Obj}} = \unit[0,32]{m}` des Objektivs und :math:`f - _{\rm{Ok}} = \unit[0,04]{m}` des Okulars: + Brennweiten :math:`f_{\mathrm{Obj}} = \unit[0,32]{m}` des Objektivs und + :math:`f_{\mathrm{Ok}} = \unit[0,04]{m}` des Okulars: .. math:: - V = \frac{f _{\rm{Obj}}}{f _{\rm{Ok}}} = \frac{\unit[0,32]{m}}{\unit[0,04]{m}} = 8 + V = \frac{f_{\mathrm{Obj}}}{f_{\mathrm{Ok}}} = + \frac{\unit[0,32]{m}}{\unit[0,04]{m}} = 8 Das Kepler-Fernrohr hat somit eine :math:`8`-fache Vergrößerung. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` - + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` -.. raw:: latex - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html diff --git a/optik/optische-geraete.rst b/optik/optische-geraete.rst index e86de50..644599a 100644 --- a/optik/optische-geraete.rst +++ b/optik/optische-geraete.rst @@ -264,13 +264,13 @@ vergrößert betrachtet. [#]_ <../pics/optik/fernrohr-kepler.svg>` Insgesamt ergibt sich bei einem Kepler-Fernrohr eine Vergrößerung, die dem -Verhältnis der Brennweite :math:`f _{\rm{Obj}}` des Objektivs zur Brennweite -:math:`f _{\rm{Ok}}` des Okulars entspricht: +Verhältnis der Brennweite :math:`f_{\mathrm{Obj}}` des Objektivs zur Brennweite +:math:`f_{\mathrm{Ok}}` des Okulars entspricht: .. math:: :label: eqn-fernrohr-kepler - V _{\rm{K}} = \frac{f _{\rm{Obj}}}{f _{\rm{Ok}}} + V_{\mathrm{K}} = \frac{f_{\mathrm{Obj}}}{f_{\mathrm{Ok}}} Neben der (verhältnismäßig geringen) Vergrößerung des Sehwinkels bewirkt das Linsensystem eines Kepler-Fernrohrs, dass die gesamte auf das Objektiv @@ -278,11 +278,11 @@ einfallende Lichtmenge auf die deutlich kleinere Okularlinse gebündelt und und damit vom Auge wahrgenommen wird; das vom Fernrohr erzeugte Bild erscheint somit heller. -Die Mindestlänge :math:`l _{\rm{K}}` eines Kepler-Fernrohrs ist gleich der -Summe der Brennweiten des Objektivs und Okulars, also :math:`l _{\rm{K}} = f -_{\rm{Obj}} + f _{\rm{Ok}}`. Der Grund hierfür ist, dass sich das erzeugte -Zwischenbild (knapp) außerhalb der Brennweite :math:`f _{\rm{Obj}}` des -Objektivs und nahezu an der Brennweite :math:`f _{\rm{Ok}}` des Okulars +Die Mindestlänge :math:`l_{\mathrm{K}}` eines Kepler-Fernrohrs ist gleich der +Summe der Brennweiten des Objektivs und Okulars, also :math:`l_{\mathrm{K}} = f +_{\mathrm{Obj}} + f_{\mathrm{Ok}}`. Der Grund hierfür ist, dass sich das erzeugte +Zwischenbild (knapp) außerhalb der Brennweite :math:`f_{\mathrm{Obj}}` des +Objektivs und nahezu an der Brennweite :math:`f_{\mathrm{Ok}}` des Okulars befindet. .. .. rubric:: Variante: Das Spiegelteleskop @@ -378,20 +378,20 @@ parallel zu den ursprünglichen Strahlen verlaufen. Ein Galilei-Fernrohr erzeugt also kein Zwischenbild, sondern vergrößert lediglich den Sehwinkel, unter dem der betrachtete Gegenstand erscheint. Die Vergrößerung :math:`V` eines Galilei-Fernrohrs kann -- ebenso wie bei einem -Kepler-Fernrohr -- anhand der (positiven) Brennweiten :math:`f _{\rm{Obj}}` und -:math:`f _{\rm{Ok}}` der beiden Linsen berechnet werden: +Kepler-Fernrohr -- anhand der (positiven) Brennweiten :math:`f_{\mathrm{Obj}}` und +:math:`f_{\mathrm{Ok}}` der beiden Linsen berechnet werden: .. math:: :label: eqn-fernrohr-galilei - V _{\rm{G}} = \frac{f _{\rm{Obj}}}{f _{\rm{Ok}}} + V_{\mathrm{G}} = \frac{f_{\mathrm{Obj}}}{f_{\mathrm{Ok}}} -Die Mindestlänge :math:`l _{\rm{G}}` eines Kepler-Fernrohrs ist gleich der -Differenz der Brennweiten des Objektivs und Okulars, also :math:`l _{\rm{G}} = f -_{\rm{Obj}} - f _{\rm{Ok}}`. Der Grund hierfür ist, dass die Brennweite der -Okularlinse so gewählt wird, dass die Brennpunkte beider Linsen zusammenfallen. -Auf diese Weise werden parallel einfallende Lichtstrahlen beim Durchlaufen des -Fernrohrs wiederum auf parallele Strahlen abgebildet. +Die Mindestlänge :math:`l_{\mathrm{G}}` eines Kepler-Fernrohrs ist gleich der +Differenz der Brennweiten des Objektivs und Okulars, also :math:`l_{\mathrm{G}} += f_{\mathrm{Obj}} - f_{\mathrm{Ok}}`. Der Grund hierfür ist, dass die +Brennweite der Okularlinse so gewählt wird, dass die Brennpunkte beider Linsen +zusammenfallen. Auf diese Weise werden parallel einfallende Lichtstrahlen beim +Durchlaufen des Fernrohrs wiederum auf parallele Strahlen abgebildet. .. raw:: html diff --git a/optik/photometrie.rst b/optik/photometrie.rst index 8a5ff7c..3639744 100644 --- a/optik/photometrie.rst +++ b/optik/photometrie.rst @@ -157,11 +157,11 @@ grundlegend: .. index:: Strahlungsfluss * Der Strahlungsfluss :math:`\varPhi` gibt an, welche Lichtleistung :math:`P - _{\rm{out}}` insgesamt von einer Lichtquelle ausgeht: + _{\mathrm{out}}` insgesamt von einer Lichtquelle ausgeht: .. math:: - \varPhi = P _{\rm{out}} + \varPhi = P_{\mathrm{out}} Die Einheit des Strahlungsflusses ist Watt :math:`(\unit{W})`. @@ -199,11 +199,11 @@ weitere Einheiten: .. index:: Bestrahlungsstärke * Die Bestrahlungsstärke :math:`E` gibt an, wie viel Watt an Lichtleistung auf - eine beleuchteter Fläche :math:`A _{\rm{b}}` auftreffen: + eine beleuchteter Fläche :math:`A_{\mathrm{b}}` auftreffen: .. math:: - E = \frac{\varPhi}{A _{\rm{b}}} + E = \frac{\varPhi}{A_{\mathrm{b}}} Die Einheit der Bestrahlungsstärke ist Watt je Quadratmeter :math:`(\unit{\frac{W}{m^2}})`. @@ -211,11 +211,11 @@ weitere Einheiten: .. index:: Strahldichte * Die Strahldichte :math:`L` gibt an, wie viel Watt an Lichtleistung von einer - leuchtenden Fläche :math:`A _{\rm{l}}` im Raumwinkel :math:`\Omega` ausgehen: + leuchtenden Fläche :math:`A_{\mathrm{l}}` im Raumwinkel :math:`\Omega` ausgehen: .. math:: - L = \frac{I}{A _{\rm{l}}} + L = \frac{I}{A_{\mathrm{l}}} Die Einheit der Strahldichte ist Watt je Quadratmeter und Steradiant :math:`(\unit{\frac{W}{m^2 \cdot sr}})`. @@ -248,12 +248,12 @@ angibt: .. math:: :label: eqn-spektrale-gewichtungsfunktion - K (\lambda) = V (\lambda) \cdot K (\lambda _{\rm{max}}) + K (\lambda) = V (\lambda) \cdot K (\lambda_{\mathrm{max}}) Der Gewichtungsfaktor :math:`V (\lambda)` hat keine Einheit, sein Wert liegt zwischen :math:`0` und :math:`1`. Der zweite Faktor :math:`K (\lambda -_{\rm{max}})`, auch photometrischen Äquivalent genannt, ist für das Tagsehen auf -:math:`K (\lambda _{\rm{max}}) = \unit[683]{\frac{lm}{W}}` festgelegt. Dieser +_{\mathrm{max}})`, auch photometrischen Äquivalent genannt, ist für das Tagsehen auf +:math:`K (\lambda_{\mathrm{max}}) = \unit[683]{\frac{lm}{W}}` festgelegt. Dieser Wert wurde so gewählt, weil bei dieser Strahlungsleistung eine monochromatische Lichtquelle mit :math:`\lambda = \unit[555]{nm}` Wellenlänge als ebenso hell empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von @@ -262,11 +262,11 @@ empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von .. index:: Lichtstrom, Lumen -* Für den Lichtstrom :math:`\varPhi _{\rm{\nu}}` gilt: +* Für den Lichtstrom :math:`\varPhi_{\mathrm{\nu}}` gilt: .. math:: - \varPhi _{\rm{\nu}} = K (\lambda) \cdot \varPhi + \varPhi_{\mathrm{\nu}} = K (\lambda) \cdot \varPhi Die Einheit des Lichtstroms ist Lumen :math:`(\unit{lm})`. Es gilt: @@ -276,11 +276,11 @@ empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von .. index:: Lichtstärke -* Für die Lichtstärke :math:`I _{\rm{\nu}}` gilt: +* Für die Lichtstärke :math:`I_{\mathrm{\nu}}` gilt: .. math:: - I _{\rm{\nu}} = K (\lambda) \cdot I + I_{\mathrm{\nu}} = K (\lambda) \cdot I Die Einheit der Lichtstärke ist die SI-Basiseinheit Candela :math:`(\unit{cd})`. @@ -288,11 +288,11 @@ empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von .. index:: Beleuchtungsstärke, Lux -* Für die Beleuchtungsstärke :math:`E _{\rm{\nu}}` gilt: +* Für die Beleuchtungsstärke :math:`E_{\mathrm{\nu}}` gilt: .. math:: - E _{\rm{\nu}} = K (\lambda) \cdot E + E_{\mathrm{\nu}} = K (\lambda) \cdot E Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist Lux :math:`(\unit{lx})`. Es gilt: @@ -302,11 +302,11 @@ empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von .. index:: Leuchtdichte, Nit -* Für die Leuchtdichte :math:`L _{\rm{\nu}}` gilt: +* Für die Leuchtdichte :math:`L_{\mathrm{\nu}}` gilt: .. math:: - L _{\rm{\nu}} = K (\lambda) \cdot E + L_{\mathrm{\nu}} = K (\lambda) \cdot E Die Einheit der Beleuchtungsstärke ist Nit :math:`(\unit{nt})`. Es gilt: @@ -329,8 +329,8 @@ empfunden wird wie eine Lichtquelle mit einer Lichtstärke von einer Wellenlänge von :math:`\unit[555]{nm}` und einer Strahlstärke von :math:`\unit[\frac{1}{683}]{\frac{W}{sr}}` abgegeben wird. - Für das Nachtsehen ist :math:`\lambda _{\rm{max}} = \unit[507]{nm}` und - :math:`K (\lambda _{\rm{max}}) = \unit[1699]{\frac{lm}{W}}`. + Für das Nachtsehen ist :math:`\lambda_{\mathrm{max}} = \unit[507]{nm}` und + :math:`K (\lambda_{\mathrm{max}}) = \unit[1699]{\frac{lm}{W}}`. diff --git a/optik/wellenoptik.rst b/optik/wellenoptik.rst index 4e704fa..4986da5 100644 --- a/optik/wellenoptik.rst +++ b/optik/wellenoptik.rst @@ -63,8 +63,8 @@ einem bestimmten Zeitpunkt einen Wellenberg darstellen. Das Huygensche Prinzip kann also als eine Art geometrische Konstruktionshilfe aufgefasst werden, die beispielsweise zum Zeichnen der Ausbreitung einer Welle genutzt werden kann. Ist eine gleichmäßig verlaufende Welle weit vom ursprünglichen Erregerzentrum -entfernt, so verlaufen die Wellenfronten bzw. die Ausbreitungsrichtungen nahezu -geradlinig und parallel. +entfernt, so verlaufen die Wellenfronten beziehungsweise die +Ausbreitungsrichtungen nahezu geradlinig und parallel. .. figure:: ../pics/optik/lichtwellen-beugungsmuster.png @@ -97,7 +97,7 @@ Spaltöffnung der Blende als gemeinsames Zentrum haben. [#]_ .. rubric:: Beugung und Interferenz an einem Doppelspalt -Hat eine Blende zwei schmale, im Abstand :math:`s _{\rm{D}}` voneinander +Hat eine Blende zwei schmale, im Abstand :math:`s_{\mathrm{D}}` voneinander entfernte Öffnungen, so teilt sich eine einfallende Lichtwelle hinter der Blende in zwei kreisförmige, von den beiden Öffnungen aus verlaufende Wellen auf. Diese Wellen überlagern sich, so dass es an bestimmten Stellen zu konstruktiver, an @@ -171,14 +171,14 @@ verlaufen die Lichtwellen anschließend in Gegenphase, es tritt also destruktive Interferenz auf. Wie weit die hellen und dunklen Streifen auf dem Schirm auseinander liegen bzw. -unter welchen Winkeln :math:`\alpha _{k}` sie erscheinen, ist somit von der +unter welchen Winkeln :math:`\alpha_{k}` sie erscheinen, ist somit von der Wellenlänge :math:`\lambda` abhängig. Bezüglich des Winkels :math:`\alpha -_{\rm{k}}` gelten zudem folgende geometrische Beziehungen: +_{\mathrm{k}}` gelten zudem folgende geometrische Beziehungen: .. Beispielsweise werden so die Maxima von -.. rotem Licht mit :math:`\lambda _{\rm{rot}} = \unit[700]{nm}` weiter -.. "aufgefächert" als die Maxima von blauem Licht mit :math:`\lambda _{\rm{blau}} = +.. rotem Licht mit :math:`\lambda_{\mathrm{rot}} = \unit[700]{nm}` weiter +.. "aufgefächert" als die Maxima von blauem Licht mit :math:`\lambda_{\mathrm{blau}} = .. \unit[450]{nm}`. * Der Abstand :math:`s \approx \unit[5]{m}` zwischen dem Doppelspalt und dem @@ -341,9 +341,9 @@ schmale Blende) begrenzt werden. Die Spaltöffnung wirkt in diesem Fall in guter Näherung wie eine einzige punktförmige Lichtquelle, so dass die einzelnen Lichtwellen hinter dem Spalt eine (nahezu) konstante Phasenlage zueinander aufweisen, und somit einzelne Wellen gleicher Wellenlänge jeweils :ref:`kohärent -` sind. Bei der Verwendung von Lasern kann die spaltartige Blende vor -dem Gitter weggelassen werden, da Laser aufgrund ihres besonderen Aufbaus -bereits von sich aus kohärentes Licht erzeugen. +` sind. Bei der Verwendung von Lasern kann die +spaltartige Blende vor dem Gitter weggelassen werden, da Laser aufgrund ihres +besonderen Aufbaus bereits von sich aus kohärentes Licht erzeugen. .. index:: single: Spektrometer ; Gitterspektrometer diff --git a/pics/akustik/doppler-effekt.png b/pics/akustik/doppler-effekt.png new file mode 100644 index 0000000..10dd4e0 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/doppler-effekt.png differ diff --git a/pics/akustik/doppler-effekt.svg b/pics/akustik/doppler-effekt.svg new file mode 100644 index 0000000..354e589 --- /dev/null +++ b/pics/akustik/doppler-effekt.svg @@ -0,0 +1,1145 @@ + + + + + + + + Doppler-Effekt + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Doppler-Effekt + + 2016-03-26 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + de-DE + + + Physik + Akustik + Doppler-Effekt + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-1.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-1.pdf new file mode 100644 index 0000000..7615645 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-1.pdf differ diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-2.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-2.pdf new file mode 100644 index 0000000..0b8647f Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt-2.pdf differ diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt.pdf new file mode 100644 index 0000000..12ec0b2 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-doppler-effekt.pdf differ diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-1.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-1.pdf new file mode 100644 index 0000000..7bf8a21 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-1.pdf differ diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-2.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-2.pdf new file mode 100644 index 0000000..caa9590 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel-2.pdf differ diff --git a/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel.pdf b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel.pdf new file mode 100644 index 0000000..d2cd264 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/folienvorlage-mach-kegel.pdf differ diff --git a/pics/akustik/frequenz-und-wellenlaenge.png b/pics/akustik/frequenz-und-wellenlaenge.png index 6b74fce..cb0336b 100644 Binary files a/pics/akustik/frequenz-und-wellenlaenge.png and b/pics/akustik/frequenz-und-wellenlaenge.png differ diff --git a/pics/akustik/isophone-lautstaerkepegel.png b/pics/akustik/isophone-lautstaerkepegel.png index 134a8d4..d86f6d8 100644 Binary files a/pics/akustik/isophone-lautstaerkepegel.png and b/pics/akustik/isophone-lautstaerkepegel.png differ diff --git a/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.png b/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.png index 3a95fa8..8dd08f8 100644 Binary files a/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.png and b/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.png differ diff --git a/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.svg b/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.svg index 763b89f..10fceee 100644 --- a/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.svg +++ b/pics/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.svg @@ -25,9 +25,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="0.38889128" - inkscape:cx="351.41362" - inkscape:cy="1317.7785" + inkscape:zoom="0.37142155" + inkscape:cx="524.75658" + inkscape:cy="1246.6558" inkscape:document-units="cm" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -715,7 +715,7 @@ inkscape:export-ydpi="150" /> @@ -987,12 +987,12 @@ inkscape:connector-curvature="0" id="path18631" d="m 610.85067,299.31969 c 0.99548,-25.00112 1.22077,-50.00224 3.2956,-75.00336 2.07895,-14.92002 2.96719,-8.4073 3.86381,-2.04555 l 4.43202,58.75264 c 1.13641,10.96461 2.50011,5.67617 3.40924,-5.90936 1.77089,-17.75684 2.87633,-6.00913 3.2956,0.11364 0.93923,28.65287 2.25727,57.17947 5.00023,85.2311 3.9174,33.98603 6.09203,-7.98167 7.27305,-23.18286 l 2.50011,-64.32107 c 2.63199,-32.00875 4.24827,-22.88147 5.68208,-6.36392 0.90605,19.85553 2.24053,38.85421 3.75016,57.50258 1.01332,15.84237 2.24548,18.33571 3.86381,-2.72739 l 1.59099,-24.31928 c 0.90913,-11.03888 1.81826,-11.23156 2.72739,-2.27283 1.43946,12.69974 2.87892,25.71875 4.31838,37.2744 4.65971,28.95163 4.94891,11.63713 6.13663,1.81827 l 1.3637,-34.77429" - style="color:#000000;fill:none;stroke:#0000ff;stroke-width:1;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" + style="color:#000000;fill:none;stroke:#008000;stroke-width:1;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/akustik/klangmuster-verschiedener-instrumente.png" inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-ydpi="150" /> Orgel @@ -1130,7 +1130,7 @@ style="fill:none;stroke:#000000;stroke-width:3.00000095;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;marker-end:url(#TriangleOutM);display:inline" /> @@ -1252,7 +1252,7 @@ id="tspan18997" sodipodi:role="line">Klavier diff --git a/pics/akustik/mach-kegel.png b/pics/akustik/mach-kegel.png new file mode 100644 index 0000000..55ecfe5 Binary files /dev/null and b/pics/akustik/mach-kegel.png differ diff --git a/pics/akustik/mach-kegel.svg b/pics/akustik/mach-kegel.svg new file mode 100644 index 0000000..a62cd95 --- /dev/null +++ b/pics/akustik/mach-kegel.svg @@ -0,0 +1,1162 @@ + + + + + + + + Doppler-Effekt + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Doppler-Effekt + + 2016-03-26 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + de-DE + + + Physik + Akustik + Doppler-Effekt + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/akustik/schallpegel.png b/pics/akustik/schallpegel.png index 16f9785..30097a4 100644 Binary files a/pics/akustik/schallpegel.png and b/pics/akustik/schallpegel.png differ diff --git a/pics/akustik/schallquelle.png b/pics/akustik/schallquelle.png index b6524d4..7f80ee3 100644 Binary files a/pics/akustik/schallquelle.png and b/pics/akustik/schallquelle.png differ diff --git a/pics/atomphysik/atommodell-bohr.png b/pics/atomphysik/atommodell-bohr.png index a10b487..151fae7 100644 Binary files a/pics/atomphysik/atommodell-bohr.png and b/pics/atomphysik/atommodell-bohr.png differ diff --git a/pics/atomphysik/atommodell-demokrit.png b/pics/atomphysik/atommodell-demokrit.png index d499904..ef0f8d0 100644 Binary files a/pics/atomphysik/atommodell-demokrit.png and b/pics/atomphysik/atommodell-demokrit.png differ diff --git a/pics/atomphysik/atommodell-rutherford.png b/pics/atomphysik/atommodell-rutherford.png index 904471a..2150a31 100644 Binary files a/pics/atomphysik/atommodell-rutherford.png and b/pics/atomphysik/atommodell-rutherford.png differ diff --git a/pics/atomphysik/atommodell-thomson.png b/pics/atomphysik/atommodell-thomson.png index 55fd7d7..eebc766 100644 Binary files a/pics/atomphysik/atommodell-thomson.png and b/pics/atomphysik/atommodell-thomson.png differ diff --git a/pics/atomphysik/atomschalen-periodensystem.png b/pics/atomphysik/atomschalen-periodensystem.png index 60ffe35..c45325b 100644 Binary files a/pics/atomphysik/atomschalen-periodensystem.png and b/pics/atomphysik/atomschalen-periodensystem.png differ diff --git a/pics/atomphysik/bindungsenergie-je-nukleon.png b/pics/atomphysik/bindungsenergie-je-nukleon.png index 7a2a0ac..1a96a21 100644 Binary files a/pics/atomphysik/bindungsenergie-je-nukleon.png and b/pics/atomphysik/bindungsenergie-je-nukleon.png differ diff --git a/pics/atomphysik/d-orbitale.png b/pics/atomphysik/d-orbitale.png index fe4788b..c5f39a4 100644 Binary files a/pics/atomphysik/d-orbitale.png and b/pics/atomphysik/d-orbitale.png differ diff --git a/pics/atomphysik/orbitalenergie.png b/pics/atomphysik/orbitalenergie.png index 640dfe7..1fa6c84 100644 Binary files a/pics/atomphysik/orbitalenergie.png and b/pics/atomphysik/orbitalenergie.png differ diff --git a/pics/atomphysik/p-orbital.png b/pics/atomphysik/p-orbital.png index e4c7799..eac31db 100644 Binary files a/pics/atomphysik/p-orbital.png and b/pics/atomphysik/p-orbital.png differ diff --git a/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png b/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png deleted file mode 120000 index b7d4ef3..0000000 --- a/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png +++ /dev/null @@ -1 +0,0 @@ -/home/waldgeist/data/homepage/grund-wissen/chemie/pics/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png \ No newline at end of file diff --git a/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png b/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png new file mode 100644 index 0000000..b301b2f Binary files /dev/null and b/pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png differ diff --git a/pics/atomphysik/s-orbital.png b/pics/atomphysik/s-orbital.png index 4dbf5d0..76c5134 100644 Binary files a/pics/atomphysik/s-orbital.png and b/pics/atomphysik/s-orbital.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/bandgenerator.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/bandgenerator.png index 714c1f3..fa7193e 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/bandgenerator.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/bandgenerator.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/beruehrungselektrische-spannungsreihe.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/beruehrungselektrische-spannungsreihe.png index 61518c1..ffa3cc6 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/beruehrungselektrische-spannungsreihe.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/beruehrungselektrische-spannungsreihe.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-gleichspannung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-gleichspannung.png index 61afa87..97a90c8 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-gleichspannung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-gleichspannung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-ohmsches-gesetz.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-ohmsches-gesetz.png index d4a78e2..08a69e2 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-ohmsches-gesetz.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-ohmsches-gesetz.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-wechselspannung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-wechselspannung.png index 0c05084..1448343 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-wechselspannung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diagramm-wechselspannung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diamagnetismus-paramagnetismus-ferromagnetismus.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diamagnetismus-paramagnetismus-ferromagnetismus.png index 4e392a5..156430c 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/diamagnetismus-paramagnetismus-ferromagnetismus.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/diamagnetismus-paramagnetismus-ferromagnetismus.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.png index f291da4..0f224cc 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.svg b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.svg index d489deb..6c9f5d5 100644 --- a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.svg +++ b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektrischer-dipol.svg @@ -24,9 +24,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="0.94547911" - inkscape:cx="527.50745" - inkscape:cy="602.8136" + inkscape:zoom="0.63852196" + inkscape:cx="632.2522" + inkscape:cy="577.79533" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -287,17 +287,17 @@ 2015-02-07 - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz de-DE diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektromotor.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektromotor.png index 51ceebb..8aa5263 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektromotor.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektromotor.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop-funktionsweise.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop-funktionsweise.png index 55bda0c..8a929fc 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop-funktionsweise.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop-funktionsweise.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop.png index 0881d52..5406cd3 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elektroskop.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elementarmagnete.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elementarmagnete.png index 853a4ec..97c9632 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/elementarmagnete.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/elementarmagnete.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.png index bbf7eda..72acb81 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.svg b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.svg index 22c46b1..ffc7654 100644 --- a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.svg +++ b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-elektrische-ladungen.svg @@ -225,9 +225,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="0.33427734" - inkscape:cx="760.7572" - inkscape:cy="646.77639" + inkscape:zoom="0.4515032" + inkscape:cx="377.53307" + inkscape:cy="634.17509" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -338,17 +338,17 @@ 2015-02-05 - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz de-DE diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-stabmagnet.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-stabmagnet.png index acf6e2d..db4eabb 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-stabmagnet.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/feldlinien-stabmagnet.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/glimmlampe.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/glimmlampe.png index 8ae9ec5..68c5060 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/glimmlampe.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/glimmlampe.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-durchlassrichtung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-durchlassrichtung.png index 9e4e9a2..8203e78 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-durchlassrichtung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-durchlassrichtung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-sperrrichtung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-sperrrichtung.png index 76dfb52..a7bc201 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-sperrrichtung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang-sperrrichtung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang.png index 2a6d5f0..acfab57 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-n-p-uebergang.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-n-dotierung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-n-dotierung.png index 74885f6..cd45ad2 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-n-dotierung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-n-dotierung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-p-dotierung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-p-dotierung.png index 02b967f..d039404 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-p-dotierung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium-p-dotierung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium.png index 07316a3..a0852fb 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/halbleiter-silicium.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/isolator-natriumchlorid.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/isolator-natriumchlorid.png index dbb30a1..5ad2c74 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/isolator-natriumchlorid.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/isolator-natriumchlorid.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/klingel.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/klingel.png index ecd01c7..f1a3a37 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/klingel.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/klingel.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/ladung-kraftwirkung.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/ladung-kraftwirkung.png index c5297b4..a0f9992 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/ladung-kraftwirkung.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/ladung-kraftwirkung.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/leiter-metall.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/leiter-metall.png index 6ee64be..ba24916 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/leiter-metall.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/leiter-metall.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/lorentzkraft-drei-finger-regel.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/lorentzkraft-drei-finger-regel.png index ef48016..ccd22a5 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/lorentzkraft-drei-finger-regel.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/lorentzkraft-drei-finger-regel.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiter-rechte-hand-regel.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiter-rechte-hand-regel.png index e924704..d990950 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiter-rechte-hand-regel.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiter-rechte-hand-regel.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiterschleife.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiterschleife.png index b52eba8..86129e6 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiterschleife.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-leiterschleife.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-spule-rechte-hand-regel.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-spule-rechte-hand-regel.png index 9a37e07..b06c7a4 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-spule-rechte-hand-regel.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/magnetfeld-spule-rechte-hand-regel.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.png new file mode 100644 index 0000000..e7c8551 Binary files /dev/null and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.svg b/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.svg new file mode 100644 index 0000000..07fbb02 --- /dev/null +++ b/pics/elektrizitaet-magnetismus/millikan-versuch.svg @@ -0,0 +1,1565 @@ + + + + + + + + + + Millikan-Versuch + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Millikan-Versuch + 2016-04-04 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + de-DE + + + Physik + Elektrizität + Elektrisches Feld + Plattenkondesator + Millikan-Versuch + Elementarladung + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/phasenpruefer.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/phasenpruefer.png index 4364a31..c290594 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/phasenpruefer.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/phasenpruefer.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.png index dd08b03..e4ff906 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.svg b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.svg index 021a2cb..048abaf 100644 --- a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.svg +++ b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-influenz.svg @@ -24,9 +24,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="0.66855469" - inkscape:cx="276.34271" - inkscape:cy="391.76111" + inkscape:zoom="0.86244166" + inkscape:cx="437.21087" + inkscape:cy="651.18032" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -43,7 +43,7 @@ inkscape:snap-object-midpoints="true" showguides="true" inkscape:guide-bbox="true" - inkscape:snap-global="true"> + inkscape:snap-global="false"> 2015-02-10 - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz de-DE @@ -357,10 +357,10 @@ inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-ydpi="150" /> + inkscape:transform-center-x="-164.33529" /> + inkscape:transform-center-x="-164.33529" /> + inkscape:transform-center-x="-164.33529" /> + inkscape:transform-center-x="-164.33529" /> + inkscape:transform-center-x="-164.33529" /> + inkscape:transform-center-x="82.615586" + inkscape:transform-center-y="0.038432434" /> + inkscape:transform-center-x="82.615586" + inkscape:transform-center-y="0.038432434" /> + inkscape:transform-center-x="82.615587" + inkscape:transform-center-y="0.038432434" /> + inkscape:transform-center-x="82.615586" + inkscape:transform-center-y="0.038432434" /> diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png index 1d7d15c..0dd0dab 100644 Binary files a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png and b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png differ diff --git a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.svg b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.svg index 180419b..3522803 100644 --- a/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.svg +++ b/pics/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.svg @@ -24,9 +24,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="0.47273955" - inkscape:cx="-132.32104" - inkscape:cy="567.19963" + inkscape:zoom="0.9030064" + inkscape:cx="378.83027" + inkscape:cy="523.65449" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -287,17 +287,17 @@ 2015-02-10 - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz de-DE @@ -358,11 +358,11 @@ inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-ydpi="150" /> @@ -1158,17 +1158,17 @@ inkscape:export-ydpi="150" inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png" - style="color:#000000;fill:#800080;fill-opacity:1;stroke:#800080;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;marker-end:url(#Arrow2Mend);visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" - d="m 256.13562,431.15016 241.83129,10e-6" + 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inkscape:transform-center-x="-164.22367" /> @@ -1212,17 +1212,17 @@ inkscape:export-ydpi="150" inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png" - style="color:#000000;fill:#800080;fill-opacity:1;stroke:#800080;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;marker-end:url(#Arrow2Mend);visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" - d="m 256.13562,627.91036 241.83129,10e-6" + style="color:#000000;fill:#800080;fill-opacity:1;stroke:#800080;stroke-width:1.99999976;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;marker-end:url(#Arrow2Mend);visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" + d="m 256.13562,627.5822 238.33139,1e-5" id="path8717" inkscape:connector-curvature="0" - inkscape:transform-center-x="-166.62319" /> + inkscape:transform-center-x="-164.22367" /> @@ -1230,11 +1230,11 @@ inkscape:export-ydpi="150" inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/elektrizitaet-magnetismus/plattenkondensator-polarisation.png" - style="color:#000000;fill:#800080;fill-opacity:1;stroke:#800080;stroke-width:1.99999988;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;marker-end:url(#Arrow2Mend);visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" - d="m 256.13562,693.49708 241.83129,10e-6" + style="color:#000000;fill:#800080;fill-opacity:1;stroke:#800080;stroke-width:1.99999976;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:round;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:none;stroke-dashoffset:0;marker:none;marker-end:url(#Arrow2Mend);visibility:visible;display:inline;overflow:visible;enable-background:accumulate" + d="m 256.13562,693.49708 238.33139,10e-6" id="path8721" inkscape:connector-curvature="0" - inkscape:transform-center-x="-166.62319" /> + inkscape:transform-center-x="-164.22367" /> + inkscape:snap-global="false"> 2015-02-08 - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz - Berhnard Grotz + Bernhard Grotz de-DE @@ -346,10 +346,10 @@ inkscape:export-xdpi="150" inkscape:export-ydpi="150" /> + inkscape:transform-center-x="-164.11081" /> + inkscape:transform-center-x="-164.11081" /> + inkscape:transform-center-x="-164.11081" /> + inkscape:transform-center-x="-164.11081" /> + inkscape:transform-center-x="-164.11081" /> + y="375.60428" /> + + + + + Schweredruck und Auftriebskraft + + + - @@ -1395,13 +1424,21 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/benetzbarkeit.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/benetzbarkeit.png index f28c808..74c231f 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/benetzbarkeit.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/benetzbarkeit.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.png new file mode 100644 index 0000000..3108cee Binary files /dev/null and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.svg b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.svg new file mode 100644 index 0000000..9cf00f7 --- /dev/null +++ b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/biegung.svg @@ -0,0 +1,361 @@ + + + + + Dehnung + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Dehnung + 2015-01-15 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + de-DE + + + Physik + Mechanik + Mechanik der Festkoerper + Dehnung + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.png index cecf7b9..553b17d 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.svg b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.svg index 6d4f623..dc07fa1 100644 --- a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.svg +++ b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dehnung.svg @@ -26,9 +26,9 @@ borderopacity="1.0" inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" - inkscape:zoom="2.399609" - inkscape:cx="192.72546" - inkscape:cy="247.82285" + inkscape:zoom="0.81027863" + inkscape:cx="449.3691" + inkscape:cy="381.06314" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -45,28 +45,7 @@ inkscape:snap-page="true" inkscape:snap-global="true" showguides="true" - inkscape:guide-bbox="true"> - - - - - - + inkscape:guide-bbox="true" /> Physik Mechanik + Mechanik der Festkoerper Dehnung diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.png new file mode 100644 index 0000000..0b843c7 Binary files /dev/null and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.svg b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.svg new file mode 100644 index 0000000..c9e1cdb --- /dev/null +++ b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-boyle-mariotte.svg @@ -0,0 +1,1882 @@ + + + + + + Diagramm Boyle-Mariottesches Gesetz + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Diagramm Boyle-Mariottesches Gesetz + + + Physik + Mechanik + Fluide + Gase + Boyle-Mariottesches Gesetz + + + de-DE + 2016-05-15 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-dehnung.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-dehnung.png index 950a36c..48456fe 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-dehnung.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-dehnung.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-luftdruck-hoehe.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-luftdruck-hoehe.png index 6ab3ec2..a76afb5 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-luftdruck-hoehe.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/diagramm-luftdruck-hoehe.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dichtemessung-araeometer.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dichtemessung-araeometer.png index 9979cdb..184cc0d 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dichtemessung-araeometer.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/dichtemessung-araeometer.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druck-in-fluessigkeiten.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druck-in-fluessigkeiten.png index 8a4a826..a32b07b 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druck-in-fluessigkeiten.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druck-in-fluessigkeiten.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckausbreitung.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckausbreitung.png index 785f3ac..b2d468a 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckausbreitung.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckausbreitung.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-messblende.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-messblende.png index 48d5df7..2fb9bde 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-messblende.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-messblende.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-prandtlsches-staurohr.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-prandtlsches-staurohr.png index f95e032..1bdebfb 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-prandtlsches-staurohr.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-prandtlsches-staurohr.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png index b76f231..e685d0e 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-statisch-dynamisch.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png index 91cc2aa..d646270 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckmessung-venturi-rohr.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckwandler.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckwandler.png index e457557..40185b5 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckwandler.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/druckwandler.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png index 51f6171..abbc693 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.svg b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.svg index c1e069e..0719c2f 100644 --- a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.svg +++ b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.svg @@ -17,8 +17,6 @@ version="1.1" inkscape:version="0.48.4 r9939" sodipodi:docname="geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.svg"> - Geschwindigkeitsprofil einer duennen Fluessigkeitsschicht + id="guide5127" /> + id="guide5129" /> + id="guide4838" /> + orientation="0,1" /> + orientation="0,1" /> + Geschwindigkeitsprofil einer duennen Fluessigkeitsschicht + id="defs4"> + + + + @@ -126,222 +140,239 @@ + id="layer1"> - - + + inkscape:export-xdpi="150" + inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png" + id="g4808"> - + d="m 213.89649,543.58084 321.12627,0" + style="fill:none;stroke:#9b9c9f;stroke-width:10;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1" /> + inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png" + style="fill:none;stroke:#0000ff;stroke-width:2;stroke-linecap:round;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-opacity:1;stroke-dasharray:1.99999998, 5.99999995;stroke-dashoffset:0" + d="m 470.21314,505.46753 -53.83616,79.42258" + id="path4804" + inkscape:connector-curvature="0" + sodipodi:nodetypes="cc" /> - - + inkscape:export-filename="/home/waldgeist/data/homepage/pics/physik/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-duenne-fluessigkeitsschicht.png" + ns0:text="$\\vec{v}_{\\rm{}}$" + ns0:preamble="/home/waldgeist/sandbox/homepage/inkscape-preamble.tex" + transform="matrix(4.5427131,0,0,4.5427131,-658.67097,-57.94574)" + style="fill:#0000ff;stroke:#0000ff" + id="g5012"> + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - + - - - + inkscape:export-ydpi="150" /> + + id="defs30397"> + id="g30399"> + id="textext-b03cd375-3" + style="fill:#d40000;stroke:#d40000"> + id="g30411" + style="fill:#d40000;fill-opacity:1;stroke:#d40000"> + id="g30415" + style="fill:#d40000;fill-opacity:1;stroke:#d40000"> + + diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-laminare-stroemung.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-laminare-stroemung.png index c3f6b7b..684ef1d 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-laminare-stroemung.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/geschwindigkeitsprofil-laminare-stroemung.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulik-bremse.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulik-bremse.png index 67bfd70..119678e 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulik-bremse.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulik-bremse.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulische-anlage.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulische-anlage.png index b1fc256..405e6b7 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulische-anlage.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/hydraulische-anlage.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kommunizierende-gefaesse.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kommunizierende-gefaesse.png index 004169f..8678677 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kommunizierende-gefaesse.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kommunizierende-gefaesse.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kontinuitaetsbedingung-bernoulli.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kontinuitaetsbedingung-bernoulli.png index 0decafa..b997af7 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kontinuitaetsbedingung-bernoulli.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kontinuitaetsbedingung-bernoulli.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/kugelfall-viskosimeter.png 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Prinzip eines Kugelfall-Viskosimeters + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + 2016-03-28 + + + Physik + Mechanik der Fluessigkeiten + Viskositaet + Kugelfall-Viskosimeter + Stokessche Reibung + + + + de-DE + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/luftdruck.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/luftdruck.png index c236c01..d21551e 100644 Binary files a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/luftdruck.png and b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/luftdruck.png differ diff --git a/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/newtonsche-fluessigkeit.png b/pics/mechanik/festkoerper-fluessigkeiten-und-gase/newtonsche-fluessigkeit.png index 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+ + + + + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + Temperaturaenderung durch Waermezufuhr bei Phasenuebergaengen + 2016-05-17 + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + + + Bernhard Grotz + + + de_DE + + + Physik + Waermelehre + Phasenuebergaenge + Latente Waerme + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 500 + 20 + + 40 + + 1000 + 60 + 80 + 100 + + + 0 + + 20 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 120 + 1500 + 2000 + 3000 + 3500 + 2500 + + + + diff --git a/pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png b/pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png index 50b4346..4e15495 100644 Binary files a/pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png and b/pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png differ diff --git a/pics/waermelehre/phasenuebergaenge.png b/pics/waermelehre/phasenuebergaenge.png index 64175c1..62defdc 100644 Binary files a/pics/waermelehre/phasenuebergaenge.png and b/pics/waermelehre/phasenuebergaenge.png differ diff --git a/pics/waermelehre/spezifische-waermekapazitaet-gase.png b/pics/waermelehre/spezifische-waermekapazitaet-gase.png index 735528e..4a22ac9 100644 Binary files a/pics/waermelehre/spezifische-waermekapazitaet-gase.png and b/pics/waermelehre/spezifische-waermekapazitaet-gase.png differ diff --git a/pics/waermelehre/thermometer.png b/pics/waermelehre/thermometer.png index 2c6b51d..e8d24bb 100644 Binary files a/pics/waermelehre/thermometer.png and b/pics/waermelehre/thermometer.png differ diff --git a/pics/waermelehre/waermestrahlung-schwarzer-koerper.png b/pics/waermelehre/waermestrahlung-schwarzer-koerper.png index fae6227..2ad740b 100644 Binary files a/pics/waermelehre/waermestrahlung-schwarzer-koerper.png and b/pics/waermelehre/waermestrahlung-schwarzer-koerper.png differ diff --git a/pics/waermelehre/zweiter-hauptsatz-waermestrom.png b/pics/waermelehre/zweiter-hauptsatz-waermestrom.png index a6106a5..41d3624 100644 Binary files a/pics/waermelehre/zweiter-hauptsatz-waermestrom.png and b/pics/waermelehre/zweiter-hauptsatz-waermestrom.png differ diff --git a/tabellen.rst b/tabellen.rst index 4cd2381..e260ba9 100644 --- a/tabellen.rst +++ b/tabellen.rst @@ -26,6 +26,9 @@ aufgelistet. * - adhaerere - aneinander haften - Adhäsionskraft + * - aggregare + - sich ansammeln + - Aggregatszustand * - area - Fläche - Areal; area = Fläche (en.) @@ -1134,7 +1137,7 @@ Periodensystem der Elemente \newpage \newgeometry{left=1cm, right=1cm, top=1cm, bottom=1cm} \begin{landscape} - \centering\includegraphics[height=1.0\textheight]{../../pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png} + \centering\includegraphics[height=0.95\textheight]{../../pics/atomphysik/periodensystem-mit-elektronenkonfiguration.png} \end{landscape} diff --git a/waermelehre/allgemeine-gasgleichung.rst b/waermelehre/allgemeine-gasgleichung.rst index 27fde19..1544d0a 100644 --- a/waermelehre/allgemeine-gasgleichung.rst +++ b/waermelehre/allgemeine-gasgleichung.rst @@ -15,9 +15,10 @@ werden: Betrachtet man :math:`\unit[1]{mol}` eines Gases, so ist der konstante Faktor auf der rechten Seite der obigen Gleichung gleich der allgemeinen Gaskonstante -:math:`R = \unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}}`; betrachtet man :math:`\unit[n]{mol}` an -Teilchen, so ist die Konstante entsprechend :math:`n`-mal so groß. Es gilt -somit für beliebige Gasmengen innerhalb eines geschlossenen Systems: +:math:`R = \unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}}`; betrachtet man +:math:`\unit[n]{mol}` an Teilchen, so ist die Konstante entsprechend +:math:`n`-mal so groß. Es gilt somit für beliebige Gasmengen innerhalb eines +geschlossenen Systems: .. math:: :label: eqn-allgemeine-gasgleichung @@ -29,11 +30,14 @@ guter Näherung bei nicht allzu hohen Drücken auch für reale Gase. .. index:: Normalbedingungen, Normalvolumen .. _Normalvolumen: +.. _Normalvolumen eines Gases: + +.. rubric:: Normalvolumen eines Gases: Mit der Gleichung :eq:`eqn-allgemeine-gasgleichung` kann beispielsweise bestimmt werden, welches Volumen :math:`V_0` die Stoffmenge :math:`n=\unit[1]{mol}` eines idealen Gases unter Normalbedingungen, also bei einem Druck von -:math:`p=\unit[101,3]{kPa}` und einer Temperatur von :math:`T=\unit[273]{K}` +:math:`p=\unit[101,3]{kPa}` und einer Temperatur von :math:`T=\unit[273,15]{K}` einnimmt: .. math:: @@ -56,7 +60,7 @@ eines realen Gases) unter Normalbedingungen ein Volumen von rund Die allgemeine Gasgleichung stellt nicht nur einen Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur her, sondern gibt zusätzlich auch noch eine Beziehung zur Teilchenanzahl an. Da eine Stoffmenge -von :math:`n=\unit[1]{mol}` einer Anzahl von :math:`N _{\rm{A}} = +von :math:`n=\unit[1]{mol}` einer Anzahl von :math:`N_{\mathrm{A}} = \unit[6,022\cdot 10^{23}]{Teilchen}` entspricht ("Avogadro-Konstante"), folgt als weiterer Zusammenhang zwischen Stoffmenge :math:`n` und Teilchenzahl :math:`N`: @@ -64,20 +68,20 @@ als weiterer Zusammenhang zwischen Stoffmenge :math:`n` und Teilchenzahl .. math:: :label: eqn-stoffmenge-und-teilchenzahl - n = \frac{N}{N _{\rm{A}}} + n = \frac{N}{N_{\mathrm{A}}} .. index:: Molare Masse In einer Stoffmenge von :math:`\unit[n]{mol}` eines Gases sind also :math:`n -\cdot N _{\rm{A}}` Teilchen enthalten. Die Stoffmenge :math:`n` lässt sich +\cdot N_{\mathrm{A}}` Teilchen enthalten. Die Stoffmenge :math:`n` lässt sich wiederum bestimmen, wenn man die Masse :math:`m` eines Gases und seine molare -Masse :math:`m _{\rm{Mol}}` kennt: +Masse :math:`m_{\mathrm{Mol}}` kennt: .. math:: - n = \frac{m}{m _{\rm{M}}} + n = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} -Die molare Masse :math:`m _{\rm{M}}` eines Gases kann anhand der relativen +Die molare Masse :math:`m_{\mathrm{M}}` eines Gases kann anhand der relativen Atommasse :math:`u` eines Elements aus einem :ref:`Periodensystem der Elemente ` abgelesen werden. Bei Edelgasen, deren Teilchen aus einzelnen Atomen bestehen, ist die molare Masse mit der relativen @@ -87,7 +91,7 @@ entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements. *Beispiele:* -* Wie groß ist die molare Masse :math:`m _{\rm{M}}` von Helium +* Wie groß ist die molare Masse :math:`m_{\mathrm{M}}` von Helium :math:`(\ce{He})`, Stickstoff :math:`(\ce{N2})`, Sauerstoff :math:`(\ce{O2})` und Argon :math:`(\ce{Ar})`? @@ -97,7 +101,7 @@ entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements. .. math:: - m _{\rm{M,Helium}} = \unit[4]{\frac{g}{mol}} + m_{\mathrm{M,Helium}} = \unit[4]{\frac{g}{mol}} Stickstoff hat eine relative Atommasse von :math:`\unit[14]{\frac{g}{mol}}`, Sauerstoff eine relative Atommasse von :math:`\unit[16]{\frac{g}{mol}}`. @@ -107,9 +111,9 @@ entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements. .. math:: - m _{\rm{M,Stickstoff}} &= 2 \cdot \unit[14]{\frac{g}{mol}}= + m_{\mathrm{M,Stickstoff}} &= 2 \cdot \unit[14]{\frac{g}{mol}}= \unit[28]{\frac{g}{mol}} \\ - m _{\rm{M,Sauerstoff}} &= 2 \cdot \unit[16]{\frac{g}{mol}}= + m_{\mathrm{M,Sauerstoff}} &= 2 \cdot \unit[16]{\frac{g}{mol}}= \unit[32]{\frac{g}{mol}} \\ Argon hat eine relative Atommasse von :math:`\unit[40]{\frac{g}{mol}}`. Da @@ -118,7 +122,7 @@ entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements. .. math:: - m _{\rm{M,Argon}} = \unit[40]{\frac{g}{mol}} + m_{\mathrm{M,Argon}} = \unit[40]{\frac{g}{mol}} * Wie groß ist die molare Masse von Luft? @@ -130,7 +134,7 @@ entspricht die molare Masse der doppelten relativen Atommasse des Elements. .. math:: - m _{\rm{M, Luft}} = 0,78 \cdot \unit[28]{\frac{g}{mol}} + 0,21 \cdot + m_{\mathrm{M, Luft}} = 0,78 \cdot \unit[28]{\frac{g}{mol}} + 0,21 \cdot \unit[32]{\frac{g}{mol}} + 0,01 \cdot \unit[40]{\frac{g}{mol}} \approx \unit[29]{\frac{g}{mol}} @@ -140,18 +144,18 @@ Temperatur bestimmt werden: .. math:: - p \cdot V = \frac{m}{m _{\rm{M}}} \cdot R \cdot T \quad \Leftrightarrow - \quad \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m _{\rm{M}}}{R \cdot T} + p \cdot V = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} \cdot R \cdot T \quad \Leftrightarrow + \quad \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m_{\mathrm{M}}}{R \cdot T} Für Luft gilt beispielsweise unter Normalbedingungen, also bei :math:`p = \unit[101,3]{kPa}` und :math:`T = \unit[273]{K}`: .. math:: - \rho _{\rm{Luft}} = \frac{\unit[101,3 \cdot 10^3]{Pa} \cdot + \rho_{\mathrm{Luft}} = \frac{\unit[101,3 \cdot 10^3]{Pa} \cdot \unit[29]{\frac{g}{mol}}}{\unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot - \unit[273]{K}} \approx \unit[1294,9]{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot g}{N \cdot m - }} = \unit[1294,9]{\frac{ g}{m^3}} \approx \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}} + \unit[273]{K}} \approx \unit[1294,9]{\frac{\frac{N}{m^2} \cdot g}{N \cdot + m}} = \unit[1294,9]{\frac{ g}{m^3}} \approx \unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}} Hierbei wurde für die Einheit Pascal durch Newton je Quadratmeter und die Einheit Joule durch Newton mal Meter ersetzt. Der so berechnete Dichte-Wert von @@ -159,4 +163,13 @@ Luft stimmt mit experimentellen Messungen sehr gut überein. .. Reale Gase, Van-der-Waals-Gleichung +.. raw:: html + +
+ +.. hint:: + + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + diff --git a/waermelehre/aufgaben.rst b/waermelehre/aufgaben.rst index b9834f4..fddb953 100644 --- a/waermelehre/aufgaben.rst +++ b/waermelehre/aufgaben.rst @@ -2,257 +2,266 @@ :description: Übungsaufgaben zur Wärmelehre :keywords: Physik, Physik Aufgaben, Wärmelehre, Wärmelehre Aufgaben, Grundwissen, Schule, Lehrbuch + .. _Aufgaben zur Wärmelehre: Aufgaben zur Wärmelehre ======================= -.. _Aufgaben zu Temperatur und Wärme: -Aufgaben zu Temperatur und Wärme --------------------------------- +.. _Aufgaben Temperatur und Wärme: + +Temperatur und Wärme +-------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Temperatur und Wärme `. ---- -.. _Temperatur-01: +.. _wte01: * (\*) Wie viel Grad Fahrenheit entsprechen einer Temperatur von :math:`\unit[20]{\degree C}`? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Temperatur-02: +.. _wte02: -* (\*) Ab einer Körpertemperatur von über :math:`\unit[40]{\degree C }` spricht man - bei einem Menschen von "hohem Fieber". Wie viel Kelvin bzw. Grad Fahrenheit - entsprechen dieser Temperatur? +* (\*) Ab einer Körpertemperatur von über :math:`\unit[40]{\degree C }` spricht + man bei einem Menschen von "hohem Fieber". Wie viel Kelvin bzw. Grad + Fahrenheit entsprechen dieser Temperatur? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zu Wärmekapazität und Phasenübergängen: +.. _Aufgaben Wärmekapazität und Phasenübergänge: -Aufgaben zu Wärmekapazität und Phasenübergängen ------------------------------------------------ +Wärmekapazität und Phasenübergänge +---------------------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Wärmekapazität und Phasenübergänge `. ---- -.. _Wärmekapazität-und-Schmelzwärme-01: +.. _wka01: -* (\**) Welche Wärmemenge :math:`Q` ist nötig, um :math:`m=\unit[5]{kg}` Eis mit einer - Temperatur von :math:`T=\unit[0]{\degree C}` und einer spezifischen - Schmelzwärme von :math:`q _{\rm{s}} = \unit[334]{kJ/kg}` zu schmelzen? Auf +* (\**) Welche Wärmemenge :math:`Q` ist nötig, um :math:`m=\unit[5]{kg}` Eis mit + einer Temperatur von :math:`T=\unit[0]{\degree C}` und einer spezifischen + Schmelzwärme von :math:`q_{\mathrm{s}} = \unit[334]{kJ/kg}` zu schmelzen? Auf welche Temperatur :math:`T_2` könnten :math:`m=\unit[5]{kg}` Wasser mit einer Temperatur von :math:`T_1 = \unit[0]{\degree C}` und einer spezifischen Wärmemenge von :math:`c = \unit[4,2]{\frac{kJ}{kg \cdot K}}` mit der gleichen Wärmemenge erwärmt werden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur Ausbreitung von Wärme: +.. _Aufgaben Ausbreitung von Wärme: -Aufgaben zur Ausbreitung von Wärme ----------------------------------- +Ausbreitung von Wärme +--------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausbreitung von Wärme `. ---- -.. _Wärmeleitung-02: +.. _wau01: -* (\*) Wie groß ist der Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q}}` durch ein +* (\*) Wie groß ist der Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q}}` durch ein :math:`\unit[1]{m^2}` großes Fenster mit einfacher, :math:`\unit[4]{mm}` dicker Verglasung (Wärmeleitfähigkeit :math:`\lambda = \unit[1]{\frac{W}{m - \cdot K}}`), wenn die Temperatur an der Innenseite :math:`\unit[20]{°C}` und - an der Außenseite :math:`\unit[5]{°C}` beträgt? + \cdot K}}`), wenn die Temperatur an der Innenseite :math:`\unit[20]{\degree + C}` und an der Außenseite :math:`\unit[5]{\degree C}` beträgt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeleitung-03: +.. _wau02: -* (\**) Wie groß ist der Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q}}` durch ein +* (\**) Wie groß ist der Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q}}` durch ein :math:`A=\unit[2]{m^2}` großes Fenster mit doppelter Verglasung (Dicke der Scheiben je :math:`\unit[4]{mm}`, Wärmeleitfähigkeit :math:`\lambda = \unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}}`), zwischen denen ein :math:`\unit[1]{cm}` breiter Luftspalt mit einer Wärmeleitfähigkeit von :math:`\lambda_2 = \unit[0,025]{\frac{W}{m \cdot K}}` liegt? Die Temperatur an der Innenseite - beträgt wiederum :math:`\unit[20]{°C}` und an der Außenseite - :math:`\unit[5]{°C}`. + beträgt wiederum :math:`\unit[20]{\degree C}` und an der Außenseite + :math:`\unit[5]{\degree C}`. - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmestrahlung-01: +.. _wau03: * (\**) Um welchen Faktor steigt die Leistung der Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers, wenn man seine Oberflächentemperatur verdoppelt? Um welchen Faktor steigt die Strahlungsleistung, wenn die Oberflächentemperatur von :math:`T_1 = \unit[10]{\degree C}` auf :math:`T_2 = \unit[40]{\degree C}` erhöht wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur Ausdehnung bei Erwärmung: +.. _Aufgaben Ausdehnung bei Erwärmung: -Aufgaben zur Ausdehnung bei Erwärmung -------------------------------------- +Ausdehnung bei Erwärmung +------------------------ Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung `. ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-01: +.. _wde01: * (\*) Im Hochsommer wird ein Lineal aus Metall in der Sonne liegen gelassen und erwärmt sich. Kann man das erhitzte Lineal weiterhin -- trotz der Ausdehnung bei Erwärmung -- zur Längenmessung verwenden? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-02: +.. _wde02: -* (\*) Ein Bimetall-Streifen besteht aus zwei aufeinander gewälzten Blechstreifen, - beispielsweise aus Aluminium :math:`(\alpha _{\rm{Al}} = - \unit[0,024]{\frac{mm}{m \cdot K} })` und Chrom-Stahl :math:`(\alpha - _{\rm{FeCr}} = \unit[0,010]{\frac{mm}{m \cdot K} })`. In einem Bügeleisen soll - sich der Bimetallstreifen bei ausreichender Erwärmung nach oben verbiegen und - die Heizung unterbrechen. Welches Metall muss oben, welches unten liegen? +* (\*) Ein Bimetall-Streifen besteht aus zwei aufeinander gewälzten + Blechstreifen, beispielsweise aus Aluminium :math:`(\alpha_{\mathrm{Al}} = + \unit[0,024]{\frac{mm}{m \cdot K}})` und Chrom-Stahl + :math:`(\alpha_{\mathrm{FeCr}} = \unit[0,010]{\frac{mm}{m \cdot K}})`. In + einem Bügeleisen soll sich der Bimetallstreifen bei ausreichender Erwärmung + nach oben verbiegen und die Heizung unterbrechen. Welches Metall muss oben, + welches unten liegen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-03: +.. _wde03: -* (\*) Wie lang wird ein :math:`l=\unit[120]{m}` langer Kupferdraht :math:`(\alpha - _{\rm{Cu}} = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m \cdot K} })`, wenn er um :math:`\Delta - T = \unit[40]{K}` erhitzt wird? +* (\*) Wie lang wird ein :math:`l=\unit[120]{m}` langer Kupferdraht + :math:`(\alpha_{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m \cdot K} })`, wenn er + um :math:`\Delta T = \unit[40]{K}` erhitzt wird? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-04: +.. _wde04: -* (\*) Welcher Längenschwankung ist eine :math:`l = \unit[300]{m}` lange Brücke aus - Beton :math:`(\alpha _{\rm{Beton}} = \unit[0,012]{\frac{mm}{m \cdot K} })` - unterworfen, wenn sie im Winter auf :math:`\unit[-15]{\degree C}` abkühlt und - sich im Sommer auf :math:`\unit[40]{\degree C }` erhitzt? +* (\*) Welchen Längenschwankungen ist eine bei einer Temperatur von + :math:`T_1=\unit[15]{\degree C}` insgesamt :math:`l_1 = \unit[300]{m}` lange + Brücke aus Beton :math:`(\alpha_{\mathrm{Beton}} = \unit[12 \cdot + 10^{-6}]{\frac{1}{K}})` unterworfen, wenn sie im Winter auf + :math:`T_2=\unit[-15]{\degree C}` abkühlt beziehungsweise sich im Sommer auf + :math:`T_3=\unit[40]{\degree C}` erhitzt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Flüssigkeiten-01: +.. _wde05: -* (\*) An einem Sommertag scheint die Sonne auf einen mit :math:`\unit[40]{l}` Benzin - gefüllten Tank. Das Benzin erhitzt sich dabei von :math:`\unit[20]{\degree C}` auf - :math:`\unit[70]{\degree C}`. Auf welches Volumen dehnt sich das Benzin aus? +* (\*) An einem Sommertag scheint die Sonne auf einen Tank aus Stahl + :math:`(\alpha = \unit[11,8 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}})` mit einem Volumen von + :math:`V_0=\unit[50]{l}`; der Tank erhitzt sich dabei von + :math:`T_0=\unit[15]{\degree C}` auf :math:`\unit[50]{\degree C}`. Auf welches + Volumen dehnt sich der Tank aus? Um welches Volumen würde sich ein gleiches + Volumen an Benzin :math:`(\gamma = \unit[1,06 \cdot 10 ^{-3}]{\frac{1}{K}})` + bei gleicher Temperaturdifferenz ausdehnen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Flüssigkeiten-02: +.. _wde06: * (\*) Inwiefern verhält sich Wasser bei der Ausdehnung durch Erwärmung anders als andere Flüssigkeiten? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-01: +.. _wde07: * (\*) Warum erhitzt sich beim Zusammendrücken einer Luftpumpe die Luft (und damit auch die Luftpumpe)? Wie lässt sich dieser Effekt mit Hilfe des Teilchenmodells erklären? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-02: +.. _wde08: * (\**) Wie verändert sich die Molekülbewegung eines idealen Gases bei der Abkühlung bis zum absoluten Nullpunkt? Was passiert mit realen Gasen, bevor sie den absoluten Nullpunkt erreichen? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-03: +.. _wde09: -* (\**) Ein Gas mit einem Volumen von :math:`V _{\rm{1}} = \unit[30]{cm^3}`, einem - Druck :math:`p _{\rm{1}} = \unit[1]{bar}` und einer Temperatur :math:`T - _{\rm{1}} = \unit[300]{K}` wird erwärmt. Dabei steigt seine Temperatur auf - :math:`T _{\rm{2}} = \unit[500]{K}`; gleichzeitig wird der Druck auf :math:`p - _{\rm{2}} = \unit[4]{bar}` erhöht. Welches Volumen nimmt das Volumen nach - dieser Zustandsänderung an? +* (\**) Ein Gas mit einem Volumen von :math:`V_1 = \unit[30]{cm^3}`, einem Druck + :math:`p_1 = \unit[1]{bar \, (abs)}` und einer Temperatur :math:`T_1 = + \unit[300]{K}` wird erwärmt. Dabei steigt seine Temperatur auf :math:`T_2 = + \unit[500]{K}`; gleichzeitig wird der Druck auf :math:`p_2 = \unit[4]{bar \, + (abs.)}` erhöht. Welches Volumen nimmt das Volumen nach dieser + Zustandsänderung an? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-04: +.. _wde10: -* (\*) Ein ungeheiztes Zimmer mit einer Fläche von :math:`\unit[20]{m^2}` und einer - Höhe von :math:`\unit[2,5]{m}` wird im Winter von :math:`T _{\rm{1}} = - \unit[12]{\degree C }` auf :math:`T _{\rm{2}} = \unit[20]{\degree C}` - aufgeheizt. Wie viel Luft muss dabei aus dem Zimmer entweichen, wenn der - Luftdruck während der Erwärmung konstant bleibt? +* (\*) Ein ungeheiztes Zimmer mit einer Fläche von :math:`\unit[20]{m^2}` und + einer Höhe von :math:`\unit[2,5]{m}` wird im Winter von :math:`T_1 = + \unit[12]{\degree C}` auf :math:`T_2 = \unit[20]{\degree C}` aufgeheizt. Wie + viel Luft muss dabei aus dem Zimmer entweichen, wenn der Luftdruck während der + Erwärmung konstant bleibt? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-05: +.. _wde11: -* (\**) Ein Druckbehälter mit einem Volumen von :math:`\unit[500]{l}` ist mit Luft - gefüllt, wobei der Überdruck :math:`p_1=\unit[3 \cdot 10^5]{Pa}` beträgt. - Wieviel Luft mit einem normalen Atmosphärendruck :math:`p_0 = \unit[1 \cdot +* (\**) Ein Druckbehälter mit einem Volumen von :math:`\unit[500]{l}` ist mit + Luft gefüllt, wobei der Überdruck :math:`p_1=\unit[3 \cdot 10^5]{Pa}` beträgt. + Wieviel Luft mit einem normalen Atmosphärendruck :math:`p_0 = \unit[1,0 \cdot 10^5]{Pa}` müssen zusätzlich in den Behälter gepumpt werden, damit ein Überdruck von :math:`p_2=\unit[8 \cdot 10^5]{Pa}` entsteht? - :ref:`Lösung ` + :ref:`Lösung ` ---- -.. _Aufgaben zur allgemeinen Gasgleichung: +.. _Aufgaben Allgemeine Gasgleichung: -Aufgaben zur allgemeinen Gasgleichung --------------------------------------- +Allgemeine Gasgleichung +----------------------- Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Allgemeine Gasgleichung `. ---- -.. _Allgemeine-Gasgleichung-01: +.. _wag01: * (\**) Wie groß ist die Dichte von Luft in einem Gefäß, wenn dieses bei einer Temperatur von :math:`T = \unit[20]{\degree C}` bis auf ein Ultrahochvakuum @@ -260,22 +269,16 @@ Gasgleichung `. wird? Wie viele Teilchen befinden sich dabei in :math:`V = \unit[1]{cm^3}` dieses Restgases? - :ref:`Lösung ` - - + :ref:`Lösung ` -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} +.. wärmekraftmaschinen-aufgaben.rst -.. raw:: html +---- -
+.. foo .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript ` -.. wärmekraftmaschinen-aufgaben.rst - diff --git a/waermelehre/ausbreitung-von-waerme.rst b/waermelehre/ausbreitung-von-waerme.rst index 74a109a..a46b24c 100644 --- a/waermelehre/ausbreitung-von-waerme.rst +++ b/waermelehre/ausbreitung-von-waerme.rst @@ -7,15 +7,14 @@ Ausbreitung von Wärme Ein von selbst ablaufender Austausch von Wärme erfolgt stets von einem Körper höherer Temperatur zu einem Körper niederer Temperatur, bis beide Körper die gleiche Temperatur erreicht haben ("Wärmegleichgewicht"). Die vom kalten Körper -aufgenommene Wärmemenge :math:`Q _{\rm{1}}` ist hierbei gleich der vom warmen -Körper abgegebenen Wärmemenge :math:`Q _{\rm{2}}`. +aufgenommene Wärmemenge :math:`Q_1` ist hierbei gleich der vom warmen Körper +abgegebenen Wärmemenge :math:`Q_2`. -.. - Soll die Temperatur eines Körpers geändert werden, so muss dem System - Wärme, d.h. Energie zugeführt werden. Die dabei benötigte oder - freigesetzte Wärmemenge :math:`Q` hängt von der Masse :math:`m`, der - stofflichen Zusammensetzung des Systems und der Temperaturänderung - :math:`\Delta T` ab. +.. Soll die Temperatur eines Körpers geändert werden, so muss dem System +.. Wärme, d.h. Energie zugeführt werden. Die dabei benötigte oder +.. freigesetzte Wärmemenge :math:`Q` hängt von der Masse :math:`m`, der +.. stofflichen Zusammensetzung des Systems und der Temperaturänderung +.. :math:`\Delta T` ab. Die Ausbreitung von Wärme kann auf drei Arten geschehen, die im folgenden @@ -35,9 +34,9 @@ tieferer Temperatur. .. *Beispiel:* -.. * Ein Metallstab im Inneren eines Lötkolbens wird an einem Ende elektrisch - .. erwärmt. Die Wärme wird im Metall an die Spitze weitergeleitet. Der - .. Griff hingegen (meist aus Kunststoff) erwärmt sich nur schwach. +.. * Ein Metallstab im Inneren eines Lötkolbens wird an einem Ende elektrisch +.. erwärmt. Die Wärme wird im Metall an die Spitze weitergeleitet. Der +.. Griff hingegen (meist aus Kunststoff) erwärmt sich nur schwach. .. _Wiedemann-Franzsches Gesetz: @@ -61,7 +60,7 @@ unterschiedlich gut leiten: oberen Seite die Zündtemperatur nicht erreicht. * Glas, Porzellan, Plastik, Schaumstoff und Holz sind schlechte Wärmeleiter. - Schaumstoff, Styropor u.ä. wird in Bauwerken als Isolationsmaterial + Schaumstoff, Styropor u.s.w. wird in Bauwerken als Isolationsmaterial eingesetzt. Holzgriffe dienen an Werkzeugen und Töpfen als Wärmedämmung. * Flüssigkeiten sind schlechte, Gase sogar sehr schlechte Wärmeleiter. Dünne @@ -75,7 +74,7 @@ unterschiedlich gut leiten: :widths: 50 50 * - Material - - :math:`\lambda` in :math:`\unit[]{\frac{W}{m \cdot K}}` + - :math:`\lambda` in :math:`\unit{\frac{W}{m \cdot K}}` * - Silber - :math:`407` * - Kupfer @@ -109,33 +108,33 @@ Wärmeleitung stattfinden. Quantitativ lässt sich die Wärmeleitung durch die in einer bestimmten Zeit transportierte Wärme beschreiben. Für den so genannten Wärmestrom :math:`I -_{\rm{Q}}` gilt also: +_{\mathrm{Q}}` gilt also: .. math:: :label: eqn-waermestrom - I _{\rm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} + I_{\mathrm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} Der Wärmestrom wird in Watt (Joule je Sekunde) gemessen. Der Wärmestrom durch -eine bestimmte Fläche :math:`A` wird als Wärmestromdichte :math:`j _{\rm{Q}}` +eine bestimmte Fläche :math:`A` wird als Wärmestromdichte :math:`j_{\mathrm{Q}}` bezeichnet und in Watt je Quadratmeter gemessen: .. math:: :label: eqn-waermestromdichte-definition - j _{\rm{Q}} = \frac{I _{\rm{Q}}}{A} + j_{\mathrm{Q}} = \frac{I_{\mathrm{Q}}}{A} -Die Wärmestromdichte :math:`j _{\rm{Q}}` ist einerseits proportional zum +Die Wärmestromdichte :math:`j_{\mathrm{Q}}` ist einerseits proportional zum Temperaturunterschied :math:`\Delta T` zwischen der heißen und der kalten Seite des Wärmeleiters, andererseits auch proportional zur Wärmeleitfähigkeit -:math:`\lambda` des Wärme leitenden Materials. Zusätzlich ist :math:`j -_{\rm{Q}}` indirekt proportional zur Länge :math:`l` des Wärmeleiters. Insgesamt -gilt also: +:math:`\lambda` des Wärme leitenden Materials. Zusätzlich ist +:math:`j_{\mathrm{Q}}` indirekt proportional zur Länge :math:`l` des +Wärmeleiters. Insgesamt gilt also: .. math:: :label: eqn-waermestromdichte - j _{\rm{Q}} = - \lambda \cdot \frac{\Delta T}{l} + j_{\mathrm{Q}} = - \lambda \cdot \frac{\Delta T}{l} Das Minuszeichen gibt an, dass der Wärmestrom stets in Richtung der kälteren Materialseite stattfindet. [#]_ @@ -148,8 +147,8 @@ Materialseite stattfindet. [#]_ Oftmals besteht ein Wärme leitender Körper, beispielsweise eine Wand mit Dämmschicht, aus mehr als einem Material. Werden dabei einzelne Schichten mit gleichen Flächen, aber unterschiedlichen Schichtdicken :math:`l_1 ,\, l_2 ,\, -\text{usw.}` und unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten :math:`\lambda _1 ,\, -\lambda _2 ,\, \text{usw.}` durchlaufen, so handelt es sich um eine +\text{usw.}` und unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten :math:`\lambda_1 ,\, +\lambda_2 ,\, \text{usw.}` durchlaufen, so handelt es sich um eine "Reihenschaltung" mehrerer Wärmeleiter. Um die Wärmestromdichte in diesem Fall zu berechnen, muss man -- wie beim @@ -161,7 +160,7 @@ lässt: [#]_ .. math:: - I _{\rm{Q}} = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot \Delta T = \frac{1}{R} \cdot + I_{\mathrm{Q}} = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot \Delta T = \frac{1}{R} \cdot \Delta T Besteht die Anordnung aus :math:`n` hintereinander liegenden Schichten, so gilt @@ -170,23 +169,23 @@ für :math:`R`: .. math:: :label: eqn-waermedurchlasswiderstand-reihenschaltung - R _{\rm{ges}} = \sum_{i=1}^{n} R_i = \frac{l_1}{\lambda _1 \cdot - A_1 } + \frac{l_2}{\lambda _2 \cdot A_2} + \ldots + \frac{l_n}{\lambda_n + R_{\mathrm{ges}} = \sum_{i=1}^{n} R_i = \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot + A_1 } + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot A_2} + \ldots + \frac{l_n}{\lambda_n \cdot A_n} Die Einheit des Wärmewiderstands ist :math:`\unit{\frac{K}{W}}`. Bei einer Reihenschaltung von Wärmewiderständen, beispielsweise einem doppelt verglastem Fenster oder einer Mauer mit Dämmschicht, sind die Querschnittsflächen der einzelnen Wärmewiderstände oftmals identisch; :math:`A` kann in diesem Fall -ausgeklammert werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q,RS}}` +ausgeklammert werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q,RS}}` bei einer Reihenschaltung: .. math:: :label: eqn-waermestromdichte-reihenschaltung - I _{\rm{Q, RS}} = \frac{1}{R _{\rm{ges}}} \cdot \Delta T = \frac{1}{\left( - \frac{l _1}{\lambda _1 \cdot A_1} + \frac{l_2}{\lambda _2 \cdot A_2} + - \ldots + \frac{l_n}{\lambda _n \cdot A_n}\right)} \cdot \Delta T + I_{\mathrm{Q, RS}} = \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot \Delta T = + \frac{1}{\left( \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot A_1} + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot + A_2} + \ldots + \frac{l_n}{\lambda_n \cdot A_n}\right)} \cdot \Delta T Sind die einzelnen Wärmeleiter nicht hintereinander, sondern nebeneinander @@ -196,22 +195,22 @@ des Gesamtwiderstands: .. math:: - \frac{1}{R _{\rm{ges}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i} = \frac{\lambda_1 + \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i} = \frac{\lambda_1 \cdot A_1}{l_1} + \frac{\lambda_2 \cdot A_2}{l_2} + \ldots + \frac{\lambda_n \cdot A_n}{l_n} Haben alle parallel zueinander liegenden Wärmeleiter, wie beispielsweise bei einem Heizkörper oder einem Röhrenkollektor, die gleiche Querschnittsfläche :math:`A`, so kann diese bei der Berechnung des Gesamtwiderstands ausgeklammert -werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q,PS}}` bei einer +werden. Allgemein gilt für den Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q,PS}}` bei einer Parallelschaltung: .. math:: :label: eqn-waermestromdichte-parallelschaltung - I _{\rm{Q,PS}} = \frac{1}{R _{\rm{ges}}} \cdot \Delta T = \left( \frac{A_1 - \cdot \lambda_1}{l _1} + \frac{A_2 \cdot \lambda_2}{l _2} + \ldots + - \frac{A_n \cdot \lambda _n}{l_n} \right) \cdot \Delta T + I_{\mathrm{Q,PS}} = \frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot \Delta T = \left( \frac{A_1 + \cdot \lambda_1}{l_1} + \frac{A_2 \cdot \lambda_2}{l_2} + \ldots + + \frac{A_n \cdot \lambda_n}{l_n} \right) \cdot \Delta T Diese Gleichung kann auch für eine Anordnung mehrerer paralleler Wärmeleiter mit unterschiedlich großen Flächen genutzt werden, beispielsweise einer @@ -222,8 +221,8 @@ Bereiche separat berechnet und ihre Werte addiert werden: .. math:: - I _{\rm{Q, PS}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda _{\rm{i}}}{l _{\rm{i}}} - \cdot A _{\rm{i}} \cdot \Delta T _{\rm{i}} + I_{\mathrm{Q, PS}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_{\mathrm{i}}}{l_{\mathrm{i}}} + \cdot A_{\mathrm{i}} \cdot \Delta T_{\mathrm{i}} .. index:: Wärmeströmung @@ -267,25 +266,25 @@ kann keine Wärmeströmung stattfinden. Quantitativ lässt sich die durch Wärmeströmung übertragene Wärmemenge nur schwer erfassen, da die mathematischen Zusammenhänge bei Strömungsvorgängen sehr kompliziert sind. In einem vereinfachten Modell kann jedoch angenommen werden, -dass die Wärmestromdichte :math:`j _{\rm{Q,cv}}` bei auftretender Konvektion +dass die Wärmestromdichte :math:`j_{\mathrm{Q,cv}}` bei auftretender Konvektion einerseits proportional zum Temperaturunterschied :math:`\Delta T` zwischen dem Fluid und der begrenzenden Kontaktfläche und andererseits proportional zu einem -so genannten Wärmeübertragungskoeffizienten :math:`h _{\rm{cv}}` ist: +so genannten Wärmeübertragungskoeffizienten :math:`h_{\mathrm{cv}}` ist: .. math:: :label: eqn-waermestromdichte-konvektion - j _{\rm{Q,cv}} = h _{\rm{cv}} \cdot \Delta T + j_{\mathrm{Q,cv}} = h_{\mathrm{cv}} \cdot \Delta T -Der Wärmeübertragungskoeffizient :math:`h _{\rm{cv}}` wird in +Der Wärmeübertragungskoeffizient :math:`h_{\mathrm{cv}}` wird in :math:`\unit{\frac{W}{m^2 \cdot K}}` angegeben. Multipliziert man diesen mit der Temperaturdifferenz :math:`\Delta T` der Kontaktflächen und ihrer Fläche :math:`A`, so erhält man den Wärmestrom bzw. die abgegebene Heizleistung in Watt. Für technische Anwendungen -- beispielsweise in der Bauphysik -- sind vor allem laminare Wärmeströmungen in Luft von Interesse. Für eine horizontal -verlaufende warme Fläche kann hierbei näherungsweise :math:`h _{\rm{cv}} \approx +verlaufende warme Fläche kann hierbei näherungsweise :math:`h_{\mathrm{cv}} \approx \unit[9]{\frac{W}{m^2 \cdot K}}` angenommen werden, für eine vertikale ist -:math:`h _{\rm{cv}} \approx \unit[5,5]{\frac{W}{m^2 \cdot K}}`. +:math:`h_{\mathrm{cv}} \approx \unit[5,5]{\frac{W}{m^2 \cdot K}}`. .. index:: Thermische Strahlung, Wärmestrahlung .. _Wärmestrahlung: @@ -317,11 +316,11 @@ Anteile ergibt stets :math:`100\%`. Quantitativ kann die von einem heißen Gegenstand ausgestrahlte Wärmestrahlung -- ähnlich wie bei den anderen Wärmetransportarten -- durch die -Energiestromdichte :math:`j _{\rm{s}}` beschrieben werden: +Energiestromdichte :math:`j_{\mathrm{s}}` beschrieben werden: .. math:: - j _{\rm{Q,s}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t \cdot A} + j_{\mathrm{Q,s}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t \cdot A} Diese Größe wird bisweilen auch "Bestrahlungsstärke" genannt, ihre Einheit ist Watt je Quadratmeter. Beispielsweise kann in Mitteleuropa die Sonne an einem @@ -346,7 +345,7 @@ absoluten Temperatur (gemessen in Kelvin) ist: .. math:: :label: eqn-stefan-boltzmann-gesetz - j _{\rm{Q,s}} = \sigma \cdot T^4 + j_{\mathrm{Q,s}} = \sigma \cdot T^4 Die dabei auftretende Konstante :math:`\sigma = \unit[5,670 \cdot 10 ^{-8}]{\frac{W}{m^2 \cdot K^4}}` wird dabei als "Stefan-Boltzmann-Konstante" @@ -385,13 +384,13 @@ Verschiebungsgesetz" beschreiben: .. math:: :label: eqn-wiensches-verschiebungsgesetz - \lambda _{\rm{max}} = \frac{\unit[2897,8]{\mu m \cdot K}}{T} + \lambda_{\mathrm{max}} = \frac{\unit[2897,8]{\mu m \cdot K}}{T} -Hierbei beschreibt :math:`\lambda _{\rm{max}}` das Maximum der spektralen -Energiedichte bei einer bestimmten (absoluten) Temperatur :math:`T`. Für eine -Temperatur von etwa :math:`\unit[5800]{K}` stimmt die Wärmestrahlung eines -schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne -überein. +Hierbei beschreibt :math:`\lambda_{\mathrm{max}}` das Maximum der spektralen +Energiedichte bei einer bestimmten (absoluten) Temperatur :math:`T`. +Für eine Temperatur von etwa :math:`\unit[5800]{K}` stimmt die Wärmestrahlung +eines schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der +Sonne überein. .. raw:: html @@ -410,7 +409,7 @@ schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne Franz `_ auch als "Wiedemann-Franzsches Gesetz" bezeichnet. -.. [#] Der Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q}}` wird von einem Temperaturgefälle +.. [#] Der Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q}}` wird von einem Temperaturgefälle :math:`\Delta T` ebenso angetrieben wie ein elektrischer Strom :math:`I` von einer elektrischen Spannungsdifferenz :math:`\Delta U`. Die gleiche Gesetzmäßigkeit gilt außerdem auch bei Diffusionsströmen, die wird @@ -421,17 +420,17 @@ schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne .. math:: - I = \frac{\Delta Q _{\rm{el}}}{\Delta t} = \frac{U}{R _{\rm{el}}} + I = \frac{\Delta Q_{\mathrm{el}}}{\Delta t} = \frac{U}{R_{\mathrm{el}}} Für die Wärmeleitung gilt: .. math:: - I _{\rm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left( \frac{\lambda \cdot + I_{\mathrm{Q}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left( \frac{\lambda \cdot A}{l}\right) \cdot \Delta T Die Wärmestrom entspricht somit der elektrischen Stromstärke, nur dass - keine elektrische Ladungsmenge :math:`Q _{\rm{el}}`, sondern eine + keine elektrische Ladungsmenge :math:`Q_{\mathrm{el}}`, sondern eine Wärmemenge (ebenfalls mit :math:`Q` bezeichnet) innerhalb einer bestimmten Zeit :math:`t` transportiert wird. Die Temperaturdifferenz :math:`\Delta T` hat für die Wärmeleitung die gleiche Bedeutung wie die elektrische @@ -444,7 +443,7 @@ schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne .. math:: - R _{\rm{el}} = \frac{\rho \cdot l}{A} + R_{\mathrm{el}} = \frac{\rho \cdot l}{A} Verwendet man anstelle des spezifischen Widerstands :math:`\rho` die spezifische Leitfähigkeit :math:`\sigma = \frac{1}{\rho}` als @@ -452,7 +451,7 @@ schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne .. math:: - R _{\rm{el}} = \frac{l}{\sigma \cdot A} + R_{\mathrm{el}} = \frac{l}{\sigma \cdot A} Die elektrische Wärmeleitfähigkeit :math:`\sigma` entspricht der Wärmeleitfähigkeit :math:`\lambda`; der Term :math:`\frac{\lambda \cdot @@ -463,4 +462,14 @@ schwarzen Körpers in sehr guter Näherung mit dem Strahlungsspektrum der Sonne im Jahresmitte :math:`\unit[1367]{\frac{W}{m^2}}`; diese Größe wird mitunter auch als "Solarkonstante" bezeichnet. +.. raw:: html + +
+ +.. hint:: + + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + + diff --git a/waermelehre/ausdehnung-bei-erwaermung.rst b/waermelehre/ausdehnung-bei-erwaermung.rst index 57831bd..ec61fb6 100644 --- a/waermelehre/ausdehnung-bei-erwaermung.rst +++ b/waermelehre/ausdehnung-bei-erwaermung.rst @@ -32,13 +32,13 @@ Länge ab. \Delta l = \alpha \cdot \Delta T \cdot l \\[6pt] - Für die neue Länge :math:`l _{\rm{neu}} = l + \Delta l` nach der + Für die neue Länge :math:`l_{\mathrm{neu}} = l + \Delta l` nach der Temperaturänderung gilt damit: .. math:: :label: eqn-längenausdehnung-festkörper-2 - l _{\rm{neu}} = l \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) + l_{\mathrm{neu}} = l \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) .. list-table:: Längenausdehnungskoeffizienten fester Stoffe :name: tab-längenausdehnungskoeffizienten @@ -84,12 +84,12 @@ Länge ab. * Eine :math:`l= \unit[10]{m}` lange Eisenstange wird um :math:`\Delta T= \unit[50]{K}` erwärmt. Mit dem thermischen Längenausdehnungskoeffizient - :math:`\alpha _{\rm{Fe}} = \unit[11,8 \cdot 10 ^{-6}]{\frac{1}{K}}` lässt sich + :math:`\alpha_{\mathrm{Fe}} = \unit[11,8 \cdot 10 ^{-6}]{\frac{1}{K}}` lässt sich die Längenänderung der Stange berechnen: .. math:: - \Delta l = \alpha _{\rm{Stahl}} \cdot \Delta T \cdot l = \unit[11,8 \cdot + \Delta l = \alpha_{\mathrm{Stahl}} \cdot \Delta T \cdot l = \unit[11,8 \cdot 10 ^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot \unit[50]{K} \cdot \unit[10]{m} \approx \unit[0,006]{m} @@ -98,24 +98,24 @@ Länge ab. .. Beispiel Bimetall? Pic Haas S.91 Auf ähnliche Weise wie in Gleichung :eq:`eqn-längenausdehnung-festkörper-2` kann -die neue Fläche :math:`A _{\rm{neu}}` bzw. das neue Volumen :math:`V -_{\rm{neu}}` eines festen Körpers der Fläche :math:`A` bzw. des Volumens +die neue Fläche :math:`A_{\mathrm{neu}}` bzw. das neue Volumen :math:`V +_{\mathrm{neu}}` eines festen Körpers der Fläche :math:`A` bzw. des Volumens :math:`V` bei einer Temperaturänderung um :math:`\Delta T` berechnet werden. Dabei geht man davon aus, dass sich der betrachtete Festkörper in alle Richtungen gleich ausdehnt: [#]_ .. math:: - l _{\rm{neu}} &= l \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \\[6pt] - A _{\rm{neu}} &= A \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^2 \\[6pt] - V _{\rm{neu}} &= V \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 + l_{\mathrm{neu}} &= l \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \\[6pt] + A_{\mathrm{neu}} &= A \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^2 \\[6pt] + V_{\mathrm{neu}} &= V \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 In sehr guter Näherung kann die Volumenausdehnung von Festkörpern auch folgendermaßen geschrieben werden: [#]_ .. math:: - V _{\rm{neu}} = V \cdot (1 + \gamma \cdot \Delta T) + V_{\mathrm{neu}} = V \cdot (1 + \gamma \cdot \Delta T) Hierbei ist :math:`\gamma \approx 3 \cdot \alpha` der so genannte Volumen-Ausdehnungskoeffiezient. @@ -191,11 +191,11 @@ Flüssigkeiten mit wachsender Temperatur ab. Durch eine Temperaturänderung um :math:`\Delta T` ändert sich die Dichte :math:`\rho` einer Flüssigkeit umgekehrt proportional zum Volumenausdehnungskoeffizient :math:`\gamma`. Für die neue Dichte - :math:`\rho _{\rm{neu}}` der Flüssigkeit gilt: + :math:`\rho_{\mathrm{neu}}` der Flüssigkeit gilt: .. math:: - \rho _{\rm{neu}} = \frac{\rho }{1 + \gamma \cdot \Delta T} + \rho_{\mathrm{neu}} = \frac{\rho }{1 + \gamma \cdot \Delta T} .. _Anomalie des Wassers: @@ -276,16 +276,16 @@ proportional zur absoluten Temperatur aus. .. math:: :label: eqn-volumenausdehnungskoeffizient-gase - \gamma _{\rm{Gas}} = \frac{1}{\unit[273,15]{K}} \approx 3,66 \cdot 10 + \gamma_{\mathrm{Gas}} = \frac{1}{\unit[273,15]{K}} \approx 3,66 \cdot 10 ^{-3} \frac{1}{K} - Der Volumenausdehnungskoeffizient :math:`\gamma _{\rm{gas}}` bei konstantem + Der Volumenausdehnungskoeffizient :math:`\gamma_{\mathrm{gas}}` bei konstantem Druck ist somit näherungsweise für alle Gase gleich. *Beispiel:* -* Werden :math:`V = \unit[20]{l}` Luft von :math:`T _{\rm{0}} = - \unit[0]{\degree C }` auf :math:`T _{\rm{1}} = \unit[10]{\degree C}` erwärmt, +* Werden :math:`V = \unit[20]{l}` Luft von :math:`T_{\mathrm{0}} = + \unit[0]{\degree C }` auf :math:`T_1 = \unit[10]{\degree C}` erwärmt, so ändert sich das Volumen der Luft um .. math:: @@ -356,36 +356,34 @@ auch in folgender Form geschrieben: .. math:: - \frac{p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{p _{\rm{2}} - \cdot V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } + \frac{p_1 \cdot V_1 }{T_1 } = \frac{p_2 + \cdot V_2 }{T_2 } -Dabei werden mit :math:`p _{\rm{1}} ,\, T _{\rm{1}} ,\, V _{\rm{1}}` die -thermischen Größen eines Gases *vor* einer Zustandsänderung beschrieben, -entsprechend stellen :math:`p _{\rm{2}} ,\, T _{\rm{2}} ,\, V _{\rm{2}}` die -thermischen Größen *nach* der Zustandsänderung dar. Bei Kenntnis von fünf der -sechs vorkommenden Größen kann somit jederzeit auch die sechste Größe berechnet -werden. +Dabei werden mit :math:`p_1 ,\, T_1 ,\, V_1` die thermischen Größen eines Gases +*vor* einer Zustandsänderung beschrieben, entsprechend stellen :math:`p_2 ,\, +T_2 ,\, V_2` die thermischen Größen *nach* der Zustandsänderung dar. Bei +Kenntnis von fünf der sechs vorkommenden Größen kann somit jederzeit auch die +sechste Größe berechnet werden. *Beispiel:* -* Ein Gas mit einem Volumen von :math:`V _{\rm{1}} = \unit[50]{cm^3}`, einem - Druck von :math:`p _{\rm{1}} = \unit[2,5]{bar}` und einer Temperatur von - :math:`T _{\rm{1}} = \unit[0]{\degree C} \approx \unit[273]{K}` wird erwärmt. - Dabei beträgt die neue Temperatur :math:`T _{\rm{2}} = \unit[30]{\degree C} - \approx \unit[303]{K}`, gleichzeitig wird der Druck auf :math:`p _{\rm{2}} = - \unit[6]{bar}` erhöht. Mit Hilfe der Zustandsgleichung für ideale Gase kann - das neue Volumen :math:`V _{\rm{2}}` berechnet werden: +* Ein Gas mit einem Volumen von :math:`V_1 = \unit[50]{cm^3}`, einem Druck von + :math:`p_1 = \unit[2,5]{bar}` und einer Temperatur von :math:`T_1 = + \unit[0]{\degree C} \approx \unit[273]{K}` wird erwärmt. Dabei beträgt die + neue Temperatur :math:`T_2 = \unit[30]{\degree C} \approx \unit[303]{K}`, + gleichzeitig wird der Druck auf :math:`p_2 = \unit[6]{bar}` erhöht. Mit Hilfe + der Zustandsgleichung für ideale Gase kann das neue Volumen :math:`V_2` + berechnet werden: .. math:: - \frac{p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{p _{\rm{2}} - \cdot V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } \quad \Leftrightarrow \quad V _{\rm{2}} = - \frac{p _{\rm{1}} \cdot T _{\rm{2}} \cdot V _{\rm{1}} }{p _{\rm{2}} \cdot T - _{\rm{1}} } \\[4pt] V _{\rm{2}} = \frac{\unit[2,5]{bar} \cdot \unit[303]{K} - \cdot \unit[50]{cm^3} }{\unit[6]{bar} \cdot \unit[273]{K}} \approx - \unit[23,12]{cm^3} + \frac{p_1 \cdot V_1 }{T_1 } = \frac{p_2 \cdot V_2 }{T_2 } \quad + \Leftrightarrow \quad V_2 = \frac{p_1 \cdot T_2 \cdot V_1 }{p_2 \cdot T_1} + \\[4pt] + V_2 = \frac{\unit[2,5]{bar} \cdot \unit[303]{K} \cdot \unit[50]{cm^3} + }{\unit[6]{bar} \cdot \unit[273]{K}} \approx \unit[23,12]{cm^3} - Das neue Luftvolumen :math:`V _{\rm{2}}` beträgt somit rund + Das neue Luftvolumen :math:`V_2` beträgt somit rund :math:`\unit[23,12]{cm^3}`. .. index:: Zustandsänderung @@ -405,7 +403,7 @@ bleibt: .. math:: - \frac{p _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{p _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } + \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} Wird beispielsweise die (absolute) Temperatur eines Gases bei gleich bleibendem Volumen verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Druck im Gas. @@ -417,13 +415,13 @@ bleibt: .. math:: - \frac{V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } + \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} Wird die Temperatur eines Gases bei gleich bleibendem Druck erhöht, erhöht sich auch das Volumen und umgekehrt. Wird beispielsweise die Temperatur eines Gases verdoppelt, so verdoppelt sich auch sein Volumen. - .. pic pocketteacher S.47 + .. todo pic pocketteacher S.47 Die Bestätigung dieses Zusammenhangs durch zahlreiche Experimente ist Grundlage der Festlegung der absoluten Temperatur auf @@ -441,7 +439,7 @@ bleibt: .. math:: - p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} = p _{\rm{2}} \cdot V _{\rm{2}} + p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 Wird das Volumen eines Gases bei gleich bleibender Temperatur verkleinert, erhöht sich der Druck und umgekehrt. Wird beispielsweise das Volumen eines @@ -515,7 +513,6 @@ bleibt: .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/waermelehre/experimente.rst b/waermelehre/experimente.rst index af30211..168a1e5 100644 --- a/waermelehre/experimente.rst +++ b/waermelehre/experimente.rst @@ -8,12 +8,13 @@ Experimente zur Wärmelehre elektrischen Heizquellen dürfen stets nur in Anwesenheit eines Erwachsenen durchgeführt werden. -.. _Experimente zu Temperatur und Wärme: +.. _Experimente Temperatur und Wärme: -Experimente zu Temperatur und Wärme ------------------------------------ +Temperatur und Wärme +-------------------- -Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Temperatur und Wärme `. +Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Temperatur und +Wärme `. ---- @@ -42,10 +43,10 @@ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Temperatur und W ---- -.. _Experimente zu Ausbreitung von Wärme: +.. _Experimente Ausbreitung von Wärme: -Experimente zur Ausbreitung von Wärme -------------------------------------- +Ausbreitung von Wärme +--------------------- Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausbreitung von Wärme `. @@ -209,10 +210,10 @@ Wärme `. ---- -.. _Experimente zur Ausdehnung bei Erwärmung: +.. _Experimente Ausdehnung bei Erwärmung: -Experimente zur Ausdehnung bei Erwärmung ----------------------------------------- +Ausdehnung bei Erwärmung +------------------------ Die folgenden Experimente beziehen sich auf den Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung `. @@ -345,22 +346,21 @@ Erwärmung `. :columns: 2 * Eine Schüssel - * Eiskaltes und :math:`\unit[10]{\degree C }` warmes Wasser + * Eiskaltes und :math:`\unit[10]{\degree C}` warmes Wasser * Zwei Thermometer *Durchführung:* -- Fülle auf :math:`\unit[0]{\degree C }` kaltes Wasser vorsichtig Wasser mit einer - Temperatur von etwa :math:`\unit[10]{\degree C }` (Tip: Gieße das Wasser auf +- Fülle auf :math:`\unit[0]{\degree C}` kaltes Wasser vorsichtig Wasser mit einer + Temperatur von etwa :math:`\unit[10]{\degree C}` (Tip: Gieße das Wasser auf ein kleines Hölzchen, das auf dem kalten Wasser schwimmt). Messe nach kurzer Zeit mit zwei Thermometern die Temperaturen an der Ober- und Unterseite der Wasser-Schichtung. - Welches Thermometer zeigt die höhere Temperatur an? - Bei welcher Temperatur besitzt Wasser somit die höhere Dichte? -.. - Das obere Thermometer zeigt etwa 8 C, das untere etwa 4 C an. Die Dichte - des Wassers muss folglich bei 4 C größer als bei höheren Temperaturen sein. +.. Das obere Thermometer zeigt etwa 8 C, das untere etwa 4 C an. Die Dichte +.. des Wassers muss folglich bei 4 C größer als bei höheren Temperaturen sein. ---- @@ -387,24 +387,14 @@ Erwärmung `. Standzylinders? - Bei welcher Temperatur besitzt Wasser somit die höhere Dichte? -.. - Das untere Thermometer zeigt 4 C, das obere 0 C an. - Wasser besitzt somit bei 4 C eine höhere Dichte als bei 0 C. - -.. waermekraftmaschinen.rst - -.. .. _Experimente zu Phasenübergängen: - -.. todo:: Experimente zu Phasenübergängen - - -.. raw:: latex +---- - \rule{\linewidth}{0.5pt} -.. raw:: html +.. Das untere Thermometer zeigt 4 C, das obere 0 C an. +.. Wasser besitzt somit bei 4 C eine höhere Dichte als bei 0 C. -
+.. waermekraftmaschinen.rst +.. todo Experimente zu Phasenübergängen .. only:: html diff --git a/waermelehre/hauptsaetze-der-waermelehre.rst b/waermelehre/hauptsaetze-der-waermelehre.rst index e1c23ed..9dc5b05 100644 --- a/waermelehre/hauptsaetze-der-waermelehre.rst +++ b/waermelehre/hauptsaetze-der-waermelehre.rst @@ -106,17 +106,17 @@ Verringerung der inneren Energie :math:`U` des Systems einher. Die Energiemenge, die beim Verbrennen von Heizstoffen wie Holz, Benzin, Diesel, Kohle oder Erdgas freigesetzt wird, heißt Verbrennungswärme :math:`Q _{\mathrm{H}}`. Sie lässt sich anhand der Masse :math:`m` des Brennstoffs sowie -dessen Heizwert :math:`H _{\mathrm{i}}` berechnen: +dessen Heizwert :math:`H_{\mathrm{i}}` berechnen: .. math:: - Q _{\mathrm{H}} = m \cdot H _{\mathrm{i}} + Q_{\mathrm{H}} = m \cdot H_{\mathrm{i}} -Der Heizwert :math:`H _{\mathrm{i}}` ist eine materialspezifische Größe und wird +Der Heizwert :math:`H_{\mathrm{i}}` ist eine materialspezifische Größe und wird bei Festkörpern und Flüssigkeiten üblicherweise in :math:`\unit{\frac{MJ}{kg}}`, bei Gasen in :math:`\unit{\frac{MJ}{m^3}}` angegeben. Für verschiedene -Materialien ist in Tabellenwerken neben dem Heizwert :math:`H _{\mathrm{i}}` -oftmals zusätzlich der Brennwert :math:`H _{\mathrm{s}}` des Materials +Materialien ist in Tabellenwerken neben dem Heizwert :math:`H_{\mathrm{i}}` +oftmals zusätzlich der Brennwert :math:`H_{\mathrm{s}}` des Materials angegeben. Letzterer gibt an, wie viel Wärme genutzt werden kann, wenn auch die :ref:`Verdampfungswärme ` des im Brennstoff enthaltenen oder bei der Verbrennung entstehenden Wasseranteils mit genutzt werden kann. [#]_ @@ -228,38 +228,37 @@ stattfindet. Diese Tatsache wurde ursprünglich von `Rudolf Clausius Möchte man mittels einer Maschine Wärme in mechanische Arbeit umwandeln ("Wärmekraftmaschine"), so benötigt man zunächst zwei unterschiedlich warme Systeme, so dass überhaupt ein Wärmestrom auftritt. Bringt man diese beiden -Systeme in Kontakt, so fließt eine Wärmemenge :math:`Q _{\mathrm{H}}` vom heißen +Systeme in Kontakt, so fließt eine Wärmemenge :math:`Q_{\mathrm{H}}` vom heißen System in Richtung des kälteren. Von diesem Wärmestrom kann ein (zunächst nicht näher bestimmter) Anteil :math:`W` an Arbeit "abgezapft" werden, die restliche -Wärme :math:`Q _{\mathrm{K}}` fließt zum kälteren System. +Wärme :math:`Q_{\mathrm{K}}` fließt zum kälteren System. Quantitativ gilt hierbei: .. math:: - Q _{\mathrm{H}} = W + Q _{\mathrm{K}} + Q _{\mathrm{H}} = W + Q_{\mathrm{K}} Bei einer Wärmekraftmaschine ist man in erster Linie am Anteil der mechanischen Arbeit :math:`W` interessiert. Man definiert den :ref:`Wirkungsgrad ` :math:`\eta` somit als Quotient der verrichteten mechanischen -Arbeit :math:`W = Q _{\mathrm{H}} - Q _{\mathrm{k}}` und der dafür investierten -Wärmemenge :math:`Q _{\mathrm{H}}`: +Arbeit :math:`W = Q_{\mathrm{H}} - Q_{\mathrm{k}}` und der dafür investierten +Wärmemenge :math:`Q_{\mathrm{H}}`: .. math:: :label: eqn-wirkungsgrad-waermekraftmaschine - \eta = \frac{W}{Q _{\mathrm{H}}} = \frac{Q _{\mathrm{H}} - Q - _{\mathrm{K}}}{Q _{\mathrm{H}}} = 1 - \frac{Q _{\mathrm{K}}}{Q + \eta = \frac{W}{Q_{\mathrm{H}}} = \frac{Q_{\mathrm{H}} - Q + _{\mathrm{K}}}{Q_{\mathrm{H}}} = 1 - \frac{Q_{\mathrm{K}}}{Q _{\mathrm{H}}} Der so definierte Wirkungsgrad kann nicht größer als :math:`1` beziehungsweise :math:`100\%` sein; der maximale Wirkungsgrad von :math:`100\%` wird genau dann -erreicht, wenn :math:`Q _{\mathrm{K}} = 0` ist, also keine Wärme an das kältere +erreicht, wenn :math:`Q_{\mathrm{K}} = 0` ist, also keine Wärme an das kältere System fließt. .. index:: Carnot-Wirkungsgrad .. _Formulierung nach Carnot: -.. _Carnot-Prozess: .. rubric:: Formulierung nach Carnot @@ -271,14 +270,14 @@ beschreibt. Er kam zu folgendem Ergebnis: .. math:: :label: eqn-carnotprozess - \eta _{\mathrm{max}} = 1 - \frac{T _{\mathrm{K}}}{T _{\mathrm{H}}} + \eta_{\mathrm{max}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{K}}}{T_{\mathrm{H}}} Auch bei dieser Formulierung des zweiten Hauptsatzes kann der Wirkungsgrad einer Wärmemaschine nicht größer als :math:`100\%` sein; dieser wird genau dann -erreicht, wenn :math:`T _{\mathrm{K}} = \unit[0]{K}` ist. Bei jeder anderen -Temperatur ist :math:`\eta _{\mathrm{max}} < 1`. Der Wirkungsgrad ist umso größer, -desto höher die Temperatur :math:`T _{\mathrm{H}}` des heißen Systems und desto -niedriger die Temperatur :math:`T _{\mathrm{K}}` des kalten Systems ist. +erreicht, wenn :math:`T_{\mathrm{K}} = \unit[0]{K}` ist. Bei jeder anderen +Temperatur ist :math:`\eta_{\mathrm{max}} < 1`. Der Wirkungsgrad ist umso größer, +desto höher die Temperatur :math:`T_{\mathrm{H}}` des heißen Systems und desto +niedriger die Temperatur :math:`T_{\mathrm{K}}` des kalten Systems ist. Carnot hat bei seiner Formulierung zwischen zwei Arten von Prozessen unterschieden: @@ -297,12 +296,12 @@ unterschieden: durch Reibungsarbeit erzeugte Wärme nicht wieder zurück in mechanische Arbeit umgewandelt werden kann. -Der maximale Wirkungsgrad :math:`\eta _{\mathrm{max}}` nach Gleichung +Der maximale Wirkungsgrad :math:`\eta_{\mathrm{max}}` nach Gleichung :eq:`eqn-carnotprozess` gilt exakt für reversible Prozesse, die zwischen zwei -Systemen mit den Temperaturen :math:`T _{\mathrm{H}}` und :math:`T _{\mathrm{K}}` +Systemen mit den Temperaturen :math:`T_{\mathrm{H}}` und :math:`T_{\mathrm{K}}` stattfinden ("Carnot-Prozess"). Bei irreversiblen Prozessen, also Prozessen mit Reibung, ist der tatsächliche Wirkungsgrad bei den gegebenen Temperaturen -kleiner als :math:`\eta _{\mathrm{max}}`. +kleiner als :math:`\eta_{\mathrm{max}}`. .. _Kältemaschinen und Wärmepumpen: @@ -333,12 +332,12 @@ einem Wirkungsgrad, der stets kleiner als :math:`100\%` ist, spricht man daher von so genannten "Leistungszahlen": * Bei einer Kältemaschine ist die interessierende Größe die Wärmemenge - :math:`Q _{\mathrm{K}}`, die dem kalten System entzogen wird. Für die + :math:`Q_{\mathrm{K}}`, die dem kalten System entzogen wird. Für die Leistungszahl :math:`LZ` einer Kältemaschine gilt damit: .. math:: - LZ = \frac{Q _{\mathrm{K}}}{W} + LZ = \frac{Q_{\mathrm{K}}}{W} * Bei einer Wärmepumpe ist die interessierende Größe die Wärmemenge :math:`Q _{\mathrm{H}}`, die dem wärmeren System zugeführt wird. Für die Leistungszahl @@ -346,11 +345,11 @@ von so genannten "Leistungszahlen": .. math:: - LZ = \frac{Q _{\mathrm{H}}}{W} + LZ = \frac{Q_{\mathrm{H}}}{W} In beiden Fällen sind die Leistungszahlen größer als Eins. Gute Wärmepumpen können Leistungszahlen von :math:`\approx 3` erreichen, bei Kältemaschinen sind -die Leistungszahlen wegen :math:`Q _{\mathrm{K}} < Q _{\mathrm{H}}` geringer. +die Leistungszahlen wegen :math:`Q_{\mathrm{K}} < Q_{\mathrm{H}}` geringer. .. _Dritter Hauptsatz: @@ -373,6 +372,9 @@ Durch den dritten Hauptsatz der Wärmelehre wird somit ein Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine von :math:`100\%`, wie er für einen :ref:`Carnot-Prozess ` theoretisch denkbar wäre, explizit ausgeschlossen. +.. Brennwert-Tabellen: +.. http://www.heizung-direkt.de/UEBERSHO/brennwert.htm +.. https://de.wikipedia.org/wiki/Heizwert .. raw:: html @@ -401,11 +403,11 @@ Wärmekraftmaschine von :math:`100\%`, wie er für einen :ref:`Carnot-Prozess thermodynamischen Prozesse ist dies bereits ausreichend. .. [#] Der Brennwert eines Materials ist stets größer als sein Heizwert. Früher - wurde der Brennwert :math:`H _{\mathrm{s}}` daher als oberer Heizwert :math:`H - _{\mathrm{o}}` und der Heizwert :math:`H _{\mathrm{i}}` als unterer Heizwert - :math:`H _{\mathrm{u}}` bezeichnet. Inzwischen haben sich allerdings die - entsprechenden lateinischen Bezeichnungen :math:`H _{\mathrm{s}}` ("superior") - und :math:`H _{\mathrm{i}}` ("inferior") international durchgesetzt. + wurde der Brennwert :math:`H_{\mathrm{s}}` daher als oberer Heizwert :math:`H + _{\mathrm{o}}` und der Heizwert :math:`H_{\mathrm{i}}` als unterer Heizwert + :math:`H_{\mathrm{u}}` bezeichnet. Inzwischen haben sich allerdings die + entsprechenden lateinischen Bezeichnungen :math:`H_{\mathrm{s}}` ("superior") + und :math:`H_{\mathrm{i}}` ("inferior") international durchgesetzt. Auch wenn ein Brennstoff keine Restfeuchte besitzt, kann es bei der Verbrennung zur Bildung von Wasserdampf kommen, wenn einzelne @@ -413,6 +415,3 @@ Wärmekraftmaschine von :math:`100\%`, wie er für einen :ref:`Carnot-Prozess Beim Brennwert wird dann die Wärmemenge mit einbezogen, die diese Menge Wasserdampf beim Kondensieren freisetzt. -.. Brennwert-Tabellen: -.. http://www.heizung-direkt.de/UEBERSHO/brennwert.htm -.. https://de.wikipedia.org/wiki/Heizwert diff --git a/waermelehre/kinetische-gastheorie.rst b/waermelehre/kinetische-gastheorie.rst index 0530b2f..68ec53d 100644 --- a/waermelehre/kinetische-gastheorie.rst +++ b/waermelehre/kinetische-gastheorie.rst @@ -17,49 +17,52 @@ Bewegungsrichtungen und Geschwindigkeiten statistisch verteilt sind. In einem einfachen Modell kann man von einem einzelnen Gasteilchen ausgehen, das sich in einem kubischen Behälter in :math:`x`-Richtung auf die linke Wand des Behälters zu bewegt. Bezeichnet man mit :math:`m` die Masse des Gasteilchens und -mit :math:`-v _x` seine ursprüngliche Geschwindigkeit, so gilt für die +mit :math:`-v_{\mathrm{x}}` seine ursprüngliche Geschwindigkeit, so gilt für die :ref:`Impulsänderung `, die das Teilchen bei einem elastischen Stoß mit der Wand erfährt: .. math:: - \Delta (m \cdot v) = m \cdot v_x - (- m \cdot v_x) = 2 \cdot m \cdot v_x + \Delta (m \cdot v) = m \cdot v_{\mathrm{x}} - (- m \cdot v_{\mathrm{x}}) = 2 + \cdot m \cdot v_{\mathrm{x}} Bis das Teilchen wieder auf die linke Wand trifft, muss es eine Strecke von -:math:`s_x = 2 \cdot l` zurücklegen, wenn :math:`l` die Länge des Würfels ist. -Bis zum nächsten Stoß mit der linken Wand vergeht somit folgende Zeit -:math:`\Delta t`: +:math:`s_{\mathrm{x}} = 2 \cdot l` zurücklegen, wenn :math:`l` die Länge des +Würfels ist. Bis zum nächsten Stoß mit der linken Wand vergeht somit folgende +Zeit :math:`\Delta t`: .. math:: - \Delta t = \frac{s_x}{v_x} = \frac{2 \cdot l}{v_x} + \Delta t = \frac{s_{\mathrm{x}}}{v_{\mathrm{x}}} = \frac{2 \cdot + l}{v_{\mathrm{x}}} Die Kraft, die das Teilchen auf die Wand ausübt, ist gleich der Impulsänderung je Zeit: .. math:: - F = \frac{\Delta (m \cdot v)}{\Delta t} = \frac{2 \cdot m \cdot v_x}{\frac{2 - \cdot l}{v_x}} = \frac{m \cdot v_x^2}{l} + F = \frac{\Delta (m \cdot v)}{\Delta t} = \frac{2 \cdot m \cdot + v_{\mathrm{x}}}{\frac{2 \cdot l}{v_{\mathrm{x}}}} = \frac{m \cdot + v_{\mathrm{x}}^2}{l} Der Druck, der von dem einzelnen Teilchen auf die linke Wand ausgeübt wird, ist gleich dem Quotienten aus Kraft und Wandfläche: .. math:: - p = \frac{F}{A} = \frac{m \cdot v_x^2}{A \cdot l} - = \frac{2 \cdot m \cdot v_x^2}{V} + p = \frac{F}{A} = \frac{m \cdot v_{\mathrm{x}}^2}{A \cdot l} + = \frac{2 \cdot m \cdot v_{\mathrm{x}}^2}{V} Im letzten Rechenschritt wurde die Beziehung :math:`V = A \cdot l` verwendet. Geht man nun nicht von einem einzelnen, sondern von :math:`N` Teilchen aus, die -sich in :math:`x`-Richtung mit den Geschwindigkeiten :math:`v _{x,1}, \, v -_{x,2},\, \ldots,\, v _{x,n}` hin- und herbewegen, so addieren sich die +sich in :math:`x`-Richtung mit den Geschwindigkeiten :math:`v_{x,1}, \, v +_{x,2},\, \ldots,\, v_{x,n}` hin- und herbewegen, so addieren sich die einzelnen Beiträge zum Gesamtdruck: .. math:: - p = \frac{F}{A} = \frac{m}{V} \cdot ( v _{x,1}^2 + v _{x,2}^2 + - \ldots + v _{x,n}^2) + p = \frac{F}{A} = \frac{m}{V} \cdot ( v_{x,1}^2 + v_{x,2}^2 + + \ldots + v_{x,n}^2) Da in einem Gasvolumen üblicherweise sehr viele Teilchen vorkommen, ist es wesentlich praktischer, anstelle von :math:`N` einzelnen @@ -69,25 +72,27 @@ arithmetischen Mittel der einzelnen Werte: .. math:: - \bar{v_x}^2 = \frac{v _{x,1}^2 + v _{x,2}^2 + - \ldots + v _{x,n}^2}{N} \quad \Longleftrightarrow \quad v _{x,1}^2 + v _{x,2}^2 + - \ldots + v _{x,n}^2 = N \cdot \bar{v_x}^2 + \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \frac{v_{x,1}^2 + v_{x,2}^2 + + \ldots + v_{x,n}^2}{N} \quad \Longleftrightarrow \quad v_{x,1}^2 + v + _{x,2}^2 + \ldots + v_{x,n}^2 = N \cdot \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 Setzt man diesen Ausdruck in die obige Gleichung ein, so erhält man: .. math:: - p = \frac{m}{V} \cdot N \cdot \bar{v_x}^2 + p = \frac{m}{V} \cdot N \cdot \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 Bei der Bewegung der Gasteilchen im Behälter tritt keine -Geschwindigkeitsrichtung bevorzugt auf. Wenn sich im Durchschnitt gleich -viele Gasteilchen in :math:`x`-, :math:`y`- und :math:`z`-Richtung bewegen, muss -:math:`\bar{v_x}^2 = \bar{v_y}^2 = \bar{v_z}^2` gelten. +Geschwindigkeitsrichtung bevorzugt auf. Wenn sich im Durchschnitt gleich viele +Gasteilchen in :math:`x`-, :math:`y`- und :math:`z`-Richtung bewegen, muss +:math:`\bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \bar{v_{\mathrm{y}}}^2 = \bar{v_{\mathrm{z}}}^2` +gelten. .. math:: - \bar{v}^2 = \bar{v_x}^2 + \bar{v_y}^2 + \bar{v_z}^2 \quad - \Longleftrightarrow \quad \bar{v_x}^2 = \frac{1}{3} \cdot \bar{v}^2 + \bar{v}^2 = \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 + \bar{v_{\mathrm{y}}}^2 + + \bar{v_{\mathrm{z}}}^2 \quad \Longleftrightarrow \quad + \bar{v_{\mathrm{x}}}^2 = \frac{1}{3} \cdot \bar{v}^2 Somit kann die obige Gleichung in folgender Form geschrieben werden: @@ -97,27 +102,27 @@ Somit kann die obige Gleichung in folgender Form geschrieben werden: \cdot \frac{N}{V} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar{v}^2 Im letzten Rechenschritt wurde der Term auf der rechten Seite mit :math:`1 = 2 -\cdot \frac{1}{2}` multipliziert, was den Wert des Terms zwar unverändert -lässt, es allerdings ermöglicht, den Faktor :math:`\left( \frac{1}{2} \cdot m -\cdot \bar{v}^2\right)` als mittlere kinetische Energie -:math:`\bar{E}_{\rm{kin}}` der Gasteilchen aufzufassen. Formt man die Gleichung -weiter um, so folgt: +\cdot \frac{1}{2}` multipliziert, was den Wert des Terms zwar unverändert lässt, +es allerdings ermöglicht, den Faktor :math:`\left( \frac{1}{2} \cdot m \cdot +\bar{v}^2\right)` als mittlere kinetische Energie :math:`\bar{E}_{\mathrm{kin}}` +der Gasteilchen aufzufassen. Formt man die Gleichung weiter um, so folgt: .. math:: - p \cdot V = \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar{E}_{\rm{kin}} + p \cdot V = \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar{E}_{\mathrm{kin}} Der Ausdruck :math:`p \cdot V` auf der linken Gleichungsseite entspricht nach der :ref:`allgemeinen Gasgleichung ` gerade :math:`p \cdot V = n \cdot R \cdot T`. Anstelle der allgemeinen Gaskonstante :math:`R` -kann dabei auch :math:`R = N _{\rm{A}} \cdot k _{\rm{B}}` gesetzt werden, wobei :math:`k -_{\rm{B}} = \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}}` die so genannte `Boltzmann -`_-Konstante ist. [#]_ Für -:math:`n=\unit[1]{mol}` eines Gases gilt also: +kann dabei auch :math:`R = N_{\mathrm{A}} \cdot k_{\mathrm{B}}` gesetzt werden, +wobei :math:`k_{\mathrm{B}} = \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}}` die so +genannte `Boltzmann `_-Konstante +ist. [#]_ Für :math:`n=\unit[1]{mol}` eines Gases gilt also: .. math:: - N \cdot k _{\rm{B}} \cdot T = \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar{E}_{\rm{kin}} + N \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T = \frac{2}{3} \cdot N \cdot + \bar{E}_{\mathrm{kin}} Damit erhält man als Gesamtergebnis der kinetischen Gastheorie folgende Gleichung: @@ -125,7 +130,7 @@ Gleichung: .. math:: :label: eqn-kinetische-gastheorie - \bar{E}_{\rm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k _{\rm{B}} \cdot T + \bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T Die kinetische Energie der Gasteilchen nimmt somit direkt proportional mit der (absoluten) Temperatur des Gases zu. Mit Hilfe der Gleichung @@ -146,28 +151,30 @@ bestimmten Temperatur ist. .. math:: - \bar{E}_{\rm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k _{\rm{B}} \cdot T = \frac{3}{2} - \cdot \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}} \cdot \unit[273]{K} \approx - \unit[5,65 \cdot \unit[10]{-21}]{J} + \bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{3}{2} \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T = + \frac{3}{2} \cdot \unit[1,38 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{J}{K}} \cdot + \unit[273]{K} \approx \unit[5,65 \cdot \unit[10]{-21}]{J} - Multipliziert man diesen Wert mit der Anzahl :math:`N _{\rm{A}} = \unit[6,022 - \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` an Teilchen je Mol, so erhält man als - Gesamtenergie für ein Mol an Teilchen: + Multipliziert man diesen Wert mit der Anzahl :math:`N_{\mathrm{A}} = + \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` an Teilchen je Mol, so erhält man + als Gesamtenergie für ein Mol an Teilchen: .. math:: - \bar{E}_{\rm{kin,ges}} = \unit[5,65 \cdot 10 ^{-21}]{J} \cdot \unit[6,022 - \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx \unit[3403]{\frac{J}{mol}} - - Unter :ref:`Normalbedingungen ` hat ein Mol eines idealen Gases - ein Volumen von rund :math:`\unit[22,4]{l}`. Die darin enthaltene kinetische - Energie :math:`E _{\rm{kin,ges}} \approx \unit[3,4]{kJ}` aller Teilchen - entspricht in etwa der kinetischen Energie eines :math:`m=\unit[1]{kg}` - schweren Gegenstands, der sich mit einer Geschwindigkeit von - :math:`v=\unit[82,5]{\frac{m}{s}} \approx \unit[297]{\frac{km}{h}}` bewegt. - Diese beachtliche Energiemenge ist beispielsweise der Grund dafür, weshalb - Wärmepumpen einen Teil der kinetischen Teilchen-Energien einer kälteren - Umgebung "abzapfen" und einer wärmeren Umgebung zuführen können. + \bar{E}_{\mathrm{kin,ges}} = \unit[5,65 \cdot 10 ^{-21}]{J} \cdot + \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx + \unit[3403]{\frac{J}{mol}} + + Unter Normalbedingungen nimmt ein Mol eines idealen Gases ein + ":ref:`Normalvolumen `" von :math:`\unit[22,4]{l}` ein. Die + darin enthaltene kinetische Energie :math:`E_{\mathrm{kin,ges}} \approx + \unit[3,4]{kJ}` aller Teilchen entspricht in etwa der kinetischen Energie + eines :math:`m=\unit[1]{kg}` schweren Gegenstands, der sich mit einer + Geschwindigkeit von :math:`v=\unit[82,5]{\frac{m}{s}} \approx + \unit[297]{\frac{km}{h}}` bewegt. Diese beachtliche Energiemenge ist + beispielsweise der Grund dafür, weshalb Wärmepumpen einen Teil der kinetischen + Teilchen-Energien einer kälteren Umgebung "abzapfen" und einer wärmeren + Umgebung zuführen können. * Wie groß ist die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat :math:`\bar{v}^2` von Luftmolekülen bei :math:`T = \unit[20]{\degree C}`? @@ -177,23 +184,23 @@ bestimmten Temperatur ist. .. math:: - \bar{E}_{\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar{v}^2 = \frac{3}{2} - \cdot k _{\rm{B}} \cdot T \quad \Longleftrightarrow \quad \bar{v}^2 = - \frac{3 \cdot k _{\rm{B}} \cdot T}{m} + \bar{E}_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar{v}^2 = \frac{3}{2} + \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T \quad \Longleftrightarrow \quad \bar{v}^2 = + \frac{3 \cdot k_{\mathrm{B}} \cdot T}{m} Wie im Abschnitt :ref:`Teilchenzahl und molare Masse ` gezeigt, beträgt die Masse von einem Mol an Stickstoff-Teilchen :math:`\unit[28]{g}`, die Masse von einem Mol an Sauerstoff-Teilchen :math:`\unit[32]{g}`. Teilt man diese Werte jeweils durch die Anzahl :math:`N - _{\rm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` an Teilchen je Mol, + _{\mathrm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` an Teilchen je Mol, so erhält man als Masse eines Stickstoff- bzw. Sauerstoff-Teilchens: .. math:: - m _{\ce{N2}} = \frac{\unit[28]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10 + m_{\ce{N2}} = \frac{\unit[28]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{1}{mol}}} \approx \unit[4,65 \cdot 10 ^{-23}]{g} = \unit[4,65 \cdot 10 ^{-26}]{kg} \\ - m _{\ce{O2}} = \frac{\unit[32]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10 + m_{\ce{O2}} = \frac{\unit[32]{\frac{g}{mol}}}{\unit[6,022 \cdot 10 ^{-23}]{\frac{1}{mol}}} \approx \unit[5,31 \cdot 10 ^{-23}]{g} = \unit[5,31 \cdot 10 ^{-26}]{kg} @@ -226,7 +233,7 @@ Teilchen. .. rubric:: Anmerkungen: -.. [#] Mit :math:`N _{\rm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` ist +.. [#] Mit :math:`N_{\mathrm{A}} = \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}}` ist die sogenannte Avogadro-Konstante gemeint, welche die Anzahl an Teilchen je mol eines chemischen Stoffes angibt. diff --git a/waermelehre/loesungen.rst b/waermelehre/loesungen.rst index 24496c9..130e235 100644 --- a/waermelehre/loesungen.rst +++ b/waermelehre/loesungen.rst @@ -4,18 +4,19 @@ Lösungen zur Wärmelehre ======================= -.. _Lösungen zu Temperatur und Wärme: -Lösungen zu Temperatur und Wärme --------------------------------- +.. _Lösungen Temperatur und Wärme: -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Temperatur und Wärme `. ---- -.. _Temperatur-01-Lösung: +.. _wte01l: * Um eine Temperatur von Grad Celsius in Grad Fahrenheit umzurechnen, muss man den Temperaturwert in die entsprechende Umrechnungsgleichung einsetzen: @@ -25,21 +26,21 @@ Wärme>`. \text{Temperatur in \textdegree F} &= (\text{Temperatur in \textdegree C} \cdot 1,8) + 32 \\[4pt] - Mit :math:`T _{\rm{C}} = \unit[20]{\degree C }` gilt somit: + Mit :math:`T_{\mathrm{C}} = \unit[20]{\degree C }` gilt somit: .. math:: - T _{\rm{F}} = (T _{\rm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((20 \cdot 1,8) + + T_{\mathrm{F}} = (T_{\mathrm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((20 \cdot 1,8) + 32)]{\degree F} = \unit[68]{\degree F} Eine Temperatur von :math:`\unit[20]{\degree C }` entspricht somit einer Temperatur von :math:`\unit[68]{\degree F}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Temperatur-02-Lösung: +.. _wte02l: * Um eine in Grad Celsius angegebene Temperatur in Kelvin umzurechnen, muss lediglich :math:`273` zum Temperaturwert hinzu addiert werden: @@ -49,11 +50,11 @@ Wärme>`. \text{Temperatur in K} &= \text{Temperatur in \textdegree C} + 273 \\[4pt] - Mit :math:`T _{\rm{C}} = \unit[40]{\degree C }` folgt somit: + Mit :math:`T_{\mathrm{C}} = \unit[40]{\degree C }` folgt somit: .. math:: - T = T _{\rm{C}} + 273 = \unit[40 + 273]{K} = \unit[313]{K} + T = T_{\mathrm{C}} + 273 = \unit[40 + 273]{K} = \unit[313]{K} Zur Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit muss der gegebene Temperaturwert in die passende Umrechnungs-Gleichung eingesetzt werden: @@ -67,38 +68,38 @@ Wärme>`. .. math:: - T _{\rm{F}} = (T _{\rm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((40 \cdot 1,8) + + T_{\mathrm{F}} = (T_{\mathrm{C}} \cdot 1,8) + 32 = \unit[((40 \cdot 1,8) + 32)]{\degree F} = \unit[104]{\degree F} Eine Temperatur von :math:`\unit[40]{\degree C }` entspricht somit einer Temperatur von :math:`\unit[313]{K}` bzw. von :math:`\unit[68]{\degree F}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zu Wärmekapazität und Phasenübergängen: +.. _Lösungen Wärmekapazität und Phasenübergänge: -Lösungen zu Wärmekapazität und Phasenübergängen ------------------------------------------------ +Wärmekapazität und Phasenübergänge +---------------------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Wärmekapazität und +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Wärmekapazität und Phasenübergänge `. ---- -.. _Wärmekapazität-und-Schmelzwärme-01-Lösung: +.. _wka01l: -* Um :math:`m=\unit[5]{kg}` Eis mit einer Schmelzwärme von :math:`q _{\rm{s}} = +* Um :math:`m=\unit[5]{kg}` Eis mit einer Schmelzwärme von :math:`q_{\mathrm{s}} = \unit[334]{kJ/kg}` und einer Temperatur von :math:`T = \unit[0]{\degree C}` zu schmelzen, muss eine Wärmemenge :math:`\Delta Q` zugeführt werden, die der Schmelzwärme dieser Eismenge entspricht: .. math:: - Q = m \cdot q _{\rm{s}} = \unit[5]{kg} \cdot \unit[334]{\frac{kJ}{kg}} = + Q = m \cdot q_{\mathrm{s}} = \unit[5]{kg} \cdot \unit[334]{\frac{kJ}{kg}} = \unit[1670]{kJ} Mit dieser Wärmemenge würden sich :math:`m=\unit[5]{kg}` Wasser mit einer @@ -115,25 +116,25 @@ Phasenübergänge `. Mit der zum Schmelzen von Eis nötigen Wärmemenge könnte die gleiche Masse an Wasser somit auf knapp :math:`\unit[80]{\degree C}` erhitzt werden. -:ref:`Zurück zur Aufgabe ` +:ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur Ausbreitung von Wärme: +.. _Lösungen Ausbreitung von Wärme: -Lösungen zur Ausbreitung von Wärme ----------------------------------- +Ausbreitung von Wärme +--------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Ausbreitung von Wärme `. ---- -.. _Wärmeleitung-02-Lösung: +.. _wau01l: -* Der Wärmestrom :math:`I _{\rm{Q}}` durch das einfach verglaste Fenster kann +* Der Wärmestrom :math:`I_{\mathrm{Q}}` durch das einfach verglaste Fenster kann direkt mit Hilfe der Wärmeleitungs-Formel berechnet werden. Mit :math:`A = \unit[2]{m^2}`, :math:`\lambda = \unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}}`, :math:`l = \unit[4]{mm}` und :math:`\Delta T = \unit[20]{\degree C} - @@ -141,7 +142,7 @@ von Wärme>`. .. math:: - I _{\rm{Q}} &= j _{\rm{Q}} \cdot A = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot + I_{\mathrm{Q}} &= j_{\mathrm{Q}} \cdot A = \frac{\lambda \cdot A}{l} \cdot \Delta T \\ &= \frac{\unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}} \cdot \unit[1,0]{m^2}}{\unit[0,004]{m}} \cdot \unit[15]{K} = \unit[3\,750]{W} @@ -149,11 +150,11 @@ von Wärme>`. ebenso hohe Heizleistung benötigen, um den Wärmeverlust zu kompensieren, andernfalls würde die Temperatur im Zimmer absinken. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeleitung-03-Lösung: +.. _wau02l: * Bei einem Wärmestrom durch ein doppelt verglastes Fenster sind die einzelnen Wärmewiderstände in Reihe geschaltet; es addieren sich somit die einzelnen @@ -167,17 +168,18 @@ von Wärme>`. .. math:: - R _{\rm{ges}} &= R_1 + R_2 + R_3 = 2 \cdot R_1 + R_2 \\ &= 2 \cdot \left( - \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot A_1}\right) + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot A_2} - \\ &= 2 \cdot \left( \frac{\unit[0,004]{m}}{\unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}} \cdot \unit[2]{m^2}}\right) - +\frac{\unit[0,01]{m}}{\unit[0,025]{\frac{W}{m \cdot K}} \cdot \unit[2]{m^2}} - = \unit[0,204]{\frac{K}{W}} + R_{\mathrm{ges}} &= R_1 + R_2 + R_3 = 2 \cdot R_1 + R_2 \\ &= 2 \cdot + \left( \frac{l_1}{\lambda_1 \cdot A_1}\right) + \frac{l_2}{\lambda_2 \cdot + A_2} \\ + &= 2 \cdot \left( \frac{\unit[0,004]{m}}{\unit[1]{\frac{W}{m \cdot K}} + \cdot \unit[2]{m^2}}\right) +\frac{\unit[0,01]{m}}{\unit[0,025]{\frac{W}{m + \cdot K}} \cdot \unit[2]{m^2}} = \unit[0,204]{\frac{K}{W}} Für den Wärmestrom gilt damit: .. math:: - I _{\rm{Q,RS}} = \frac{\Delta T}{R _{\rm{ges}}} = + I_{\mathrm{Q,RS}} = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{ges}}} = \frac{\unit[15]{K}}{\unit[0,204]{\frac{K}{W}}} \approx \unit[73,5]{W} Obwohl das Fenster eine doppelt so große Fläche :math:`A` hat wie das einfach @@ -186,18 +188,18 @@ von Wärme>`. (oder sogar dreifach) verglaste Fenster in Häuser eingebaut. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmestrahlung-01-Lösung: +.. _wau03l: * Bei einer Verdopplung der Temperatur ergibt sich folgendes Verhältnis der Strahlungsleistungen: .. math:: - \frac{I _{\rm{Q,2}}}{I _{\rm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot + \frac{I_{\mathrm{Q,2}}}{I_{\mathrm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T_2^4}{\sigma \cdot A \cdot T_1^4} = \frac{T_2^4}{T_1^4} = \frac{(2 \cdot T_1)^4}{T_1^4} = 2^4 = 16 @@ -210,7 +212,7 @@ von Wärme>`. .. math:: - \frac{I _{\rm{Q,2}}}{I _{\rm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot + \frac{I_{\mathrm{Q,2}}}{I_{\mathrm{Q,1}}} = \frac{\sigma \cdot A \cdot T_2^4}{\sigma \cdot A \cdot T_1^4} = \frac{T_2^4}{T_1^4} = \frac{(\unit[(273+40)]{K})^4}{(\unit[(273+10)]{K})^4} \approx 1,5 @@ -220,22 +222,22 @@ von Wärme>`. absoluten Temperaturwerten gerechnet wird und eine vierfache Celsius-Temperatur somit nicht einer vierfachen Kelvin-Temperatur entspricht. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur Ausdehnung bei Erwärmung: +.. _Lösungen Ausdehnung bei Erwärmung: -Lösungen zur Ausdehnung bei Erwärmung -------------------------------------- +Ausdehnung bei Erwärmung +------------------------ -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung `. ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-01-Lösung: +.. _wde01l: * Durch die Erwärmung dehnt sich das Metall-Lineal und damit auch seine Mess-Skala leicht aus. Mit dem erhitzten Lineal gemessene Werte sind somit @@ -244,7 +246,7 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung *Beispiel:* Angenommen, das Lineal bestünde aus Eisen; damit würde es sich um - :math:`\alpha _{\rm{Fe}} = \unit[0,0121]{mm}` je Meter Ausgangslänge und je + :math:`\alpha_{\mathrm{Fe}} = \unit[0,0121]{mm}` je Meter Ausgangslänge und je Kelvin Temperaturerhöhung ausdehnen. Ist das Lineal beispielsweise :math:`l = \unit[50]{cm} = \unit[0,5]{m}` lang und heizt sich um :math:`\Delta T = \unit[50]{K}` auf, so dehnt es sich um folgende Länge aus: @@ -260,11 +262,11 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung diesem Fall nicht von Bedeutung. Auch das erhitzte Lineal kann somit weiter zur Längenmessung verwendet werden. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-02-Lösung: +.. _wde02l: * Aluminium hat den größeren Längen-Ausdehnungskoeffizient als Stahl :math:`(\unit[0,024]{\frac{mm}{m \cdot K} } > \unit[0,010]{\frac{mm}{m @@ -272,14 +274,14 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung sich der Bimetall-Streifen nach oben verbiegen, muss somit das Aluminium nach unten bzw. der Chrom-Stahl nach oben zeigen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-03-Lösung: +.. _wde03l: * Der Längen-Ausdehnungskoeffizient von Kupfer beträgt :math:`(\alpha - _{\rm{Cu}} = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m \cdot K} })`. Durch die Erwärmung um + _{\mathrm{Cu}} = \unit[0,0168]{\frac{mm}{m \cdot K} })`. Durch die Erwärmung um :math:`\Delta T = \unit[40]{K}` dehnt sich der :math:`\unit[120]{m}` lange Draht somit um folgenden Betrag aus: @@ -292,53 +294,73 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung Der Kupfer-Draht dehnt sich somit um rund :math:`\unit[10]{cm}` aus. Seine neue Länge beträgt damit :math:`l + \Delta l \approx \unit[121,1]{m}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Festkörper-04-Lösung: +.. _wde04l: -* Die maximale Längenschwankung der :math:`l = \unit[300]{m}` langen Brücke - kann anhand des Temperaturunterschieds :math:`\Delta T = T _{\rm{warm}} - T - _{\rm{kalt}} = \unit[30]{\degree C} - (\unit[-15]{\degree C }) = - \unit[+45]{K}` sowie des angegebenen Längen-Ausdehnungskoeffizienten - :math:`(\alpha _{\rm{Beton}} = \unit[0,012]{\frac{mm}{ m \cdot K} })` +* Die Längenschwankung Brücke kann anhand der Temperaturunterschiede :math:`(T_2 + -T_1 = \unit[(-15 - 15)]{K} = \unit[-30]{K}` im Winter beziehungsweise + :math:`(T_3 - T_1 = \unit[(+40 - 15)]{K} = \unit[+25]{K}` im Sommer berechnet werden: .. math:: - \Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta t = \unit[0,012]{\frac{mm}{ m - \cdot K} } \cdot \unit[300]{m} \cdot \unit[45]{K} = \unit[162]{mm} = - \unit[16,2]{cm} + l_2 &= l_1 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_2-T_1) = \unit[300]{m} \cdot (1 + + \unit[12 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot \unit[(-30)]{K}) \approx + \unit[299,892]{m} \\[4pt] + l_3 &= l_1 \cdot (1 + \alpha \cdot (T_3-T_1) = \unit[300]{m} \cdot (1 + + \unit[12 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot \unit[(+25)]{K}) \approx + \unit[300,09]{m} \\[4pt] Die Längenschwankung der Brücke zwischen sommererlichen und winterlichen - Temperaturen beträgt somit gut :math:`\unit[16]{cm}`. + Temperaturen beträgt somit :math:`l_3 - l_2 \approx \unit[19,8]{cm}` - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Flüssigkeiten-01-Lösung: +* (\*) An einem Sommertag scheint die Sonne auf einen Tank mit einem Volumen von + :math:`V_0=\unit[50]{l}`; der Tank erhitzt sich dabei von + :math:`T_0=\unit[15]{\degree C}` auf :math:`\unit[50]{\degree C}`. Auf welches + Volumen dehnt sich der Tank aus? Um welches Volumen würde sich ein gleiches + Volumen an Benzin bei gleicher Temperaturdifferenz ausdehnen? + + +.. _wde05l: + +* Für den Stahltank als Festkörper gilt :math:`\gamma \approx 3 \cdot \alpha = + \unit[35,4 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}}`. Damit dehnt sich der Tank bei der + Temperaturerhöhung um :math:`\Delta T = \unit[35]{K}` auf folgendes Volumen + aus: + + .. math:: + + V_{\mathrm{neu}} = V_0 \cdot (1 + \gamma_{\mathrm{Stahl}} \cdot \Delta T) + = \unit[50]{l} \cdot (1 + \unit[35,4 \cdot 10^{-6}]{\frac{1}{K}} \cdot + \unit[35]{K} \approx \unit[50,06]{l} -* Das Benzin (Volumen :math:`V = \unit[40]{l}`, Volumen-Ausdehnungskoeffizient - :math:`\gamma = \unit[1,06 \cdot 10 ^{-3}]{\frac{1}{K} }`) wird im Tank um - :math:`\Delta T = T _{\rm{warm}} = T _{\rm{kalt}} = \unit[70]{\degree C } - - \unit[20]{\degree C } = \unit[50]{K}` erhitzt. Die Volumenausdehnung beträgt dabei: + Ein ebenso großes Ausgangsvolumen an Benzin dehnt sich hingegen bei gleicher + Temperaturdifferenz auf folgendes Volumen aus: .. math:: - \Delta V = \gamma \cdot \Delta T \cdot V = \unit[1,06 \cdot 10 - ^{-3}]{\frac{1}{K} } \cdot \unit[50]{K} \cdot \unit[40]{l} = - \unit[2,12]{l} + V_{\mathrm{neu}} = V_0 \cdot (1 + \gamma_{\mathrm{Benzin}} \cdot \Delta T) + = \unit[50]{l} \cdot (1 + \unit[1,06 \cdot 10^{-3}]{\frac{1}{K}} \cdot + \unit[35]{K} \approx \unit[51,86]{l} - Das Volumen nimmt somit um :math:`\unit[2,12]{l}` zu. Das neue Volumen - beträgt folglich :math:`V + \Delta V = \unit[42,12]{l}`. + Das Benzin dehnt sich folglich wesentlich stärker aus als der Tank. Bei einem + randvoll gefüllten Tank besteht somit die Gefahr, dass er sich bei Erwärmung + verformt oder reißt; Tankbehälter sollten somit nie komplett gefüllt werden, + oder ersatzweise (beispielsweise bei Heizungsanlagen) mit einem Überlauf-Gefäß + ausgestattet sein. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Flüssigkeiten-02-Lösung: +.. _wde06l: * Eine Besonderheit ("Anomalie") des Wassers liegt darin, dass es sich beim Erwärmen von :math:`\unit[0]{\degree C }` bis zu einer Temperatur von @@ -351,11 +373,11 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung ausdehnt. Eis hat somit eine geringere Dichte als Wasser und kann daher auf Wasser schwimmen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-01-Lösung: +.. _wde07l: * Jedes Gas füllt stets den ganzen Raum aus, der ihm zur Verfügung gestellt wird. Möchte man ein Gasvolumen komprimieren, so muss gegen das Gas Arbeit @@ -367,11 +389,11 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung der Reibung des Kolbens am Gehäuse der Luftpumpe, zum anderen wird stets ein Teil der zugeführten Kompressionsarbeit in Wärme-Energie umgewandelt. [#]_ - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-02-Lösung: +.. _wde08l: * Nach dem Modell eines idealen Gases kann das Eigenvolumen der Gasteilchen gegenüber dem Volumen, das diese anhand ihrer Bewegung einnehmen, völlig @@ -390,43 +412,42 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung kondensieren deshalb, bevor sie den absoluten Temperatur-Nullpunkt erreichen. [#]_ - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-03-Lösung: +.. _wde09l: * Nach der Zustandsgleichung eines idealen Gases ist der Quotient :math:`\frac{p \cdot V}{T}` eines bestimmten Gasvolumens stets konstant. - Das gesuchte Volumen :math:`V _{\rm{2}}` nach der angegebenen + Das gesuchte Volumen :math:`V_2` nach der angegebenen Zustandsänderung kann durch Auflösung der Zustandsgleichung aus den übrigen fünf Größen berechnet werden: .. math:: - \frac{p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{p _{\rm{2}} - \cdot V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } \quad \Longleftrightarrow \quad V - _{\rm{2}} = \frac{p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} \cdot T _{\rm{2}} }{T - _{\rm{1}} \cdot p _{\rm{2}} } + \frac{p_1 \cdot V_1 }{T_1 } = \frac{p_2 + \cdot V_2 }{T_2 } \quad \Longleftrightarrow \quad V + _2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2 }{T + _1 \cdot p_2 } - Setzt man die gegebenen Werte ein :math:`(p _{\rm{1}} = \unit[1]{bar},\; T - _{\rm{1}} = \unit[300]{K},\; V _{\rm{1}} = \unit[30]{cm^3},\; p _{\rm{2}} = - \unit[4]{bar},\; T _{\rm{2}} = \unit[500]{K})`, so erhält man: + Setzt man die gegebenen Werte ein :math:`(p_1 = \unit[1]{bar},\; T_1 = + \unit[300]{K},\; V_1 = \unit[30]{cm^3},\; p_2 = \unit[4]{bar},\; T_2 = + \unit[500]{K})`, so erhält man: .. math:: - V _{\rm{2}} = \frac{p _{\rm{1}} \cdot V _{\rm{1}} \cdot T _{\rm{2}} }{T - _{\rm{1}} \cdot p _{\rm{2}} } = \frac{\unit[1]{bar} \cdot - \unit[30]{cm^3} \cdot \unit[500]{K}}{\unit[300]{K} \cdot \unit[4]{bar}} - = \unit[12,5]{cm^3} + V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2 }{T _1 \cdot p_2 } = + \frac{\unit[1]{bar} \cdot \unit[30]{cm^3} \cdot + \unit[500]{K}}{\unit[300]{K} \cdot \unit[4]{bar}} = \unit[12,5]{cm^3} Das neue Volumen beträgt somit :math:`\unit[12,5]{cm^3}`. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-04-Lösung: +.. _wde10l: * Bleibt der Druck :math:`p` während der Zustandsänderung eines Gases konstant, vereinfacht sich die Zustandsgleichung für ideale Gase @@ -434,37 +455,34 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung .. math:: - \frac{V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } + \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} - Somit kann durch Einsetzen der gegebenen Größen :math:`(V _{\rm{1}} = - \unit[20]{m^2} \times \unit[2,5]{m} = \unit[50]{m^3},\, T _{\rm{1}} = - \unit[12]{\degree C } = \unit[285]{K} ,\, T _{\rm{2}} = \unit[20]{\degree C} = - \unit[293]{K})` das Volumen der erwärmten Luft :math:`V _{\rm{2}}` berechnet + Somit kann durch Einsetzen der gegebenen Größen :math:`(V_1 = + \unit[20]{m^2} \times \unit[2,5]{m} = \unit[50]{m^3},\, T_1 = + \unit[12]{\degree C } = \unit[285]{K} ,\, T_2 = \unit[20]{\degree C} = + \unit[293]{K})` das Volumen der erwärmten Luft :math:`V_2` berechnet werden: .. math:: - \frac{V _{\rm{1}} }{T _{\rm{1}} } = \frac{V _{\rm{2}} }{T _{\rm{2}} } - \quad \Longleftrightarrow \quad V _{\rm{2}} = \frac{V _{\rm{1}} \cdot T - _{\rm{2}} }{T _{\rm{1}} } + \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad \Longleftrightarrow \quad V_2 = + \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} .. math:: - V _{\rm{2}} = \frac{V _{\rm{1}} \cdot T _{\rm{2}} }{T _{\rm{1}} } = - \frac{\unit[50]{m^3} \cdot \unit[293]{K}}{\unit[285]{K }} \approx - \unit[51,4]{m^3} + V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{\unit[50]{m^3} \cdot + \unit[293]{K}}{\unit[285]{K}} \approx \unit[51,4]{m^3} Bei gleichem Druck würde sich die Luft somit auf ein Volumen von :math:`\unit[51,4]{m^3}` ausdehnen. Da das Volumen des Raum jedoch nur :math:`\unit[50]{m^3}` beträgt, müssen bei der höheren Temperatur - :math:`\Delta V = V _{\rm{2}} - V _{\rm{1}} = \unit[1,4]{m^3}` Luft aus dem - Raum entweichen. + :math:`\Delta V = V_2 - V_1 = \unit[1,4]{m^3}` Luft aus dem Raum entweichen. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Wärmeausdehnung-Gase-05-Lösung: +.. _wde11l: * Der Behälter enthält :math:`V_1=\unit[500]{l}` Luft bei einem Überdruck von :math:`\unit[3 \cdot 10^5]{Pa}`, der absolute Luftdruck im Behälter beträgt @@ -496,38 +514,37 @@ Ausdehnung bei Erwärmung>` zum Abschnitt :ref:`Ausdehnung bei Erwärmung Es ist somit eine zusätzliche Luftmenge von :math:`\unit[2500]{l}` bei Normaldruck nötig. - - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` ---- -.. _Lösungen zur allgemeinen Gasgleichung: +.. _Lösungen Allgemeine Gasgleichung: -Lösungen zur allgemeinen Gasgleichung -------------------------------------- +Allgemeine Gasgleichung +----------------------- -Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Allgemeine Gasgleichung +Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die :ref:`Übungsaufgaben ` zum Abschnitt :ref:`Allgemeine Gasgleichung `. ---- -.. _Allgemeine-Gasgleichung-01-Lösung: +.. _wag01l: * Nach der allgemeinen Gasgleichung gilt: .. math:: - p \cdot V = n \cdot R \cdot T = \frac{m}{m _{\rm{M}}} \cdot R \cdot T + p \cdot V = n \cdot R \cdot T = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} \cdot R \cdot T Diese Gleichung kann nach :math:`\rho = \frac{m}{V}` aufgelöst werden: .. math:: - \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m _{\rm{M}}}{R \cdot T} + \rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot m_{\mathrm{M}}}{R \cdot T} - Die molare Masse für Luft beträgt :math:`m _{\rm{M}} \approx + Die molare Masse für Luft beträgt :math:`m_{\mathrm{M}} \approx \unit[29]{\frac{g}{mol}}`. Mit :math:`T = \unit[(273+20)]{K}` und :math:`p = \unit[1 \cdot 10 ^{-10}]{Pa}` folgt: @@ -535,42 +552,43 @@ allgemeinen Gasgleichung>` zum Abschnitt :ref:`Allgemeine Gasgleichung \rho = \frac{\unit[1 \cdot 10 ^{-10}]{Pa} \cdot \unit[29]{\frac{g}{mol}}}{\unit[8,31]{\frac{J}{mol \cdot K}} \cdot - \unit[(273+20)]{K}} \approx \unit[1,19 \cdot 10 ^{-11}]{\frac{g}{m^3}} + \unit[(273+20)]{K}} \approx \unit[1,19 \cdot 10 ^{-12}]{\frac{g}{m^3}} Die Einheit ergibt sich, wenn man :math:`\unit{Pa} = \unit{\frac{N}{m^2}}` und - :math:`\unit{J} = \unit{N \cdot m}` setzt. Die resultierende Dichte der Luft im - Laborvakuum ist also, verglichen mit der normalen Luftdichte von rund - :math:`\unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}`, äußerst gering. + :math:`\unit{J} = \unit{N \cdot m}` setzt. Die resultierende Dichte der Luft + im Laborvakuum ist also, verglichen mit der normalen Luftdichte von rund + :math:`\unit[1,29]{\frac{kg}{m^3}}`, äußerst gering. - In einem Kubikzentimeter dieses Restgases befindet sich bei gleicher Dichte nur - ein Millionstel dieser Masse, also :math:`\unit[1,19 \cdot 10 ^{-17}]{g}`. - Anhand der molaren Masse :math:`m _{\rm{M}} = \unit[29]{\frac{g}{mol}}` von Luft - folgt damit für die enthaltene Stoffmenge: + In einem Kubikzentimeter dieses Restgases befindet sich bei gleicher Dichte + nur ein Millionstel dieser Masse, also :math:`\unit[1,19 \cdot 10 ^{-18}]{g}`. + Anhand der molaren Masse :math:`m_{\mathrm{M}} = \unit[29]{\frac{g}{mol}}` von + Luft folgt damit für die enthaltene Stoffmenge: .. math:: - n = \frac{m}{m _{\rm{M}}} = \frac{\unit[1,19 \cdot 10 - ^{-17}]{g}}{\unit[29]{\frac{g}{mol}}} \approx \unit[4,11 \cdot 10 - ^{-19}]{mol} + n = \frac{m}{m_{\mathrm{M}}} = \frac{\unit[1,19 \cdot 10 + ^{-18}]{g}}{\unit[29]{\frac{g}{mol}}} \approx \unit[4,11 \cdot 10 + ^{-20}]{mol} - In einem Mol sind :math:`N _{\rm{A}} = 6,022 \cdot 10 ^{23}` Teilchen enthalten. - Somit gilt für die Anzahl :math:`N` der je Kubikzentimeter im Gefäß + In einem Mol sind :math:`N_{\mathrm{A}} = 6,022 \cdot 10 ^{23}` Teilchen + enthalten. Somit gilt für die Anzahl :math:`N` der je Kubikzentimeter im Gefäß verbleibenden Teilchen: .. math:: - N = n \cdot N _{\rm{A}} = \unit[4,11 \cdot 10 ^{-19}]{mol} \cdot \unit[6,022 - \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx 247 \cdot 10^3 + N = n \cdot N_{\mathrm{A}} = \unit[4,11 \cdot 10 ^{-20}]{mol} \cdot + \unit[6,022 \cdot 10 ^{23}]{\frac{1}{mol}} \approx 24,7 \cdot 10^3 - Es sind in diesem "Laborvakuum" somit immer noch rund - :math:`\unit[250\,000]{Teilchen}` je Kubikzentimeter enthalten. + In diesem "Laborvakuum" sind also immer noch rund :math:`25\,000` Luftteilchen + je Kubikzentimeter enthalten. - :ref:`Zurück zur Aufgabe ` + :ref:`Zurück zur Aufgabe ` +---- -.. raw:: html +.. foo -
+.. waermekraftmaschinen-loesungen.rst .. only:: html @@ -591,17 +609,7 @@ allgemeinen Gasgleichung>` zum Abschnitt :ref:`Allgemeine Gasgleichung :math:`\unit[-183]{\degree C}`, Helium erst bei :math:`\unit[-269]{\degree C }`). -.. raw:: latex - - \rule{\linewidth}{0.5pt} - -.. raw:: html - -
- .. only:: html :ref:`Zurück zum Skript ` -.. waermekraftmaschinen-loesungen.rst - diff --git a/waermelehre/notes.rst b/waermelehre/notes.rst deleted file mode 100644 index 685a2e8..0000000 --- a/waermelehre/notes.rst +++ /dev/null @@ -1,21 +0,0 @@ -Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, die Aus- -sage, daß Wärme nicht aus einem niederen -zu einem höheren Temperaturniveau übergehen -kann, ohne daß an den beteiligten Körpern Ver- -änderungen zurückbleiben. -Dies ist die sogenannte Clausiussche Fassung die- -ses Satzes. Dazu ist gleichwertig die Kelvinsche -Fassung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik, -nach der es unmöglich ist, Arbeit zu leisten durch -Abkühlung eines Körpers unter den kältesten Teil -seiner Umgebung. -Wäre dies möglich, könnte man die gewonnene -Arbeit etwa durch Reibung in Wärme verwandeln, -und so einen Körper ohne weitere Wirkungen auf -ein höheres Temperaturniveau bringen. -Auf Ostwald und Planck geht die Formulierung -zurück: Es ist unmöglich, eine periodisch funk- -tionierende Maschine zu konstruieren, die nichts -weiter als Hebung einer Last und Abkühlung eines -Wärmereservoirs bewirkt. - diff --git a/waermelehre/temperatur-und-waerme.rst b/waermelehre/temperatur-und-waerme.rst index 17c6100..c8529b3 100644 --- a/waermelehre/temperatur-und-waerme.rst +++ b/waermelehre/temperatur-und-waerme.rst @@ -255,6 +255,6 @@ Gebrauch. .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Versuche ` und :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Experimente ` und :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/waermelehre/waermekapazitaet-und-phasenuebergaenge.rst b/waermelehre/waermekapazitaet-und-phasenuebergaenge.rst index 3adcdc6..0a6fd8a 100644 --- a/waermelehre/waermekapazitaet-und-phasenuebergaenge.rst +++ b/waermelehre/waermekapazitaet-und-phasenuebergaenge.rst @@ -45,6 +45,7 @@ an. erwärmen, wird als spezifischen Wärmekapazität :math:`c` bezeichnet: .. math:: + :label: eqn-spezifische-waermekapazitaet c = \frac{C}{m} = \frac{\Delta Q}{m \cdot \Delta T} @@ -102,14 +103,14 @@ an. Bei Gasen hängt die spezifische Wärmekapazität von der Art der Erwärmung ab. Je nachdem, ob während der Erwärmung der Druck :math:`p` oder das Volumen :math:`V` konstant gehalten wird, unterscheidet man zwischen den -Wärmekapazitäten :math:`c _{\rm{p}}` und :math:`c _{\rm{V}}`: +Wärmekapazitäten :math:`c_{\mathrm{p}}` und :math:`c_{\mathrm{V}}`: -* Die spezifische Wärmekapazität :math:`c _{\rm{V}}` eines Gases gibt an, +* Die spezifische Wärmekapazität :math:`c_{\mathrm{V}}` eines Gases gibt an, wie viel Energie zur Erwärmung eines Kilogramms um ein Grad nötig ist, wenn das Volumen des Gases konstant bleibt. Die zugeführte Wärmemenge führt ausschließlich zu einer Erhöhung der mittleren Energie der Moleküle. -* Die spezifische Wärmekapazität :math:`c _{\rm{p}}` eines Gases gibt an, wie +* Die spezifische Wärmekapazität :math:`c_{\mathrm{p}}` eines Gases gibt an, wie viel Energie zur Erwärmung eines Kilogramms um :math:`\Delta T = \unit[1]{K}` nötig ist, wenn der Druck des Gases konstant bleibt. Die zugeführte Wärmemenge erhöht hierbei einerseits die mittlere Energie der Moleküle, andererseits muss @@ -154,7 +155,7 @@ und :math:`V = s^3`. Insgesamt ergibt sich also :math:`p \cdot \Delta V = F \cdot \Delta s`, was mit der Definition der :ref:`Arbeit ` übereinstimmt. -Allgemein gilt für beliebige Gase stets :math:`c _{\rm{p}} > c _{\rm{V}}`, da +Allgemein gilt für beliebige Gase stets :math:`c_{\mathrm{p}} > c_{\mathrm{V}}`, da bei konstantem keine Energie für die Ausdehnung des Gases zugeführt werden muss. Bei konstantem Druck steht der Anteil der zugeführten Energie, der zur Verrichtung der Ausdehnungsarbeit benötigt wird, nicht für die Erwärmung des @@ -184,31 +185,74 @@ Mischungsregel bezeichnet: .. math:: - Q _{\rm{abgegeben}} &= Q _{\rm{aufgenommen}} \\ - c_1 \cdot m_1 \cdot (T_1 - T _{\rm{M}}) &= c_2 \cdot m_2 \cdot (T - _{\rm{M}} - T_2) + - Q_{\mathrm{abgegeben}} &= Q_{\mathrm{aufgenommen}} \\ + - m_1 \cdot c_1 \cdot (T_{\mathrm{M}} - T_1) &= m_2 \cdot c_2 \cdot + (T_{\mathrm{M}} - T_2) -Mit :math:`T _{\rm{M}}` bezeichnet sich die Mischungstemperatur, die sich -nach dem Mischungsvorgang ergibt. Haben die Wärme austauschenden Körper -die gleiche Wärmekapazität, so ergibt sich als Mischungstemperatur: +Mit :math:`T_{\mathrm{M}}` wird die Mischungstemperatur bezeichnet, die sich +nach dem Mischungsvorgang ergibt. Die Vorzeichen der Wärmebilanz ergeben sich +daraus, dass aufgenommene Wärmemengen der Konvention nach positiv gezählt, +abgegebene Wärmemengen hingegen negativ gewertet werden. Auf beiden Seiten +wurden in der obigen Gleichung die Wärmemengen dann mittels der Formel +:eq:`eqn-spezifische-waermekapazitaet` für die spezifische Wärmekapazität +ausgedrückt. Die linke Seite der Gleichung kann etwas umgestellt werden, indem +das Minus-Zeichen in die Klammer übernommen wird: .. math:: - T _{\rm{M}} = \frac{m_1 \cdot T_1 + m_2 \cdot T_2}{m_1 + m_2} + m_1 \cdot c_1 \cdot (-T_1 + T_{\mathrm{M}}) &= m_2 \cdot c_2 \cdot + (T_{\mathrm{M}} - T_2) \\ + m_1 \cdot c_1 \cdot (T_1 - T_{\mathrm{M}}) &= m_2 \cdot c_2 \cdot + (T_{\mathrm{M}} - T_2) -Sind mehr als zwei Körper am Mischungsvorgang beteiligt oder treten -Änderungen des Aggregatszustands auf, so müssen die dabei umgesetzten -Wärmemengen ebenfalls berücksichtigt werden. Allgemein gilt somit: +Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe :math:`T_{\mathrm{M}}` aufgelöst +werden. Dazu werden beide Seiten der Gleichung ausmultipliziert und anschließend +sortiert: + +.. math:: + + m_1 \cdot c_1 \cdot T_1 - m_1 \cdot c_1 \cdot T_{\mathrm{M}} &= m_2 \cdot + c_2 \cdot T_{\mathrm{M}} - \cdot m_2 \cdot c_2 \cdot T_2 \\ + m_1 \cdot c_1 \cdot T_1 + m_2 \cdot c_2 \cdot T_2 &= m_1 \cdot + c_1 \cdot T_{\mathrm{M}} + \cdot m_2 \cdot c_2 \cdot T_{\mathrm{M}} \\ + +Auf der rechten Seite der Gleichung kann :math:`T_{\mathrm{M}}` ausgeklammert +werden; für die Mischtemperatur ergibt sich damit folgende Formel: + +.. math:: + :label: eqn-mischtemperatur + + T_{\mathrm{M}} = \frac{m_1 \cdot c_1 \cdot T_1 + m_2 \cdot c_2 \cdot + T_2}{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2} + +Haben die Wärme austauschenden Körper eine gleiche Wärmekapazität, so kann diese +im Zähler sowie im Nenner ausgeklammert und gekürzt werden. Damit vereinfacht +sich die Formel folgendermaßen: + +.. math:: + + T_{\mathrm{M}} = \frac{m_1 \cdot T_1 + m_2 \cdot T_2}{m_1 + m_2} + +Man kann an dieser Formel erkennen, dass bei gleichen Wärmekapazitäten die +Massenanteile :math:`\frac{m_1}{m_{\mathrm{ges}}}` und +:math:`\frac{m_2}{m_{\mathrm{ges}}}` Gewichtungsfaktoren für die Mischtemperatur +sind: Eine große Masse von :math:`m_1` (im Vergleich zu :math:`m_2`) führt zu +einer Verschiebung der Mischtemperatur in Richtung von :math:`T_1`. Sind die +Wärmekapazitäten der gemischten Substanzen verschieden, so treten diese +zusätzlich als Gewichtungsfaktoren auf. + +Sind mehr als zwei Körper am Mischungsvorgang beteiligt, so müssen die dabei +umgesetzten Wärmemengen ebenfalls berücksichtigt werden. Allgemein gilt somit: .. math:: :label: eqn-mischungsformel - c_1 \cdot m_1 \cdot T_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot T_2 + \ldots = T _{\rm{M}} + c_1 \cdot m_1 \cdot T_1 + c_2 \cdot m_2 \cdot T_2 + \ldots = T_{\mathrm{M}} \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2 + \ldots) -Mittels der obigen Formel(n) kann experimentell ebenso die spezifische +Mittels der obigen Formeln kann experimentell wahlweise die spezifische Wärmekapazität eines Gegenstands oder seine Anfangstemperatur bestimmt werden. -Wärmeisolierte Anordnungen, die zu genau diesem Zweck konstruiert sind, heißen +Isolierte Anordnungen, die zu genau diesem Zweck konstruiert sind, heißen Kalorimeter. @@ -281,7 +325,7 @@ zusammen (Ausnahme: :ref:`Die Anomalie des Wassers `). :widths: 50 50 * - Stoff - - Schmelztemperatur in :math:`\unit[]{\degree C}` + - Schmelztemperatur in :math:`\unit{\degree C}` * - Aluminium - :math:`660` * - Blei @@ -304,11 +348,11 @@ zusammen (Ausnahme: :ref:`Die Anomalie des Wassers `). .. Legierungen weisen einen tieferen Schmelzpunkt auf als die einzelnen .. Bestandteile. -Manche Stoffe, z.B. Glas, haben keine bestimmte Schmelztemperatur: +Manche Stoffe, beispielsweise Glas, haben keine bestimmte Schmelztemperatur: * Glas erweicht bei :math:`\unit[700]{\degree C}` und wird bei - :math:`\unit[1\,300]{\degree C}` dünnflüssig. Man kann Glas als eine Flüssigkeit - ansehen, die bei Zimmertemperatur äußerst zäh ist. [#]_ + :math:`\unit[1\,300]{\degree C}` dünnflüssig. Man kann Glas als eine + Flüssigkeit ansehen, die bei Zimmertemperatur äußerst zäh ist. [#]_ * Andere Stoffe, beispielsweise Holz, verbrennen, wenn man sie an Luft stark erwärmt. @@ -323,13 +367,13 @@ Art des Stoffs und seiner Masse abhängig. *Definition:* -Die spezifische Schmelzwärme :math:`q _{\rm{s}}` eines Materials gibt an, welche -Wärmemenge :math:`Q` nötig ist, um ein Kilogramm des Stoffes bei seiner -Schmelztemperatur zu schmelzen: + Die spezifische Schmelzwärme :math:`q_{\mathrm{s}}` eines Materials gibt an, welche + Wärmemenge :math:`Q` nötig ist, um ein Kilogramm des Stoffes bei seiner + Schmelztemperatur zu schmelzen: -.. math:: + .. math:: - q _{\rm{s}} = \frac{\Delta Q}{m} + q_{\mathrm{s}} = \frac{\Delta Q}{m} Die spezifische Schmelzwärme wird üblicherweise in :math:`\unit[kJ]{kg}` angegeben. Beim Erstarren wird die gleiche Menge an Wärme wieder an die Umgebung @@ -340,7 +384,7 @@ abgegeben. :widths: 50 50 * - Stoff - - Schmelzwärme :math:`q _{\rm{s}}` in :math:`\unit[]{\frac{kJ}{kg}}` + - Schmelzwärme :math:`q_{\mathrm{s}}` in :math:`\unit{\frac{kJ}{kg}}` * - Aluminium - :math:`397` * - Blei @@ -386,7 +430,7 @@ den flüssigen Aggregatzustand über. Dieser Vorgang heißt Kondensieren. :widths: 50 50 * - Stoff - - Siedetemperatur in :math:`\unit[]{\degree C}` + - Siedetemperatur in :math:`\unit{\degree C}` * - Aluminium - :math:`2450` * - Blei @@ -423,13 +467,13 @@ ist wiederum von der Art der Flüssigkeit und ihrer Masse abhängig. *Definition:* -Die spezifische Verdampfungswärme :math:`q _{\rm{v}}` einer Flüssigkeit gibt -an, welche Wärmemenge :math:`Q` nötig ist, um ein Kilogramm der Flüssigkeit -bei ihrer Siedetemperatur zu verdampfen: + Die spezifische Verdampfungswärme :math:`q_{\mathrm{v}}` einer Flüssigkeit gibt + an, welche Wärmemenge :math:`Q` nötig ist, um ein Kilogramm der Flüssigkeit + bei ihrer Siedetemperatur zu verdampfen: -.. math:: + .. math:: - q _{\rm{v}} = \frac{\Delta Q}{m} + q_{\mathrm{v}} = \frac{\Delta Q}{m} Beim Kondensieren wird die gleiche Menge an Wärme wieder an die Umgebung abgegeben. @@ -439,7 +483,8 @@ abgegeben. :widths: 50 50 * - Stoff - - Verdampfungswärme :math:`q _{\rm{v}}` in :math:`\unit[]{\frac{kJ}{kg}}` + - Verdampfungswärme :math:`q_{\mathrm{v}}` in + :math:`\unit{\frac{kJ}{kg}}` * - Aluminium - :math:`10\,900` * - Benzol @@ -468,6 +513,26 @@ der festen in die gasförmige Phase über (oder umgekehrt), so ist die spezifische Wärme gleich der Summe der Schmelz- und Verdampfungswärme des jeweiligen Stoffs. +.. figure:: ../pics/waermelehre/diagramm-waermezufuhr-phasenuebergaenge.png + :name: fig-diagramm-waermezufuhr-phasenuebergaenge + :alt: fig-diagramm-waermezufuhr-phasenuebergaenge + :align: center + :width: 75% + + Benötigte Energiemenge zur Erwärmung von :math:`m=\unit[1]{kg}` Wasser von + :math:`\unit[-30]{\degree C}` (Eis) bis :math:`\unit[+130]{\degree C}` + (Dampf). + + .. only:: html + + :download:`SVG: Diagramm Wärmezufuhr und Phasenübergänge + <../pics/waermelehre/diagramm-waermezufuhr-phasenuebergaenge.svg>` + +Anhand der Werte aus den Tabellen zur Schmelz- und Verdampfungswärme erkennt +man, dass für die Phasenübergänge große Mengen an Wärme zugeführt werden müssen. +Da sich die Temperatur während des Schmelzens und Siedens nicht ändert, nennt +man die bei Phasenübergängen umgesetzte Wärmemenge auch "latente Wärme". + .. index:: single: Phasenübergang; Verdunsten @@ -497,7 +562,7 @@ Das Verdunsten einer Flüssigkeit kann folgendermaßen beeinflusst werden: ebenfalls schneller. Ebenfalls relevant für den Verdunstungsvorgang ist die Dampfmenge in der -umgebenden Luft; im Fall von Wasserdampf spricht man von Luftfeuchtigkeit. +umgebenden Luft; im Fall von Wasserdampf spricht man von Luftfeuchtigkeit. Die Menge an Wasserdampf, die ein bestimmtes Volumen an Luft maximal aufnehmen kann, ist stark abhängig von der Temperatur der Luft. Wie man an den Werten aus @@ -601,7 +666,7 @@ angegeben werden, ist die relative Luftfeuchtigkeit dimensionslos; sie wird Sättigungsmenge an Wasserdampf knapp :math:`\unit[5]{\frac{g}{m^3}}`; da die Luft eine relative Luftfeuchtigkeit von :math:`100\%` hat, enthält sie eben diese Menge an Wasserdampf. - + Bei einer Temperatur von :math:`\unit[20]{\degree C}` beträgt die Sättigungsmenge hingegegen rund :math:`\unit[17]{g}`. Die relative Luftfeuchtigkeit der Luft beträgt nach dem Erwärmen somit etwa @@ -623,20 +688,19 @@ Lüften und/oder durch kontinuierliches Lüften mit Wärmerückgewinnung .. Aggregatzustände (fest, flüssig, gasförmig) gleichzeitig nebeneinander .. existieren. Bei Wasser liegt er bei :math:`\unit[0,01]{\degree C}`. Druck? -.. - .. figure:: ../pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png - :width: 80% - :align: center - :name: fig-phasenuebergaenge - :alt: fig-phasenuebergaenge +.. .. figure:: ../pics/waermelehre/maxwellverteilung-stickstoffmolekuele.png +.. :width: 80% +.. :align: center +.. :name: fig-phasenuebergaenge +.. :alt: fig-phasenuebergaenge - Teilchenmodell von Festkörpern, Flüssigkeiten, und Gasen sowie - Phasenübergänge zwischen den drei Aggregatzuständen. +.. Teilchenmodell von Festkörpern, Flüssigkeiten, und Gasen sowie +.. Phasenübergänge zwischen den drei Aggregatzuständen. - .. only:: html +.. .. only:: html - :download:`SVG: Phasenübergänge - <../pics/waermelehre/phasenuebergaenge.svg>` +.. :download:`SVG: Phasenübergänge +.. <../pics/waermelehre/phasenuebergaenge.svg>` @@ -672,6 +736,6 @@ Lüften und/oder durch kontinuierliches Lüften mit Wärmerückgewinnung .. hint:: - Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. + Zu diesem Abschnitt gibt es :ref:`Übungsaufgaben `. diff --git a/waermelehre/waermekraftmaschinen.rst b/waermelehre/waermekraftmaschinen.rst index 4ca9030..c59ed21 100644 --- a/waermelehre/waermekraftmaschinen.rst +++ b/waermelehre/waermekraftmaschinen.rst @@ -1,13 +1,20 @@ -.. _Wärmekraftmaschinen: -Wärmekraftmaschinen -=================== +.. _Kreisprozesse: -Wärmekrafmaschinen wandeln chemische Energie durch Verbrennung in thermische -Energie um. +Kreisprozesse +============= -.. Über einen Kurbel-Antrieb wird die Hubkraft in eine Drehbewegung überführt und -.. ist damit für die Antriebsräder nutzbar. +Der Zustand eines Gases kann durch die Angabe seines Druck :math:`p`, seines +Volumens :math:`V` und seiner Temperatur :math:`T` beschrieben werden. Ändert +sich der Zustand eines Gases, so ändern sich entweder alle drei Größen, oder nur +zwei von ihnen, während die dritte Größe konstant gehalten wird: Bei isothermen +Zustandsänderungen wird die Temperatur, bei isochoren das Volumen und bei +isobaren der Druck konstant gehalten. + +In Wärmekraftmaschinen wie Benzin- oder Dieselmotoren werden derartige +Zustandsänderungen nacheinander wiederholt durchlaufen. Man nennt einen solchen +Vorgang "Kreisprozess", da das Gas nach jedem Durchgang wieder den +ursprünglichen Zustand erreicht. .. _Carnot-Prozess: @@ -15,6 +22,10 @@ Energie um. Der Carnot-Prozess ------------------ +... to be continued... + +.. :math:`p(V)`-Diagramm + .. Der Carnot-Prozess beschreibt den Idealfall einer Wärmekraftmaschine, liefert .. also bei gegebenen Temperaturniveaus den bestmöglichen Wirkungsgrad .. :math:`\eta`; Es gibt allerdings keine technische Realisierung dieses Prozesses. @@ -106,6 +117,25 @@ Der Carnot-Prozess .. Dokument fahrzeugtechnik12_1.pdf +.. .. _Stirling-Prozess: + +.. Der Stirling-Prozess +.. -------------------- + +.. In Stirlingmotoren wird ein Gas durch eine externe Wärmequelle in einem +.. geschlossenenen Kreislauf bewegt. + +.. Phase 1: Isotherme Expansion des Arbeitsgases durch Wärmezufuhr; Arbeitsabgabe +.. Phase 2: Isochore Wärmeabgabe, Abkühlung (keine Arbeit) +.. Phase 3: Isotherme Kompression, Wärmeabgabe, Arbeitsaufnahme +.. Phase 4: Aufheizung des Arbeitsgases im Regenerator bei konstantem Volumen durch +.. Bewegung des Verdrängerkolbens (isochore Erwärmung, keine Arbeit). + +.. Wirkungsgrad wie bei Carnot: + +.. .. math:: + +.. \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}