index.Rmd

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title: "Análisis Factorial Confirmatorio y Confiabilidad en `R`"
subtitle: "3er CIEP - Usil"
author: "Brian N. Peña-Calero y Arnold Tafur-Mendoza"
institute: "Avances en Medición Psicológica (AMP) - UNMSM"      
date: "12/10/2019" 
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# .font150[**Temario**]

---

# Temario

1. Modelos Factoriales
 * Definición y utilidad 
 * Conceptos: cargas factoriales, errores, variables observables, variables latentes. 
1. Análisis Factorial Confirmatorio
 * Diferencias y usos entre el análisis factorial exploratorio y confirmatorio
 * Concepto y utilidad
 * Términos básicos: Estimación restringidas (correlación de errores), liberadas, fijas 
 * Modelos AFC conocidos: Primer orden (ortogonales y oblicuos), segundo orden, bifactor
 * Procedimientos de análisis: Especificación, Identificación, Estimación, evaluación y re-especificación
 * Ejemplificación con caso
1. Fiabilidad por consistencia interna
 * Problemática de Alfa y la tau-equivalencia
 * Ventajas de la fiabilidad basado en modelos factoriales
 * Procedimiento en software

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# .font120[**Modelos Factoriales**]

---

# Modelos Factoriales

## Definición y Utilidad
## Conceptos
* ### Cargas Factoriales
* ### Errrores
* ### Variables Observables
* ### Variables Latentes

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class: inverse, center, middle

# .font120[**Análisis Factorial Confirmatorio**]
---

# Análisis Factorial Confirmatorio
* ### Diferencias y usos entre el análisis factorial exploratorio y confirmatorio
* ### Concepto y utilidad
* ### Términos básicos: Estimación restringidas (correlación de errores), liberadas, fijas
* ### Modelos AFC conocidos: Primer orden (ortogonales y oblicuos), segundo orden, bifactor

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# Procedimientos de análisis
<br>
## 1. Especificación 
## 2. Identificación
## 3. Estimación
## 4. Evaluación 
## 5. Re-especificación

---
# Procedimientos de análisis

## 1. Especificación 
.left-plot[
```{r echo=FALSE}
DiagrammeR::grViz("
digraph rmarkdown {
graph [layout = neato,
overlap = true,
outputorder = edgesfirst] 

node [shape = rectangle]
a [pos = '-5.0, 0.5!',  label = 'Variable \n Latente', shape = circle]
b [pos = '-3.0, -0.8!', label = 'Item03']
c [pos = '-3.0, 0.5!',  label = 'Item02']
d [pos = '-3.0, 1.8!',  label = 'Item01']
e [pos = '-2.0, -0.8!', label = 'e3', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
f [pos = '-2.0, 0.5!',  label = 'e2', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
g [pos = '-2.0, 1.8!',  label = 'e1', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]

a -> d [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> c [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> b [tailport = 'e', headport = 'w']
e -> b
f -> c
g -> d
}
", width = 500, height = 550)
```
]

.right-code[<br> `lavaan` automatiza la asignación de los errores pertenecientes a cada variable observada (ítem). <br>
```{r}
model <- " # Modelo de Medición
          `Variable Latente` =~ Item01 + Item02 + Item03
         "
```
Se crea (`<-`) el objeto `model` donde se **especifica**:
* Cuántas y como se llaman las variables latentes
* Cuántos ítems y a donde pertenecen

.center[.font100[*¡Veamos como sería en un modelo más complejo!*]]
]

---
# Procedimientos de análisis

## 1. Especificación 
.left-plot[
```{r echo=FALSE}
DiagrammeR::grViz("
digraph rmarkdown {
graph [layout = neato,
overlap = true,
outputorder = edgesfirst] 

node [shape = rectangle]

# Primer Factor
a [pos = '-5.0, 1.2!',  label = 'VL1', shape = ellipse]
b [pos = '-3.0, 0.6!', label = 'Item03']
c [pos = '-3.0, 1.2!',  label = 'Item02']
d [pos = '-3.0, 1.8!',  label = 'Item01']
e [pos = '-2.0, 0.6!', label = 'e3', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
f [pos = '-2.0, 1.2!',  label = 'e2', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
g [pos = '-2.0, 1.8!',  label = 'e1', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]

# Segundo Factor
m [pos = '-5.0, -0.9!',  label = 'VL2', shape = ellipse]
n [pos = '-3.0, -0.3!', label = 'Item04']
o [pos = '-3.0, -0.9!',  label = 'Item05']
p [pos = '-3.0, -1.5!',  label = 'Item06']
q [pos = '-2.0, -0.3!', label = 'e4', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
r [pos = '-2.0, -0.9!',  label = 'e5', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
s [pos = '-2.0, -1.5!',  label = 'e6', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]



a -> d [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> c [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> b [tailport = 'e', headport = 'w']
e -> b
f -> c
g -> d

m -> n [tailport = 'e', headport = 'w']
m -> o [tailport = 'e', headport = 'w']
m -> p [tailport = 'e', headport = 'w']
q -> n
r -> o
s -> p

a -> m [dir = both]

}
", width = 450, height = 520)
```
]

.right-code[El símbolo .font150[`↔`] hace referencia a la ***covarianza*** entre los factores. 
```{r eval=FALSE}
model <- " # Modelo de Medición
          VL1 =~ Item01 + Item02 + Item03
          VL2 =~ Item04 + Item05 + Item06
          # VL1 ~~ VL2
         "
```
No es necesario especificar `VL1 ~~ VL2`. `lavaan` supone que siempre trabajamos con modelos oblicuos. 

**Nota:** *Más adelante veremos modelos ortogonales.*
]

---
# Procedimientos de análisis

## 1. Especificación 

Hay más cosas que podemos especificar en nuestros modelos de medición:

--
* Igualar las cargas factoriales de alguno o varios ítems

--
```{r eval=FALSE}
VL1 =~ a*Item01 + a*Item02 + a*Item03
```

--
* Especificar modelos ortogonales

--
```{r eval=FALSE}
VL1 ~~ 0*VL2
```

--
* Realizar correlación entre errores (covarianza de varianza específica de los ítems)

--
```{r eval=FALSE}
# Correlación de errores
  Item01 ~~ Item02 
```

---
# Procedimientos de análisis

## 1. Especificación 
.left-plot[
```{r echo=FALSE}
DiagrammeR::grViz("
digraph rmarkdown {
graph [layout = neato,
overlap = true,
outputorder = edgesfirst] 

node [shape = rectangle]

# Primer Factor
a [pos = '-5.0, 1.2!',  label = 'VL1', shape = ellipse]
b [pos = '-3.0, 0.6!', label = 'Item03']
c [pos = '-3.0, 1.2!',  label = 'Item02']
d [pos = '-3.0, 1.8!',  label = 'Item01']
e [pos = '-2.0, 0.6!', label = 'e3', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
f [pos = '-2.0, 1.2!',  label = 'e2', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
g [pos = '-2.0, 1.8!',  label = 'e1', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]

# Segundo Factor
m [pos = '-5.0, -0.9!',  label = 'VL2', shape = ellipse]
n [pos = '-3.0, -0.3!', label = 'Item04']
o [pos = '-3.0, -0.9!',  label = 'Item05']
p [pos = '-3.0, -1.5!',  label = 'Item06']
q [pos = '-2.0, -0.3!', label = 'e4', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
r [pos = '-2.0, -0.9!',  label = 'e5', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
s [pos = '-2.0, -1.5!',  label = 'e6', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]



a -> d [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> c [tailport = 'e', headport = 'w']
a -> b [tailport = 'e', headport = 'w']
e -> b
f -> c
g -> d

m -> n [tailport = 'e', headport = 'w']
m -> o [tailport = 'e', headport = 'w']
m -> p [tailport = 'e', headport = 'w']
q -> n
r -> o
s -> p

a -> m [dir = both]
q -> r [dir = both]
}
", width = 450, height = 520)
```
]

.right-code[¡ A resolverlo!]

--
.right-code[
```{r eval=FALSE}
model <- " # Modelo de Medición
           VL1 =~ Item01 + Item02 + Item03
           VL2 =~ Item04 + Item05 + Item06
           
           # Correlación de errores
           Item04 ~~ Item05
         "
```
La varianza específica del `Item04` y del `Item05` son los que se relacionan de alguna manera. Existe algo que distinto a `VL2` que está explicando el comportamiento de las puntuaciones de esos ítems.
]

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# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación

Este procedimiento hace referencia a la suficiencia de información para el análisis. Dependiendo de la cantidad de información que tengamos y que solicitemos, podremos encontrar una solución satisfactoria.
Por ejemplo:

<box-block> 
X + Y  = 20 <br>
2X + Y = 28 
</box-block>

¿Cuánto vale `X` y cuánto vale `Y`?

--
<br> `X = 8`
<br> `Y = 12`

.center[.font120[*¿Había suficiente información?*]]

---
# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación

Imaginemos ahora la siguiente situación:

<box-block> 
 X + Y  = 25 <br>
2X + 2Y = 50
</box-block>

¿Cuánto vale `X` y cuánto vale `Y`?

-- 
Las soluciones pueden ser infinitas
<br> `X = 10; Y = 15`
<br> `X = 8; Y = 17`
<br> `X = 15; Y = 10`

.center[.font120[*¡No tenemos suficiente información!*]]

---
# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación

En el caso de un `AFC` la suficiencia de información hace referencia a la cantidad de correlaciones que existe en una matriz de las variables a analizar (en nuestros casos, los ítems). Esto se contrasta con la información solicitada (`Especificaciòn`).

```{r echo=FALSE}
library(magrittr)
```

```{r echo=FALSE}
lavaan::HolzingerSwineford1939 %>%
  dplyr::select(x1:x3) %>% 
  corrr::correlate(diagonal = 1L) %>% 
  corrr::shave() %>% 
  corrr::fashion()
```

.center[.font110[¿Cuántas correlaciones tenemos?]]

--
.center[`6`]

---
# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación

Veamos otro ejemplo con una cantidad de ítems mayor

```{r echo=FALSE}
lavaan::HolzingerSwineford1939 %>%
  dplyr::select(x1:x5) %>% 
  corrr::correlate(diagonal = 1L) %>% 
  corrr::shave() %>% 
  corrr::fashion()
```

.center[.font110[¿Cuántas correlaciones tenemos?]]

--
.center[`15`]

---
# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación

¡Último ejemplo! *Nota: Encuentren la regla*

.left-code[
```{r echo=FALSE}
lavaan::HolzingerSwineford1939 %>%
  dplyr::select(x1:x8) %>% 
  corrr::correlate(diagonal = 1L) %>% 
  corrr::shave() %>% 
  corrr::fashion()
```
]

.right-code[
.center[.font110[¿Cuántas correlaciones tenemos?]]
<br> .center[`36`]
<br>
.center[$$Información= \frac{n(n+1)}{2}$$]
]

---
# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación
.left-plot[
```{r echo=FALSE}
DiagrammeR::grViz("
digraph rmarkdown {
graph [layout = neato,
overlap = true,
outputorder = edgesfirst] 

node [shape = rectangle]
a [pos = '-5.0, 0.5!',  label = 'Variable \n Latente', shape = circle]
b [pos = '-3.0, -0.8!', label = 'Item03']
c [pos = '-3.0, 0.5!',  label = 'Item02']
d [pos = '-3.0, 1.8!',  label = 'Item01']
e [pos = '-2.0, -0.8!', label = 'e3', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
f [pos = '-2.0, 0.5!',  label = 'e2', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]
g [pos = '-2.0, 1.8!',  label = 'e1', shape = circle, fixedsize = TRUE, width = 0.4]

a -> d [tailport = 'e', headport = 'w', label = 'λ1']
a -> c [tailport = 'e', headport = 'w', label = 'λ2']
a -> b [tailport = 'e', headport = 'w', label = 'λ3']
e -> b [label = c]
f -> c [label = b]
g -> d [label = a]
}
", width = 500, height = 550)
```
]

.right-code[¿Cuánta información estamos solicitando aquí? 
En total, solicitamos calcular las `cargas factoriales` (*varianza común*) y el `error de medición` (*varianza específica*):
<br> Cargas factoriales: `λ1, λ2, λ3`
<br> Error de medición: `a, b, c`

.center[*Entonces estamos solicitando 6 informaciones*]

Siendo 3 ítems que ingresan al modelo. 
<br> <br>
.center[**¿De cuánta información disponemos?**]
]

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# Procedimientos de análisis

## 2. Identificación
### Notas importantes
* Mientras tengamos más de 3 ítems en nuestro modelo, no tendremos problemas de identificación (*sub-identificación* o *no identificado*). 
* En los casos que tenemos modelos con solo 3 ítems, se puede calcular siempre y cuando no se soliciten mayor información (*apenas identificado*) como por ejemplo, `correlación de errores entre ítems`. Debido a que con 3 ítems tenemos 6 cantidad de informaciones y estaríamos solicitando un total de 7 informaciones.
* No es imposible trabajar con modelos de 2 o 1 ítem (*ítems únicos*), siempre y cuando se empleen algunos artificios. Por ejemplo, igualar cargas factoriales o ingresar información previa sobre algún parámetro (de esta manera no se volverá a calcular).

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# Procedimientos de análisis

## 3. Estimación

.center[<b>Tabla Resumen de Estimadores</b>]
```{r , echo=FALSE}
knitr::kable(data.frame(
  Estimadores = c("ML (Máxima Verosimilitud)", "ULS (Mínimos cuadrados no ponderados)",
                  "WLS (Mínimos cuadrados ponderados)", 
                  "DWLS (Mínimos cuadrados con diagonal ponderada"),
  `Estimadores Robustos` = c("MLM, MLR, MLMVS, MLMV", "ULSM, ULSMVS, ULSMV", 
                             "-", "WLSM, WLSMVS, WLSMV"),
  Descripciones = c("Datos continuos", "Variables Categóricas", 
                    "Variables Categóricas",
                    "Variables Categóricas. Es el más recomendado en la actualidad"),
  stringsAsFactors = FALSE, check.names = FALSE
), booktabs = TRUE, align=rep('c', 5), format='html')
```

---
# Procedimientos de análisis

## 3. Estimación

Aclaración sobre los sufijos de las nomenclaturas para los **estimadores robustos**:
* ABC`M`: Trabaja con errores robustos y corrección para chi-cuadrado *Satorra-Bentler*
* ABC`MVS`: Trabaja con errores robustos y corrección para media-varianza y chi-cuadrado *Satterthwaite*
* ABC`MV`: Trabaja con errores robustos y corrección para media-varianza y chi-cuadrado *scale-shifted*

Los estudios de simulación coinciden en que la corrección **scale-shifted** es quien brinda mejores resultados siempre y cuando se tenga una cantidad de datos *suficiente* (n > 250, dependiendo de la cantidad de ítems).
<br>
Para nuestros casos: Los mejores estimadores a utilizar cuando trabajemos con datos contínuos será `MLR` (en caso de no-normalidad) y `WLSMV` (en caso de datos categóricos).

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# Procedimientos de análisis

## 4. Evaluación

Este procedimiento hace referencia al cálculo y valoración de los ***índices de ajuste*** de los modelos estimados, así como a las cargas factoriales calculadas.
* Estos índices son derivados del test *chi-cuadrado* por lo que a medida que cambie este, el resto de los índices cambiará. 
* A medida que se emplee un estimador diferente (*recordar que hace correcciones a esta prueba*) y/o aumenten o desciendan el número de ítems/factores, los índices de ajuste cambiarán. 
* Por último a medida que se ingresen o resten especificaciones al modelo, los **índices de ajuste** cambiarán.

Este procedimiento nos permitirá tomar la decisión de finalizar el análisis en este punto o ir al siguiente paso ***Re-Especificación***.

---
# Procedimientos de análisis

## 4. Evaluación

```{r , echo=FALSE}
knitr::kable(data.frame(
  `Índices de ajuste` = c("χ²", "χ²/gl", "CFI (Comparative Fit Index)", 
                          "TLI (Tucker Lewis Index) o NNFI (Non-Normed Fit Index)",
                          "RMSEA (Root Mean Square Error of Approximation)",
                          "SRMR (Standardized Root Mean Residual)"),
  `Descriptivos` = c("Test Chi-Cuadrado (bondad de ajuste)", 
                     "Medida de parsimonia", 
                     "Medida de ajuste independiente o incremental",
                     "Medida de ajuste independiente o incremental",
                     "Evalúa que tan lejos está de un modelo perfecto",
                     "Evalúa que tan grande es el error de reproducir el modelo"),
  `Puntos de Corte` = c("No estadísticamente significativo",
                        "Menor a 3 o 2",
                        "≥ .90 = ajuste adecuado; ≥ .95 = buen ajuste",
                        "≥ .90 = ajuste adecuado; ≥ .95 = buen ajuste",
                        "≥ .10 = ajuste pobre; ≤ .08 = adecuado ajuste, 
                        ≤ .05 = buen ajuste",
                        "≤ .08 = buen ajuste, ≤ .06: ideal "),
  stringsAsFactors = FALSE, check.names = FALSE
), booktabs = TRUE, align=rep('c', 5), format='html') %>% 
  kableExtra::collapse_rows(columns = 2:3)
```

---
# Procedimientos de análisis

## 5. Re-Especificación

Este procedimiento hace referencia a empezar nuevamente el flujo del análisis, quitar, aumentar algo en el proceso de `Espeficación` que permita tener un modelo factorial idóneo.

Una de las cosas que ayudan en esta etapa es el cálculo de los `índices de modificación`.
En el paquete `lavaan` podremos realizar rápidamente con la sintaxis:
```{r eval=FALSE}
modificationindices()
```

--
<br>
.center[.font150[¿Listos para hacer un ejemplo?]]

---

# Ejemplificación de caso

Para este primer ejemplo usaremos la BD de Holzinger & Swineford (1939). Se tienen 9 pruebas que se estructuran en 3 factores latentes: Visual, Textual y Velocidad.
```{r eval=FALSE}
lavaan::HolzingerSwineford1939
```
```{r echo=FALSE}
DT::datatable(
  lavaan::HolzingerSwineford1939 %>% 
    dplyr::mutate_if(is.numeric, round, 2),
  fillContainer = FALSE, options = list(pageLength = 4)
)
```

---

# Ejemplificación de caso

## 1. Especificación

```{r}
model <-  " visual  =~ x1 + x2 + x3
            textual =~ x4 + x5 + x6
            speed   =~ x7 + x8 + x9 "
```

## 2. Identificación y Estimación
Almacenamos la estimación en el objeto `fit` sobre el cuál consultaremos para obtener información. 

*Recordar:* Es importante el almacenar información con `<-`
```{r}
library(lavaan)
fit <- cfa(model = model,
           data  = HolzingerSwineford1939)
```

---

# Ejemplificación de caso

## 4. Evaluación

.scroll-output[
```{r}
summary(fit)
```
]

---

# Ejemplificación de caso

## 4. Evaluación

.scroll-output[
```{r}
summary(fit, fit.measures = TRUE, standardized = TRUE)
```
]

---

## 5. Re-Especificación

```{r}
modindices(fit, sort = TRUE, maximum.number = 10)  
```


---
class: inverse, center, middle

# .font120[**Fiabilidad por consistencia interna**]

---

# Fiabilidad por consistencia interna
* ### Problemática de Alfa y la tau-equivalencia
* ### Procedimiento en software

---
class: inverse, center, middle

# .font120[**Gracias**]