-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.41.html
66 lines (54 loc) · 6.24 KB
/
1.41.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Скалярные и векторные поля, градиент, дивергенция, ротор</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Скалярные и векторные поля, градиент, дивергенция, ротор</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.40.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="2.1.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Скалярные и векторные поля</h2>
<p><strong>Скалярное поле</strong> — это функция, которая каждому значению точки <code>(x, y, z)</code> в пространстве сопоставляет скалярное значение, например температуру или плотность. Скалярное поле обозначается как <code>φ(x, y, z)</code>.</p>
<p><strong>Векторное поле</strong> — это функция, которая каждой точке <code>(x, y, z)</code> в пространстве сопоставляет вектор. Примеры векторных полей включают силу тяготения, электрическое и магнитное поля. Векторное поле обозначается как <code>F(x, y, z) = (Fₓ, Fᵧ, Fz)</code>, где <code>Fₓ</code>, <code>Fᵧ</code>, и <code>Fz</code> — компоненты поля по осям координат.</p>
<h3>Примеры полей</h3>
<ul>
<li>Температурное поле в комнате можно представить как скалярное поле, где каждой точке сопоставляется температура.</li>
<li>Силовое поле (например, гравитационное) — это векторное поле, где каждой точке сопоставляется вектор силы.</li>
</ul>
<h2>Градиент</h2>
<p><strong>Градиент</strong> скалярного поля <code>φ(x, y, z)</code> — это векторное поле, которое указывает направление наибольшего увеличения функции и имеет величину, равную скорости изменения функции в этом направлении. Градиент обозначается как <code>∇φ</code> и вычисляется следующим образом:</p>
<pre>∇φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z)</pre>
<p>Градиент используется в физике для определения направления и скорости изменения таких величин, как температура и давление.</p>
<h3>Пример</h3>
<p>Рассмотрим функцию <code>φ(x, y, z) = x² + y² + z²</code>. Тогда:</p>
<pre>∇φ = (2x, 2y, 2z)</pre>
<p>Это векторное поле, указывающее направление и скорость наибольшего увеличения функции <code>φ</code> в каждой точке.</p>
<h2>Дивергенция</h2>
<p><strong>Дивергенция</strong> векторного поля <code>F(x, y, z) = (Fₓ, Fᵧ, Fz)</code> — это скалярная величина, которая описывает меру "источниковости" или "поглощения" векторного поля. Дивергенция обозначается как <code>∇·F</code> и вычисляется как:</p>
<pre>∇·F = ∂Fₓ/∂x + ∂Fᵧ/∂y + ∂Fz/∂z</pre>
<p>Дивергенция позволяет оценить, насколько сильно векторное поле расходится или сходится в данной точке. Если дивергенция положительна, поле "источника", если отрицательна — "стока".</p>
<h3>Пример</h3>
<p>Рассмотрим векторное поле <code>F(x, y, z) = (x, y, z)</code>. Тогда дивергенция равна:</p>
<pre>∇·F = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3</pre>
<p>Положительная дивергенция указывает на наличие источника в данной точке.</p>
<h2>Ротор</h2>
<p><strong>Ротор</strong> векторного поля <code>F(x, y, z) = (Fₓ, Fᵧ, Fz)</code> — это вектор, который описывает "вращение" векторного поля вокруг точки. Ротор обозначается как <code>∇×F</code> и вычисляется следующим образом:</p>
<pre>∇×F = ( ∂Fz/∂y - ∂Fᵧ/∂z, ∂Fₓ/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fᵧ/∂x - ∂Fₓ/∂y )</pre>
<p>Ротор используется для измерения вихревых движений в поле, таких как движение жидкости вокруг оси.</p>
<h3>Пример</h3>
<p>Рассмотрим векторное поле <code>F(x, y, z) = (-y, x, 0)</code>. Тогда ротор равен:</p>
<pre>∇×F = (0 - 0, 0 - 0, 1 + 1) = (0, 0, 2)</pre>
<p>Ненулевой ротор указывает на наличие вращения в поле вокруг оси <code>z</code>.</p>
<h2>Заключение</h2>
<p>Градиент, дивергенция и ротор — это основные операции, применяемые к полям, которые помогают анализировать их поведение. Градиент показывает направление наибольшего увеличения скалярного поля, дивергенция указывает на степень "источниковости" или "поглощения" векторного поля, а ротор показывает его вращение.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.40.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="2.1.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>