-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.38.html
107 lines (96 loc) · 5.1 KB
/
1.38.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Первообразная, её свойства и таблица первообразных</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Первообразная, её свойства и таблица первообразных</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.37.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.39.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Понятие первообразной</h2>
<p><strong>Первообразная</strong> функции <code>f(x)</code> — это функция <code>F(x)</code>, производная которой равна <code>f(x)</code> на данном интервале. То есть <code>F'(x) = f(x)</code>. Первообразная называется также <strong>неопределённым интегралом</strong> функции <code>f(x)</code> и обозначается символом интеграла:</p>
<pre>∫ f(x) dx = F(x) + C</pre>
<p>где <code>C</code> — произвольная константа интегрирования, поскольку производная любой константы равна нулю.</p>
<h2>Основные свойства первообразной</h2>
<p>Первообразные функций обладают рядом свойств, которые облегчают их вычисление:</p>
<h3>1. Линейность интегрирования</h3>
<p>Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций, а константу можно выносить за знак интеграла:</p>
<pre>∫ (a * f(x) + b * g(x)) dx = a * ∫ f(x) dx + b * ∫ g(x) dx</pre>
<p>где <code>a</code> и <code>b</code> — константы.</p>
<h3>2. Первообразная производной</h3>
<p>Если <code>F(x)</code> — первообразная функции <code>f(x)</code>, то для <code>F'(x) = f(x)</code> справедливо:</p>
<pre>∫ f(x) dx = F(x) + C</pre>
<h3>3. Произведение постоянной на функцию</h3>
<p>Константа, умноженная на функцию, интегрируется как произведение этой константы и первообразной функции:</p>
<pre>∫ c * f(x) dx = c * ∫ f(x) dx</pre>
<h2>Таблица основных первообразных</h2>
<p>Ниже представлена таблица часто используемых первообразных для стандартных функций:</p>
<table border="1">
<tr>
<th>Функция</th>
<th>Первообразная</th>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = xⁿ</code> (при <code>n ≠ -1</code>)</td>
<td><code>F(x) = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = 1/x</code></td>
<td><code>F(x) = ln|x| + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = eˣ</code></td>
<td><code>F(x) = eˣ + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = aˣ</code></td>
<td><code>F(x) = aˣ / ln(a) + C</code> (при <code>a > 0</code>)</td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = sin(x)</code></td>
<td><code>F(x) = -cos(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = cos(x)</code></td>
<td><code>F(x) = sin(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = sec²(x)</code></td>
<td><code>F(x) = tan(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = 1 / (1 + x²)</code></td>
<td><code>F(x) = arctan(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = 1 / √(1 - x²)</code></td>
<td><code>F(x) = arcsin(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = ch(x)</code></td>
<td><code>F(x) = sh(x) + C</code></td>
</tr>
<tr>
<td><code>f(x) = sh(x)</code></td>
<td><code>F(x) = ch(x) + C</code></td>
</tr>
</table>
<h2>Пример</h2>
<p>Рассмотрим нахождение первообразной функции <code>f(x) = 3x²</code>:</p>
<ul>
<li>Используем таблицу, где для <code>x²</code> первообразная равна <code>x³ / 3</code>.</li>
<li>Тогда <code>∫ 3x² dx = 3 * (x³ / 3) = x³ + C</code>.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Первообразная функции — это функция, производная которой равна данной функции. Основные свойства первообразных и таблица интегралов облегчают процесс интегрирования, позволяя быстро находить решения для типичных функций.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.37.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.39.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>