-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.35.html
74 lines (61 loc) · 5.51 KB
/
1.35.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Свойства производной, производная и дифференциал сложной и обратной функций</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Свойства производной, производная и дифференциал сложной и обратной функций</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.34.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.36.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Свойства производной</h2>
<p>Производные функций обладают рядом важных свойств, которые упрощают вычисление производных для различных типов функций:</p>
<h3>1. Линейность</h3>
<p>Производная суммы и разности функций равна сумме (или разности) производных этих функций:</p>
<pre>(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)</pre>
<p>Производная произведения функции на константу равна произведению константы и производной функции:</p>
<pre>(c * f(x))' = c * f'(x)</pre>
<h3>2. Правило произведения</h3>
<p>Производная произведения двух функций <code>f(x)</code> и <code>g(x)</code> вычисляется по формуле:</p>
<pre>(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)</pre>
<h3>3. Правило частного</h3>
<p>Производная частного двух функций <code>f(x)</code> и <code>g(x)</code> вычисляется по формуле:</p>
<pre>(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))²</pre>
<p>где <code>g(x) ≠ 0</code>.</p>
<h3>4. Производная степени</h3>
<p>Производная функции <code>f(x) = xⁿ</code> (где <code>n</code> — любое действительное число) равна:</p>
<pre>(xⁿ)' = n * xⁿ⁻¹</pre>
<h2>Производная и дифференциал сложной функции</h2>
<p>Для сложной функции, представленной как <code>f(g(x))</code>, производная вычисляется по правилу цепочки:</p>
<pre>(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)</pre>
<p>Это правило позволяет найти производную сложной функции путем дифференцирования внешней функции <code>f</code> по внутренней <code>g</code> и умножения на производную внутренней функции <code>g</code>.</p>
<h3>Дифференциал сложной функции</h3>
<p>Дифференциал сложной функции <code>f(g(x))</code> можно представить как:</p>
<pre>df = f'(g(x)) * g'(x) * dx</pre>
<p>где <code>f'(g(x))</code> и <code>g'(x)</code> — производные функций <code>f</code> и <code>g</code> соответственно.</p>
<h2>Производная и дифференциал обратной функции</h2>
<p>Для функции <code>y = f(x)</code>, если она обратима, то её обратная функция обозначается как <code>x = f⁻¹(y)</code>. Производная обратной функции вычисляется по формуле:</p>
<pre>(f⁻¹(y))' = 1 / f'(f⁻¹(y))</pre>
<p>При этом предполагается, что <code>f'(x) ≠ 0</code> на рассматриваемом интервале.</p>
<h3>Дифференциал обратной функции</h3>
<p>Дифференциал обратной функции <code>x = f⁻¹(y)</code> можно выразить как:</p>
<pre>dx = (1 / f'(f⁻¹(y))) * dy</pre>
<p>где <code>dy</code> — малое приращение переменной <code>y</code>, а <code>f'(f⁻¹(y))</code> — производная функции <code>f</code> в точке <code>f⁻¹(y)</code>.</p>
<h2>Пример</h2>
<p>Рассмотрим функцию <code>f(x) = √(2x + 3)</code>. Найдём производную её обратной функции.</p>
<ul>
<li>Сначала находим производную <code>f(x)</code>: <code>f'(x) = 1 / √(2x + 3) * 2 = 1 / (√(2x + 3))</code>.</li>
<li>Теперь для обратной функции <code>f⁻¹(y)</code> производная равна <code>(f⁻¹(y))' = 1 / (1 / (√(2f⁻¹(y) + 3)))</code>.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Свойства производной помогают вычислять производные сложных и составных функций. Правила цепочки и нахождение производных обратных функций являются основными инструментами для нахождения производных в анализе функций, что широко используется в различных областях математики и приложениях.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.34.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.36.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>