-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.27.html
94 lines (77 loc) · 7.25 KB
/
1.27.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Векторы и матрицы, операции над ними</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Векторы и матрицы, операции над ними</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.26.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.28.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Определение векторов</h2>
<p><strong>Вектор</strong> — это упорядоченная последовательность чисел (компонент), которая может быть представлена в виде столбца или строки. Вектор размерности <code>n</code> может быть записан как:</p>
<pre>v = [v₁, v₂, ..., vn]</pre>
<p>где <code>v₁, v₂, ..., vn</code> — компоненты вектора. Векторы часто представляют собой величины с направлением и длиной и применяются в различных областях, таких как физика, машинное обучение и компьютерная графика.</p>
<h2>Определение матриц</h2>
<p><strong>Матрица</strong> — это двумерный массив чисел, организованный в виде строк и столбцов. Матрица размерности <code>m × n</code> содержит <code>m</code> строк и <code>n</code> столбцов:</p>
<pre>A = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ;
a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ;
...
am₁, am₂, ..., amₙ]</pre>
<p>Элементы матрицы обозначаются <code>aᵢⱼ</code>, где <code>i</code> — номер строки, а <code>j</code> — номер столбца. Матрицы широко используются для представления данных и вычислений в линейной алгебре, компьютерной графике и машинном обучении.</p>
<h2>Операции над векторами</h2>
<h3>Сложение и вычитание векторов</h3>
<p>Сложение и вычитание векторов <code>u</code> и <code>v</code> одинаковой размерности выполняются поэлементно:</p>
<pre>u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂, ..., un + vn]</pre>
<pre>u - v = [u₁ - v₁, u₂ - v₂, ..., un - vn]</pre>
<h3>Умножение вектора на скаляр</h3>
<p>Умножение вектора <code>v</code> на скаляр <code>c</code> выполняется поэлементно:</p>
<pre>c * v = [c * v₁, c * v₂, ..., c * vn]</pre>
<h3>Скалярное произведение</h3>
<p><strong>Скалярное произведение</strong> двух векторов <code>u</code> и <code>v</code> одинаковой размерности — это сумма произведений их соответствующих компонентов:</p>
<pre>u ⋅ v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + ... + un * vn</pre>
<p>Результатом является число (скаляр).</p>
<h2>Операции над матрицами</h2>
<h3>Сложение и вычитание матриц</h3>
<p>Сложение и вычитание матриц <code>A</code> и <code>B</code> одинаковой размерности выполняются поэлементно:</p>
<pre>(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ</pre>
<pre>(A - B)ᵢⱼ = aᵢⱼ - bᵢⱼ</pre>
<h3>Умножение матрицы на скаляр</h3>
<p>Умножение матрицы <code>A</code> на скаляр <code>c</code> выполняется поэлементно:</p>
<pre>(c * A)ᵢⱼ = c * aᵢⱼ</pre>
<h3>Умножение матриц</h3>
<p><strong>Умножение матриц</strong> <code>A</code> размерности <code>m × n</code> и <code>B</code> размерности <code>n × p</code> даёт матрицу <code>C</code> размерности <code>m × p</code>. Элемент <code>cᵢⱼ</code> матрицы <code>C</code> вычисляется как скалярное произведение <code>i</code>-й строки матрицы <code>A</code> и <code>j</code>-го столбца матрицы <code>B</code>:</p>
<pre>cᵢⱼ = Σ aᵢₖ * bₖⱼ</pre>
<p>где сумма берется по всем значениям <code>k</code> от <code>1</code> до <code>n</code>.</p>
<h3>Транспонирование матрицы</h3>
<p><strong>Транспонирование</strong> матрицы <code>A</code> заключается в замене её строк на столбцы. Транспонированная матрица обозначается как <code>Aᵀ</code>:</p>
<pre>(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ</pre>
<h3>Определитель матрицы</h3>
<p><strong>Определитель</strong> квадратной матрицы <code>A</code> — это число, которое характеризует матрицу и её свойства, такие как обратимость. Определитель обозначается как <code>det(A)</code> или <code>|A|</code> и вычисляется с помощью разложения или других методов для матриц размером больше 2 × 2.</p>
<h3>Обратная матрица</h3>
<p>Квадратная матрица <code>A</code> называется <strong>обратимой</strong>, если существует матрица <code>A⁻¹</code>, такая что <code>A * A⁻¹ = I</code>, где <code>I</code> — единичная матрица. Обратную матрицу можно вычислить для матриц с ненулевым определителем.</p>
<h2>Пример</h2>
<p>Пусть <code>A</code> и <code>B</code> — две матрицы:</p>
<pre>A = [1, 2;
3, 4]</pre>
<pre>B = [5, 6;
7, 8]</pre>
<p>Тогда <code>A + B</code> и <code>A * B</code> будут:</p>
<pre>A + B = [6, 8;
10, 12]</pre>
<pre>A * B = [1*5 + 2*7, 1*6 + 2*8;
3*5 + 4*7, 3*6 + 4*8]
= [19, 22;
43, 50]</pre>
<h2>Заключение</h2>
<p>Векторы и матрицы являются основными объектами в линейной алгебре, и операции над ними важны для решения систем уравнений, обработки данных и создания математических моделей. Операции сложения, умножения, транспонирования и нахождения определителя играют важную роль в различных областях математики и её приложениях.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.26.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.28.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>