-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.24.html
51 lines (43 loc) · 5.57 KB
/
1.24.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Независимость случайных величин</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Независимость случайных величин и функций от независимых случайных величин</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.23.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.25.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Независимость случайных величин</h2>
<p><strong>Независимость случайных величин</strong> — это свойство, при котором значения одной случайной величины не оказывают влияния на распределение другой случайной величины. Две случайные величины <code>X</code> и <code>Y</code> считаются независимыми, если для любых значений <code>x</code> и <code>y</code> выполняется следующее равенство:</p>
<pre>P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x) * P(Y ≤ y)</pre>
<p>Аналогично, можно сказать, что совместное распределение независимых величин является произведением их отдельных (маргинальных) распределений.</p>
<h3>Свойства независимых случайных величин</h3>
<ul>
<li><strong>Ковариация:</strong> Для независимых случайных величин <code>X</code> и <code>Y</code> ковариация равна нулю: <code>Cov(X, Y) = 0</code>. Однако обратное утверждение не всегда верно — ковариация может быть нулевой, даже если величины зависимы.</li>
<li><strong>Математическое ожидание:</strong> Если <code>X</code> и <code>Y</code> независимы, то <code>E(XY) = E(X) * E(Y)</code>.</li>
<li><strong>Для нескольких случайных величин:</strong> Набор случайных величин <code>X1, X2, ..., Xn</code> называется независимым, если любое подмножество этих величин также независимо.</li>
</ul>
<h2>Независимость функций от независимых случайных величин</h2>
<p>Если <code>X</code> и <code>Y</code> — независимые случайные величины, то любая функция <code>g(X)</code> от <code>X</code> и любая функция <code>h(Y)</code> от <code>Y</code> также являются независимыми случайными величинами. Это связано с тем, что преобразования не влияют на исходную независимость случайных величин.</p>
<h3>Пример</h3>
<p>Пусть <code>X</code> и <code>Y</code> — независимые случайные величины, и определим функции <code>Z = g(X)</code> и <code>W = h(Y)</code>. Тогда <code>Z</code> и <code>W</code> также будут независимы, поскольку:</p>
<pre>P(Z ≤ z, W ≤ w) = P(g(X) ≤ z, h(Y) ≤ w) = P(g(X) ≤ z) * P(h(Y) ≤ w)</pre>
<h3>Свойства независимости функций от независимых случайных величин</h3>
<ul>
<li><strong>Сохранение независимости:</strong> Независимость сохраняется при применении любых функций к независимым величинам. Это свойство делает возможным анализ сложных систем, используя преобразования от исходных независимых случайных величин.</li>
<li><strong>Независимость суммы и разности:</strong> Если <code>X</code> и <code>Y</code> независимы, то <code>X + Y</code> и <code>X - Y</code> также независимы.</li>
<li><strong>Сложные комбинации:</strong> Любые функции <code>f(X)</code> и <code>g(Y)</code> остаются независимыми, если <code>X</code> и <code>Y</code> независимы.</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Независимость случайных величин — это важное понятие, лежащее в основе многих статистических методов и теоретических выводов. Независимость сохраняется при любых преобразованиях, что позволяет изучать зависимость между функциями от независимых величин. Эти свойства играют ключевую роль в теории вероятностей и статистике, позволяя упростить анализ сложных систем и прогнозировать вероятности событий в условиях неопределенности.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.23.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.25.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>