-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.22.html
75 lines (65 loc) · 6.59 KB
/
1.22.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>Математическое ожидание, дисперсия и моменты случайной величины</title>
<link rel="stylesheet" href="./css/index.css">
</head>
<body>
<div class="container">
<h1>Математическое ожидание, дисперсия и моменты случайной величины</h1>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.21.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.23
.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div>
<h2>Математическое ожидание</h2>
<p><strong>Математическое ожидание</strong> случайной величины <code>X</code>, обозначаемое как <code>E(X)</code> или <code>μ</code>, является средним значением, которое случайная величина принимает при бесконечном количестве повторений эксперимента. Математическое ожидание рассчитывается следующим образом:</p>
<ul>
<li>Для дискретной случайной величины: <code>E(X) = Σ x * P(X = x)</code>, где сумма берётся по всем значениям <code>x</code>, которые может принимать <code>X</code>.</li>
<li>Для непрерывной случайной величины: <code>E(X) = ∫ x * f(x) dx</code>, где <code>f(x)</code> — плотность распределения случайной величины <code>X</code>.</li>
</ul>
<h3>Свойства математического ожидания</h3>
<ul>
<li><strong>Линейность:</strong> Если <code>a</code> и <code>b</code> — константы, то <code>E(aX + b) = aE(X) + b</code>.</li>
<li><strong>Сумма случайных величин:</strong> Если <code>X</code> и <code>Y</code> — случайные величины, то <code>E(X + Y) = E(X) + E(Y)</code>.</li>
<li><strong>Математическое ожидание константы:</strong> <code>E(c) = c</code>, где <code>c</code> — постоянное значение.</li>
</ul>
<h2>Дисперсия</h2>
<p><strong>Дисперсия</strong> случайной величины <code>X</code>, обозначаемая как <code>Var(X)</code> или <code>σ²</code>, измеряет разброс значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсия рассчитывается как математическое ожидание квадрата отклонения <code>X</code> от её среднего значения:</p>
<pre>Var(X) = E((X - E(X))²)</pre>
<ul>
<li>Для дискретной случайной величины: <code>Var(X) = Σ (x - μ)² * P(X = x)</code>.</li>
<li>Для непрерывной случайной величины: <code>Var(X) = ∫ (x - μ)² * f(x) dx</code>.</li>
</ul>
<h3>Свойства дисперсии</h3>
<ul>
<li><strong>Константа не влияет на дисперсию:</strong> <code>Var(c) = 0</code>, где <code>c</code> — константа.</li>
<li><strong>Масштабирование случайной величины:</strong> <code>Var(aX) = a² * Var(X)</code>, где <code>a</code> — константа.</li>
<li><strong>Сумма независимых случайных величин:</strong> Если <code>X</code> и <code>Y</code> независимы, то <code>Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)</code>.</li>
</ul>
<h2>Начальные и центральные моменты случайной величины</h2>
<p><strong>Моменты случайной величины</strong> — это показатели, характеризующие распределение случайной величины. Существует два типа моментов:</p>
<h3>Начальные моменты</h3>
<p><strong>Начальные моменты</strong> случайной величины <code>X</code> порядка <code>k</code> определяются как математическое ожидание <code>X</code> в степени <code>k</code>:</p>
<pre>μ'_k = E(X^k)</pre>
<ul>
<li><code>μ'_1 = E(X)</code> — первый начальный момент, равный математическому ожиданию.</li>
<li>Начальные моменты описывают общие свойства распределения, такие как асимметрия и степень разброса.</li>
</ul>
<h3>Центральные моменты</h3>
<p><strong>Центральные моменты</strong> случайной величины <code>X</code> порядка <code>k</code> определяются как математическое ожидание степени отклонения <code>X</code> от её среднего значения:</p>
<pre>μ_k = E((X - E(X))^k)</pre>
<ul>
<li><code>μ_2 = Var(X)</code> — второй центральный момент, равный дисперсии.</li>
<li><code>μ_3</code> — третий центральный момент, характеризует асимметрию распределения (скос).</li>
<li><code>μ_4</code> — четвертый центральный момент, характеризует остроту распределения (эксцесс).</li>
</ul>
<h2>Заключение</h2>
<p>Математическое ожидание и дисперсия являются основными характеристиками случайных величин, которые позволяют описывать их среднее значение и степень разброса. Начальные и центральные моменты дают более полное представление о распределении случайной величины, включая её асимметрию и остроту. Эти показатели важны для анализа случайных процессов и принятия решений в условиях неопределенности.</p>
</div>
<div class="navigation-buttons">
<a href="1.21.html" class="button">⬅ Назад</a>
<a href="1.23.html" class="button">Вперёд ➡</a>
</div></body>
</html>