1.椭圆曲线.md

1. 椭圆曲线

https://www.geogebra.org/calculator

y² = x³ + ax + b

• 当 a = 1, b = 1

• ECDSA (secp256k1): 当 a = 0, b = 7

• RSA 是基于因数分解问题 保障安全的
• ECC 是基于离散对数问题 保障安全的

2. 补充一下

1. 阶数

• 椭圆曲线的阶数 就是群组的个数

2. mod（模运算）

• 简单理解为 椭圆曲线的 mod 计算是为了保障 结果在群
• 比如阶数为3 mod 3 的结果 就是 0 1 2

4. 几何加法

假设我们要把两个点 P 和 Q 相加：

• 画一条直线穿过 P 和 Q
• 这条线会在曲线上切到第三个点（称为 R'）
• R' 关于 x 轴的对称点就是 P+Q 的结果

简单应用

1. 标量 (Scalar)

• 标量就是一个普通的数字
• 可以进行普通的数学运算
• 在 EdDSA 中通常是模 L 的值（L 是曲线阶数）

2. 点（point）

• 点是曲线上的一个坐标，由 (x,y) 组成
• 不能直接进行普通的数学运算

3. 点加法

• P₁ = (x₁, y₁)
• P₂ = (x₂, y₂)
• P₁ + P₂ = (x₃, y₃)

在曲线 y² = x³ + 7 上：(spc256k1)
假设：
P₁ = (2, 5)
P₂ = (3, 7)

1. 计算斜率：
λ = (7 - 5)/(3 - 2) = 2

2. 计算 x₃：
x₃ = 2² - 2 - 3 = -1

3. 计算 y₃：
y₃ = 2(2 - (-1)) - 5 = 6 - 5 = 1

所以 P₃ = (-1, 1)

4. 标量乘法

• 标量 * 点 = 新的点
• 3 * B = B + B + B = (x₅, y₅)
• 公钥 = 私钥 （一个大随机数） * 基点 G